蘇教版小學數學五年級上冊第七單元《解決問題的策略-一一列舉》教學設計

蘇教版小學數學五年級上冊第七單元《解決問題的策略——一一列舉》教學設計一、教學背景與課標解讀【基礎】本課是蘇教版小學數學五年級上冊第七單元的啟始課，隸屬于“數與代數”領域中“數量關系”這一核心主題。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段中明確指出，學生應“嘗試在真實的情境中發現和提出問題，探索運用基本的數量關系，以及幾何直觀、邏輯推理和其他學科的知識、方法分析與解決問題，形成模型意識和初步的應用意識、創新意識”10。從整個小學階段的策略學習體系來看，學生在三、四年級已經學習了從條件出發、從問題出發以及列表、畫圖等基本的分析和整理信息的策略。從本單元開始，學生將系統性地學習更具邏輯性和嚴密性的策略，如本課的“一一列舉”以及后續的“轉化”、“假設”等。因此，本課在策略學習序列中起著承上啟下的關鍵作用，旨在將學生零散的、無意識的列舉行為，提升為一種有目的、有條理、有價值的數學思想方法。【重要】“一一列舉”策略的核心價值在于“有序”和“不重復、不遺漏”。它不僅僅是解決某一類具體問題的手段，更是一種嚴謹的數學思維方式的訓練。在日常生活和未來學習中，無論是進行方案設計、分析概率問題，還是進行邏輯推理，有序思考都是一種不可或缺的基本素養。本課的教學設計，應超越簡單的技能傳授，深入到策略的內核，引導學生感悟在面對復雜問題時，如何通過分類和排序，將無序變為有序，化繁為簡，從而培養思維的條理性和嚴密性。二、教學目標設計基于核心素養導向，本課的教學目標設定如下：1.知識與技能目標：使學生經歷用一一列舉的策略解決簡單實際問題的過程，能通過列舉找出符合要求的所有可能情況，并對結果進行分析、比較和優化，從而解決問題。2.過程與方法目標：引導學生在解決問題的過程中，學會運用列表、畫圖、連線等不同的形式進行列舉，初步感受數形結合的思想。通過對比、反思，體會“有序”思考的重要性，掌握“不重復、不遺漏”地進行列舉的關鍵方法。3.情感態度與價值觀目標：使學生進一步積累解決問題的經驗，增強解決問題的策略意識，獲得解決問題的成功體驗。通過探究周長固定時長方形面積的變化規律，感受數學的神奇與美妙，激發學生學習數學的興趣和探索精神。三、教學重難點剖析1.【教學重點】掌握一一列舉的基本思考過程和方法，能夠按照一定的順序，用列表等方式羅列出問題所有的答案。2.【教學難點】引導學生在解決問題的過程中，主動選擇并靈活運用“有序”思考，自覺做到列舉的結果不重復、不遺漏。尤其是在面對稍復雜的情境（如改變條件）時，能調整列舉策略，形成結構化的認知。四、教學過程設計與實施（一）喚醒經驗，引入策略課始，我設計了“破譯密碼”的情境導入。課件呈現一把密碼鎖，并提示：“密碼是由1、2、7這三個數字組成的一個三位數，你能猜出來嗎？”學生很快憑借已有的認知，在草稿紙上嘗試組合。此時，我請一位回答迅速的同學分享他的思考過程。學生可能會說“我是從大到小想的，721、712、271、217、172、127”或者“我是固定百位依次想的”。我隨即追問：“你覺得他這樣想有什么好處？”引導學生自己說出“有順序”、“找得全”、“不會漏掉”等關鍵詞。【設計意圖】此環節基于學生已有的“數的組成”知識經驗，創設具有挑戰性和趣味性的游戲情境6。通過“破譯密碼”這一活動，不著痕跡地將學生帶入“列舉”的思維場域，并初步感知“有序”的價值，為后續學習埋下伏筆。（二）自主探究，構建策略1.【難點化解】出示例題：“王大叔用22根1米長的木條圍一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”121.2.審題析意：我首先引導學生閱讀題目，找出關鍵信息。學生很容易找到“22根1米長”、“長方形”、“面積最大”。我順勢追問：“‘22根1米長的木條’是什么意思？”引導學生得出“周長是22米”這一關鍵推論。再問：“如果圍成長方形，長和寬可能是多少米？”引導學生依據“長方形周長公式”推導出“長+寬=11米”，并且明確長和寬都是整米數。這一步是解決問題的數學基礎，必須夯實。2.3.初次嘗試，暴露思維：我給每個學習小組提供了一張研究單和代表1米的小棒學具（或點子圖）1。提出核心任務：“請你想辦法找出所有可能的圍法，并找出面積最大的那一種。”學生開始動手操作，教師巡視，捕捉典型的思維樣本。此時，學生的操作可能會呈現出兩種典型狀態：一種是隨意地、無序地拼擺，例如先擺出長8寬3，又擺長5寬6，再擺長9寬2，雖然最終也能找到幾種，但思維跳躍，且容易遺漏；另一種則是有序地從小到大地調整，比如寬是1米，長就是10米；寬是2米，長就是9米……一直到寬是5米，長是6米。3.4.對比辨析，明確方向：利用實物投影儀，我將無序拼擺和有序拼擺的兩組學生作品同時展示在大屏幕上1。請全班同學當“小評委”來評價：“你覺得哪一組的方法更好？為什么？”通過觀察對比，學生能夠直觀地感受到：雖然兩組都找到了幾種圍法，但有序思考的那一組看得更清楚，讓人一眼就知道有沒有找全。這一對比，將“無序”的弊端和“有序”的優勢淋漓盡致地展現出來，直擊本課的教學難點。此時，我進行小結并板書：像這樣，把事情發生的各種可能按照一定的順序，一個一個地羅列出來，這種方法就是數學上的“一一列舉”。我們今天就來學習這種“解決問題的策略”。（板書課題）5.【重點建構】列表整理，有序思考。1.6.引導填表：在學生們認識到有序的必要性后，我引導他們將思維過程外顯為表格。提出導向性問題：“如果我們把長和寬有序地填在表格里，應該從哪里開始想起？是從寬最小的1米開始，還是從長最小的開始？”引導學生明確，通常可以從數據較小的“寬”開始思考，因為這樣思路更順暢。師生共同完成表格的前幾項：1.2.7.寬（米）：1→2→3→4→52.3.8.長（米）：10→9→8→7→63.4.9.面積（平方米）：10→18→24→28→305.10.深入追問：“我們為什么要列到寬是5米就停止了？寬可以是6米嗎？”引導學生結合“長+寬=11米”和“長方形的長必須大于或等于寬”的常識（數學上通常約定長≥寬，但在實際問題中，長和寬只是命名不同，為避免重復，一般約定長不小于寬），明確列舉的“邊界”。當寬為5米，長為6米時，如果再列舉寬為6米，則長為5米，實際上與前面的圍法是同一種長方形，會造成重復。由此，學生深刻體會到“有序”不僅是為了“不遺漏”，更是為了“不重復”。6.11.數據分析，尋找規律：指著完成的表格，我提問：“觀察這張表格，你發現了什么秘密？”引導學生發現：在周長不變的情況下，面積是變化的；長和寬越接近（即長與寬的差越小），面積就越大。從而得到結論：當圍成一個長6米、寬5米的長方形時，面積最大。7.12.【高頻考點】此處對表格數據的分析是考試中經常出現的考點，要求學生不僅要能列舉，還要能根據數據規律做出最優選擇。（三）變式練習，內化策略僅僅掌握圍花圃的問題是不夠的，策略的生命力在于遷移和運用。為此，我設計了三個層次的變式練習，層層遞進。1.【基礎鞏固】“練一練”的變式：將條件改為“用20根1米長的木條圍一個長方形花圃”1。要求學生不操作，直接根據例題的經驗在練習本上列表列舉。這一環節旨在檢驗學生對列舉基本步驟的掌握情況，即先求長+寬的和（10米），再有序列舉（寬1長9，寬2長8，寬3長7，寬4長6，寬5長5）。完成后，同桌互相檢查，重點檢查是否有序、有無遺漏。2.【難點提升】“靠墻圍”的變式：課件出示新問題：“如果王大叔的這22根木條，是靠著一條筆直的墻來圍一個長方形花圃（只需圍三面），怎樣圍面積最大？”11.3.分析差異，調整策略：這個問題是對原有認知結構的強烈沖擊。我組織學生小組討論：“條件和原來有什么不同？長和寬還滿足‘長+寬=11米’嗎？”引導學生畫出草圖，理解此時“長+2×寬=22米”（或2×長+寬=22米）。這是一個二元一次不定方程，但我們可以用列舉的策略來解決。我引導學生從假設寬為1米開始，依次列舉：1.2.4.寬1米，則長20米，面積20平方米。2.3.5.寬2米，則長18米，面積36平方米。3.4.6.寬3米，則長16米，面積48平方米。4.5.7.……5.6.8.寬5米，則長12米，面積60平方米。6.7.9.寬6米，則長10米，面積60平方米。7.8.10.寬7米，則長8米，面積56平方米。9.11.發現新規律：通過列舉，學生驚訝地發現，這一次當寬是5米和6米時，都得到了面積60平方米的最大值。通過觀察數據，引導學生發現新的規律：當長方形周長（三邊之和）一定時，長和寬的數據越接近（實際上是當長為寬的2倍時，但在此問題中，表現為長和寬的組合變化），面積不一定只有一個最大值。這個變式極大地拓展了學生的思維邊界，讓他們明白列舉策略的靈活性，以及具體問題必須具體分析的道理。12.【熱點應用】“比賽場次”與“路線問題”：1.13.比賽場次：出示問題“有4支球隊進行足球比賽，每兩支球隊比賽一場，一共要賽多少場？”7引導學生討論如何列舉。有的學生會用“文字列舉”法：AB、AC、AD、BC、BD、CD；有的會用“畫圖連線”法：畫4個點代表4支球隊，然后兩點之間連一條線，數一數線的條數。我引導學生比較這兩種方法，理解“畫圖列舉”更加直觀，是解決此類“組合”問題的利器。2.14.路線問題：出示一張標有“學校”和“少年宮”以及幾個路口的網格圖（或街道圖），提出問題：“小明從學校到少年宮，如果只能向東或向北走，一共有多少種不同的走法？”58這是一個經典的“標數法”問題，但本質也是列舉策略的體現。引導學生用“逐點標數”的方法，理解到達每一個路口的路徑數等于到達其左邊和下邊兩個路口路徑數之和。從最初枚舉所有路徑，到發現規律直接計算，這是策略應用的又一次升華。（四）回顧整理，升華策略課末，我引導學生進行系統性的回顧。1.暢談體會：請學生閉上眼睛，在腦海中回顧一下今天的學習歷程。然后睜開眼睛，談談“通