2026-2027學年北師大版數學九年級上冊期中模擬測試能力卷

北師大版數學九年級上冊期中模擬測試能力卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積是（）A．83 B．4 C．2 D．2．關于x的方程x2+4nx+1?8n?1=0的兩個實數根分別為x1，xA．2或3 B．3或?2 C．?3或2 D．?3或?23．圖①是一張長28cm，寬16cm的矩形紙片，將陰影部分裁去（陰影部分為4個完全相同的小矩形）并折疊成一個如圖②的底面積為80cm2的有蓋長方體盒子．設該盒子的高為A．(28?2x)(16?2x)=80 B．(28?2×2x)(16?2x)=80C．(12×28?2x)(16?2x)=804．對于一元二次方程ax①若a+b+c=0，則方程必有一根為x=1；②若c是方程ax③若ax2+bx+c=0a≠0兩根為x④若x0是一元二次方程ax2其中正確的()A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③④5．如圖，矩形OABC中，點O0,0,AC=4,BO與x軸正半軸的夾角為45°．若矩形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第2026秒時，矩形的對角線交點A．2,?2 B．?2,0 C．0,2 6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分別以AC，AB為邊向外作正方形ACDE，正方形ABMN，連結NE，則NE的長為()A．10 B．9 C．73 D．417．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，點E、F分別為AD、CD邊上的動點，連接BE、BF、EF．若∠EBF=60°，則以下結論正確的是（）①BE=BF；②△BEF是等邊三角形；③四邊形EBFD的面積是43；④△DEF面積有最大值為2A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④8．如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F分別在邊AB，CD上運動，滿足BE=2DF，連結EF，過點C作直線EF的垂線，垂足為G，當CG的長最大時，DF的長為（）A．12 B．1 C．5?1 9．如圖，矩形ABCD和正方形AEFG面積相等，點B在邊EF上，點G在CD上，FG交BC于M點，EN⊥AB，AB=18，若S△ENB:SA．9+17 B．8+15 C．9+1510．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF.下列結論：(①PD=2DF;②四邊形PECF的周長為8；A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③二、填空題（每題3分，共18分）11．一個由16個完全相同的小立方塊搭成的幾何體，其最下面一層擺放了9個小立方塊，它的主視圖和左視圖如圖所示，那么這個幾何體的搭法共有種．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，E，直線DE分別與AC，AB交于點M，N．若BC=4，則MN的長為13．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是AB的中點，連結CE，作點B關于CE的對稱點B'，連結B'C，B'E，連結BB'并延長交AD于點F，交CE于點G，連結AB'并延長交CD于點H，給出下面四個結論：①F為AD的中點；②AH⊥BF；③連結AG，則∠AGE≠∠AGF；④連結AG并延長交BC于點P，則CP=2BP．上述結論中，正確結論的序號是．14．等腰△ABC的一邊長為5，另外兩邊的長恰好是方程2x2?12x+m=0的兩個根，則m15．如圖，在正方形ABCD中，點E是CD中點，連接BE，點F為BE上一點，AF=AB．若AB=2，則△ABF的面積為．16．【閱讀材料】過矩形對角線上任意一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，會得到面積相等的兩個矩形，如圖（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．【解決問題】如圖（2），點M是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點M作EF∥BC分別交AB，CD于點E，F，連接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，則MF＝．三、解答題（共6題，共72分）17．在正方形ABCD中，點P在對角線AC上，點E，F分別在邊BC，CD上，且PE⊥PF于點P.（1）特例發現：如圖1，當點P在對角線AC，BD的交點處時，求證：PE=PF；（2）探究證明：如圖2，當點P不在對角線AC，BD的交點處時，判斷PE與PF的數量關系，并說明理由：（3）拓展運用：在（2）的條件下，若EC=4，CF=2，連接EF，請直接寫出PE的長.18．（1）已知四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，△EAF的兩邊AE，AF分別與邊CB，DC相交于點E，F，且∠EAF=60°.①【特殊情況】如圖1，當點E是線段BC的中點時，直接寫出線段AE，AF之間的數量關系▲；②【類比探究】如圖2，當點E是線段BC上任意一點時(點E不與B，C重合)，求證：BE=CF；（2）【拓展運用】如圖3，四邊形ABCD是一個菱形花園，AB=10m，∠ABC=60°，現計劃用籬笆圍成一塊三角形區域AEF，E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=60°.為了節約材料，所需的籬笆長度(即△AEF的周長)最短，求出所需的籬笆長度(即△AEF的周長)的最小值，并說明理由.19．若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根均為整數，則稱方程為“快樂方程”.通過計算發現，任何一個“快樂方程”的判別式b2-4ac一定為完全平方數.現規定F(a,b,c)=4ac?b24a為該“快樂方程”的“快樂數”.例如“快樂方程”x2-3x-4=0的兩根均為整數，其“快樂數”F（1，-3，-4）=（1）“快樂方程”x2-4x-12=0的“快樂數”為；（2）若關于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m為整數，且1＜m＜6）是“快樂方程”，求m的值，并求該方程的“快樂數”；（3）若關于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0與x2-（n+2）x+2n=0（m、n均為整數）都是“快樂方程”，且其“快樂數”互為“開心數”，直接寫出n的值是.20．為慶祝五四青年節，某校組織八年級男子班級籃球賽，為達到活動效果又節省比賽時間，先分A、B兩個小組，由所有參賽班級隨機抽簽，再分別進行小組賽.當參賽隊伍總數為偶數個時，A組、B組隊伍數一樣多；當參賽隊伍總數為奇數個時，B組比A組隊伍數多1個.小組賽采取單循環賽制（即每只隊伍與組內其他隊伍各打一場），按積分排名，取每組前2名晉級半決賽，最后進行決賽.積分規則：勝一場得2分，負一場得0分.小組賽結束后，某數學學習小組針對全部隊伍累計總得分開展數學討論.具體如下：（1）已知該校八年級共有10個班級參加比賽.小組賽結束后，全部隊伍累計總得分共分；（2）若當參賽隊伍總數為偶數個時，小組賽結束后，全部隊伍累計總得分為112分.求本次比賽參賽隊伍個數；（3）當參賽隊伍總數為奇數個時.小組賽結束后，全部隊伍累計總得分能是162分嗎？若能，請求出此時參賽的隊伍數；若不能，請說明理由.21．如圖，在矩形ABCD中，AD=2AB，E為邊AD上任意一點，AD=nAE.【嘗試初探】（1）如圖1，取BD的中點M，連接EM并延長交BC于點N，求證：AE=CN；（2）過點E作EM⊥BD于點M，延長EM交BC于點N，連接BE，若△BEN是等腰三角形，求n的值；（3）如圖2，若F是CD上一點，且DC=nDF，連接EF交BD于點G，求DGBG的22．在矩形ABCD中，E是邊AB上一點(不與端點重合)，以BE為邊在矩形ABCD內部構造矩形BEGF，使得ABBC（1）如圖1，當m=1時，求AEDG（2）如圖2，將矩形BEGF繞點B順時針旋轉θ(0°<θ<30°)，連接AE，當m=33時，求（3）如圖3，矩形BEGF在旋轉的過程中，當點G落在BC邊上時，D，G，F三點共線.若m=3

答案解析部分1．【答案】B【知識點】由三視圖判斷幾何體【解析】【解答】解：由主視圖和俯視圖，底面三角形一條邊長為4，

由左視圖可得底面三角形邊長為4的邊對應的高長為3，且三棱錐的高是2，

則三棱錐的體積是13×【分析】由三棱錐的體積公式V=12．【答案】C【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）【解析】【解答】解：x2+4nx+1?8n?1=0，即x2+4nx?4n?1=0，

∵x1，x2是x2+4nx?4n?1=0的兩個實數根，∴x1+x2=?4n，x1?x2=?4n?1，

∵x根據韋達定理：x1+x3．【答案】D【知識點】一元二次方程的應用-幾何問題【解析】【解答】解：∵矩形紙片的長為28cm，寬為16cm，且盒子的高為xcm，

∴折成的長方體底面的寬應為(16-2x)cm，長為12（28?2x）cm，

∵折成的長方體底面積為80cm2，

∴12(28?2x)(16?2x)=80.

故答案為：D.

4．【答案】C【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的求根公式及應用【解析】【解答】解：①若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的解，故①正確；

②若c是方程ax2+bx+c=0的一個根，

∴ac2+bc+c=0

∴當c≠0時，有ac+b+1=0成立；故②不正確；

③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，

∴Δ=b2-4ac≥0

令x1=?b+b2?4ac2a，x1=?b?b2?4ac2a

∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)有兩個實數根，令兩根分別為x1'，x2'

∴x1'=?b+b2?4ac2c=1?b?b2?4ac2a=1x2，x25．【答案】D【知識點】矩形的性質；坐標與圖形變化﹣旋轉【解析】【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，∴OB=AC=4，OD=BD=2，∵每秒旋轉45°，8次一個循環，2026÷8=253?????2，∴此時點D與第2次的點D的坐標相同，如圖所示：過點D'作D'E⊥x∴OE=D∴點D的坐標為?2【分析】首先先確定矩形對角線交點D到原點O的距離，結合題目條件，矩形每秒繞原點旋轉45°，旋轉一周為360°，因此每旋轉8次，圖形會回到初始位置，形成一個循環。計算可得2026÷8=253?????2，說明經過2026秒后，點D的位置和旋轉2秒后點D的位置一致，且此時點D位于第二象限的對角線上，據此即可求出對應坐標.6．【答案】C【知識點】勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系【解析】【解答】解：過點N作NG⊥AC于點G，交NE于點H，如圖所示，

∵ABMNO正方形

∴∠BAN=90°，AB=AN

∴∠BAC+∠NAG=90°

又∵∠BAC+∠ABC=90°

∴∠ABC=∠NAG

又∵∠G=∠ACB

∴△ABC≌△NAG(SAS)

∴GN=AC=4，GA=BC=3

∵ACDE為正方形

∴AC=AE

∴NG=AE

∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH

∴△AEH≌△GNH(AAS)

∴NH=EH，GH=AH=32

∴NH=GH2+NG2=42+(7．【答案】B【知識點】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：①連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=CD=4，∠ADB=∠DBC=∴△ABD、△CBD均為等邊三角形，AD=BD=4，又∵∠EBF=60°，即：∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF=60°，∴∠ABE=∠DBF，在△ABE和△BDF中，∠A=∠BDF∴△ABE≌△DBF(ASA)，∴BE=BF，故①正確；②·∵BE=BF，∠EBF=60°，∴△EBF為等邊三角形，故②正確；③如圖，過B作BG⊥AD于G，∴AG=DG=2，BG=∴∵△ABE≌△DBF，∴∵S四邊形DEBF=S△DEB+S△DBF④∵△BEF為等邊三角形，

當BE⊥AD時，BE最短，△BEF的面積最小，此時AE=DE=∴BE=同理可得：此時S∵∴S△DEF=43?∴正確的結論為：①②③.故選：B.【分析】①連接BD，根據菱形ABCD的性質及∠DAB=60°，可以得到△ABD為等邊三角形，結合∠EBF=60°，可得∠ABE=∠DBF，可利用ASA判定△ABE≌△DBF，從而得到BE=BF；②根據BE=BF,∠EBF=60°,即可得到△EBF為等邊三角形；③根據S四邊形DEBF=S△DEB+S△DBF及△ABE?△DBF,可以得到S四邊形DEBF=8．【答案】A【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；勾股定理；正方形的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=3，∴AD=AB=DC=3,如圖：過F作FH⊥AB于H，則四邊形DAHF是矩形，∴AH=DF,設DF=x，則AH=x,∴FC=3?x,∴FE=H∵FH⊥AB，CG⊥EF，∴∠FHE=∠HFC=∠FGC=90°，∴∠HEF+∠HFE=∠HFE+∠GFC=90°，∴∠HEF=∠GFC，∴△HFE∽△GCF，∴HFGC=FECF，即整理為關于x的一般式為：(GC∴Δ=(?2GC2∴0≤GC≤5∴GC的最大值為5，當CG的長最大時，將5代入方程4x2?4x+1=0，解得：x=∴當CG的長最大時，DF的長為12．

故答案為：1【分析】由正方形的性質可得AD=AB=DC=3,∠A=∠D=90°，過F作FH⊥AB于H，則四邊形DAHF是矩形，即可得到AH=DF,FH=AD=3；設DF=x，則AH=x,BE=2x，根據勾股定理求出FE=32+(3?3x)2，然后根據兩角對應相等得到△HFE∽△GCF，根據相似三角形的對應邊成比例求出CG=9．【答案】A【知識點】正方形的性質；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊【解析】【解答】解：∵四邊形AEFG是正方形，∴∠GAE=∠AEF=∠F=∠AGF=90°，AG=AE，∴∠GAB+∠BAE=90°∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°，CD=AB=18，∴∠DAG+∠GAB=90°，∴∠DAG=∠BAE，∵EN⊥AB，∴∠ANE=90°，∴∠D=∠ANE=90°，又∵AG=AE，∴△ADG≌△ANE(AAS)，∴S△ADG=S△ANE，∵矩形ABCD和正方形AEFG面積相等，∴S矩形ABCD∴S△ENB∵S△ENB∴S△ENB∵∠EBN+∠MBF=90°，∠EBN+∠BEN=90°，∴∠MBF=∠BEN，同理可證，∠MBF=∠CGM，∴∠CGM=∠BEN，∵∠BNE=∠C=90°，∴△CGM∽△NEB，∴EN:∴DG:∴EN=DG=18×4∵∠AEN+∠BEN=90°，∠AEN+∠EAN=90°，∴∠BEN=∠EAN，∵∠ANE=∠ENB=90°，∴△ANE∽△ENB，∴ANEN∴AN8解得AN=9+17或AN=9?∴AD=9+17故答案為：A.【分析】根據正方形的性質，利用AAS得到△ADG≌△ANE，即可得到S△ADG=S△ANE，EN=DG，AN=AD．再根據矩形ABCD和正方形AEFG面積相等，即可得到S△ENB+S△BFM=S△GCM10．【答案】B【知識點】勾股定理；正方形的性質【解析】【解答】如圖，連接PC，

①∵正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，

∴∠PDC=45°，

又∵PF⊥CD，

∴∠PFD=90°，

∴△PDF為等腰直角三角形，

∴PD=2DF；

②由①同理得：△BPE是等腰直角三角形，

∴PE=BE，

∵∠PEC=∠ECF=∠PFC=90°

∴四邊形PECF為矩形，

∴四邊形PECF的周長=2CE+2PE=2CE+2BE=2（CE+BE）=2BC=2×4=8，

③∵四邊形PECF為矩形，

∴PC=EF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，

易證△ADP≌△CDP，

∴AP=PC，

∴AP=EF，

當AP最小時，EF最小，

∴當AP⊥BD時，垂線段最短，即AP=12BD，EF的最小值等于22，

④延長FP交AB于M，延長AP交EF于H，

∵AB∥CD，PF⊥CD，

∴FM⊥AB，

∵BD平分∠ABC，PM⊥AB，PE⊥BC，

∴PM=PE，

∵AP=EF，∠AMP=∠EPF=90°，

∴Rt△AMP≌Rt△FPE（HL），

∴∠BAP=∠PFE，

∵∠AMP=90°，

∴∠BAP+∠APM=90°，

∵∠APM=∠HPF，

∴∠PFH+∠HPF=90°，

∴∠PHF=90°，

∴AP⊥EF，

綜上，①②④正確．

故答案為：B.

【分析】①先證△PDF是等腰直角三角形，則PD=2DF，即可判斷；

②先證明△PEB是等腰直角三角形，再根據三個角是直角的四邊形是矩形可得四邊形PECF為矩形，則四邊形PECF的周長=2BC=8，即可判斷；

③證明△ADP≌△CDP，則AP=PC，根據矩形對角線相等得PC=EF，當AP⊥BD時，垂線段最短，即可判斷；11．【答案】10【知識點】由三視圖判斷幾何體【解析】【解答】解：由主視圖和左視圖知：①第一行第一個位置一定是4，

第二行和第三列至少有一個是3，第三行和第二列至少有一個是2，

則9+3+2+1=15

以最少的方式擺放，還剩1個，則為3個的位置僅有一個，即第二行第三個位置是3，

最終剩余的2個小立方體

①若第三行第一個位置擺放2個，剩余一個可以擺放的位置有3種，即每行的第二個位置；

②同理，若第三行第三個位置擺放2個，剩余一個可以擺放的位置也有3種，即每行的第二個位置；

③若第三行第二個位置擺放2個，剩余一個可以擺放的位置有6種，即除了已確定位置的，其他的位置都可以放。

由于③中分別與①②的一個位置重復

∴可能的情況有3+3+6-2=10種故答案為：10．【分析】抓住題中關鍵的已知條件：一共有16個小立方塊，最下面一層擺放了9個小立方塊，根據主視圖和左視圖，畫出所有可能的搭建平面圖，即可得出答案。12．【答案】2【知識點】線段垂直平分線的性質；尺規作圖-垂直平分線；三角形的中位線定理；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的判定預備定理（利用平行）【解析】【解答】解：由作圖可知，直線DE是線段AC的垂直平分線，∵∠C=90°，∴BC⊥AC，∴MN∥BC，∴△ANM∽△ABC，∴MNBC∵AM=1∴MN=1∵BC=4，∴MN=2．【分析】根據尺規作圖的方法可知直線DE是線段AC的垂直平分線，進而得到M為AC的中點，再結合N是AB的中點，利用三角形中位線定理求解．13．【答案】①②④【知識點】正方形的性質；軸對稱的性質；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位線定理；相似三角形的判定預備定理（利用平行）【解析】【解答】解：設正方形ABCD邊長為2a，則AE=EB=a，AB=BC=CD=DA=2a

∵B，B'關于CE對稱

∴CE⊥BB'，即CE⊥BF

∴∠CGB=90°

∴∠BCE+∠CBG=90°

在正方形ABCD中，∠ABC=∠ABF+∠CBG=90°

∴∠ABF=∠BCE，

在△ABF和△BCE中，

∠FAB=∠EBCAB=BC∠ABF=∠BCE

∴△ABF≌△BCE(ASA)

∴AF=BE=a.

又AD=2a，

∴AF=FD，即F為AD中點，①正確，符合題意；

∵E是AB中點

∴EG是△ABB'的中位線

∴EG//AB'

∵EG在CE上，

∴CE//AH

又CE⊥BF

∴AH⊥BF，②正確，符合題意；

∵CE⊥BF

∴∠EGF=90°

∴∠EGF+∠EAF=∠AEG+∠AFG=180°

∴A，E，G，F四點共圓

∴∠AGE=∠AGF=12∠EGF=45°∵AH⊥BF，AB=2a，AF=a，BF=5a，AB·AF=BF·AB'，

∴AB'=2a·a5a=255a

∴B'F=AF2?AB'2=55a，

∵CE//AH

∴BGB'G=BEAE=1，

∴FG=BF?FB'2+FB'=【分析】設正方形ABCD邊長為2a，結合E為AB中點，得出AE=EB=a，AB=BC=CD=DA=2a，根據軸對稱可得CE⊥BB'，即CE⊥BF，則∠CGB=90°，證明△ABF≌△BCE(ASA)，得出AF=BE=a，結合AD=2a，得出AF=FD，即F為AD中點，則①正確；由軸對稱可得，G是BB'中點，結合E是AB中點，得出EG是△ABB'的中位線，則CE//AH，結合CE⊥BF，得出AH⊥BF，則②正確；證明A，E，G，F四點共圓，結合AE=AF，得出∠AGE=∠AGF=12∠EGF=45°，因此③錯誤；證明△AFG∽△PBG，得出BP14．【答案】10或18【知識點】直接開平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；等腰三角形的概念；已知一元二次方程的根求參數【解析】【解答】解：設方程的兩根為x1和x∵△ABC是等腰三角形，∴x1=5或x2①當x1=5或∵5為方程2x∴2×52?12×5+m=0∴原方程為2x解得x=1或5，此時△ABC的三邊長為1，5，5，符合題意；②當x1∴Δ=解得m=18，∴原方程為2x解得x1此時△ABC的三邊長為3，3，5，符合題意；綜上所述，m的值為10或18．

故答案為：10或18.

【分析】設方程的兩個根為x1與x2，分類討論：當5為等腰三角形的腰時，等腰三角形的底邊與另一條腰是一元二次方程的實數根，故x1=5或x2=5，將x=5代入原方程求出m=10，然后將m=18代入原方程求出方程的兩個實數根，根據三角形三邊關系及等腰三角形定義檢驗；當5為等腰三角形的底邊時，等腰三角形的兩腰是一元二次方程的兩個實數根，故方程有兩個相等的實數根，即x1=x2，根的判別式△=b2-4ac=0，由此建立方程求出m為18，然后將m=18代入原方程求出方程的兩個實數根，根據三角形三邊關系檢驗，綜上可得答案.15．【答案】8【知識點】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質【解析】【解答】解：過點A作BE的垂線，垂足為G，如下圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠ABG=∠BEC，∵∠AGB=∠BCE=90°，∴△ABG∽△BEC，∴S∵BE=BS△BEC=1∴S∵AF=AB,AG⊥BE，∴S故答案為：8【分析】本題考查正方形性質、相似三角形判定與性質、等腰三角形性質，過A作AG⊥BE于G，由正方形對邊平行得∠ABG=∠BEC，結合直角相等證ΔABG∽ΔBEC，用相似三角形面積比等于相似比平方求SΔABG，再由AF=AB、AG⊥BE得BF=2BG，故S16．【答案】6【知識點】平行線的性質；矩形的性質；相似三角形的性質-對應邊；相似三角形的判定預備定理（利用平行）【解析】【解答】如圖，過點M作GH||AB交AD，BC于點G，H，則由材料知S矩形BEMH=S矩形MGDF，

可知S△BEM=S△DMF，

即12EM·BE=12DF·MF，

因為BE=CF=4，

所以12×3×4=12×2×MF，17．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴PB=PC=PD，AC⊥BD.∴△BPC，△CPD都是等腰直角三角形.∴∠PBE=∠PCF=45°.∵PE⊥PF，∴∠BPC=∠EPF=90°.∴∠BPC-∠EPC=∠EPF-∠EPC，即∠BPE=∠CPF.在△PBE和△PCF中∠BPE=∠CPE∴△PBE≌△PCF(ASA).∴PE=PF.（2）解：過點P分別作BC，CD的垂線，垂足分別為M，N.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠PCM=∠PCN.∴四邊形PMCN是矩形.∴PM∥CN.∴∠MPC=∠PCN.∴∠MPC=∠PCM.∴PM=CM.∴四邊形PMCN是正方形.∴PM=PN，∠MPN=∠EPF=∠PME=∠PNF=90°.∴∠MPN-∠MPF=∠EPF-∠MPF，即∠EPM=∠FPN.在△PEM和△PFN中∠EPM=∠FPN∴△PEM≌△PFN(ASA).∴PE=PF.（3）PE=【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；矩形的判定與性質；正方形的性質；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】（3）解：連接EF，

∵PE⊥PF，∴∠EPF=90°，

∵∠BCD=90°，CE=4，CF=2，

∴EF=CE2+CF2=25,

∵PE=PF，

∴EF2=PE218．【答案】（1）解：①AE=AF.②證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC，∠BCD=120°.∴△ABC是等邊三角形，F∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°，∴∠ACD=60°，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，又∵∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF(ASA)，∴BE=CF.（2）解：由(1)知△BAE≌△CAF，∴AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴△AEF的周長=EF+AE+AF=3AE，如圖，作AH⊥BC，垂足為H，∴當AE最小時，△AEF的周長最小，則當AE⊥BC時，AE最短，即點E與點H重合∵AB=10，∠ABC=60°，∴∠HAB=30°，∴BH=5，∴AH=5∴△AEF的周長的最小值=3AH=15∴當AE⊥BC時，所需的籬笆長度最短，最短為153米.【知識點】垂線段最短及其應用；等邊三角形的判定與性質；菱形的性質；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中對應邊的關系【解析】【解答】解：(1)AE=EF，

理由如下：

連接AC，如圖：

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=CB，AD//BC，∠ABC=60°

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠BAD=120°，∠D=60°

∵E是BC的中點，

∴∠BAE=30°，AE⊥BC

∵∠EAF=60°

∴∠DAF=∠BAD-∠EAF-∠BAE=30°

∴∠AFD=90°

∴AE=AF

∴△AEF是等邊三角形

∴AE=AF=EF

故答案為：AE=EF.

【分析】(1)連接AC，證明△ABC是等邊三角形，即可得出AE=AF：

(2)連接AC，證明△BAE≌△CAF(ASA)，得到BE=CF；

(3)由(1)知△AEF的周長=3AE，作AH⊥BC，垂足為H，當AE最小時，△AEF的周長最小，則當AE⊥BC時，AE最短，即點E與點H重合，進而即可求解.19．【答案】（1）-16（2）解：∵關于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0是“快樂方程”

∴?=?2m?12?4×1×m2?2m?3=4m+13

（3）0或3【知識點】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用；一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）【解析】【解答】解：

（1）∵a=1,b=?4,c=?12

∴F1,?4,?12=4×1×?12??424×1=?16

（3）∵a=1、b=?m、c=m+1、p=1、q=?n+1、r=2n

∴Fa,b,c=4m+1?m24=?m?22?84、Fp,q,r=8n?n+224=?n?224

∵m?22?8是個完全平方數

∴m=?1或m=5

∵r·Fa,b,c=c·Fp,q,r20．【答案】（1）40（2）因為參賽隊伍總數為偶數個，所以A組，B組隊伍數一樣多.所以設A組、B組隊伍數均為x隊，

則x(x?1)解得∴x1=8，則8+8=16隊答：本次比賽參賽隊伍個數為16隊（3）能.因為參賽隊伍總數為奇數，

所以設A組有y隊，則B組有(y+1)隊.所以y(y?1)解得∴y1=9，所以y+1=10則9+10=19隊答：參賽的隊伍數為19隊是，小組賽結束后，全部隊伍累計總得分能是162分【知識點】一元二次方程的其他應用；一元二次方程的應用-數字問題【解析】【解答】解：（1）∵參賽班級共有10個，為偶數，

∴A、B兩組各有10÷2=5個班級，

∵單循環賽制中，n個隊伍的總場次為nn?12，

∴代入n=5，可得5×5?12=10（場），

∴兩組總場次為10×2=20（場），

∵每場比賽無論勝負，總得分固定為2分，

∴總得分為：20×2=40（分），

故答案為：40.

【分析】（1）先求出A、B兩組各有10÷2=5個班級，再求出兩組總場次為10×2=20（場），最后結合“每場比賽無論勝負，總得分固定為2分”列出算式求出總分即可；

（2）設A組、B組隊伍數均為x隊，根據“全部隊伍累計總得分為112分”列出方程x(x?1)2×2×2=11221．【答案】（1）證明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD.∵M是BD的中點，∴BM=DM，∵∠DME=∠BMN.∴△EDM≌△NBM(ASA)，

∴DE=BN.∵在矩形ABCD中，AD=BC，∴AD-DE=BC-BN，即AE=CN（2）解：若△BEN是等腰三角形時，需分情況：①如解圖①，當BE=BN時，∵EM⊥BD，∴∠EBM=∠NBM=∠ADB，∴BE=DE，∴∵在Rt△ABD中，∠A=90°，AD=2AB，∴∴∵∠EDM=∠BDA，∠A=∠EMD=90°.∴△EDM∽△BDA，∴即5∴∴∴∴②如解圖②，當EB=EN時，∠EBC=∠ENB.∵∠C=∠EMB=90°=∠NMB，∴∠ENB=∠BDC=∠ABD.∴∠ABD=∠EBC，∵∠ABE+∠EBN=∠ABD+∠DBC=90°，∴∠ABE=∠CBD=∠ADB.∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ADB，∴∵AD=2AB，∴∴∴AD=4AE，即n=4；③如解圖③，當NE=NB時，∠NEB=∠NBE