高中數(shù)學(xué) 加練 綜合練2

綜合練2(分值：80分)一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.設(shè)集合M={x|2x≥1}，集合N={x|x2<4}，則M∪N等于()A.[0，2) B.(-∞，2)C.[0，+∞) D.(-2，+∞)答案D解析因?yàn)?x≥1=20，所以x≥0，所以M={x|x≥0}，因?yàn)閤2<4，所以-2<x<2，所以N={x|-2<x<2}，所以M∪N=(-2，+∞).2.若點(diǎn)A在雙曲線y29-x216=1的一條漸近線上，點(diǎn)B在圓(x-5)2+y2=r2(r>0)上，且|AB|的最小值等于1，則rA.1 B.3 C.2 D.3答案C解析由題意，雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0，則圓心(5，0)到漸近線的距離為d=3，故|AB|的最小值為d-r=1，所以r=2.3.已知0<β<α<π2，sin(α-β)=45，tanα-tanβ=2，則sinαsinβ等于(A.12 B.22 C.1答案C解析因?yàn)?<β<α<π2，所以0<α-β<π因?yàn)閟in(α-β)=45所以cos(α-β)=1-sin2(因?yàn)?=tanα-tanβ=sinαcosα-sinβcos所以cosαcosβ=25因?yàn)閏os(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=25+sinαsinβ=3則sinαsinβ=154.設(shè)函數(shù)f(x)=x+1x+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)P，則該曲線在點(diǎn)P處的切線方程為(A.y=-x B.y=-x-1C.y=0 D.y=x-1答案C解析令x+1x+2=0，即x(x+2)即(x+1)2=0，解得x=-1，故P(-1，0)，f'(x)=1-1(則f'(-1)=1-1(-1+2)則其切線方程為y-f(-1)=f'(-1)(x+1)，即y=0.5.某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)新節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為()A.12 B.18 C.20 D.60答案C解析根據(jù)題意，可分為兩類：①當(dāng)2個(gè)新節(jié)目插在5個(gè)節(jié)目中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)時(shí)，有C41A22=4×②當(dāng)2個(gè)新節(jié)目插在5個(gè)節(jié)目中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)時(shí)，有A42=4×3=12(種)方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有8+12=20(種)6.對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量a和b，定義：a⊕b=a·b|a|2+|b|2，a*b=a·b|b|2.若平面向量a，b滿足|a|>|b|>0，且a⊕b和A.1 B.32 C.1或74 D.1答案D解析因?yàn)閚4n∈設(shè)向量a和b的夾角為θ，因?yàn)閨a|>|b|>0，所以|a|2+|b|2>2|a||b|，得到a⊕b=a·b|a|2+又θ∈[0，π]，所以cosθ2≤12，即a⊕b又a⊕b在集合n4所以a⊕b=14，cosθ2>14，即cos又因?yàn)閍*b=a·b|b|2=|a||b|cos所以a*b=34或1所以a⊕b+a*b=1或54二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.下列說(shuō)法正確的是()A.一組數(shù)5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數(shù)是11B.若隨機(jī)變量ξ，η滿足η=3ξ-2，D(ξ)=3，則D(η)=9C.一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(1≤i≤15，i∈N*)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=3x+2，若x=2，則yD.某學(xué)校要從12名候選人(其中7名男生，5名女生)中，隨機(jī)選取5名候選人組成學(xué)生會(huì)，記選取的男生人數(shù)為X，則X服從超幾何分布答案ACD解析將該組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，5，7，9，11，13，15，共7個(gè)，因?yàn)?×0.6=4.2，所以第60百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)11，故A正確；因?yàn)棣?3ξ-2，D(ξ)=3，所以D(η)=32D(ξ)=9×3=27，故B錯(cuò)誤；經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=3x+2必經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x，y)，當(dāng)x=2時(shí)，代入方程得y=3×2+2=8，故C從12名候選人中不放回地抽取5人，男生人數(shù)X服從超幾何分布，且N=12，M=7，n=5，故D正確.8.如圖1，半圓O的直徑為4，點(diǎn)B，C三等分半圓弧，P，Q分別為OB，OC的中點(diǎn)，將此半圓以O(shè)A為母線卷成如圖2所示的圓錐，D為BC的中點(diǎn)，則在圖2中，下列結(jié)論正確的有()A.PQ=3B.AD⊥平面OBCC.PQ∥平面ABCD.三棱錐P-ABC與三棱錐Q-ABC公共部分的體積為1答案ACD解析對(duì)于A，在圖2中，設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則2πr=12×4π，解得r=1因?yàn)樵趫D1中，點(diǎn)A為半圓弧的端點(diǎn)，點(diǎn)B，C三等分半圓弧，所以在圖2中，點(diǎn)A，B，C為圓錐的底面圓周的三等分點(diǎn)，所以△ABC為等邊三角形，所以BCsin60°=2r=2，所以BC=3又因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別是OB，OC的中點(diǎn)，所以PQ=12BC=32，故對(duì)于B，連接OD，AC，AB，因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△OBC為等腰三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，所以AD=32，OD=OB2而AO=2，所以AD2+OD2=94+134≠4=AO2，這表明AD與OD不垂直，故對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別是OB，OC的中點(diǎn)，所以PQ∥BC，因?yàn)镻Q?平面ABC，BC?平面ABC，所以PQ∥平面ABC，故C正確；對(duì)于D，連接AP，AQ，BQ，CP，設(shè)BQ，CP交于點(diǎn)E，連接OE并延長(zhǎng)OE，則由對(duì)稱性可知OE必定交BC于點(diǎn)D，則三棱錐P-ABC與三棱錐Q-ABC的公共部分即為三棱錐E-ABC，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別是OB，OC的中點(diǎn)，所以E為△OBC的重心，所以DE=13OD由上易知，圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以圓錐的高為3，所以V三棱錐E-ABC=13V三棱錐O-ABC=13×13×12×所以三棱錐P-ABC與三棱錐Q-ABC公共部分的體積為14，故D正確三、填空題(每小題5分，共10分)9.兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量X，Y滿足X+2Y=3，且X~N(3，σ2)，若P(X+1≤0)=0.14，則P(Y+2>0)=.答案0.86解析方法一因?yàn)閄+2Y=3，所以Y+2>0?7-X2即X<7，所以P(Y+2>0)=P(X<7)=1-P(X≤-1)=1-0.14=0.86.方法二因?yàn)閄+2Y=3，所以X+1=4-2Y，因?yàn)镻(X+1≤0)=0.14，所以P(4-2Y≤0)=0.14，即P(Y≥2)=0.14，又Y=-12X+32，所以E(Y)=-12E(X)+32=0，D(Y)=14D(X)所以Y~N0，所以P(Y+2>0)=P(Y>-2)=1-P(Y≤-2)=1-P(Y≥2)=1-0.14=0.86.10.已知直線l：y=x-3與拋物線C：y2=4x交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則S△OPQ=.答案12解析由直線y=x-3與拋物線y2=4x，聯(lián)立方程組消元得(x-3)2=4x，即x2-10x+9=0，設(shè)交點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1+x2=10，x1x2=9，由弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=1+k2|x1-x=2102-4再由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)O到直線l的距離d=32=3即△OPQ中，邊PQ上的高為32所以S△OPQ=12×82×32四、解答題(共28分)11.(13分)某高校一學(xué)生和智能機(jī)器人進(jìn)行一場(chǎng)“網(wǎng)球”比賽，規(guī)則如下：比賽采用三局兩勝制(率先獲得兩局比賽勝利者獲得最終的勝利且比賽結(jié)束)，已知該同學(xué)第一局獲勝的概率為13，從第二局開(kāi)始，如果上一局獲勝，則本局獲勝的概率為12；如果上一局失敗，則本局獲勝的概率為1(1)該同學(xué)在以2∶1獲得比賽勝利的條件下，求他連勝兩局的概率；(6分)(2)記整場(chǎng)比賽該同學(xué)的獲勝局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.(7分)解(1)設(shè)事件A=“該同學(xué)以2∶1獲得比賽勝利”，B=“該同學(xué)連勝兩局”，若該同學(xué)以2∶1獲得比賽勝利，則三局比賽的結(jié)果為贏輸贏、輸贏贏，共兩種情況，所以P(A)=13×1-12×14+1-13×P(AB)=1-13×14×1則P(B|A)=P(AB)即該同學(xué)在以2∶1獲得比賽勝利的條件下，連勝兩局的概率為23(2)由題意知，ξ的所有可能取值為0，1，2，則P(ξ=0)=1-13×1-1P(ξ=1)=13×1-12×1-14+1-13P(ξ=2)=P(A)+13×12=18+1所以ξ的分布列為ξ012P157則ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×12+1×524+2×72412.(15分)如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面圓O的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為23，點(diǎn)E在母線PC上，且AE=23，CE=2.(1)求證：PO∥平面BDE；(5分)(2)若點(diǎn)M為線段PO上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時(shí)，求平面MBD與平面ABD的夾角的大小.(10分)(1)證明如圖，設(shè)AC交BD于點(diǎn)F，連接EF，由圓錐的性質(zhì)可知PO⊥底面ABD，因?yàn)锳C?平面ABD，所以PO⊥AC，又因?yàn)椤鰽BD是底面圓的內(nèi)接正三角形，由AD=23，AC為直徑，則AF⊥BD，可得AF=3，而ADsin60°=AC，解得AC=4又AE=23，CE=2，所以AC2=AE2+CE2，即∠AEC=90°，AE⊥PC，又因?yàn)锳EAC=AFAE=所以△AEC∽△AFE，所以∠AFE=∠AEC=90°，即EF⊥AC，所以EF∥PO，又PO?平面BDE，EF?平面BDE，所以PO∥平面BDE.(2)解因?yàn)镻O∥EF，PO⊥平面ABD，所以EF⊥平面ABD，又EF?平面BED，所以平面BED⊥平面ABD，由于AF=3，則OF=FC=1，即F為OC的中點(diǎn)，知PO=2EF=23，以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)B，F(xiàn)E所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(3，0，0)，B(0，3，0)，D(0，-3，0)，E(0，0，3)，P(1，0，23)，O(1，0，0)，所以AB=(-3，3，0)，AE=(-3，0，3)，DO=(1，3，0)，OP=(0，0，23)，設(shè)平面ABE的法向量為n=(x，y，z)，則AB令x=1，則n=(1，3，3)，設(shè)OM=λOP(0≤λ≤1)，可得DM=DO+OM=(1，3，23λ)，設(shè)直線DM與平面ABE所成的角