2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)匯編《數(shù)列》專項練習(xí)題

2026年高考數(shù)學(xué)真題匯編數(shù)列專題復(fù)習(xí)練習(xí)題

真題匯編

考點01等差數(shù)列

1.（2026?上海卷?高考真題）卜列數(shù)列中是等差數(shù)列也是等比數(shù)列的是（）

A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5

C.595,5,5,5D.192,3,5,7

2.（2026?新課標(biāo)全國I卷?高考真題）一百零八塔位于寧夏|口I族自治區(qū)青銅峽市，以其獨特的建筑格局和

深遠(yuǎn)的歷史文化聞名遐邇.該塔群共有108座塔，依山勢自上而下排成12行，將第，行中塔的座數(shù)記為

1,2,…,12）,其中4=1,%=%=3,4=%=5,且偈，口7，…，%是一個首項為7,公差為2的等

差數(shù)列.將《，田…，心分為6組，每組2個數(shù)，使得每組的2個數(shù)之和可構(gòu)成一個項數(shù)為6且公差為"（〃＞（））

的等差數(shù)列?則d=（）

A.2B.4C.6D.8

3.：2026?北京卷高考真題）已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，且S6=6%+30,則公差4=,若

恒成立，則符合條件的4的一個取值為.

4.（2026?上海卷?高考真題）已知等差數(shù)列｛4｝中，6=0,公差為d,其前〃項和S”在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有

兩項，則公差d的取值范圍是__________.

考點02等比數(shù)列

1.（2026?新課標(biāo)全國I卷?高考真題）設(shè)實數(shù)4滿足：存在數(shù)列｛/｝,使得對于任意〃eN,均有

4+%+…+且｛4｝口有某連續(xù)9項處,a1，L,4+8是公比為9的等比數(shù)列.則4的最大值

為.

2.（2026?上海卷?高考真題）已知｛為｝為等比數(shù)列，4=2,心=6,則％=.

考點03數(shù)列的遞推公式與求和

1.（2026?天津卷?高考真題）已知Sa”—S“=〃，a,=6,則%+4=（）

A.68B.56C.-3D.-4

2.（2026?北京卷?高考真題）｛叫，｛，｝是無窮數(shù)列，則“存在常數(shù)M，使凡《加《仇（〃=1,2,3「?.）”是

"64以。=1,2,3,…)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.(2026?天津卷?高考真題)已知等差數(shù)列{%}與等比數(shù)列也}滿足：q=2,4=I,a2=b]+b2fa4=by-b].

⑴求數(shù)列{&},{〃}的通項公式;

(2)汜，3A:eN\x=4或％=4},記c“為耳，中的元素個數(shù).

(i)求，3?；

3)求￡(-1)'”?品5.

m=\

考點。4數(shù)列中的新定義

1.(2026?北京卷?高考真題)設(shè)A=e)”是一個，〃行〃列的數(shù)陣，且數(shù)陣中的每一項為￡{-□},都等

于1或一1.若對任意1?兒《〃，其中，工〃，尸夕，且“一目_|/_司=2,都有陽+%+5+〃收=0,

則稱數(shù)陣A具有性質(zhì)P.

(1)判斷下列兩個數(shù)表是否具有性質(zhì)〃.

11-1I

A-

-11-11

11-1-1

A2=

1-11-1

-11-]1

⑵在所有具有性質(zhì)戶的5x4數(shù)陣中，1的個數(shù)最多是多少？

⑶若〃?=〃=6,4=1,且數(shù)陣4具有性質(zhì)P,證明：對任意i,/e｛1,2,3,4,5,6｝,都有他二%%.

模擬題匯總

一、單選題

1.（2026?北京順義?三模）已知｛《｝是公差不為0的等差數(shù)列，6=2若田嗎，4成等比數(shù)列，則《。=<）

A.-20B.-16C.16D.18

5%+1,.“然J奇數(shù)

2.（2026?浙江嘉興?二模）數(shù)列｛%｝滿足q=3,凡+]=，a華/卬將,則％=（）

A.8B.4C.2D.i

3.（2026?山東煙臺?二模）已知｛%｝是等差數(shù)列，其公差為d,前〃項和為S"，則”>0”是“數(shù)列⑸｝為單

調(diào)遞增數(shù)列”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3

4.（2026?廣東東莞?三模）記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知4=2,S”=54-1，則％=（）

A.18B.54C.81D.162

5.（2026?天津?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，5“=1-（-2）”,則｛㈤｝的前7項和為（）

A.189B.191C.381D.383

6.（2026?河南駐馬店?模擬預(yù)測）已知數(shù)列㈤卜%=1,%=3且滿足q+2+a”=24s+l（〃eN）令

"二%-4,則數(shù)列，二二的前2026項和為（）

1013n1015—506n507

A.----B.----C.----D.----

2028202810131013

yl〃+4

7.（2026?重慶?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛叫，也｝的前〃項和分別為A.，紇，且年=亞工，則

■2^-+3%;（）

4+%4+4+&2

A.—B.—C.-D.1

3816192

8.（2026.陜西咸陽?二模）已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，且滿足4=2,—=S〃+2,則使得不等式

5"-（4一〃）之攵.2"成立的實數(shù)2的最大值為（）

A.—B.；C.1D.-

228

二、多選題

9.（2026.河南開封.模擬預(yù)測）設(shè)S”是等差數(shù)列｛q｝的前〃項和，若幾<0,—<-1,則（）

%

A.d<0B.㈤中最小值為同

C.當(dāng)S“取得最大值時，〃=8D.使S”>。成立的最大整數(shù)〃為14

10.（2026?福建三明?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛〃"｝滿足4+2出+…+2"-&=62〃，則（）

A.。“=〃+1

B.｛q｝的前〃項和為里?

C.｛（T）"4｝的前10。項和為50

D.｛|4-5|｝的前30項和為357

11.（2026?山東聊城,模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛/｝的前〃項和為5”嗎=1".+/=2-3",則下列結(jié)論正確的有

（）

A.數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列B.57=1639

3"

C.數(shù)列可-5是等比數(shù)列D.52/7=9^-1

12.（2026?黑龍江?模擬預(yù)測）定義：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數(shù)列，這樣的操作

叫作該數(shù)列的一次“美好成長招數(shù)列1,4進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列1,4,4；第二次得到數(shù)列I,

4,4,16,4；……,設(shè)第〃次“美好成長”后得到的數(shù)列為1,為，占，…，占，4,記q=log4（L%?玉?王”），

則卜列說法正確的是（）

A.%=5B.4=2"-1

c.。的=2%+1D.數(shù)列｛4｝的通項公式為4二手

三、填空題

13.（2026?湖南湘潭?二模）數(shù)列｛《,｝滿足%=1,《川=2%+1,則數(shù)列｛4｝的前8項和&=.

14.（2026?陜西西安?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛〃"｝滿足4=1,且可鬻.設(shè)S.表示｛6｝的前〃

項和，則S?0=.

15.（2026?北京豐臺?三模）《九章算術(shù)?均輸篇》記錄了古代物資統(tǒng)籌核算算法，現(xiàn)如今借鑒這一統(tǒng)籌思

路，某地鄉(xiāng)村振興落地光伏儲能惠民工程，分年度分批采購儲能光伏組件.項目采購方案規(guī)定：每年新增采

購的組件箱數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，項目第一年采購16箱，往后每一年都比上一年多采購3箱；受原材料價格

浮動影響，組件單箱采購市價逐年成等比數(shù)列，首年定價4元，價格每年變?yōu)樵瓉淼?倍.項目財務(wù)制度

約定，前〃年所有入庫儲存的組件，不在每年分次結(jié)賬，統(tǒng)一留存至第〃年年末，按照當(dāng)期最新市場單價一

次性核算全部貨款.則項FI運行滿4年時，結(jié)算總貨款為_____元；運行”年末核算總貨款的最簡代數(shù)式為

四、解答題

16.（2026?寧夏吳忠?三模）已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為S”,S“=3"-1,數(shù)歹U｛2｝是等差數(shù)列，且乙=%也=/.

⑴求數(shù)列｛4｝和｛"｝的通項公式：

（2）設(shè)%=4+包，求數(shù)列｛q｝的前〃項和北.

17.（2026?陜西西安?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項和為5“，且S”=〃2.

（1）求｛6｝的通項公式;

(2)若"=可與足三，記數(shù)列電｝的前〃項和，，求q％.

18.(2026.江蘇徐州.模擬預(yù)測)設(shè)S”是等比數(shù)列｛q｝的前〃項和，已知§2=4,

⑴求。“和3；

(2)設(shè)勿=金一,求數(shù)列｛"｝的前〃項和

19.(2026?湖南湘潭?三模)已知數(shù)列也｝和｛〃,｝滿足〃“=凡+凡”+L+生”

⑴若《=2",求2―仇+仇的值；

(2)若/=〃，且?+…恒成立，求/的取值范圍；

b、b?bn3

⑶設(shè)％=。“一2〃+1,若勿=3/+2〃-1,證明：c2?+1+c2?+2=c?.

20.（2026?天津二模）已知數(shù)列4:%竹-4（〃22）的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合7=｛川工=%-小14</。｝,

記丁的元素個數(shù)為P（T）.

⑴若數(shù)列4:123,5,求集合7；

（2）已知｛4｝為正項等比數(shù)列，4=4,%是6%與8%的等差中項.

⑴求尸任）;

3）令）之2）,求才（-皿.

"V）

答案解析

真題匯編

考點01等差數(shù)列

1.（2026?上海卷?高考真題）下列數(shù)列中是等差數(shù)列也是等比數(shù)列的是（）

A.1,-1,1,-1,1B.1,2,3,4,5

C.5,5,5,5,5D.1,2,3,5,7

【答案】C

【分析】設(shè)該數(shù)列為｛凡｝,由題可得，「4="，*=夕凡，其中〃為常數(shù)，據(jù)此推得

qT=0=d,即得該數(shù)列為非零常數(shù)列，即可判斷.

【詳解】設(shè)該數(shù)列為｛q｝,則該數(shù)列滿足4+1=44,其中“wO.

則見+「6=（。-1）4="，因小〃為常數(shù)，該式對任意正整數(shù)成立，則夕7=0=4,

從而該數(shù)列為非零常數(shù)列，由選項知只有C滿足題意.

故選：C

2.（2026?新課標(biāo)全國I卷?高考真題）一百零八塔位于寧夏回族自治區(qū)青銅峽市，以其獨特的

建筑格局和深遠(yuǎn)的歷史文化聞名遐邇.該塔群共有1（）8座塔，依山勢自上而下排成12行，將

第i行中塔的座數(shù)記為q（i=l,2,…,12）,其中4=1,%=%=3,4=巴=5,且4,%,…，氣是

一個首項為7,公差為2的等差數(shù)列.將4,%,…，即分為6組，每組2個數(shù)，使得每組的

2個數(shù)之和可構(gòu)成一個項數(shù)為6且公差為以4＞。）的等差數(shù)列，則"=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】由條件求出數(shù)列｛4｝的前12項的和，設(shè)新數(shù)列為｛〃,｝,設(shè)其公差為d,由條件可得

=結(jié)合選項判斷即可.

【洋解】由已知4=1,%=%=3,4=%=5,4=7+2（，-6）=2"5,/=6,7,8,9,10,11,12,

設(shè)新數(shù)列為四｝,〃=123,4,5,6,

由已知數(shù)列也｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,d＞（）,

又小｝的前12項都為奇數(shù)，｛4｝所有項都為偶數(shù)，

由己知d為正偶數(shù)，A為正偶數(shù)，

則64+殍xd=108,&z?,+|d=18,

若d=2,則4=13,矛盾，

若d=6,貝lj仇=3,矛盾，

若d=8,貝lJ4=-2,矛盾，

若d=4,則々=8,此時可取〃=4+4=8,瓦=%+%=T2,々=%+4=16,

d=%+%=20,々=%+42=24,%=%+60=28,滿足要求.

3.（2026?北京卷?高考真題）已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S”，且S6=6〃6+30,則公差d=

，若ST/恒成立，則符合條件的《的一個取值為.

【答案】-29（答案不唯一，滿足844410即可）

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式與通項公式，代入己知等式建立關(guān)于公差d的方程求解;

由S.MS，恒成立可知凡為前〃項和的最大值，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性得到見之。且4《。，代入公差

，/=-2解不等式即可得到％的取值范圍，選取范圍內(nèi)任意值即可.

【詳解】等差數(shù)列的前〃項和公式為1=叫+^通項公式為4=4+57”.

6x5

*/S6=6q+2d=6?1+\5d,ab=4+5d,

/.6a=6（q+5J）=6%+304.

由56=6a6+30,得6q+154=64+30d+30,

消去等式兩側(cè)的6q,整理得-15d=30,解得d=-2.

???J=-2＜（）,等差數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，且S/5,恒成立，

???S，為前〃項和的最大值，即數(shù)列前5項非負(fù)，第6項及以后非正，即｛：：2

q+4d=q-820

代入通項公式得J解得8工440,

4+51=4-10?0

取％=9即為符合條件的一個取值.

4.（2026?上海卷?高考真題）已知等差數(shù)列｛%｝中，4=0,公差為d,其前.〃項和S”在區(qū)間（0,1）

內(nèi)至少有兩項，則公差d的取值范圍是__________.

【答案】[ol]

【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式列式計算求解.

【詳解】根據(jù)已知前F項和X在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩項，則得出d>0,

且$=o,｛SJ是單調(diào)遞增的，所以必須滿足S2?0,l),S3?0,l),

所以52=”€(0,1),&=3"?0,1),所以

考點02等比數(shù)列

1.(2026?新課標(biāo)全國I卷肩考真題)設(shè)實數(shù)滿足：存在數(shù)列依｝,使得對于任意均

有%+/+…+%”=/+〃，且｛qj中有某連續(xù)9項見，a7，L,牝+8是公比為。的等比數(shù)列.貝W

的最大值為.

【答案】C

【分析】由前3〃項和公式推出每連續(xù)三項的和7；=2〃.將連續(xù)9項按起始位置模3分類，每類

中利用三項塊和等于2〃得到關(guān)于公比4的比例關(guān)系，通過相鄰塊和之比解得/的上界，即可取

得最大值.

【詳解】令7L=%”-2+*+%”，由題意得4=(〃2+n)-[(w-l)2+(w-l)]=2n,

因此每個三項塊紇的和為2〃.

設(shè)這9項為陽)M”，記C=l+q+/.由于C>0,且完整三項塊和均為正,

下面按攵除以3的余數(shù)討論.

若k=3/〃+l(〃?N0),這9項正好包含三個完整三項塊，

得xC=2(m+1),Yq3r=2(nz+2),x/fC.=2(,”+3),

于是/=岑且/="三，矛盾，故這種起點不存在.

m+1m+2

若k=3/〃+2(〃此0),其中兩個完整三項塊為第,+2塊,第〃?+3塊，

得xq'C=2(〃?+2),xqsC=2(”?+3),所以"=4].

m+22

若4=3血6N1),其中兩個完整三項塊為第〃7+1塊，第〃?-2塊，

得MH),必七=2(…,所以八鬻《|

綜上夕乜?!，所以即g的最大值為《(.

2.(2026?上海卷?高考真題)己知｛4｝為等比數(shù)列，4=2,%=6,貝h4=.

【答案】54

【詳解】設(shè)數(shù)列｛禺｝的公比為9,則夕=0=3,則4=府=2*3=54.

a\

考點03數(shù)列的遞推公式與求和

1.(2026?天津卷?高考真題)已知S2,「S“=〃，％=6,則%+&=()

A.68B.56C.-3D.-4

【答案】C

【分析1根據(jù)前〃項和的含義，依次令〃=2,3,4,逐步計算即可得到結(jié)果.

【詳解】由s「s.=〃，得

S2-S)=1,即生=1;

S4-S2=2,即%+4=2；

因為%=6,所以。4=-4；

$6-53=3,即可+火+4=3,所以%+%=7；

S「S、=4,即生+%+%+仆=4,所以％+《=—3.

2.(2026?北京卷?高考真題)&｝,也｝是無窮數(shù)列,則“存在常數(shù)M,使々/"""Sms…)”

是“4々5=1,2,3,…)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】通過驗證充分性與必要性，即可得出結(jié)論.

【洋解】由題意，

｛〃”｝,但｝是無窮數(shù)列，

驗證充分性：

當(dāng)存在常數(shù)M,使%<M<bn(n=1,2,3,…)時,

an<M(n=1,2,3,…)，M<b,t(n=1,2,3」??),

q445=123,…)顯然成立,

驗證必要性：

當(dāng)/=〃，包=〃2時，此時滿足

假設(shè)存在常數(shù)M,使=…)成立,

當(dāng)，2f+00時,an=〃一?+8,bn=/Jf+oo,

此時，M需同時“不小于無限增大的〃'’和"不大于無限增大的

但不存在這樣的固定常數(shù)M,

???當(dāng)凡能時，無法必然推出“存在常數(shù)M"，即必要性不成立，

???“存在常數(shù)M,使q<加地(〃=123,...)”是“可.(〃=1,2,3,..尸的充分不必要條件

3.(2026?天津卷?高考真題)已知等差數(shù)列｛叫與等比數(shù)列出｝滿足：4=2,4=1,%=b\+A,

久也一”.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

(2)記紇=卜右叫彳。，被wZ,尤=4或3=4),記q為E,中的元素個數(shù).

(i)求

(ii)求

7M=I

【答案】(1)%=2〃也=3"T

c、/?、1V1,??、321+(4〃-6)3"+3

(2)(1)S-=2-3+/2+2；(11)-----——.

【分析】(1)通過基本量計算即可求得通項公式；

(2)(i)分析｛%｝和低｝項的特征，結(jié)合集合E”的定義即可得解；(ii)利用分組求和法和錯

位相減法求和即可.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列乩｝的公差為人等比數(shù)列也,｝的公比為

因為4=2,々=1,%=4+4，%=4-〃，

所以即。：3解得比或｛篙（公比不能為。，舍去），

所以4=2〃也=3"T

（2）（i）由（1）知4為偶數(shù)，4為奇數(shù)，所以數(shù)列｛&｝和｛2｝沒有相同項，

根據(jù)題意，集合其中的元素由數(shù)列｛4｝和色｝中小于等于〃項組成，

小于3"的正偶數(shù)有三9個,由廣七3"得攵<〃+1,

所以數(shù)列｛〃“｝中小于等于3"的項有'呆個，｛"｝中小于等于3”的項有F+1個，

所以％=工^+〃+1=。3"+〃+：.

3222

（ii）當(dāng)3MMm<3/時,他｝中小于等于，的項有i個,

又，*為偶數(shù)時，｛q｝中小于等于，〃的項有3個，〃，為奇數(shù)時，｛q｝中小于等于，〃的項有”個,

i+ghW機<33eN]〃為偶數(shù)

所以q=，

i+-----,3,_|<m<3',z€N*,m為奇數(shù)

2

斫_2im+"/,3“<；H<3\/eN\機為偶數(shù)

'2im+m（，〃一1）,3<1<W<3\/GN\m為奇數(shù)，

從勺T到q一￡一共有3'T-（3小-1）=2.3”項，

又次為奇數(shù)時，

――4￡”=2i（〃?+1）+（加+1/-2itn-m｛m-\）=2i+1+3m

所以￡（T）E%C”=3'T⑵+1）+3[3，T+（3"+2）+（3I+4）+...+（3-2）-

m=3,T

=3"（2i+l）+3?=/⑵-2）+6?9i，

3n-l31-!32-l3"-I

所以Z(T)"&J=￡(T)"4%+Z(7)"4%+??T￡(一1)"Z,￡.

w-lm=J0m-317nss31*"

=(D-30+6-90)+(2-3l+6-91)+(4-32+6-92)+---4-[(27?-2)3,,',+6-9/,_,]

=[D-3°+2-3,+4-324----+(2H-2)3,,_,]+6(90+9,+92+---+9,,_|)

=[2-3,+4-324----+(2/?-2)3"-,]+6-!^-

=[2?31+4了+…+(2〃-2)3"-[+[(9"-1)

令S〃=28+43+…+(2〃—2)3"T①，

貝IJ3s”=2?32+4?33+…+(2〃-2)3”②，

①-②得—2S”=2儼+3?+…+3"T)-(2〃-2)3"

3(1-3"-').、

=2--->----<-(2^-2)3n

=-(2〃-3)3”-3,

所以S.二生誓，

所以叫=生等+如T4“+(4丁)3”-3

/n-l244

考點04數(shù)列中的新定義

1.(2026?北京卷?高考真題)設(shè)A=(%L是一個加行〃列的數(shù)陣，且數(shù)陣中的每一項。產(chǎn){T1},

都等于1或-1.若對任意iwi，p。?，iwj，q。,其中iwp,j*q,且|卜-〃|-"-同=2,都有

%+a,q+%+a陷=。，則稱數(shù)陣4具有性質(zhì)P.

(1)判斷下列兩個數(shù)表是否具有性質(zhì)尸.

11-11

A-

-11-11

11-1-1

A2=

1-11-1

-11-]1

（2）在所有具有性質(zhì)產(chǎn)的5x4數(shù)陣中，1的個數(shù)最多是多少？

⑶若〃?=〃=6,%=1,且數(shù)陣A具有性質(zhì)P,證明：對任意i,。若2,3,4,5,6},都有為=《必八

【答案】（1）數(shù)表A不具有性質(zhì)產(chǎn)，數(shù)表4具有性質(zhì)A

⑵12

⑶性質(zhì)P中的四個數(shù)都屬于{-覃},且四個數(shù)的和為0,所以其中恰有兩個1和兩個T.

因此，對任意滿足性質(zhì)。下標(biāo)條件的四個位置，都有《凡產(chǎn)，”印①，

對i=1,2,..6,/=1,2,...,5,令Cjj—4%,+]?

先取行距為3、列距為1的矩形.

由①，對，=123及/=?.,...,5,有=L

由于小cMje{-l,l},所以q+3j=%②，

下面比較第1行與第2行的c值.

對）=1,2,3,4,取第1、5行和第八j+2列.

此時行距為4,列距為2,由①得色兒川）佃#5）=1.

由②知=々，故（%。2,）（。3。2,川）=1③,

令

則由③得"Mx=1,所以4=4=W=4=4?

再取第1、2行和第1、4列.

此時行距為1,列距為3,由①得（。￡2。3）（。21%%）=1，即4d24=1.

由于4=&=出且4?-11},所以4=1.

從而5=C2＞（J=I,2,...,5）（4）,

同理，取第2、6行和相距2的兩列，再取第2、3行和相距3的兩列，可得。2尸。3/（/=1，2，...，5；^,

結(jié)合②、④、⑤，可知對于每個/=1，2，.…5,都有“=%=,-=。6」⑥，

當(dāng)）=1時,由％=1,顯然有%=4小.

當(dāng)”2時，由⑥，由中間因子均成對出現(xiàn)，且成=1,有41%=(%%)(%%)?,?(%》％)=。,&…。但

再由⑥，CilCi2''，Ci,J-l=C\1。12',j~a\j'

兩邊同乘即,并利用若川，得%=%%/

命題得證.

【分析】(1)性質(zhì)產(chǎn)的下標(biāo)約束條件，選取符合要求的四元組代入驗證，若存在不滿足和為()

的組合則不具有性質(zhì)乙反之則具有性質(zhì)匕

(2)由性質(zhì)產(chǎn)的和約束推導(dǎo)行列符號的等價乘積約束，確定每行1的最大可行數(shù)量，結(jié)合行

之間的符號交替規(guī)律計算總1的個數(shù)的上界，構(gòu)造符合條件的實例證明上界可達.

(3)利用性質(zhì)P的乘積等價性質(zhì)，結(jié)合如=1的初始條件，先驗證差為2的下標(biāo)組合，再通過

遞至推廣到所有下標(biāo)"，完成證明.

【詳解】(1)對于A,只有兩行，所以行距只能為1.

要滿足I行距-列距1=2,列距只能為3.

取第1、2行和第1、4列，四個頂點之和為1+1+(-1)+1=2工0.

所以A不具有性質(zhì)P.

對于4,行距為1時，列距只能為3；行距為2時，不存在符合條件的列距.

因此，只需檢驗相鄰兩行與第1、4列組成的兩個矩形.

第1、2行對應(yīng)的四個頂點之和為1+(-1)+1+(-1)=0.

第2、3行對應(yīng)的四個頂點之和為1+(-1)+(-1)+1=。.

所以為具有性質(zhì)兒

(2)設(shè)第i行元素之和為

/=1

先考察第1行與第4行.

令Xj=4j+a4J(j=1,2,3,4).

對產(chǎn)1,2,3,第1、4行的行距為3,第八/+1列的列距為1,由性質(zhì)2得巧+%1=。

因此=一%1，%3=XltX4=-X],從而$+$4=%+巧+七十七=6

同理，考察第2行與第5行，可得％+S5=0?

所以整個數(shù)陣所有元素之和為0+Q+邑+1+大=%W4.

設(shè)數(shù)陣中1的個數(shù)為N.

數(shù)陣中共有20個數(shù)，因此-1的個數(shù)為20-N,從而N-(20-N)W4.解得N412.

下面說明12可以達到.

/1-1-1］、

-111-1

取A=1111.

-111-1

J-JL

該數(shù)陣中共有12個1.

對于5x4數(shù)陣，可能的行距、列距組合只有(1,3),(3,1),(4,2).

當(dāng)行距、列距為(L3)時，相鄰兩行第1、4列的四個數(shù)之和均為0：

當(dāng)行距、列距為(3,1)時，第1、4行以及第2、5行對應(yīng)各列的元素之和均為0；

當(dāng)行距、列距為(4,2)時，第1、5行與相距2的兩列組成的四個數(shù)之和也為0.

所以該數(shù)陣具有性質(zhì)乙且1的個數(shù)為12.

因此，I的個數(shù)最多為12.

(3)略

模擬題匯編

一、單選題

1.(2026?北京順義三模)已知｛凡｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=2若%必，4成等比數(shù)歹U，

則%=()

A.-20B.-16C.16D.18

【答案】B

【詳解】已知｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，首項為4=2,設(shè)公差為d,

則%=4+(〃-1”=2+(〃-1),/,

q=2+2d、4=2+3d,%=2+5d,

已知％嗎,&成等比數(shù)列，

則|：2+3c/)2=(2+2d)(2+5d),

展開整理得/+2d=0,解得d=。（舍去）或〃=-2,

:.d=-2t

.,.q（）=q+9d=2+9x（-2）=-16.

,5%+1,凡為奇數(shù)

2.（2026?浙江嘉興?二模）數(shù)列｛叫滿足4=3,〃用=為，則％=（）

2

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】結(jié)合遞推公式依次計算即可.

【詳解】々2=54+1=5x3+1=16,^=-y=-y=8,

a、8

?=77=7=4?

422

3.（2026?山東煙臺?二模）己知｛%｝是等差數(shù)列，其公差為4,前〃項和為S”，貝廣〃>0”是“數(shù)

列設(shè)“｝為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【詳解】若q=-2/=1,滿足d>0,此時生=-1<0,S2<S,,不滿足數(shù)列｛S,J為單調(diào)遞增數(shù)列，

充分性不成立；

若用=19=0,此時S.=〃，滿足數(shù)列｛，｝為單調(diào)遞增數(shù)列，但d>0不成立，必要性不成立；

所以“>0”是“數(shù)列電｝為單調(diào)遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.

4.（2026?廣東東莞?三模）記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，己知4=2,5.=消-1,則為=（）

A.18B.54C.81D.162

【答案】D

【分析】結(jié)合前〃項和50與通項巴的關(guān)系式求解巴,再根據(jù)數(shù)列的通項公式求出生.

【詳解】由S”=會“-1可得當(dāng)"N2時，S"_|-1,

兩式相減得4,=》-京t，整理得—N2）.

4

又由4=2及52=4+/=5。2-1可得%=6,滿足。2=3%.

乙

故，“｝是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，通項公式為勺=2-3"」，

代入〃=5得％=2x3,=2x81=162.

5.(2026?天津?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為九5n=l-(-2)\則｛㈤｝的前7項和為

()

A.189B.191C.381D.383

【答案】C

【詳解】已知5“=1-(-2)”，

當(dāng)幾=1時,4=1-(-2)=3,

當(dāng)心2時，/=—=2)"士(一2廣=3(-2廣\

〃=1時，3-(-2)°=3,

???可=3.(-2廣,

邛」=卜.(-2廣卜32、故｛同｝是首項為3,公比為2的等比數(shù)列，

.,?｛|可|｝的前7項和為:寫JI/=3(27-1)=3x127=381.

6.(2026.河南駐馬店.模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛叫:4=1，%=3且滿足—+4=2~+l(〃Nj

令b—”,則數(shù)列［1］的前2026項和為()

M3221^-n迎

?2028?2028c,1013*JOB

【答案】A

【分析】由題意可得4=2,再根據(jù)4.2+4=24用+l(〃wNj得到低｝為等差數(shù)列，最后利用裂項

相消法即可求解.

【詳解】令〃=1,可得4=々-《=2,

由%+2+%=2agi+1("￡N+)變形可得an+2-an+l=。向一%+1(〃e2)，

則%-包=l(〃eNj,

所以也｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以d=〃+l(〃wNj,

11_1_____1_

則力％一(〃+1)(〃+2)一〃+1〃+2'

故數(shù)歹/_!_，的前2026項和為工一!+!—！+……-----—=1一一—.

[他+J233420272028220282028

7.(2026?重慶?模擬預(yù)測)設(shè)等差數(shù)列｛%｝,｛"｝的前〃項和分別為4，紇，且，=碧，則

-^-+——=()

4+4ob、+bi+bl2

A.B.tC.攙D"

3816192

【答案】C

【詳解】因為4+10=2x7,所以％+"=也，

因此力一黑一皆，

力&+402b7“7

因為4+々+%=h+(fi+7d)+也+1Id)=必+18d=3佃+6d)=物，

一..3a,3/CL

因此/…/…八=歹=7，

所以原式化簡為菅+A色冷，

而知+%=2《，所以原式為華"，

而因為s*=('"+%"一；)(2"-1)=2%(：-1),所以q=2，

222〃-1

則”吟,偽嚕，

A.

代入得，等=2x￥=2x[x去，

后￡1311%

13

而已知的需，

設(shè)4=也(〃+4),紇=如(3〃-1)(女為非零常數(shù))，4=2x11x(11+4)=1654,

43=^x13x(3x13-1)=494%,

所以普2金165k=2X13X15=390=15

11494Z49449419,

8.(2026?陜西咸陽?二模)已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.,且滿足4=2,0向=邑+2,則使得

不等式S,「(q「〃)Nh2”成立的實數(shù)2的最大值為()

A.B.gC.1D.1

【答案】B

【分析】根據(jù)S“和與例的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)，即可求解得到數(shù)列｛q｝本身的通項，表示

S.，代入到原不等式中，通過比較即可求解.

【詳解】因為4+7+2,因此當(dāng)〃22時，4〃=S.T+2,

所以兩式相減得，勺+-40=S,,-S,T=%,所以%=24,讓2,

當(dāng)哼1時，生=，+2=2囚，滿足遞推關(guān)系，所以｛q｝的遞推公式為。的=2/，

則&｝為首項為2,公比為2的等比數(shù)列，通項公式為勺=2",

因此S=2(J2)=2"+-2,

”1-2

代入0「(。“-〃)之-2〃得，2,人2-(2〃-〃)之匕2"，化簡得yi+M，

設(shè)〃〃)=1+展,則上式等價于左?/(〃),,

所以，“〃+1)-小)=1+下71----1+亍廣尹，

當(dāng)”3時,3-〃>0,+/(〃)單調(diào)遞增，當(dāng)〃>3時,/(〃+1)-/(〃)<0,3-〃<0,

/(〃)單調(diào)遞減，

41)=；,/(2)=1,當(dāng)〃23時，〃-2>0,所以因此/(〃)的最小值為g,

即上?；,因此女的最大值為:，

故選擇B選項.

二、多選題

9.(2026?河南開封?模擬預(yù)測)設(shè)S“是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若九<0,^<-1,則()

A.d<0B.|勺|中最小值為|蜀

C.當(dāng)工取得最大值時，〃=8D.使S”>()成立的最大整數(shù)〃為14

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求得小+為>。，且出>0,4<0,

結(jié)合選項，逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】A,由臬="的產(chǎn)=]5仆<0,可得％<0,

因為F<T，可得%>一%>°，所以d=4/<。，正確;

B,由A分析/+g>。且/<0,所以%>0且同〉同，正確；

C,在等差數(shù)列加“｝中，由%>0且6<0,

1<77<7,7：eN*0^,得%>0；當(dāng)〃28,〃eN*時，得%<0,

所以S“取得最大值時，〃=7,錯誤；

D,由幾=14(%；即)=7(%+4)>0,且?guī)?lt;0,

所以使得5.>。成立的最大整數(shù)〃為14,正確.

10.(2026?福建三明?模擬預(yù)測)己知數(shù)列｛叫滿足q+2生+…+2"&=小2”,則()

A.a?=n+\

B.｛〃“｝的前〃項和為曳?

C.[(-1)"q｝的前10()項和為5()

D.｛|q-5|｝的前30項和為357

【答案】ACD

【分析】利用%與S”關(guān)系求出%=〃+1,結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式依次判斷選項即可.

【詳解】當(dāng)〃=1時，q=2,

當(dāng)〃之2時,q+24+???+2”24_=(〃_1).2"T,

兩式相減可得：2"-4=〃2T〃T)-2"T=5+1).2"T,

所以+顯然當(dāng)〃=1時，4滿足％,故%=〃+1,故A正確；

由等差數(shù)列求和公式知｛q｝的前〃項和為“2；〃+1)=粵J故B錯誤；

令b'=(-l)Z=(T)"(〃+l),｛0｝的前100項和為:

-2+3-4+5+…-1(X)+101=1x50=50,故C正確；

令ca=|q一5|=|〃一4],所以｛?-5|｝的前30項和為：c,+c24----+^=34-2+1+0+1+2+---+26

=6+27x（0+26）=357,故D正確.

2

11.（2026?山東聊城?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛&｝的前〃項和為5“嗎=1.%+%=2.3"，則下列結(jié)論

正確的有（）

A.數(shù)列｛〃”｝是等比數(shù)列B.$=1639

C.數(shù)列上”-53"是等比數(shù)列D.5筋=9"-1

【答案】BC

【分析】計算出4，%，%結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷A；分別令〃=2,4.6可判斷B；根據(jù)等比數(shù)

列的定義可判斷C；根據(jù)C選項寫出％的通項，然后利用分組求和即可，或者直接根據(jù)遞推

公式結(jié)合等比數(shù)列求和公式可判斷D.

【詳解】?.?%+4=23,

，當(dāng)〃=1時，4+4=6.

。q=1,/.a2=5,

當(dāng)n=2時,4+“2=】8,

二.q=18-5=13.

/4'&，

???數(shù)列｛q｝一定不是等比數(shù)列，故A錯誤；

:%+1+%=2?3",?,?當(dāng)〃=2時，%+一=18；

當(dāng).=4時,a5+a4=162?當(dāng)〃=6時，a7+a6=1458.

vd,=1,/.S7=1+18+162+1458=1639,故B正確；

,?,見+I+。”=23',

?'?%=2.3"-勺，

3"+i3"+''3n、

???凡+|一丁=23”一一---an=-an~~.

1

2

3"[1

??數(shù)列。「+是首項為公比為-1的等比數(shù)列，故C正確;

方法一：由c可知,?=~x(-ir,=tlL,

〃22、,2

30+(-ir

---，

???邑”=3[(3+32+33+?一+32”)+(-1)+1+(—1)+-?+(—1)+1]=《＞：^^_^=^^'故D錯誤.

2,,_|

方法二：an+i+。“=2?3”,:.％+的=2?3i,%+/=2?31…,/“-I+02n=2-3,

s32/,",

■--2?=a]+a2+ay+aA+---+a2n_,+a2n=2-3'+2?3+?-?+2?3)=3：-3,故D錯誤.

12.(2026?黑龍江?模擬預(yù)測)定義：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數(shù)列，

這洋的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長將數(shù)列1,4進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列1,

4,4；第二次得到數(shù)列1,4,4,16,4；……,設(shè)第〃次“美好成長”后得到的數(shù)列為1,…2,…,

公，4,記4=log4(l-x*2?+4),則下列說法正確的是()

A.%=5B.k=T-\

C.%=2%+1D.數(shù)列｛〃“｝的通項公式為勺=?

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給出的新定義數(shù)列變化形式，找出數(shù)列中左與〃之間的變化關(guān)系，列出變化等式，

進而判斷選項即可.

【洋解】初始數(shù)列：1,4；

第一次成長：1,4,4,乘積”1x4x4=16=42,4=峭4'=2；

第二次成長：1,4,4,16,4,乘積：6=1x4x4x16x4=45,

5

^2=log44=5；故A正確

記〃次“美好成長”后的數(shù)列有4項，則%="+”一,即％-1=2色,-1),

又瓦-1=2,所以數(shù)列也「1｝是以2為首項和公比的等比數(shù)列,

故=2=2"+1,

所以&=勿-1=2"-1,故B正確

因為每次插入的新項為原數(shù)列中相鄰兩項的乘積，

故心=(1?5?G…?4?4)(1?%)(8.真)(一?0)??(k,X*)(0-4)

故%=log/川=1嗚；W=[og4｝log汨=T+3log",=-1+34,

則%+1=3。“-1,故C錯誤，

由此4出一；=3(勺一；)，

因此數(shù)列n-皆為等比數(shù)列，首項為4弓=|,公比為3；

故%一;=33"--弓，解得/=\1,故D正確.

三、填空題

13