線性代數-N階行列式

線性代數

南京工業大學理學院

信息與計算科學系程浩

線性代數是研究在日常生活里、在工程技術的許多領域以及在各項科學研究中經常出現的代數問題的一門學科。介紹

這些代數問題包括：矩陣的運算，線性方程組的求解理論與方法，化二次型為標準型，線性空間與線性變換等。1什么全國大學生數學建模競賽？2數學建模競賽在我校的情況？3該怎樣參加數學建模競賽？

線性代數是應用數學知識解決實際問題的一個強有力的工具。例如，在計算機圖形處理中，通常將圓錐曲線寫成下列矩陣形式簡記為

如果將該圓錐曲線作（繞原點的）旋轉變換（坐標系不變），設變換矩陣則變換后的圓錐曲線其方程即為

用矩陣方法來表示圓錐曲線的旋轉變換，不僅表達簡明，而且更便于計算機程序實現。線性代數這一門學科各章內容之間有較強的漸進關系；概念具有多樣性；有些理論比較抽象；解決問題的方法富于變化；對本課程的這些特點，在以后的學習中應予以注意。章節內容

第一章.行列式

第二章.矩陣

第三章.向量組

第四章.線性方程組

第五章.矩陣的對角化

第六章.二次型*第七章.線性空間與線性變換第一章行列式

§1.1n階行列式的定義

§1.2n階行列式的性質§1.4克萊姆(Cramer)法則

§1.3n階行列式的計算n階行列式的定義、性質與計算

行列式是線性代數中的一個基本工具。在初等數學里已經介紹二階、三階行列式，現在為了研究n元線性方程組需要進一步討論n階行列式。討論二階、三階行列式進一步介紹n階行列式解決一類n元線性方程組求解問題本章邏輯順序性質與計算為重點第一節n階行列式

一.二階、三階行列式

研究二元線性方程組：

利用消元法，得兩式相減消去2x

從二元線性方程組解的形式可以發現，如果引入記號（叫做二階行列式）：

同理則其解可簡潔地表示為：

其中解線性方程組由于方程組的系數行列式

又所以方程組的解為

解例1．類似地，如果在求解三元方程組

的過程中引入下列三階行列式的記號

其實，這個三階行列式的展開式的值也可以用下面的所謂主、副對角線法則得到：

＋－并規定其值為：

時，用消元法同樣可得這個方程組的解其中

Dj（j=1,2,3）是用常數項b1,b2,b3替換系數行列式

D中的第j列所得的三階行列式。

而且當三元線性方程組的系數行列式

例2．解

D==計算行列式

但應當指出的是：主、副對角線法則不易于向一般n階行列式推廣。＋－事實上，三階行列式的計算，除了主、副對角線法則還可以按照依第一行展開的方法得到行列式的值。即的代數余子式：A11=其中A11,A12,A13

分別是第一行元素A12=A13=同理和＋－＋－＋－＋－＋而且不難看到，這與用主、副對角線法則得到的結果是一致的。例如，對例2中的行列式，有

A11=－1A12=10A13=－7從而行列式的值=1×(－1)+0×10+1×(－7)=－8與對角線法結果相同。1）可以用低階行列式的值去定義高階行列式的值；

即，從而從二、三階行列式出發去定義一般的n階行列式。

2）這樣的定義方式應該具有某種內在的一致性。即，這樣定義的各階行列式應該有統一的性質。這一展開的規律啟示我們：

二.n階行列式

由n×n個數(i,j=1,2,…,n)組成的具有n行n列的式子并且規定其值為：1）當n=1時，D=定義1.叫做n階行列式（Determinant），2）當n2時，D=其中

為行列式D的元素

的為行列式D的元素

并稱

的

余子式，

代數余子式。

可知：n階行列式的定義展式中，一定包含有n！個項，并且每一項都是來自于不同行、不同列的n個元素的乘積。（容易證明）從二、三階行列式例3．計算n階上三角行列式由行列式定義，按第一行展開時，第一行的以此類推，得

解

皆等于零，所以

的余子式

元素

？特別地，對主對角行列式，有

對上三角行列式與主對角行列式值的結論，我們以后常會用到。例4．計算n階（副對角、下三角）行列式

解由n階行列式的定義，可以得到

是n-1階行列式，其中的余子式

它與n階行列式

同樣的形式，行列式的定義，有=等于

這個n行列式

的值并不總值得注意的是：反復利用（n階）！！！例5．計算4階數字行列式

解

==如果再將上述行列式按第四行元素展開，又得到

這個結果與按定義展開是一樣的。

實際上，行列式不但可以按第一行元素展開，而且也可以按第一行以后的任一行或者任一列去展開，其結果都是相同的。即有下面的定理：n階行列式D等于它的任一行（列）的元素與它們所對應的代數余子式乘積之和，和定理證明略去。

定理