31屆imo幾何試題及詳細解答

31屆imo幾何試題及詳細解答考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B?A,則a的取值集合為_______.(A){1,1/2}(B){1}(C){1/2}(D){0,1,1/2}2.函數f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為_______.(A)3(B)2(C)1(D)03.在等差數列{a_n}中,若a_1=5,a_4=10,則a_7的值為_______.(A)15(B)20(C)25(D)304.已知點P(x,y)在圓x^2+y^2=4上運動,則點P到直線x+y=0的距離的最大值為_______.(A)2√2(B)2(C)√2(D)15.設函數g(x)=e^x-x,則g(x)在區間(-∞,+∞)上_______.(A)單調遞增(B)單調遞減(C)先增后減(D)先減后增6.已知向量u=(1,k),v=(3,-2),若u⊥v,則k的值為_______.(A)-3/2(B)3/2(C)-2/3(D)2/37.不等式|2x-1|<3的解集為_______.(A)(-1,2)(B)(-2,1)(C)(-1,1)(D)(-2,2)8.已知三角形ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=3,b=4,c=5,則角B的大小為_______.(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°9.已知f(x)=sin(x+π/3),則f(π)的值為_______.(A)1/2(B)√3/2(C)-1/2(D)-√3/210.若復數z=1+i(其中i為虛數單位),則z^2的虛部為_______.(A)1(B)-1(C)2(D)-2二、多選題1.下列函數中，在其定義域內單調遞增的是_______.(A)y=x^2(B)y=2^x(C)y=log_2(x)(D)y=-x^32.下列命題中，正確的是_______.(A)若A?B,C?D,則A∪C?B∪D(B)若A?B,C?D,則A∩C?B∩D(C)若A?B,則B'?A'(D)若A?B,則A∪B=B3.下列不等式關系中，正確的是_______.(A)-2<-√3(B)log_3(2)<log_3(3)(C)(1/2)^(-3)>(1/2)^(-2)(D)sin(π/6)<cos(π/6)4.下列向量中，兩兩不共線的是_______.(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1)(D)(-1,-1)5.下列函數中，以π為最小正周期的奇函數是_______.(A)y=sin(x)(B)y=cos(x)(C)y=tan(x)(D)y=cot(x)三、填空題1.已知等比數列{b_n}中,b_1=1,b_3=8,則b_5的值為_______.2.已知函數f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=3,f(-1)=1,f(0)=-1,則a+b+c的值為_______.3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9,則圓C的圓心坐標為_______.4.已知函數g(x)=x^3-3x^2+2,則g(x)的單調遞增區間為_______.5.已知向量u=(3,4),v=(1,2),則向量u與向量v的夾角θ的余弦值為_______.四、解答題1.解方程x^2-5x+6=0.2.求函數f(x)=|x-2|+|x+1|的最大值和最小值.3.已知等差數列{a_n}中,a_1=2,d=3,求前n項和S_n.4.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0,求圓C的半徑和圓心坐標.5.已知函數f(x)=sin(2x+π/4),求f(x)的最小正周期和單調遞增區間.試卷答案一、選擇題1.D2.A3.B4.A5.A6.A7.C8.D9.B10.C二、多選題1.B,C2.B,D3.A,B,C4.C,D5.A,C三、填空題1.322.13.(1,-2)4.(-∞,1)5.3/5四、解答題1.解析：因式分解得(x-2)(x-3)=0,故x=2或x=3.答案：x=2,32.解析：函數圖像為折線段，在x=-1處取最小值3,在x=2處取最大值3.答案：最小值3,最大值33.解析：利用等差數列前n項和公式S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)=n/2*(4+3(n-1))=3n^2+n.答案：S_n=3n^2+n4.解析：配方法得(x-2)^2+(y+3)^2=16,故圓心為(2,-3),半徑為4.答案：圓心(2