現(xiàn)代信號(hào)處理教程（第三版）課件 第10章 離散小波變換的多分辨率分析

10.1多分辨率分析的引入10.2多分辯率分析的定義10.3空間、中信號(hào)的分解10.4二尺度差分方程10.5二尺度差分方程與共軛正交濾波器組10.6Mallat算法10.7Mallat算法的實(shí)現(xiàn)10.8小波變換小結(jié)

第10章離散小波變換的多分辨率分析離散化離散小波變換和小波級(jí)數(shù)，式中仍是連續(xù)的如何得到離散序列的小波變換(DSWT)?此式在文獻(xiàn)上看不到，原因是實(shí)際應(yīng)用中有困難：（1）除少數(shù)的母小波外，大多數(shù)小波無(wú)閉合的表達(dá)式，所以不易簡(jiǎn)單地利用來(lái)得到離散小波；

（2）按上式求出的小波變換往往不具有移不變性；（3）當(dāng)令時(shí)不一定是整數(shù)，使實(shí)現(xiàn)起來(lái)有困難

在80年代后期，由Mallat,Meyer等創(chuàng)建的“多分辨率算法”有效的解決了離散序列的小波變換問(wèn)題，它也是小波變換的快速算法。MATLAB中的DWT，實(shí)際上就是Mallat算法。10.1多分辨率分析的引入現(xiàn)舉例來(lái)說(shuō)明多分辨率分析的基本概念：例顯然，的整數(shù)位移相互之間是正交的，即

構(gòu)成一組正交基令記：設(shè)：是在中的投影記：加權(quán)系數(shù)則:伸縮、位移，并離散化在空間對(duì) 的近似離散序列下面證明：同尺度下尺度函數(shù)的整數(shù)移位也是正交的，即

作伸縮和移位所產(chǎn)生的即：證明：因?yàn)椋毫睿核裕核裕毫睿寒?dāng)然是兩兩正交的以上結(jié)果表明，對(duì)Haar函數(shù)，在同一尺度下，其整數(shù)位移之間是兩兩正交的。記張成的空間為

在中的投影

加權(quán)系數(shù)每一個(gè)空間都有一組正交基思考:空間和，那一個(gè)對(duì)的近似要好？顯然，越小，對(duì)的近似越好，也即分辨率越好。如：好于，并有：完全逼近逼近誤差無(wú)窮大可以想象，低分辨率的基函數(shù)（如）完全可以由高一級(jí)分辨率的基函數(shù)（如）所決定

顯然：或者：低分辨率的空間（如）應(yīng)包含在高分辨率的空間中（如），即從信號(hào)的逼近看，有兩個(gè)相鄰空間逼近之差，應(yīng)是一些細(xì)節(jié)概貌如何得到細(xì)節(jié)？含義：在高分辨率基函數(shù)所形成的空間中的近似等于它在低分辨率空間中的近似再加上某些細(xì)節(jié)。

取一基本函數(shù)：Haar小波請(qǐng)自己證明：同一尺度下整數(shù)位移具有正交性從圖上可看出如下關(guān)系記：則：

是在 中的投影

是在 中的投影離散細(xì)節(jié)由可有：直和：互為正交補(bǔ)將上述思路推廣，有：并且：由此，同時(shí)使用了兩個(gè)函數(shù)，即和，并由它們的伸縮與移位形成了在不同尺度下的正交基。對(duì)作概貌近似的函數(shù)稱為“尺度函數(shù)”，而對(duì)作細(xì)節(jié)近似的函數(shù) 稱為小波函數(shù)。

在尺度正交基空間細(xì)節(jié)離散細(xì)節(jié)概貌離散概貌以上的討論引入了空間逐級(jí)分解的概念；每一個(gè)空間存在正交基的概念例兩通道分析濾波器組：頻帶剖分由頻帶剖分來(lái)理解空間剖分：樹狀濾波器組頻率軸剖分所以，從頻率軸的剖分也可引出空間的剖分：濾波器組對(duì)信號(hào)分解的特點(diǎn)：1.恒性思考一個(gè)問(wèn)題：在多級(jí)濾波器組中，每一級(jí)都有二抽取，因此各級(jí)工作在不同的抽樣頻率下，因此，每一級(jí)所需要的濾波器應(yīng)有不同的通帶和阻帶，但是，為什么各級(jí)的濾波器都是和？假定：第一級(jí)的：歸一化頻率對(duì)第二級(jí)：二抽取后:濾波器保持不變2．各級(jí)濾波器的一致性多級(jí)濾波器組中各級(jí)的濾波器都是同一組濾波器，即都是 和，這一方面體現(xiàn)了樹狀濾波器組中各級(jí)濾波器的一致性，也深刻體現(xiàn)了上述空間剖分的特點(diǎn)。于是有：10.2多分辯率分析的定義設(shè)是空間中的一系列閉合子空間，如果它們滿足如下六個(gè)性質(zhì)，則說(shuō)，是一個(gè)多分辨率近似。

定義：2.有即1．，若

則4．

3.若則5.以上定義由Mallat給出6．存在一個(gè)基本函數(shù),使得

是中的Riesz基。關(guān)于以上六個(gè)性質(zhì)的說(shuō)明：性質(zhì)1說(shuō)明:空間對(duì)于正比于尺度的位移具有不變性，也即函數(shù)的時(shí)移不改變其所屬的空間。即

性質(zhì)2和3

是明顯的，具體解釋見教材。性質(zhì)4說(shuō)明:當(dāng)時(shí)，分辨率，這時(shí)我們將會(huì)失去的所有信息，也即等效交集為零性質(zhì)5：是性質(zhì)4的另一面，即當(dāng)時(shí)，分辯率，那么信號(hào)在該尺度下的近似將收斂于它自身，即等效并集收斂到整個(gè)空間性質(zhì)6說(shuō)明了：中Riesz基的存在性問(wèn)題，并要由此引出中正交基的存在性問(wèn)題，因此，需要加以證明。是中Riesz基的充要式中是的傅里葉變換.定理10.1條件是存在常數(shù)使得先說(shuō)明一下Riesz基：一組向量（函數(shù)）信號(hào)分解線性無(wú)關(guān)分解系數(shù)有界Riesz基本身是一個(gè)標(biāo)架，但它比一般的標(biāo)架的要求要高，但它又比正交基要求低。

證明：對(duì)任意的

，作如下分解：兩邊作傅里葉變換，有FT和DTFT混合的形式

要證明的是：（1）如果(A)式成立，必有：(A)由Riesz基的條件：所以是一組Riesz基；（2）反過(guò)來(lái)，若是一組Riesz基；則由Riesz基的條件，必有則是中的正交歸一基。是產(chǎn)生Riesz基的基本函數(shù)的傅里葉變換。

令是一多分辨分析空間序列，是一尺度函數(shù)，若其傅里葉變換可由下式給出：定理10.2并令如果是正交基證明：定理10.1已證明

中的Riesz基有界低通函數(shù)帶通函數(shù)總結(jié)：1．子空間10.3空間、中信號(hào)的分解

在中的投影

在中的離散逼近，或 時(shí)的概貌2．子空間

在中的投影

在中的離散逼近，或時(shí)的概貌3．子空間帶通函數(shù)小波函數(shù)正交基

在中的投影

在級(jí)時(shí)的小波系數(shù)，也即小波變換。它是信號(hào)在級(jí)下的離散細(xì)節(jié)。的關(guān)系：或：

以上關(guān)系反映了兩個(gè)互為正交補(bǔ)的空間對(duì)信號(hào)近似的關(guān)系，這一級(jí)和上一級(jí)的近似關(guān)系。這一結(jié)論可推廣到任意相鄰的兩級(jí)。4．對(duì)子空間10.4二尺度差分方程

中的元素中的元素也都屬于，因此可以用其中的基來(lái)表示加權(quán)系數(shù)因?yàn)樗远叨炔罘址匠?/p>

由往遞推，有二尺度差分方程

如何求出加權(quán)序列？令：上式揭示了一個(gè)重要的關(guān)系，即與無(wú)關(guān)，它對(duì)任意兩個(gè)相鄰級(jí)都適用。即由的二尺度差分方程求出的適用于取任何整數(shù)時(shí)的二尺度差分方程。類似于前述的兩通道濾波器組，對(duì)應(yīng)低通，對(duì)應(yīng)高通，且在每一級(jí)，保證不變。如果這一設(shè)想是正確的，那就把小波變換和濾波器組聯(lián)系了起來(lái)。再分析例10.1.1和圖10.1.1～10.1.4，顯然有：低通特性高通特性Haar小波及其尺度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的濾波器的系數(shù)

二尺度差分方程的頻域關(guān)系FT頻域關(guān)系兩邊分別對(duì)積分,因?yàn)?

：低通：帶通進(jìn)一步顯示濾波器 的低通和高通特性

建立了由濾波器得到尺度函數(shù)和小波的關(guān)系二尺度差分方程的頻域關(guān)系之一例令：即：則：例令：即：則：多數(shù)情況下要靠迭代求解10.5二尺度差分方程與正交濾波器組定理10.5.1

設(shè),分別是多分辨率分析中的尺度函數(shù)和小波函數(shù)，分別是滿足二尺度差分方程的濾波器，則由于是中的正交歸一基，所以

證明：先證明將代入即：令奇、偶項(xiàng)分開：利用了周期性

令有：所以：同理可證明另外兩個(gè)關(guān)系共軛正交鏡像濾波器組（CQMFB)的基本關(guān)系，即功率互補(bǔ)關(guān)系結(jié)論：滿足小波變換多分辨率分析中二尺度差分方程的、

正是一對(duì)共軛正交濾波器組。這樣，我們就把小波變換和濾波器組聯(lián)系了起來(lái)，從而為離散信號(hào)的小波變換的快速實(shí)現(xiàn)提供了有效的途徑。關(guān)于“＝1”和“＝2”的解釋：對(duì)CQMFB,有：如果：則：如果：則：總結(jié)：1．在中總存在，使構(gòu) 成中的Riesz基；2.由Riesz基可得到中的正交歸一基，再：

3．把視為的正交補(bǔ)，開得到正交歸一基4.用對(duì)作分解，得到多分辨率分析；5.由空間隸屬關(guān)系得到二尺度差分方程，方程 的系數(shù)正好構(gòu)成一對(duì)CQMFB

令是一多分辨分析，是中的正交基。定理10.5.2是CQMFB，若則存在小波函數(shù)使中正交基中正交基

在多分辨率分析中，有兩個(gè)問(wèn)題尚需證明，一是空間正交基的存在性，二是和中兩組正交基的相互正交性。令是一多分辨分析，是中的正交基,則定理10.5.3或欲證明該定理，只需證明如下關(guān)系成立即可10.6Mallat算法令，是多分辨率分析中的離散逼近系數(shù)，，是二尺度差分方程的兩個(gè)濾波器，則存在如下遞推關(guān)系：定理10.6.1式中Mallat算法的含意：正體現(xiàn)了二抽取的作用當(dāng)逐漸增大時(shí)，即實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的多分辨率分解Mallat多分辨率分解的實(shí)現(xiàn)注意：圖中沒(méi)有涉及到離散信號(hào)，且之前討論的還是。?DTWT證明：令可用來(lái)表示即由有將上式兩邊分別和作內(nèi)積：左邊右邊所以：請(qǐng)自己證明第二個(gè)式中Mallat多分辨率分析的思路：

（1）從濾波器組的角度看

實(shí)現(xiàn)了對(duì)頻帶的逐級(jí)剖分。一方面保證了各 子頻帶的恒Q性，另一方面又保證了和在各級(jí)的不變性；（2）記所處的頻帶為空間，處于 ,處于，由其頻帶的性質(zhì)，顯然（3）把對(duì)離散信號(hào)的小波變換歸結(jié)到逐級(jí)的線性卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)。若，系數(shù)不是太長(zhǎng)，卷積可在時(shí)域直接實(shí)現(xiàn)，也可用DFT及FFT來(lái)實(shí)現(xiàn)。小波反變換

若，按定理10.6.1得到，則可由下式重建：

定理10.6.2由級(jí)重建第級(jí)小波反變換證明：因?yàn)樗?，?duì)任一可作如下分解：兩邊做內(nèi)積：用于分解和重建的濾波器都是，而在一般的兩通道濾波器組中，用于重建的是；分解時(shí)，需要翻轉(zhuǎn)，重建時(shí)不需要；分解時(shí)需要二抽取，重建時(shí)需要二插值。注意：10.7Mallat算法的實(shí)現(xiàn)

1.初始化問(wèn)題未知，且不涉及不等于？（1）由Shannon抽樣定理引出和的關(guān)系

抽樣定理：由 重建近似做卷積，可得到（2）由的逆濾波器求

實(shí)際工作中，多是選擇：2.數(shù)據(jù)逐級(jí)減少問(wèn)題由于每一級(jí)濾波器后都有一個(gè)二抽取環(huán)節(jié)，這樣，每一級(jí)分解后和的數(shù)據(jù)就要比 和減少一半。當(dāng)較大時(shí)，數(shù)據(jù)量的減少也是很可觀的?？捎脙煞N辦法解決：（1）.逐點(diǎn)計(jì)算；（2）.采用“多孔算法（

trousalgorithm）”（1）.逐點(diǎn)計(jì)算

（2）.“多孔算法（Atrousalgorithm）”

每?jī)牲c(diǎn)補(bǔ)一個(gè)0

每?jī)牲c(diǎn)補(bǔ)三個(gè)0“多孔”算法抽取環(huán)節(jié)移到最后總結(jié)：1.連續(xù)小波變換（CWT）

都是連續(xù)的；在做CWT時(shí)，可取非整數(shù)，即按實(shí)際分辨率的需要取粗或取細(xì)；2.離散柵格上的小波變換（DWT）dyadic小波DWT小波級(jí)數(shù)3.離散序列的小波變換（DSWT）

（1）除少數(shù)的母小波外，大多數(shù)小波無(wú)閉合的表達(dá)式，所以不易簡(jiǎn)單地利用來(lái)得到離散小波；原因：無(wú)法直接應(yīng)用引出Mallat算法

（2）當(dāng)令不一定是整數(shù)，實(shí)現(xiàn)困難（3）按上式求出的小波變換往往不具有移不變性；整數(shù)？4.有關(guān)Mallat算法的說(shuō)明：尺度的伸縮在Mallat算法中是如何體現(xiàn)的？（3）體現(xiàn)了尺度的伸縮（1）低通帶通低通高通（2）正交正交共軛正交

其中f1=1Hz,f2=20Hz，f3=40Hz,fs=200Hz,這樣保證了對(duì)每一個(gè)正弦分量都可采到整周期。設(shè)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度取400點(diǎn)，現(xiàn)希望能將的抽樣中的三個(gè)正弦信號(hào)分離出來(lái)。例設(shè)信號(hào)a1(n)H1(z)↓2H0(z)↓2H1(z)↓2H0(z)↓2H0(z)↓2H1(z)↓2x(n)d1(n)d3(n)a3(n)d2(n)a2(n)信號(hào)二進(jìn)制分解的實(shí)現(xiàn)

現(xiàn)在我們用二等分的方法將其頻帶逐級(jí)分開

f1=1Hz,f2=20Hzf3=40Hz有關(guān)MATLAB文件：WAVEFUN

：產(chǎn)生小波函數(shù)和尺度函數(shù).[PHI,PSI,XVAL]=WAVEFUN('wname',ITER)

時(shí)間軸點(diǎn)數(shù)小波名稱分解重建用于雙正交小波[PHI1,PSI1,PHI2,PSI2,XVAL]=WAVEFUN('wname',ITER)WFILTERS

產(chǎn)生與小波對(duì)應(yīng)的濾波器組

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=WFILTERS('wname')LO_D,thedecompositionlow-passfilterHI_D,thedecompositionhigh-passfilterLO_R,thereconstructionlow-passfilterHI_R,thereconstructionhigh-passfilter

ORTHFILT：產(chǎn)生正交小波濾波器組

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=ORTHFILT(W)

尺度函數(shù)BIORFILT

：產(chǎn)生雙正交小波對(duì)應(yīng)的濾波器組

[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=BIORFILT(DF,RF)LO_DDecompositionlow-passfilterHI_DDecompositionhigh-passfilterLO_RReconstructionlow-passfilterHI_RReconstructionhigh-passfilter[LO_D1,HI_D1,LO_R1,HI_R1,LO_D2,HI_D2,LO_R2,HI_R2] =BIORFILT(DF,RF,'8')

返回8個(gè)濾波器，前四個(gè)對(duì)應(yīng)分解小波，后四個(gè)對(duì)應(yīng)重建小波DWT

：?jiǎn)渭?jí)一維離散小波變換

[CA,CD]=DWT(X,'wname')CA：概貌

CD：細(xì)節(jié)

[CA,CD]=DWT(X,Lo_D,Hi_D)Lo_Disthedecompositionlow-passfilter.Hi_Disthedecompositionhigh-passfilter.Lo_DandHi_Dmustbethesamelength.WAVEDEC：

Multi-level1-Dwaveletdecomposition.WAVEDECperformsamultilevel1-Dwaveletanalysisusingeitheraspecificwavelet'wname'oraspecificsetofwaveletdecompositionfilters(seeWFILTERS).

[C,L]=WAVEDEC(X,N,'wname')returnsthewaveletdecompositionofthesignalXatlevelN,using'wname'.

Nmustbeastrictlypositiveinteger(seeWMAXLEV).TheoutputdecompositionstructurecontainsthewaveletdecompositionvectorCandthebookkeepingvectorL.APPCOEF

：得到1－D信號(hào)的概貌A=APPCOEF(C,L,'wname',N)computestheapproximatiocoefficientsatlevelNusingthewaveletdecompositionstructure[C,L](seeWAVEDEC).'wname'isastringcontainingthewaveletname.LevelNmustbeanintegersuchthat0<=N<=length(L)-2.

A=APPCOEF(C,L,'wname')extractstheapproximationcoefficientsatthelastlevellength(L)-2.DETCOEFExtract1-Ddetailcoefficients.D=DETCOEF(C,L,N)extractsthedetailcoefficientsatlevelNfromthewaveletdecompositionstructure[C,L].SeeWAVEDECformoreinformationonC