第十章 概率（高效培優講義）-人教A版高一數學必修第二冊（解析版）

第十章概率

知識點01隨機試驗

我們把對隨機現象的實現和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母后表示.

我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：

(1)試驗可以在相同條件下重復進行；

(2)試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個：

(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個，但事先不能確定出現哪一個結果.

樣本空間

我們把隨機試驗后的每個可能的基本結果稱為樣本點,全體樣本點的集合稱為試驗七的樣本空間，一般地,

用.表示樣本空間，用”表示樣本點，如果一個隨機試驗有〃個可能結果秋，例，…，七，則稱樣

本空間Q={%%…皿}為有限樣本空間.

隨機事件、確定事件

(1)一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，

我們將樣本空間。的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并杷只包含一個樣本點的事件稱為基本事件.當且僅

當/中某個樣本點出現時，稱為事件力發生.

（2）C作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發生，所以C總會發生，

我們稱。為必然事件.

（3）空集0不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發生，我們稱為°為不可能事件.

（4）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對隨機事件的確定事件.

事件的關系與運算

①包含關系：一般地，對于事件N和事件4,如果事件％發生，則事件8一定發生，這時稱事件8包含事

件4（或者稱事件月包含于事件8）,記作8=彳或者”[8.與兩個集合的包含關系類比，可用下圖表示:

不可能事件記作0,任何事件都包含不可能事件.

②相等關系：一般地，若4且”二8,稱事件<與事件4相等.與兩個集合的并集類比，可用下圖表

示:

③并事件（和事件）：若某事件發生當且僅當事件力發生或事件〃發生，則稱此事件為事件力與事件"的

并事件（或和事件），記作“U8（或/+4）.與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：

④交事件（積事件）：若某事件發生當且僅當事件力發生且事件4發生，則稱此事件為事件A與事件B的

交事件（或積事件），記作（或18）.與兩個集合的交集類比，可用下圖表示:

【即學即練】

1.下列說法錯誤的是（）

A.如果一事件發生的概率為0,說明此事件不可能發生

B.如果一事件不是不可能事件，說明此事件是必然事件

C.概率的大小與不確定事件有關

D.如果一事件發生的概率為99.999%,說明此事件必然發生

【答案】ABD

2

【詳解】對于A當樣本空間是區間［0』時，質點落在x=U處的概率為0,但不怠味著這個事件是不可能發

生的，因為隨機變量取值是連續的，所以幾乎任何地方都有極小的可能發生，故A錯誤；對于B,C,如

果一事件不是不可能事件，說明此事件是必然事件或隨機事件，所以B錯誤，C正確；對于D,如果一事

件發生的概率為99.999%,不能說明此事件必然發生，因為它不是必然事件，所以D錯誤.

2.下列各項中，屬于隨機事件的是（）

A.若正方形邊長為。，則正方形的面積為/

B.在沒有任何輔助情況下，人在真空中也可以生存

C.在一個標準大氣壓下，溫度達到80℃時水會沸騰

D.拋擲一枚硬幣，反面向上

【答案】D

【分析1根據必然事件、隨機事件和不可能事件的定義即可一一判斷.

【詳解】對于A,若正方形邊長為明由面枳公式可知其面枳為這是必然事件，故A不合題意；

對于B,真空中沒有空氣，在沒有任何輔助情況下，人不能在真空中生存，這是不可能事件，故B不合題

意；

對FC,在一個標準大氣壓下，只有溫度達到100°C，水才會沸騰，當溫度是80℃時.，水不會沸騰，這是

不可能事件，故C不合題意；

對于D,推擲一枚硬幣時，結果可能是正面向上，也可能反面向上，這是隨機事件，故D符合題意.

故選：D.

知識點02互斥事件與對立事件

（I）互斥事件：在一次試驗中，事件彳和事件8不能同時發生，即彳n“=0,則稱事件力與事件8互后,

可用下圖表示：

如果4,4,…，4中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件4,.42.....4彼此互斥.

（2）對立事件：若事件力和事件8在任何一次實驗中有且只有一個發生，即4U"=C不發生，Af}B=0

則稱事件A和事件B互為對立事釁，事件A的對立事件記為力.

（3）互斥事件與對立事件的關系

①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一

3

必須有一個發生.

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是困立2的必要不充分條件，

而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件.

【即學即練】

1.在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件4B,C,。發生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3,則下列說法

錯誤的是()

A.力+4與C是互斥事件，也是對立事件B.8+C與。是互斥事件，也是對立事件

C.4+C與8+0是互斥事件，但不是對立事件D./與8+C+。是互斥事件，也是對立事件

【答案】ABC

【詳解】因為事件力，B,C,。彼此互斥，所以4+8與。也互斥，但是

P(A+B)+P(C)P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.2+0.3=0.7^1,所以不是對立事件，故A錯誤；因為事件從

彼此互斥，所以A+C與Z)也力斥，但是P(8+C)+P(Q)=尸(8)+P(C)+P(Q)=0.2+0.3+0.3=0.8wl,

所以不是對立事件，故B錯誤；因為事件4,B,C,。彼此互斥，所以/+C與4+。也互斥，又因為

P(A+C)+P(B+D)=P(A)+P(C)+P(B)+P[D)=0.2+().3+0.2+0.3=1,所以是對立事件，故C錯誤；因

為事件4B,C,。彼此互斥，所以力與8+C+D也互斥，又因為

P(A)+P(B+C+D)=P(A)+P(B}+P(C)+P(D)=0.2+0.2+0.3r0.3=1,所以也是對立事件，故D正確.

2.給出以下三個命題：(1)將一枚硬幣拋擲兩次，記事件4"二次都出現正面〃，事件氏”二次都出現

反而〃，則事件4與事件8是對立事件；(2)在命題(1)中，事件4與事件8是互斥事件；(3)在10件

產品中有3件是次品，從中任取3件，記事件.4：“所取3件中最多有2件是次品〃，事件⑶“所取3件中

至少有2件是次品〃，則事件力與事件4是互斥事件，其中真命題的個數是.

【答案】1

【分析】根據題意結合互斥與對立事件的定義，分析每個命題的真假判斷即可.

【詳解】對于(1)(2),因為拋擲兩次便幣，除事件/,8外，

還有“第一次出現正面，第二次出現反面〃和“第一次出現反面，第二次出現正面”兩個事件，

所以事件力和事件8不是對立事件，但它們不會同時發生，所以是互斥事件；

對于(3),若所取的3件產品中恰有2件次品，則事件彳和事件8同時發生，

所以事件A和事件B不是互斥事件.

故命題(1)是假命題，命題(2)是真命題，命題(3)是假命題.

故答案為：1

知識點03概率與頻率

4

(I)頻率：在〃次重復試驗中，事件/!發生的次數攵稱為事件力發生的頻數，頻數在與總次數〃的比值二，

n

叫做事件4發生的頻率.

(2)概率：在大量重復盡心同一試驗時，事件4發生的頻率“總是接近于某個常數，并且在它附近擺動,

n

這時，就把這個常數叫做事件力的概率，記作P(⑷.

(3)概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件力，由于事件/發生的頻率工隨著試驗次數的增加穩定于

n

概率尸(力)，因此可以用頻至2來估計概率外力).

n

【即學即練】

1.小明將一枚質地均勻的正方體被子連續拋擲了5次，每次朝上的點數都是2,則下列說法正確的是()

A.朝上的點數是2的概率和頻率均為1

B.若拋擲30000次，則朝上的點數是2的概率為1

C.拋擲第6次，朝上的點數一定不是2

D.拋擲60000次，朝上的點數為2的次數大約為10000次

【答案】D

【分析】根據頻率與概率的概念判斷A,由頻率與概率的關系判斷BD,由概率的概念判斷C.

【詳解】A：由題意知朝上的點數是2的頻率為1,概率為，，故A錯誤；

B：當拋擲次數很多時，朝上的點數是2的頻率在，附近擺動，故B錯誤；

C：拋擲第6次，朝上的點數可能是2,也可能不是2,故C錯誤；

D：每次拋擲朝上的點數是2的概率為，，所以拋擲60000次朝上的點數為2的次數大約為10000,理論

和實際會有一定的出入，故D正確.

故選：D.

2.根據統計，某籃球運動員在5000次投籃中，命中的次數為2348次.

(1)求這名運動員的投籃命中率；

(2)若這名運動員要想投籃命中10000次，則大概需要投籃多少次？(結果精確到100)

⑶根據提供的信息，判斷"該籃球運動員投籃3次，至少能命中1次”這一說法是否正確.

【答案】⑴0.4696

(2)21300

⑶不正確

【分析】(1)根據命中率計算方法即可得到答案；

5

（2）根據命中率反推出投籃次數即可;

（3）根據概率的含義即可判斷.

【詳解】（1）根據題意，某籃球運動員在5000次投籃中，命中的次數為2348次，

則這名運動員的投籃命中率尸=鬻=04696；

（2）若這名運動員要想投籃命中10000次，則有10000+黑=21300；

（3）雖然這名運動員的投籃命中率夕=就＞；,但由概率的定義，“該籃球運動員投籃3次，至少能命

中1次”說法不正確.

知識點04古典概型

（I）定義

一般地，若試驗￡具有以下特征：

①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；

②等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.

稱試驗E為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.

（2）古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件力包含其中的A?個樣本點，則定義事件

力的概率P（力）="=嚶.

【即學即練】

1.某調研機構為了了解人們對“奧運會”相關知識的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業的人舉辦了一

次"奧運會〃知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有〃人，按年齡分成5

組，其中第一組［20,25）,第二組［25.30）,第三組［30,35）,第四組［35,40）,第五組［40,45］,得到如圖所

示的頻率分布直方圖.

⑴求”的值，并根據頻率分布直方圖，估計這〃人的平均年齡和中位數（同一組中的數據用該組區間的中

點值為代表）:

（2）現從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔任本市的“奧運會〃宣傳使者.若有甲（年齡36）,乙（年

齡42）兩人已確定入選，現計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲、乙

6

兩人至少有一人被選上的概率.

【答案】（1）a=0.0。,平均年齡為31.75；中位數為31

<2>|

【分析】（1）根據頻率分布直方圖頻率的性質即可求出，再利用平均數和中位數的公式即可求解；

（2）列舉出所有的情況，再根捱占典概型公式可得.

【詳解】（1）由題意有：0.02x5+^x5+0.05x5+0.04x5+0.02x5=1,解得。=0.07,

設這“人的平均年齡為三，

則1=22.5x0.02x5+27.5x0.07x5+32.5x0.05x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=31.75，

由于前2組的頻率為0.02x5+0.07x5=0.45,

前3組的頻率為0.02x5+057x5+0.05x5=0.7,

則中位數在［30,35）,設中位數為x,

WJ0.45+（x-30）x0.05=0.5,解得x=31,則中位數為31.

（2）由題意得,按照分層抽樣第四組應抽取0.04x5x20=4人,記為4（甲）,B,C,D,

第五組抽取002x5x20=2人,記為E（乙），F,

對應的樣本空間的樣本點為：

。=｛（48）,（4。）,（4。）,（40,（4尸卜（民。）,（8,。）,（8,￡）,（81）,

（C,Z））,（C,￡）,（C,F）,（D,￡）,（Z）,F）,（E,F）｝,共包含15個等可能的樣本點，

設事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上"，

則M=｛（48）,（4C）,（4。）,（4E）,（4尸）,（￡￡）,（C,?,（￡>/）,（￡/）｝,共包含9個等可能的樣本點，

所以尸（"焉=TT片

3

即甲、乙兩人至少有一人被選上的概率為

2.湖北恩施被譽為“世界硒都〃，又被稱為祖國的后花園.恩施有大峽谷、騰龍洞、神農溪這3個54級景

區，已知騰龍洞景區有金牌講解員2人，大峽谷景區有金牌講解員3人，若從這5人中隨機抽取2人，則

抽雙的這兩人來自不同景區的概率為.

【答案】1/0.6

【分析】由古典概型的概率公式代入計算，即可得到結果.

【詳解】大峽谷景區3人，騰龍洞景區2人，設大峽谷景區的3人分別為勺，％，內，騰龍洞景區2人分

別為4，區,則在具中任取2人的基本名件總數N=1U,

分別為：。瓦％%a2bva2b2；4生死與；。。，〃岡，?

則抽取的這兩人來自不同景區的情況分別為：4瓦哂；冽當仇；她，。也；

故抽取的這兩人來自不同景區的概率為白=|.

故答案為：］

知識點05概率的基本性質

(I)對于任意事件4都有：04P(4)41.

(2)必然事件的概率為1,即不可能事概率為0,即P(0)=O.

(3)概率的加法公式：若事件上與事件8互斥,則P(4U8)=尸(4)+尸(8).

推4：一般地，若事件4，4，…，4,彼此互斥，則事件發生(即4，4....4中有一個發生)的概

率等于這〃個事件分別發生的概望之和，即：P(4+4+...+4)=P(4)+P(4)+...+P(4).

(4)對立事件的概率：若事件4與事件8互為對立事件，則p(4)=1-P(8),P(8)=l-尸(⑷，且

P1U8)=P(4)+P(8)=L.

(5)概率的單調性:若AqB,則尸(⑷4尸(8).

(6)若力，8是一次隨機實驗中的兩個事件，則尸(4118)=%力)+。(4)一夕(40〃).

方法技巧與總結：

1、解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數〃與事件片中所包含的基本事件數.

因比要注意清楚以下三個方面：

(1)本試驗是否具有等可能性；

(2)本試驗的基本事件有多少個；

(3)事件/是什么.

2、解題實現步驟：

(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件力；

(3)分別求出基本事件的個數〃與所求事件片中所包含的基本事件個數機：

,八引用八卜a八力包含的基本事件的個數七山市人,岫由去

(4)利用公式尸⑼=基本事件的總數求出事件，的概率.

3、解題方法技巧：

(1)利用對立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一隨機事件的概率都等于構成它的每一個基本事件概率的和.

②求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數的方法有列舉法、列表法和樹狀圖法.

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【即學即練】

1.某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表:

投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數

1005518

記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件4投中三分球為事件反沒投中為事件C,用頻率估

計概率的方法，得到的下述結論中，正確的是()

A.P(/l)=0.55B.P(5)=0.18

C.P(C)=0.27D.P(2?+C)=0.55

【答案】ABC

【分析】求出事件48的頻率即得對應概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.

CC1Q

【詳解】依題意，尸。)=急=。.55,P(Z^)=—=0.18,

顯然事件4B互斥,P(C)=1-P(J+B)=1-P(J)-P(B)=0.27,

事件8,。互斥，則P(8+C)=P(8)+P(C)=0.45,

于是得選項A,B,C都正確，選項D不正確.

故選：ABC.

2.某班級有45%的學生喜歡打羽毛球，80%學生喜歡打乒乓球；兩種運動都喜歡的學生有30%.現從該班

隨機抽取一名學生，求以下事件的概率：

⑴只喜歡打羽毛球；

⑵至少喜歡以上一種運動；

⑶只喜歡以上一種運動；

⑷以上兩種運動都不喜歡.

【答案】(1)0.15

(2)0.95

(3)0.65

(4)0.05

【分析】(1)首先表示出/="喜歡打羽毛球〃，4="喜歡打乒乓球”，然后根據題意求得

P(A)=0.45P(B)=0.8尸(月田=0.3,從而即可求解.

(2)根據和事件的計算公式即可求解.

9

(3)根據上一問求得。的，再利用事件的關系即可求解.

(4)利用對立事件的公式即可求解.

【詳解】(1)設：力="喜歡打羽毛球"，8="喜歡打乒乓球〃

P(/l)=0.45P⑻=0.8P(AB)=0.3

只喜歡打羽毛球：

P(A)-P(AB)=0.45-0.3=0.15

(2)至少喜歡以上一種運動：

P(A+8)=。(月)+P⑻-P(AB)=0.45+0.8-0.3=0.95

(3)只喜歡以上一種運動：

P(A+B)-P(AB)=0.45+0.8-03-0.3=0.65

(4)以上兩種運動都不喜歡：

P(A+B)=1-P(4+8)=1—(0.45+0.8-0.3)=0.05

知識點06事件的相互獨立性

相互獨立事件的概念

對任意兩個事件力與8,如果%/團=尸(/)P(團成立，則稱事件/與事件B相互獨立,簡稱為獨立.

相互獨立事件的性質

(I)事件力與8是相互獨立的，那么彳與后，1與8,1與方也是否相互獨立.

(2)相互獨立事件同時發生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

【即學即練】

1.已知事件48,且尸(力)=0.4/(8)=0.2,則下列結論正確的是()

A.如果那么尸(力uB)=0.4/(48)=0.2

B.如果4與8互斥，那么尸(NuB)=0.6/(/8)=0

C.如果力與6相互獨立，那么〃(布)-0.92

D.如果/與8相互獨立，那么尸(力為=0.08,尸(力^用=0.52

【答案】ABD

【分析】對A根據包含事件的定義可得，對B根據互斥事件的定義及概率的加法公式可得，對C、D則根

據相互獨立事件的定義及公式可得.

【詳解】對A選項：由81力，所以＜U8=/1,AB=A,

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因比尸(4U6)=f(力)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2f故A正確;

對B選項：若力與4互斥，因此.48是不可能事件，所以P(48)=0,

再由概率的加法公式P(4U5)=P(4)+P(B)=0.6,故B正確:

對C選項:若力與B相互獨立，則7與方也相互獨立，P(AB)=P(A)P(B)=0.4x0.2=0.08.

因％瓦表示〃不發生且8不發生“，即7c豆，且，與否也相互獨立，

所以P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.4)(1-0.2)=0.6x0.8=0.48,故C錯誤；

對D選項：因4與6相互獨立，所以「(力4)=尸(4)0(4)=。.4、0.2=0.08,

再由概率的力口法公式尸(Nu8)=尸(N)+P(B)―/(/8)=0.4+0.2-0.08=0.52,故D正確.

故選:ABD.

2.如圖，某電子元件由力，B,。三種部件組成，現將該電子元件應用到某研發設備中，經過反復測試,

A.H,C三種部件不能正常工作的概率分別為:，：，g,各個部件是否正常工作相互獨立，則該電子

元件能正常工作的概率是()

i-TT]~~r^~i—

【答案】B

【詳解】設上半部分正常工作為事件下半部分正常工作為事件N,該電子元件能正常工作為事件力,

根據相互獨立事件的概率公式求出P(M)、P(N),即可求出戶[必)、P科)，再根據對立事件及獨立事件

的概率公式計算可得.

【分析】設上半部分正常工作為事件下半部分正常工作為事件N,該電子元件能正常_I?’乍為事件彳,

P（M）=l-P（.W）=l--=-,

22

尸⑹卡另卜(昌吟所以P（N）=1-P（N）=1-q=

所以尸(4)=I-P(WP(町=1-白白二||,

即該電子元件能正常工作的概率定三13.

故選：B

愿型精講

11

題型01隨機事件的關系與運算

【典例1】一名射擊運動員在一次射擊中射中10環、9環、8環、7環，7環以下的概率分別為0.24,0.28,

0.19,0.16,013.計算這名射擊運動員在一次射擊中:

（1）射中10環或9環的概率.

⑵至少射中7環的概率.

【答案】（1）0.52

（2）3.87

【分析】（1）利用互斥事件的概率求解；

（2）利用對立事件的概率求解.

【詳解】（1）設“射中10環""射中9環""射中8環”"射中7環”“射中7環以下”的事件分別為4B,C,D,

E,

可知它們彼此之間互斥，且尸（4）=0.24,尸（3）=028,尸（C）=0.19,P（D）=0.16,P（￡）=0.13,

所以P（射中10或9環）=尸（/u5）=尸（4）+產（8）=0.24+0.28=0.52,

所以所以射中10環或9環的概率為0.52.

（2）事件“至少射中7環〃與事件射中7環以下〃是對立事件，

則尸（至少射中7環）=1-P（E）=1-0.13=0.87,

所以至少射中7環的概率為0.87.

【典例2】一批產品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產品中任意抽取5件，現給出以

下四個事件：事件4恰有1件次品；事件&至少有2件次品；事件C：至少有1件次品；事件。：至

多有1件次品，以下結論正確的是（）

A.AUB=CB.ODB是必然事件

C.Ai）B=BD.AuD=C

【答案】AB

【分析】根據已知條件以及利用利事件、積事件的定義進行判斷.

【詳解】4U8表示的事件：至少有1件次品，即事件C,所以A正確，C不正確：

表示的事件：至少有2件次品或至多有1件次品，包括了所有情況，所以B正確；

表示的事件：至多有1件次品，即事件。，所以D不正確.

故選:AB.

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方法技巧

①包含關系：一般地，對于事件4和事件〃，如果事件力發生，則事件8一定發生，這時稱事件8包含事

件/（或者稱事件彳包含于事件8）,記作月或者4=8.

②相等關系：一般地，若4。4且4二4,稱事件力與事件8相等.

③并事件（和事件）：若某事件發生當且僅當事件4發生或事件8發生，則稱此事件為事件力與事件8的

并事件（或和事件），記作月U笈（或4+6）.

④交事件（積事件）：若某事件發生當且僅當事件/發生且事件4發生，則稱此事件為事件A與事件B的

交事件（或積事件），記作力A8（或

【變式1】對空中飛行的飛機連續射擊兩次，每次發射一枚炮彈，設力=｛兩次都擊中飛機｝,B=｛兩次都

沒擊中飛機｝,C=｛恰有一彈擊中飛機｝,。=｛至少有一彈擊中飛機｝,下列關系不正確的是（）

A.AQDB.BC\D=0

C.AuC=DD.AUB=B\JD

【答案】D

【分析】根據事件之間的關系與運算分別判斷選項即可.

【詳解】用（為,工2）表示試驗的射擊情況，其中a表示第1次射擊的情況，超表示第2次射擊的情況，以1

表示擊中，。表示沒中，

則樣本空間。=｛（0⑼,（0,1）,（1,0）,（11）｝.

由題意得，力=｛（1』）｝,8=｛（0,0）｝,C=｛（0,l）,（l,0）｝,D=｛（0.1）,（l,0）,（l,l）｝

則/土。，4uC=Q,且8n0=0.即ABC都正確；

又BuD=Q,JkJB=｛（O,O）,（l,l）｝^Q.

.?..4118。811。.故口不正確.

故選：D.

【變式2】一枚均勻骰子，將這枚骰子向上拋擲1次，設事件/I表示“向上的一面擲出奇數點"，事件8表

示“向上的一面擲出的點數不超過3〃，事件C表示“向上的一面擲出的點數不小于4〃，則（）

A.4與8是互斥而非對立事件

B.4與8是對立事件

C.8與C是互斥而非對立事件

D."與C'是對立事件

13

【答案】D

【分析】先寫出樣本空間及每個事件，利用互斥事件與對立事件的概念進行判斷即可.

【詳解】由題意樣本空間。={123,4,5,6},

事件/={1,3,5},B={1,2,3},C={4,5,6}

由力故4與4是既不對立也不互斥，

故A,B錯誤；

由8nCwO,3UC=。，所以8與C是對立事件：

故選：D.

【變式3】若48為互斥事件，則下列結論不正確的是（）

A.P（4）+P（8）＜1B.P（/1）+P（8）＞1

C.P（/i）+P（8）=lD.P（/H~8）=P（d）+P（8）

【答案】ABC

【分析】根據互斥事件的定義及性質即可判定選項.

【詳解】4，8為對立事件時P（Z）+P（6）=1,故選項A錯誤；

互斥事件的概率之和不可能超過1，故選項B錯誤；

事件/,8互斥而不對立時，P（N）+P（4）＜1,故選項C錯誤；

48為互斥事件時P（4+8）=尸（4）+尸伊），故選項D正確.

故選:ABC.

題型02頻率與概率

【典例1】某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當

天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

（1）若花店一天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤V（單位：元）關于當天需求量”（單位:枝，〃邑AQ的函數解

析式.

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量〃14151617181920

頻數10201616151310

若花店一天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤

14

不少于75元的概率.

85,n>\l.、

【答案】⑴吟(〃eN).

（2）0.7

【分析】（1）根據所給條件，列出分段函數，注意自變量的取值范圍;

（2）利用對立事件的概率公式計算可得.

【詳解】（1）當〃N17時,y=17x5=85,

當〃<17時，y=5〃+（17-〃）x（-5）=10〃-85

85,n>17

則y='(〃eN).

10?-85,w<17

（2）由10〃-85<75,解得〃<16,即當日需求量為14枝或159時利潤小于75元,

設當天利潤不少于75元為事件A,則尸（力）=1-焉-器=0.7.

【典例2】某校1200名高三年級學生參加了一次數學測驗（滿分為100分），為了分析這次數學測驗的

成績，從這1200人的數學成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統計表，請根據表中提供的信息解

決下列問題：

成績分組頻數頻率平均分

[0,20)30.01516

[20,40)ab32.1

[40,60)250.12555

[60,80)C0.574

[80,100)620.3188

⑴求a,b,c的值；

（2）如果從這1200名學生中隨機抽取?人，試估計這名學生該次數學測驗及格的概率P（注：50分及60

分以上為及格）.

【答案】⑴。=10,力=0.（）5,c=l（）0

(2)3.81

15

【分析】（1）根據統計圖中數據分析得到。，b,C的值；

（2）計算出抽取的200人的成績中，數學測驗及格的頻率，從而估計出這名學生該次數學測驗及格的概

率.

【詳解】（1）肅=0*解得c=100,

故。=200-3-25-100-62=10,八也=0.05,

200

（2）抽取的200人的成績中，數學測驗及格的頻率為0.5+0.31=0.81,

故估計這名學生該次數學測驗及格的概率尸=0.81.

方法技巧

概率與頻率的關系：對于給定的隨機事件力，由于事件力發生的頻率A隨著試驗次數的增加穩定于概率

n

,因此可以用頻率與來估計概率am.

n

【變式1】“鍵盤俠”一詞描述了部分網民在現實生活中膽小怕事、自私自利，卻習慣在網絡上大放厥詞的

一種現象.某地新聞欄目對該地區群眾對“鍵盤俠〃的認可程度進行調查：在隨機抽取的50人中，有14人

持認可態度，其余持反對態度，若該地區有7600人，則可估計該地區對“鍵盤俠〃持反對態度的有

人.

【答案】5472

【分析】求出在隨機抽取的50人中，持反對態度的有36人，即可估計該地區對“鍵盤俠〃持反對態度的人

數.

【詳解】由題意，在隨機抽取的50人中，持反對態度的有36人，

故可估計該地區對“鍵盤俠”持反對態度的約有7600X||二5472.

故答案為：5472.

【變式2】一個游戲包含兩個隨機事件力和反規定事件/發生則甲獲勝，事件3發生則乙獲勝.判斷游

戲是否公平的標準是事件4和8發生的概率是否相等.

在游戲過程中甲發現：玩了10次時，雙方各勝5次；但玩到1000次時，自己才勝300次，而乙卻勝了700

次,據此，甲認為游戲不公平，但乙認為游戲是公平的.你更支持誰的結論？為什么？

【答案】答案見解析

【分析】根據頻率與概率的關系，即可說明.

【詳解】當游戲玩了10次時，牛、乙獲勝的頻率都為0.5：

當游戲玩了1000次時，甲獲勝的頻率為S3,乙獲勝的頻率為0.7.

16

根據頻率的穩定性，隨著試驗次數的增加，頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.

相對10次游戲，1000次游戲時的頻率接近概率的可能性更大，

因比我們更愿意相信1000次時的頻率離概率更近.

而游戲玩到1000次時，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7,存在很大差距，

所乂有理由認為游戲是不公平的.因此，應該支持甲對游戲公平性的判斷.

【變式3】在一個不透明的紙盒中裝有2個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同.每次從袋子中隨機

摸出一個球，記下顏色后再放F1袋中，通過多次重復試驗發現摸出紅球的頻率穩定在0.8附近，則袋子中

紅球約有個.

【答案】8

【分析】利用頻率結合古典概型的計算公式代入即可得出答案.

【詳解】因為摸到紅球的頻率穩定在0.8附近，

估計袋中紅球個數是x,丁0.8=x=8.

x+2

故答案為：8.

題型03互斥事件與對立事件

【典例1】袋中裝有3個黑球、2個白球、1個紅球，從中任取兩個，互斥而不對立的事件是（）

A.“至少有一個黑球”和“沒有黑球"B."至少有一個白球"和"至少有一個紅球〃

C."至少有一個白球〃和“紅球黑球各有一個"D."恰有一個白球"和"恰有一個黑球”

【答案】C

【解析】根據互斥事件與對立事件的定義即可判斷.

【詳解】對于A,“至少有一個黑球〃和“沒有黑球〃不能同時發生，且必有一個發生，因而為對立事件；

對于B,“至少有一個白球”和“至少有一個紅球〃可以同時發生,所以不是互斥事件；

對于?！爸辽儆幸粋€白球〃和“紅球黑球各有一個〃兩個事件不能同時發生，且除這兩個事件還有其他事件（如

兩個黑球）發生，所以兩個事件為互斥事件，但為不對立事件

對于D,“恰有一個白球"和“恰有一個黑球”可以同時發生,所以不是互蹤事件.

綜上可知,C為正確選項

故選:C

【典例2］從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，則互為對立事件的是

A.”至少一個紅球"與“至少一個黃球"B."至多一個紅球"與"都是紅球"

C.”都是紅球〃與“都是黃球"D."至少一個紅球〃與“至多一個黃球”

【答案】B

17

【解析】A選項“至少一個紅球〃與“至少一個黃球”可以同時發生；B選項說法正確；

C選項僅僅是互斥而不是對立；D選項“至少一個紅球"與“至多一個黃球"可以同時發生.

【詳解】從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，

各種情況為：兩紅，一紅一黃，兩黃，三種情況，

“至少一個紅球”即一紅一黃或兩紅，"至少一個黃球”即一紅一黃或兩黃，所以這兩個事件不是對立事件;

“至多一個紅球”即一黃一紅或兩黃，與"都是紅球”互為對立事件；

“都是紅球"與"都是黃球”僅僅是互斥事件：

“至少一個紅球“即一紅一黃或兩紅，”至多一個黃球,，即一紅一黃或兩紅，不是對立事件.

故選：B

方法技巧

①互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一

必須有一個發生.

②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，

而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件.

【變式1】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件力="取出的兩球同

色"，4=”取出的2球中至少有一個黃球"，C="取出的2球至少有一個白球"，。=”取出的兩球不同色”,

E="取出的2球中至多有一個白球〃.下列判斷中正確的序號為.

①力與。為對立事件；②4與C是互斥事件；③C與七是對立事件：④P(CUE)=1；⑤P(8)=尸(C).

【答案】①④

【分析】在①中，由對立事件定義得力與。為對立事件；有②中，8與。有可能同時發生；在③中，C

與E有可能同時發生；在④中，PCU￡)=P(C)+P(E)”(CE)=1；在⑤中從而P(B)(C).

【詳解】?.,口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，

事件力=”取出的兩球同色"，B="取出的2球中至少有一個黃球”，

C=”取出的2球至少有?個白球"，D="取出的兩球不同色"，E=”取出的2球中至多有?個

白球”，

①、由對立.事件定義得力與。為對立事件，故①正確：

②,8與。有可能同時發生，故8與。不是互斥事件，故②錯誤；

③、。與￡有可能同時發生，不是對立事件，故③錯誤；

④，P(C)((E)，，P(CE).：,

1551515

18

從而「(CU0-P(C)十〃(E)-P(CE)-\,故④正確；

⑤，CfB,從而P(B)手P(C),故⑤錯誤.

故答案為：①④.

【變式2】利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產品，其中一等品有20件、合格品有70件，其

余為不合格品，現在這個工廠隨機抽查一件產品，設事件/為"是一等品"，8為"是合格品〃，C為"是不合

格品〃，則下列結果正確的是().

79

A.P(B)=—B.P(Ju5)=—C.P(/c4)=()D.P(AuB)=P(C)

【答案】ABC

【分析】根據事件的關系及運算求解.

【詳解】解：由題意知A,B,C為互斥事件，故C正確；又因為從100件中抽取產品符合古典概型的條件,

7?I0

所以尸(4)=正，P(J)=—,P(C)=正則0(4u4)二記，故A、B,C正確：故D錯誤.

故選ABC.

【變式3】2021年某省新高考將實行"3+1+2〃模式，即語文、數學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、

地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式.某同學已選了物理，記事件力："他選擇政治和地理"，事

件8：”他選擇化學和地理"，則事件力與事件8()

A.是互斥事件，不是對立事件B.是對立事件，不是互斥事件

C.既是互斥事件，也是對立事件D.既不是互斥事件也不是對立事件

【答案】A

【分析】事件彳與事件"不能同時發生，是互斥事件，他還可以選擇化學和政治，不是對立事件，得到答

案.

【詳解】事件力與事件8不能同時發生，是互斥事件

他還可以選擇化學和政治，不是對立事件

故答案選A

題型04簡單的古典概型問題

【典例1］同時轉動如圖的兩個轉盤，記轉盤(1)得到的數為主,轉盤(2)得到的數為y,結果為(x,y).

⑴寫出這個試驗的樣本空間;

19

⑵求這個試驗的樣本點個數；

⑶"X+j=5〃這一事件包含哪幾個樣本點?"X<3且y>1”呢?

⑷用集合力表示事件：號=4；用集合8表示事件：x=N.

【答案】⑴{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)(2,1)<2,2)(2,3(2,4(3,)(工］(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)(4,⑷}

(2)16

⑶答案見解析

(4)^={(1,4),(2,2),(4,1)},5={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}

【分析】(1)利用列舉法可得樣本空間；

(2)根據樣本空間即可得樣本點個數；

(3)根據樣本空間可得答案；

(4)根據樣本空間可得答案.

【詳解】(1)這個試驗的樣本空間為

。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),2,1"2,}(2,J(2,4(3,)(3,?(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3"4,叫

(2)由(1)可知，這個試驗的樣本點的個數為16；

(3)“x+y=5〃包含的樣本點為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),

“xv3且戶1"包含的樣本點為(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)；

(4)由(1)可知力={(1,4),(2,2),(4,1)},8={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.

【典例2】下列關于古典概率模型的說法中正確的是()

①試驗中所有可能出現的樣本點只有有限個；②每個事件出現的可能性相等：③每個樣本點出現的可能

性相等；④樣本點的總數為〃，隨機事件/若包含％個樣本點，則尸(4)=4.

n

A.②④B.③④C.①④D.①③④

【答案】D

【分析】利用古典概型概念及的概率計算公式直接求解?.

【詳解】在①中，由占典概型的概念可.知：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個，故①正確；

在②中，由古典概型的概念可知：每個基本事件出現的可能性相等，故②錯誤：

在③中，由古典概型的概念可知：每個樣本點出現的可能性相等，故③正確；

在④中，樣本點的總數為〃，隨機事件4若包含"個樣本點，則由古典概型及其概率計算公式知P(4)=：，

故④止確.

20

故選；D.

方法技巧

解題實現步驟：

(1用細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2例斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件

(3份別求出基本事件的個數〃與所求事件力中所包含的基本事件個數，〃；

小到m八斗人人力包含的基本事件的個數+山，佑板由

(4例用公式口⑷=基本事件的總數求出事件月的概率.

【變