2026年高考數學復數專題訓練試卷

2026年高考數學復數專題訓練試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.已知復數z滿足|z+1|+|z-1|=4，則z在復平面內對應的軌跡是（）A.以（-1，0）、（1，0）為焦點的橢圓B.以（-1，0）、（1，0）為端點的射線C.以（-1，0）、（1，0）為頂點的等腰梯形D.以（-1，0）、（1，0）為頂點的正方形解析：由復數模的幾何意義知，|z+1|+|z-1|=4表示到點-1和點1的距離之和為4的點的集合。根據橢圓定義，當兩定點距離小于定值時為橢圓，等于定值時為線段，大于定值時無軌跡。|-1-1|=2<4，故軌跡為橢圓。選項A正確。2.若復數z=1+i，則z3的虛部為（）A.0B.2C.-2D.4解析：z3=(1+i)3=1+3i+3i2+3i3=1+3i-3-i=-2+2i，虛部為2。選項B正確。3.已知復數ω=2cosθ+i（0≤θ＜2π），則|ω|+|ω2|的值等于（）A.2B.3C.4D.5解析：|ω|=√(4cos2θ+1)，|ω2|=|4cos2θ+2i|。由于|ω2|的實部為4cos2θ，虛部為2，故|ω2|=√(16cos?θ+4)。當θ=0時，|ω|=2，|ω2|=2，和為4；當θ=π/2時，|ω|=1，|ω2|=1，和為2。選項C正確。4.若復數z滿足z2+2z+4=0，則|z+1|2+|z-1|2的值等于（）A.4B.6C.8D.10解析：設z=a+bi，代入z2+2z+4=0得(a2-b2+2a+2bi)+2(a+bi)+4=0，解得a=-1，b=√3。則z=-1+√3i，|z+1|2+|z-1|2=|-√3i|2+|√3i-2|2=3+7=10。選項D正確。5.已知復數z?=2+i，z?=1-2i，則arg(z?z?)等于（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z?z?=(2+i)(1-2i)=4-3i，輻角為arctan(-3/4)，位于第四象限，故arg(z?z?)=7π/4。選項D正確。6.若復數z滿足|z-1|2+|z+1|2=4，則z在復平面內對應的軌跡是（）A.圓B.橢圓C.拋物線D.雙曲線解析：設z=x+yi，代入得(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=4，化簡得x2+y2=1，為圓。選項A正確。7.已知復數z?=1+i，z?=1-i，則z?/z?的模等于（）A.1/2B.1C.√2D.2解析：z?/z?=(1+i)/(1-i)=i，模為1。選項B正確。8.若復數z滿足z2+z+1=0，則z3+z2+z等于（）A.1B.-1C.0D.i解析：z3+z2+z=z(z2+z+1)=0。選項C正確。9.已知復數ω=cosα+i（0≤α＜2π），則|ω-1|2+|ω+1|2的值等于（）A.2B.4C.6D.8解析：|ω-1|2+|ω+1|2=(cosα-1)2+sin2α+(cosα+1)2+sin2α=2cos2α+2=4。選項B正確。10.若復數z?=1+i，z?=1-i，則z?2+z?2+z?z?等于（）A.0B.2C.4D.6解析：z?2+z?2+z?z?=(1+i)2+(1-i)2+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。選項B正確。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若復數z=1+i，則z的平方根為__________。參考答案：√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i解析：設z=a+bi，則(a+bi)2=1+i，解得a=√2/2，b=√2/2或a=-√2/2，b=-√2/2。2.若復數ω=2+i，則ω的共軛復數為__________。參考答案：2-i解析：共軛復數是將虛部取相反數。3.若復數z滿足|z|=2且argz=π/3，則z的代數形式為__________。參考答案：√3+i解析：z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=√3+i。4.若復數z?=1+i，z?=1-i，則z??z?的模為__________。參考答案：√2解析：z??z?=2，模為2。5.若復數z滿足z2=1，則z的輻角主值為__________。參考答案：0或π解析：z=±1，輻角主值為0或π。6.若復數ω=cosα+i（0≤α＜2π），則|ω-1|2的值為__________。參考答案：2-2cosα解析：|ω-1|2=(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα。7.若復數z?=2+i，z?=1-2i，則z?/z?的虛部為__________。參考答案：4/5解析：z?/z?=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i，虛部為7/5。8.若復數z滿足|z-1|+|z+1|=4，則z在復平面內對應的軌跡的焦點距為__________。參考答案：2解析：軌跡為橢圓，焦點距為2。9.若復數ω=1+i，則ω?的實部為__________。參考答案：0解析：ω?=4，實部為0。10.若復數z?=1+i，z?=1-i，則|z?+z?|2+|z?-z?|2的值為__________。參考答案：8解析：|z?+z?|2+|z?-z?|2=|2|2+|2i|2=4+4=8。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.若復數z?=1+i，z?=1-i，則z??z?=2。（）解析：z??z?=(1+i)(1-i)=1-i2=2，正確。2.若復數z的模為1，則z的平方的模也為1。（）解析：|z|2=1，|z2|=|z|2=1，正確。3.若復數z?+z?=0，則z?和z?互為共軛復數。（）解析：z?=-z?，但未必有虛部相反，如z?=2i，z?=-2i，正確。4.若復數z滿足|z|=1，則z的平方根的模也為1。（）解析：z2的模為1，z2的平方根模為1，正確。5.若復數z?和z?的輻角主值分別為α和β，則z?/z?的輻角主值為α-β。（）解析：arg(z?/z?)=arg(z?)-arg(z?)，正確。6.若復數z滿足z2=1，則z=±1。（）解析：z2-1=0，解得z=±1，正確。7.若復數z?和z?的模相等，則z?和z?互為共軛復數。（）解析：|z?|=|z?|，但未必有虛部相反，如z?=1+i，z?=1-i，錯誤。8.若復數z?+z?=0，則z?和z?的輻角主值之和為π。（）解析：z?=-z?，輻角主值之和為π或2π，錯誤。9.若復數z?和z?的輻角主值分別為α和β，則z??z?的輻角主值為α+β。（）解析：arg(z??z?)=arg(z?)+arg(z?)，正確。10.若復數z滿足|z|=2且argz=π/3，則z的代數形式為2(cosπ/3+isinπ/3)。（）解析：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i，正確。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.已知復數z=1+i，求z的平方根。解：設z=a+bi，則(a+bi)2=1+i，展開得a2-b2+2abi=1+i，解得a=√2/2，b=√2/2或a=-√2/2，b=-√2/2，故z的平方根為√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i。2.已知復數ω=cosα+i（0≤α＜2π），求|ω-1|2+|ω+1|2的值。解：|ω-1|2+|ω+1|2=(cosα-1)2+sin2α+(cosα+1)2+sin2α=2cos2α+2=4。3.已知復數z?=2+i，z?=1-2i，求z?/z?的模和輻角主值。解：z?/z?=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i，模為√(9/25+49/25)=√(58/25)=√58/5，輻角主值為arctan(7/3)。4.已知復數z滿足|z|=2且argz=π/3，求z的代數形式。解：z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。5.已知復數z?=1+i，z?=1-i，求z?2+z?2+z?z?的值。解：z?2+z?2+z?z?=(1+i)2+(1-i)2+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。6.已知復數ω=1+i，求ω?的值。解：ω=1+i，ω2=2i，ω?=(ω2)2=4i2=-4。7.已知復數z滿足|z-1|+|z+1|=4，求z在復平面內對應的軌跡方程。解：軌跡為以（-1，0）、（1，0）為焦點，長軸為4的橢圓，方程為x2/4+y2/3=1。8.已知復數z?=1+i，z?=1-i，求|z?+z?|2+|z?-z?|2的值。解：z?+z?=2，z?-z?=2i，|z?+z?|2+|z?-z?|2=|2|2+|2i|2=4+4=8。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.已知復數z?=1+i，z?=1-i，求z??z?的值。解：z??z?=(1+i)(1-i)=1-i2=2。2.已知復數ω=cosα+i（0≤α＜2π），求|ω-1|2的值。解：|ω-1|2=(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα。3.已知復數z?=2+i，z?=1-2i，求z?/z?的值。解：z?/z?=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i。4.已知復數z滿足|z|=2且argz=π/3，求z的代數形式。解：z=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。5.已知復數z?=1+i，z?=1-i，求z?2+z?2+z?z?的值。解：z?2+z?2+z?z?=(1+i)2+(1-i)2+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。6.已知復數ω=1+i，求ω?的值。解：ω=1+i，ω2=2i，ω?=(ω2)2=4i2=-4。7.已知復數z滿足|z-1|+|z+1|=4，求z在復平面內對應的軌跡方程。解：軌跡為以（-1，0）、（1，0）為焦點，長軸為4的橢圓，方程為x2/4+y2/3=1。8.已知復數z?=1+i，z?=1-i，求|z?+z?|2+|z?-z?|2的值。解：z?+z?=2，z?-z?=2i，|z?+z?|2+|z?-z?|2=|2|2+|2i|2=4+4=8。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.A2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.C9.B10.B二、填空題1.√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i2.2-i3.√3+i4.√25.0或π2.2-2cosα7.4/58.29.010.8三、判斷題1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、簡答題1.解：設z=a+bi，則(a+bi)2=1+i，展開得a2-b2+2abi=1+i，解得a=√2/2，b=√2/2或a=-√2/2，b=-√2/2，故z的平方根為√2/2+√2/2i或-√2/2-√2/2i。2.解：|ω-1|2+|ω+1|2=(cosα-1)2+sin2α+(cosα+1)2+sin2α=2cos2α+2=4。3.解：z?/z?=(2+i)/(1-2i)=3/5+7/5i，模為√(9/25+49/25)=√(58/25)=√58/5，輻角主值為arctan(7/3)。4.解：z=|z|(cosθ+isinθ)=2(cosπ/3+isinπ/3)=1+√3i。5.解：z?2+z?2+z?z?=(1+i)2+(1-i)2+(1+i)(1-i)=2i-2+1=1。6.解：ω=1+i，ω2=2i，ω?=(ω2)2=4i2=-4。7.解：軌跡為以（-1，0）、（1，0）為焦點，長軸為4的橢圓，方程為x2/4+y2/3=1。8.解：z?+z?=2，z?-z?=2i，|z?+z?|2+|z?-z?|2=|2|2+|2i|2=4+4=8。五、應用題1.解：z??z?=(1+i)(1-i)=1-i2=2。2.解：|ω-1|2=(cosα-1)2+sin2α=