2026年高考數學函數專題訓練試卷

2026年高考數學函數專題訓練試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知函數f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，則f(x)的最小值為（）A．1B．2C．3D．4解析：函數f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示數軸上點x到點1和點－2的距離之和，當x在區間[－2，1]內時，距離之和最小，為3，故選C。2.函數f(x)＝sin(2x＋φ)在區間[0，π]上單調遞增，則φ的取值范圍是（）A．[－π，0]B．[0，π]C．[－π/2，π/2]D．[－3π/2，－π/2]解析：由2kπ－π/2≤2x＋φ≤2kπ＋π/2，k∈Z，得kπ－π/2－φ≤x≤kπ＋π/2－φ，k∈Z，函數在[0，π]上單調遞增需滿足0≤kπ－π/2－φ且kπ＋π/2－φ≥π，解得φ∈[－π，0]，故選A。3.若函數f(x)＝x3－ax＋1在x＝1處取得極值，則a的值為（）A．3B．2C．1D．0解析：f′(x)＝3x2－a，由f′(1)＝0得3－a＝0，解得a＝3，驗證f′(x)在x＝1兩側異號，故選A。4.函數f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定義域為（）A．(－∞，1)B．[1，＋∞)C．(－1，3)D．(－∞，1)∪(1，＋∞)解析：由x2－2x＋3＞0得Δ＝4－12＜0，函數在R上恒成立，定義域為R，故選D。5.函數f(x)＝e^x－ax在x＝1處取得最小值，則a的值為（）A．eB．e2C．1/eD．1/e2解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e，驗證f′(x)在x＝1左側為負，右側為正，故選A。6.函數f(x)＝2cos2x－sin(2x)的值域為（）A．[－1，3]B．[－3，3]C．[－2，2]D．[－1，2]解析：f(x)＝1＋cos(2x)－sin(2x)＝1＋√2sin(2x－π/4)，值域為[1－√2，1＋√2]，即[－1，3]，故選A。7.函數f(x)＝x＋1/x在區間[1，e]上的最小值為（）A．2B．1＋1/eC．e＋1/eD．3解析：f′(x)＝1－1/x2，在[1，e]上單調遞增，最小值在x＝1處取得，為2，故選A。8.函數f(x)＝x2＋2ax＋1在x＝1處的切線斜率為－4，則a的值為（）A．－1B．－3C．1D．3解析：f′(x)＝2x＋2a，由f′(1)＝－4得2＋2a＝－4，解得a＝－3，故選B。9.函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|的圖像與x軸所圍成的圖形的面積為（）A．1B．2C．3D．4解析：函數分段為f(x)＝{2x－3,x＜1;1,1≤x≤2;3－2x,x＞2}，面積＝∫[0,1](2x－3)dx＋∫[1,2]1dx＋∫[2,3](3－2x)dx＝1，故選A。10.函數f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)的最小正周期為（）A．2πB．πC．2π/3D．π/3解析：f(x)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cosx＝sin(x＋π/6)，周期為2π，故選A。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)＝ln(2x－1)的定義域為________。參考答案：(1/2,+∞)解析：由2x－1＞0得x＞1/2，定義域為(1/2,+∞)。2.函數f(x)＝e^x－2x在x＝0處的二階導數為________。參考答案：2解析：f′(x)＝e^x－2，f′′(x)＝e^x，f′′(0)＝1－2＝2。3.函數f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的最小正周期為________。參考答案：π解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，周期為π。4.函數f(x)＝x3－3x＋1的極值點為________。參考答案：1解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0得x＝±1，f′(x)在x＝1左側為負，右側為正，x＝1為極小值點。5.函數f(x)＝|x－1|在區間[－1，2]上的最大值為________。參考答案：2解析：f(x)分段為f(x)＝{2－x,x∈[－1,1];x－1,x∈[1,2]}，最大值在x＝－1處取得，為2。6.函數f(x)＝2cos(x－π/4)的圖像向右平移π/2個單位后得到的函數解析式為________。參考答案：2cos(x－3π/4)解析：平移后f(x)＝2cos[(x－π/2)－π/4]＝2cos(x－3π/4)。7.函數f(x)＝x2＋2x＋3在區間[－2，1]上的最小值為________。參考答案：2解析：f(x)在[－2，1]上單調遞減，最小值在x＝1處取得，為6。8.函數f(x)＝sin(x＋π/3)＋cos(x－π/6)的最小正周期為________。參考答案：2π解析：f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)，周期為2π。9.函數f(x)＝ln(x2－x)的值域為________。參考答案：(－∞,0)解析：由x2－x＞0得x∈(－∞,0)∪(1,+∞)，ln(x2－x)在(1,+∞)上單調遞增，值域為(－∞,0)。10.函數f(x)＝|x|在區間[－1，1]上的積分值為________。參考答案：1解析：∫[－1,1]|x|dx＝2∫[0,1]xdx＝1。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.函數f(x)＝sin(2x)在區間[0，π]上單調遞減。參考答案：×解析：f(x)在[0，π/2]上單調遞增，在[π/2，π]上單調遞減。2.函數f(x)＝x3－3x＋1在x＝0處取得極值。參考答案：×解析：f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3≠0，x＝0不是極值點。3.函數f(x)＝e^x在R上單調遞增。參考答案：√解析：f′(x)＝e^x＞0，函數在R上單調遞增。4.函數f(x)＝cos(2x)的最小正周期為π。參考答案：√解析：周期為π。5.函數f(x)＝ln(x－1)在x＝2處的導數為1。參考答案：√解析：f′(x)＝1/(x－1)，f′(2)＝1。6.函數f(x)＝|x|在區間[－1，1]上的積分值為0。參考答案：×解析：∫[－1,1]|x|dx＝1。7.函數f(x)＝sin(x＋π/2)的最小正周期為2π。參考答案：√解析：周期為2π。8.函數f(x)＝x2－4x＋4在R上單調遞減。參考答案：×解析：函數在[2,+∞)上單調遞增。9.函數f(x)＝|x－1|在x＝1處取得極小值。參考答案：√解析：f′(x)在x＝1兩側異號，取得極小值。10.函數f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的最小正周期為π。參考答案：√解析：周期為π。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.求函數f(x)＝x3－3x＋2的單調區間。參考答案：在(－∞,1)上單調遞增，在(1,＋∞)上單調遞增。解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，由f′(x)＞0得x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)，由f′(x)＜0得x∈(－1,1)，單調區間為(－∞,－1)和(1,＋∞)。2.求函數f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)的值域。參考答案：[－√2,√2]解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，值域為[－√2,√2]。3.求函數f(x)＝ln(x2－2x＋3)的定義域。參考答案：R解析：由x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立，定義域為R。4.求函數f(x)＝e^x－ax在x＝1處取得極值時a的值。參考答案：a＝e解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e。5.求函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|的最小值。參考答案：1解析：函數在x＝1.5處取得最小值，為1。6.求函數f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)的解析式。參考答案：sinx解析：f(x)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cosx＝sinx。7.求函數f(x)＝x2＋2x＋3在區間[－2，1]上的最大值。參考答案：8解析：f(x)在[－2，1]上單調遞增，最大值在x＝1處取得，為8。8.求函數f(x)＝cos(2x)的圖像向左平移π/4個單位后得到的函數解析式。參考答案：cos(2x＋π/2)解析：平移后f(x)＝cos[2(x＋π/4)]＝cos(2x＋π/2)。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知函數f(x)＝x3－3x＋2，求f(x)在區間[－2，2]上的最大值和最小值。參考答案：最大值5，最小值－4解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，駐點為x＝±1，f(－2)＝0，f(－1)＝4，f(1)＝0，f(2)＝5，最大值5，最小值－4。2.已知函數f(x)＝sin(2x)＋cos(2x)，求f(x)在區間[0，π/2]上的最大值和最小值。參考答案：最大值√2，最小值0解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，在[0，π/2]上，2x＋π/4∈[π/4,5π/4]，最小值在x＝π/4處取得，為0，最大值在x＝0處取得，為√2。3.已知函數f(x)＝x2＋2ax＋1在x＝1處的切線斜率為4，求a的值。參考答案：a＝1解析：f′(x)＝2x＋2a，由f′(1)＝4得2＋2a＝4，解得a＝1。4.已知函數f(x)＝ln(x－1)在x＝2處的切線方程。參考答案：y＝x－1解析：f′(x)＝1/(x－1)，f′(2)＝1，f(2)＝0，切線方程為y＝x－1。5.已知函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|，求f(x)在區間[－1，3]上的積分值。參考答案：5解析：∫[－1,1](2－x)dx＋∫[1,2]1dx＋∫[2,3](3－2x)dx＝5。6.已知函數f(x)＝sin(x＋π/6)cos(x－π/3)，求f(x)的最小正周期。參考答案：π解析：f(x)＝sinx，周期為π。7.已知函數f(x)＝x3－ax＋1在x＝1處取得極值，求f(x)的單調區間。參考答案：在(－∞,1)上單調遞減，在(1,＋∞)上單調遞增解析：f′(x)＝3x2－a，由f′(1)＝0得a＝3，f′(x)＝3(x－1)(x＋1)，單調區間為(－∞,－1)和(1,＋∞)。8.已知函數f(x)＝e^x－ax在x＝1處的切線方程。參考答案：y＝(e－a)(x－1)＋e解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得a＝e，f(1)＝e－e＝0，切線方程為y＝(e－e)(x－1)＋e＝e。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.C2.A3.A4.D5.A6.A7.A8.B9.A10.A解析：1.數軸上點x到點1和點－2的距離之和最小為3；2.由2kπ－π/2≤2x＋φ≤2kπ＋π/2得φ∈[－π,0]；3.f′(1)＝0且f′(x)在x＝1兩側異號；4.x2－2x＋3＞0恒成立；5.f′(1)＝0且f′(x)在x＝1兩側異號；6.f(x)＝1＋√2sin(2x－π/4)；7.f′(x)在[1,e]上單調遞增；8.f′(1)＝－4；9.分段函數面積＝∫[0,1](2x－3)dx＋∫[1,2]1dx＋∫[2,3](3－2x)dx＝1；10.f(x)＝sin(x＋π/6)。二、填空題1.(1/2,+∞)12.213.π14.115.216.2cos(x－3π/4)17.218.2π19.(－∞,0)20.1解析：11.2x－1＞0；12.f′′(0)＝2；13.f(x)＝√2sin(2x＋π/4)；14.f′(1)＝0且f′(x)在x＝1兩側異號；15.f(x)分段為f(x)＝{2－x,x∈[－1,1];x－1,x∈[1,2]}；16平移后f(x)＝2cos[(x－π/2)－π/4]＝2cos(x－3π/4)；17.f(x)在[－2,1]上單調遞減；18.f(x)＝sinx＋cosx＝√2sin(x＋π/4)；19.x2－x＞0；20.∫[－1,1]|x|dx＝2∫[0,1]xdx。三、判斷題1.×22.×23.√24.√25.√26.×27.√28.×29.√30.√解析：21.2x∈[0,2π]，sin(2x)在[0,π]上單調遞增，在[π,2π]上單調遞減；22.f′(0)＝－3≠0；23.f′(x)＝e^x＞0；24周期為π；25.f′(2)＝1；26.∫[－1,1]|x|dx＝1；27.f(x)＝sin(x＋π/2)＝cosx，周期為2π；28.f(x)在[2,+∞)上單調遞增；29.f′(x)在x＝1兩側異號；30周期為π。四、簡答題1.單調區間為(－∞,－1)和(1,＋∞)解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，由f′(x)＞0得x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)，由f′(x)＜0得x∈(－1,1)，單調區間為(－∞,－1)和(1,＋∞)。2.值域為[－√2,√2]解析：f(x)＝√2sin(2x＋π/4)，值域為[－√2,√2]。3.定義域為R解析：由x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0恒成立，定義域為R。4.a＝e解析：f′(x)＝e^x－a，由f′(1)＝0得e－a＝0，解得a＝e。5.最小值為1解析：函數在x＝1.5處取得最小值，為1。6.解析式為sinx解析：f(x)＝(√3/2)sinx＋(1/2)cos