高中數學 加練 專題10　第101練　數列遞推關系在概率中的應用

第101練數列遞推關系在概率中的應用(分值：30分)概率之間的關系如果是數列的前后項之間的關系，即遞推關系，就可以從概率問題自然地過渡到數列問題，再用數列的方法解決.已知數列的遞推關系求通項公式的典型方法(n≥2，x≠0)：(1)當出現an=an-1+m時，構造等差數列；(2)當出現an=xan-1+y時，構造等比數列；(3)當出現an=an-1+f(n)時，用累加法求解；(4)當出現anan-1=f(1.(13分)遺傳學在培育作物新品種中有著重要的應用.已知某種農作物植株有AA，Aa，aa三種基因型，根據遺傳學定律可知，AA個體自交產生的子代全部為AA個體，aa個體自交產生的子代全部為aa個體，Aa個體自交產生的子代中，AA，Aa，aa個體均有，且其數量比為1∶2∶1.假設每個植株自交產生的子代數量相等，且所有個體均能正常存活.(1)現取個數比為2∶4∶1的AA，Aa，aa植株個體進行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為aa，求該植株是由aa個體自交得到的概率；(4分)(2)已知基因型為AA的植株具備某種優良性狀且能保持該優良性狀的穩定遺傳，是理想的作物新品種.農科院研究人員為了獲得更多的AA植株用于農業生產，將通過誘變育種獲得的Aa植株進行第一次自交，根據植株表現型的差異將其子代中的aa個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第二次自交，再將第二次自交后代中的aa個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第三次自交……以此類推，不斷地重復此操作，從第n次自交產生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為Pn(n≥2且n∈N*).①證明：數列1+2Pn1-Pn②求P10，并根據P10的值解釋該育種方案的可行性.(3分)(1)解由題意得，若對Aa植株進行自交，產生AA，Aa，aa的概率比為1∶2∶1，故在個數比為2∶4∶1的AA，Aa，aa植株個體進行自交時，其親代AA，Aa，aa的概率比為27∶47∶故所求概率為1747(2)①證明記在不篩選出aa的情況下，第n代AA的概率為Bn，B1=12×12=B2=12×12+12×1故可遞推出Bn=14+18+116+…+12n易得Pn=Bn1-B令Sn=1+2Pn1-Pn=2n，而Sn+1=2n故數列1+2Pn②解由①知P10=210-1210+2=10231026，且當n→+∞時，2.(17分)如圖，一個正三角形被分成9個全等的三角形區域，分別記作A，B1，P，B2，C1，Q1，C2，Q，C3.一個機器人從區域P出發，每經過1秒都從一個區域走到與之相鄰的另一個區域(有公共邊的區域)，且到不同相鄰區域的概率相等.(1)分別寫出經過2秒和3秒機器人所有可能位于的區域；(3分)(2)求經過2秒機器人位于區域Q的概率；(4分)(3)求經過n秒機器人位于區域Q的概率.(10分)解(1)經過2秒機器人可能位于的區域為P，Q1，Q，經過3秒機器人可能位于的區域為A，B1，B2，C1，C2，C3.(2)若經過2秒機器人位于區域Q，則經過1秒時，機器人必定位于B2，P有三個相鄰區域，故由P→B2的概率為p1=13，B2有兩個相鄰區域，故由B2→Q的概率p2=12，則經過2秒機器人位于區域p1p2=13×12=(3)機器人的運動路徑為P→A∪B1∪B2→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→A∪B1∪B2∪C1∪C2∪C3→P∪Q1∪Q→…，設經過n秒機器人位于區域Q的概率為Pn，則當n為奇數時，Pn=0，當n為偶數時，由(2)知，P2=16經過n秒機器人位于區域Q的概率與位于區域Q1的概率相等，亦為Pn，故經過n秒機器人位于區域P的概率為1-2Pn，若第n秒機器人位于區域P，則第(n+2)秒機器人位于區域Q的概率為16若第n秒機器人位于區域Q1，則第(n+2)秒機器人位于區域Q的概率為16若第n秒機器人位于區域Q，則第(n+2)秒機器人位于區域Q的概率為1-2×16=2則有Pn+2=23Pn+16Pn+16(1-2P即Pn+2=16+12P令Pn+2+λ=12(Pn+λ)即Pn+2=12Pn-12λ，有λ=-即有Pn+2-13=1又P2-13=16-13故當n≥2且n為偶數時，數列Pn-13是首項