高考數(shù)學-解析幾何 拋物線 （學生版）

拋物線

激活思維

1.（教材經(jīng)典題改編）拋物線V=4x的焦點坐標是（）

A.（0,2）B.（0,1）

C.（2,0）D.（1,0）

2.（教材經(jīng)典題改編）已知拋物線>=32上一點力的縱坐標為%則點力到

拋物線焦點的距離為（）

171

A.—B.—

1616

C.6D.5

3.（教材經(jīng)典題改編）已知直線/過拋物線N=20Q>O）的焦點，且與拋物線

交于4B兩點、,若線段43的長是12,4B的中點到x軸的距離是4,則此拋物

線的方程是（）

A.x2=\2yB.x2=8v

C.x2=6yD.x2=4y

4.（教材經(jīng)典題改編）已知拋物線N=ay與直線y=2x—2交于N兩點,

若MN中點的橫坐標為3,則此拋物線的方程為.

5.（教材經(jīng)典題改編）已知拋物線■3>0）上一點M（3,。與焦點戶的距

離|/S=p,則點M到坐標原點。的距離為.

聚焦知識

1.拋物線的概念

平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/（/不經(jīng)過點/）的距離的點的軌跡

叫做拋物線，點尸叫做拋物線的，直線/叫做拋物線的

龍考檄號

2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)

y2=-2px(px2=-2py(p

y2=2px[p>Q)x2=2py(p>0)

標準方程>0)>0)

〃的幾何意義：焦點/到準線/的距離

/V

圖形o1大

對稱軸X軸舶

年,0)尸仔,0)F[0'

焦點坐標5,f)4)

-_pP

準線方程xY——x=-y=

22~2'2

范圍x20,y^RxWO,y￡Ry20,x￡R?v^O,x￡R

開口方向向右向左向上向下

題型突破思維拓展

目版11拋物線的定義及應用

例1(1)已知拋物線Cy2=2x的焦點為R準線為/,點尸在。上，過點

。作準線/的垂線，垂足為兒若/FPA」,則『用=()

3

A.1B.

C.D.2

(2)已知拋物線尸=8x的焦點為尸，P(x,川為拋物線上一動點，點4(6,3),

則力/周長的最小值為()

A.13B.14

C.15D.16

?總結凝煉A

(1)“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線“，許多拋物線問題均可根據(jù)定

龍考檄號

義獲得簡捷、直觀的求解.

（2）與拋物線有關的最值問題：將拋物線上的點到準線的距離與該點到焦點

的距離互化，根據(jù)“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊“，使問

題得以解決.

變式1（1）（2025?呂梁三模）已知拋物線丁=匕2上的點。到其焦點的距離

4

為4,則點尸的坐標為.

（2）已知拋物線產(chǎn)=4工的焦點為尸，點M在拋物線上.若點。在圓（x—3＞+

"=1上，則也+的最小值為（）

A.5B.4

C.3D.2

目頓間拋物線的幾何性質(zhì)

視角1焦半徑

例2—1（2025?新高考II卷）設拋物線Cf=2〃的＞0）的焦點為凡點n在

。上，過4作。的準線的垂線，垂足為&若直線8/的方程為y=—2x+2,則

|叫=（）

A.3B.4

C.5D.6

＜總結提煉＞

拋物線f=2*9＞0）上一點尸（項），泗）到焦點0）的距離|尸日=沏+$

也稱為拋物線的焦半徑.

變式2—1已知拋物線C：7=4人的焦點為凡準線為/,P是/上?點,

常考撤號

。是直線。尸與。的交點，若港=4而，則|尸。|=（）

32

A.-B.-

23

34

C.一D.-

43

視角2焦點弦

例2-2己知拋物線產(chǎn)=2pMp是正常數(shù)）上有兩點力⑺，%），Bgg），

焦點、為F.給出下列條件：①X1X2=5；②yi、2=—p2；③。4?。8=—；//；④總

以上是“直線45經(jīng)過焦點0'的充要條件的個數(shù)為（）

尸閡P

A.0B.1

C.2D.3

<總結提燎a

設力8是過拋物線產(chǎn)=2川。>0）的焦點尸的弦，力Qi,為），8a2,"），則：

（1）弦長|48|=占+.丫2+〃=’-（口為弦力8的傾斜角）.（2）以弦48為直徑的圓與

sin2a

準線相切.（3）過焦點且垂直于對稱軸的弦（通徑）的長為2p,通徑是過焦點最短

的弦.

變式2—2（2025?武漢2月調(diào)研）已知。為坐標原點，過拋物線產(chǎn)=2*仍

>0）焦點的直線與該拋物線交于力，6兩點，若|<6|—12,且△046的面積為

4\/6,則p=（）

A.4B.3

C.27%D.3V2

微探究阿基米德三角形

龍考檄號

拋物線x2=2py在點M（x\,歹|）處的切線方程為xix=p（”+yi）;

拋物線f=2川在點M3，刃）處的切線方程為yu=p（x+xi）.

例3（2025?湛江一模）已知拋物線C：V=2〃Mp>0）的焦點為F,A,B為

C上的點（點力在點。上方）.過點兒片分別作C的切線小，2交于點R。為

坐標原點，當△048為正三角形時，其面積為48、萬.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若直線NB經(jīng)過點兒求動點尸的軌跡以及點。到直線4B的距離的最

小值.

，總結提煉A

拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形,

如圖.

性質(zhì)1:阿基米德三角形的底邊上的中線M0平行于拋物線的對稱軸.

性質(zhì)2:若阿基米德三角形的底邊月3過拋物線內(nèi)的定點C,則另一頂點。

的軌跡為一條直線，該直線與以點。為中點的弦平行.

性質(zhì)3:若直線/與拋物線沒有公共點，則以/上的點為頂點的阿基米德三

角形的底邊”過定點

（若直線/的方程為〃x+by+c=0,則定點的坐標為。卜—

性質(zhì)4:底邊AB的長為a的阿基米德三角形的面積最大值為一.

常考核號

性質(zhì)5:若阿基米德三角形的底邊48過焦點，則頂點。的軌跡為準線，且

阿基米德三角形的面積最小值為少.

變式3（2025?德州模擬）已知拋物線氏），2=2x的焦點為凡且力，8,C

為E上不重合的三點.

（1）若己+花+丘=0,求同|+|前十|由的值；

（2）過兒8兩點分別作E的切線小，2，且人與，2相交于點。，若0陰=4,

求△/出。的面積的最大值.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.（2026?福州期初）已知拋物線C：產(chǎn)=2〃心＞0）的焦點為凡準線為/,

直線歹=3與/交于點若|MF|=5,則p=（）

A.1B.2

C.4D.8

2.已知M為拋物線y=4x上的動點，尸為拋物線的焦點,點尸（1,1）,則|〃尸|

+|人用的最小值為（）

A.2B.4

C.8D.16

3.（2025-萍鄉(xiāng)二模）已知點。（-4,0）及拋物線C：y2=4x上一點0,若線段

尸。的垂直平分線經(jīng)過。的焦點，則。的橫坐標為（)

A.3B.4

龍考檄號

C.5D.6

4.（2025?濟寧一模）設尸為拋物線C：產(chǎn)=6工的焦點，過少的直線交。于

A,B兩點,若|"]=3|8用,則陽=（）

A.2B.4

C.6D.8

二、多項選擇題

5.（2026-麗水、湖州、衢州11月質(zhì)檢）設拋物線C：V=2/?（p>0）的焦點

為F,準線為/,過點廠的直線交。于4,B兩點,以尸為圓心，尸川為半徑的

圓交/于N兩點.若/MJJ,|E4|=6,則（）

A.p=2

B.直線力尸的斜率是上

C.|/B|=8

D.△4WN的面積是184

6.（2025?新高考I卷）設拋物線C：V=6x的焦點為凡過b的直線交C

于4,B兩點,過力作/：工=一^的垂線，垂足為。，過產(chǎn)且垂直于48的直線

2

交/于點E,則（）

A.\AD\=\AF\B.\AE\=\AB\

C.|/8|26D.

三、填空題

7.（2025?南通一調(diào)）己知拋物線C：產(chǎn)=4x的焦點為R直線/的傾斜角為

45°,且/過點凡若/與C相交于N,8兩點，則以為直徑的圓被y軸截得

的弦長為.

8.（2025?蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知拋物線G：f=4y,C2：小二一^的焦點分

龍考檄號

別為a，r2,一條平行于y軸的直線分別與c，G交于4B兩點.若MQ|=

|8BI，則四邊形的周長為.

9.(2026?惠州一調(diào))若動點M到定點F(2027,0)的距離與它到直線工+29一

2027=0的距離相等，則動點M的軌跡是什么？某學生認為：“平面內(nèi)到一個

定點和一條定直線距離相等的點的軌跡是拋物線.”由此判斷動點”