2026年高三數學一輪復習之一題多變講義：第2題 抽象函數（高三備考）學生版+解析

第2題抽象函數綜合問題(一題多解)

已知定義在R上的函數八制滿足：對Vx,yeRJ(X+)，)/(%-)，)=/2(幻一尸”)，且/⑴=2,

函數f(3x+l)為偶函數，則()

A./(0)=0B./(4-x)+/(x)=0C./(x)為偶函數D.￡f(k)=2

賦值法

思路分析

詳細解析

令x=)，=。，所以/2(O)=/2(O)_/2(0)=O,于是八0)=0,A正確；

令4=0,所以=/2(O)-/2(y)=-f\y),于是/(3，)"(一)，)+/()，)]=0,

又〃y)不恒為0,所以f(y)+f(-y)=o,于是/⑶為奇函數,c錯誤;

因為函數.*34+1)為偶函數，所以函數的圖象關于x=l對稱，

于是其周期為4,所以/(4-幻=/(—)=-/(幻，因此B答案正確；

因為/(1)=2,/(0)=0,所以因2)=0,/(3)=-2,/(4)=0,于是/(1)+因2)+因3)+/(4)=0,

所以￡/(幻=f(2025)=f⑴=2,D正確，故選ABD.

(2024?四川瀘州?一模)

1.己知函數的定義域為R,若/(1+回+/(3-月=2,〃彳)一/(2-月=4-公，則()

A./(0)=4B./(0)+/(1)+/(2)+/(3)=8

C./(x)+/(x+2)=8-4xD./(2024)=^K>43

■RM

構造函數

思路分析利用正弦的和、差公式構造函數模型/(x)=2sin：x滿足條件，一一判定選項.

詳細解析

.sin2tz-sin2/?=sin(cz+//)sin(a-^)

二不妨取/(幻=Asin5

又/⑴=2J(3x+l)為偶，故可設/(x)=2sin]x,且周期丁=4

對于A,/(0)=0,對于B,f(x)對稱中心為(2太0)

有/W+于(4kr)=0,故/。)+/(47)=0

對于C,易知/(乃為奇函數

對于D,由上可知，/(1)+/(3)=0,/(2)=0,/(4)=0,

故/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

2025

有N八&)=/⑴+/⑵+f⑶++/(2025)=606"⑴+/(2)+/⑶+/(4)]+/⑴

Jt-1

=606x0+2=2

故答案為ABD

________________

■綜合訓練★提高

(24-25高一上?山東日照?期中)

2.設。＞0,定義在R上的函數/。)滿足=且

/(A-+y)=f(A)/(?-y)+f(y)/(?-x),貝Ij()

A./(0)=0B.f(2a-x)=f(x)

C./(x)為偶函數D./(2024?)=0

(24-25高一上?吉林?期中)

3.已知定義在R上的函數/⑴滿足/3+2)+/(x)=/(2024),且/(x+1)是奇函數，則()

A.73)的圖象關于點(1,0)對稱

B./(())=/(4)

C./(2)=I

D.若佃=g，則+/(|)+/⑵+/(1)+f(3)+噌卜"4)=0

(2024高三?全國?專題練習)

4.已知函數〃x）的定義域為R,f（/（x+y））=f（x）+/（y）,，⑴=1,則（）

A./（0）=0

B.的圖象關于點（0.0）對稱

C./3）的圖象關于點（別對稱

D./（2024）=2024

（23-24高三上?江西九江?期末）

5.已知函數/：R-R滿足對任意z都有g/（x_y）+g/（xz）—/（1）/卜）之；，則（）

A.r（o）=|

B./0）=-|

c.函數為奇函數

D.函數/卜+；）為偶函數

（2024?四川德陽?一模）

6.定義在R上的函數/⑺滿足〃"+小）=/（與%（三〉。）=1,則下列結論正

確的有（）

A./（O）=2B.為奇函數

C.6是/（X）的一個周期D.WZ彳卜4052

*=0）

（24-25高二上?貴州遵義?階段練習）

7.定義域為卜卜工。｝的函數“X）對任意的非零實數》,）'都滿足〃個）=/（力+/（月.當

0<x<l時，〃“<0.下列結論正確的是（）

A./（x）=lg國B./（力滿足L=〃x）—/（>'）

C./（-1）=0D./（I）在（-co,。）上單調遞增

（24-25高一上?湖南?階段練習）

8.已知定義域為（-8,0）J（0,+°o）的函數f（1滿足:f（M=/（x）+f（y）-4,且當x>l時,

/(x)>4,則()

A./(-1)=4

B./(x)的圖象關于y軸對稱

C./(x)在(0,+。)上單調遞減

D.不等式/(2)+/(%+2)</(%-1)+4的解集為(-5,-2)」(一2,-1)

(24-25高三上?江西?階段練習)

9.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(3—力=3,8(同一/(工一6)=1,若/(%)

為偶函數，且/(0)=-2,則()

A.〃力的圖象關于點'|,-1)對稱

B.g(x+6)=g(x)

C.g(24)=l

k=Q

D.Eg(k)=35

18

(24-25高三上?四川自貢?期中)

10.已知定義在R上的函數/")滿足/(x+3)+/(x+l)=/(2024),且/(2x+l)是奇函數，

則()

A./⑶=/(—)B./(2)=1

/1>1HX)/1\1

C.小)的圖象關于點(1,0)對稱D.若/圖=5,則“，-#-]

(2024高三?全國?專題練習)

II.已知函數不為常數函數，且對任意x,yeR,都有/(x+y-1)=2/(力/3，則()

A./(1)=1R.〃x)>0恒成立

C.“X)為偶函數D./(x)+/(2-x)>l

(2024?湖北?一模)

12.已知定義在R上的函數)，=/(戈),)，=廉“分別滿足：1)+2》為偶函數，

g(x+2)=g(x)—2,則下列結論正確的是()

A.函數g("+x為周期函數

B./(一1)=2

C.y=的圖像關于點(0「2)中心對稱

X

D.1g(x)-^(x-2024)=-2024

第2題抽象函數綜合問題(一題多解)

已知定義在R上的函數/(X)滿足：對RJ(x+)，)=/2(x)-/2(y),且/⑴=2,

函數/(3x+l)為偶函數，則()

A./(0)=0B./(4-x)+/(x)=0C.“X)為偶函數D.￡.f(k)=2

賦值法

思路分析

詳細解析

令x=y=O,所以J(o)=/2(o)一尸(0)=0,于是f(o)=o,人正確；

令x=0,所以/(y)/(-y)=/2(0)-f2(y)=-f2(y),于是f(y)lf(-y)+/()，)]=0,

又/(y)不恒為0,所以八y)+F(-y)=o,于是〃%)為奇函數,c錯誤；

因為函數/(3x+l)為偶函數，所以函數/(x)的圖象關于x=l對稱，

于是其周期為4,所以/(4-x)=/(-x)=-/*),因此B答案正確：

因為/(I)=2,/(0)=0,所以/⑵=0J(3)=-2為(4)=0.于是/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以Z/'伏)=7(2025)=/⑴=2,D正確，故選ABD.

(2024?四川瀘州?一模)

1.已知函數“X)的定義域為R,若〃l+x)+/(3-x)=2J(x)-〃2—x)=4-4x,則(：)

A./(O)=4B.〃0)+川)+〃2)+〃3)=8

C.〃x)+/(x+2)=8-4xD./(2024)=-4043

【答案】BD

【分析】應用賦值法可求得“2）,/（0）和〃0）+/（1）+/（2）+〃3）,變換可得

/(2+x)+/(2-x)=2,與2T)=4-二聯立即可求得〃x)+/(x+2),應用

/(x)+〃x+2)=6—4x可得/(x)=/(x+4)+8,進而可得/(2024).

【詳解】因為〃1+X)+〃3T)=2,所以〃1+1)+〃3_1)=2,所以〃2)=以

取工=0,由/(。)一/(2—0)=4—4x0可知，/(0)=4+/(2)=5,故A錯誤；

取x=0,由/(1+力+/(3_力=2知，/(1)+/(3)=2,

所以/(0)+/(1)+/(2)+.?3)=8,故B正確;

令x=l+f,由〃l+x)+f(3-x)=2知,/(2+r)+y(2-/)=2,即/(2+x)+/(2-x)=2,

又因為〃力-/(2-力=4』,所以〃r)+〃r+2)=6-4x,故C錯誤；

由/(x)+/(x+2)=6-4x得，/(x)=-/(x+2)+6-4v,

所以/(x+2)-4)+6-火工+2),

所以/(力=〃%+4)+8,所以“2024)=/(2020)-8,

又〃2()20)=/(2016)-8,所以〃2024)=/(2()2())-8=/(20I6)-2x8,

所以/(2024)=/(0)-8xS06=5-4048=-4043,故D正確.

故選：BD

tmi__________

■T妥解?法二

?利用正弦的和、差公式構造函數模型/（x）=2sin]x滿足條件，一一判定選項.

思路分析

詳細解析

,/sin2a-sin2p=sin(a+/)sin(a-ft)

不妨取/(A)=AsinMX

又/⑴=2J(3x+l)為偶，故可設f(x)=2si吟x,且周期7=4

對于A,/（（））=（）,對于B,f（幻對稱中心為（2生0）

有f(x)+f(4k7)=0,故/。)+7(4-x)=0

對于C,易知/")為奇函數

對于D,由上可知，/(1)+八3)=0,八2)=0,/(4)=0,

故/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=0,

2025

有X/伏)=/⑴+/(2)+f(3)+…+/(2025)=606[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(I)

A-1

=606x0+2=2

故答案為ABD

■綜合訓練巧///

(24-25高一上?山東日照?期中)

2.設。＞0,定義在R上的函數/0)滿足八。)=1,且

/(A-+y)=-y)+-x),貝Ij()

A./(())=()B.f(2a-x)=f(x)

C./(x)為偶函數D.f(2024a)=0

【答案】ABD

【分析】對于A,令x=a,,y=0,又/Q)=l,即可求得，(0)=0,即可判斷;

對于B,令尸再由/3)=1,/(0)=0,即可得『(勿一x)=/(x),即可判斷:

對于C,令丁…,可得f(x)+/(-x)=0,從而/(x)為奇函數，即可判斷;

對于D,可推得/(x+4a)=/(x),即于冷的周期為4a,則/(20240=/(。)，即可判斷.

【詳解】對于A,令x=%y=0,得/⑷=/(a)〃a)+〃O)/(O),

因為〃。)=1，所以/(。)=0,故A正確；

對于B令丁=々，代入可得/(x+a)=/*)/(0)+/(a)/(a-x),

因為/(0)=0,所以/(x+a)=/(a-x),

從而/(2a-%)=/(x),故B正確;

對于C令y=T,代入得/(o)=/(A-)/(?+x)+f(-x)f(a-x),

又因為對VxeR，/("幻=/(。-外恒成立且不恒為0,

所以/(》)+/(一幻=0,從而得/(X)為奇函數，

又不恒等于0,故C錯誤；

對于D,因為/(x+2a)=〃T)=-/(x),所以/a+4a)=-/(x+2a)=/(x),

所以4a為/*)的周期，

所以/(20244/)=/(0)=0,故D正確.

故選：ABD.

(24-25高一上?吉林?期中)

3.已知定義在R上的函數/(x)滿足/(x+2)+/(A)=/(2024),且f(x+1)是奇函數，則()

A.八#的圖象關于點(U))對稱

B./(0)=/(4)

C./⑵=1

D.若《)=；'則/出+/⑴+/圖+/(2)+/圖+八3)+/圖+”4)=()

【答案】ABD

【分析】對A：由/(x+D是奇函數可得/(x+l)=—/(r+l),即可得解；對B：由

/(x+2)+/U)=/(2024),借助賦值法計算即可得解；對C借助所得函數的周期性，結合

周期性與賦值法計算即可得;對D：由/*+2)+/*)=/(0)=0,計算即可得.

【詳解】對A：由是奇函數，則/。+1)=-/(—工+1),又/(X)定義域為R,

故/(幻的圖象關于點(L0)對稱,故A正確;

對B：由/(-r+2)+/(.r)=/(2024),貝/(x+4)+/(.r+2)=/(2024),

故/(x)=f(x+4),故/(或周期為4,故/(0)=/(4),故B正確;

對C：f(x+2)+f(x)=/(2024)=/(0),令x=0,有/⑵+/(0)=〃0),

故"2)=0,故C錯誤；

對D：由/(x+2)+/(x)=/(0)=。，

則/(；)+/⑴+/(|)+/(2)+/(|)+八3)+/圖+/(4)

=佃+/圖卜[/⑴+〃3)]+/(1)+/圖+[/(2)+/(4)]=0,故D正確.

故選：ABD.

(2024高三?全國?專題練習)

4.己知函數/*)的定義域為R,/(/*+'))=/(')+/()，)，/(I)=1,則()

A./(0)=0

B./a)的圖象關于點(0,0)對稱

C./(幻的圖象關于點(別對稱

D./(2024)=2024

【答案】ABD

【分析】令工=1,產。，可得/(0)=。，即可判斷A；令丁=-工，即可根據奇函數的定義判

斷B；由/(/(X+D)=/⑶十/(D,可得1=+，可判斷f(x)的圖象關于點(器)

對稱，即可判斷C；結合奇函數的性質，即可判斷D.

【詳解】對于A,令x=l,y=0,則=/⑴+/(0),即7(1)=/⑴+/(0),解得/(。)=0,

故A正確；

對于B,令丫=_%,則/(/*一此)=/(%)+/(-幻，得/(/⑼)=/(%)+/(-幻，

由A可知八0)=0,則/⑼=/(x)+/(-x),即/*)+/(-幻=0,故"X)是奇函數，B正確:

對于c對任意的r都有f(/(x+i7))=/(x)+/a-x),可得i=fa)+f(i-x),

因此/")的圖象關于點對稱，故C錯誤；

對于D,由于1=/。)+/(1-幻且/(幻是奇函數，得l=Dx)-f(x-l),

即f(x)=/(xT)+l,因此八2)=/⑴+1=2,〃3)=/(2)+1=3,八4)=.〃3)+1=4,…，

/(2024)=2024,故D正確.

故選：ABD.

(23-24高三上?江西九江?期末)

5.已知函數/：R-R滿足對任意x,y,z都有g/3)+；/(xz)-/(x)/(z)N；,則()

A.A。)《

B./0)=-1

C.函數”工)二；為奇函數

D.函數/[+；)為偶函數

【答案】AD

【分析】

用賦值法判斷AB；求出函數的解析式，即可判斷C；根據C中函數的解析式，即可判斷

D.

【詳解】

[「]T1

對于A,令x=)，=z=O,則有/(0)_“0)+^<0,即/(0)-；40,所以/(。)=5,

故A正確；

11-1

對于B,令x=)，=z=l,則有K0,即/(1)-A<0,所以

故B錯誤；

對于C,令尸z=l,則有〃燈一/(1)/(刈2；,即“力日，

令工=0,則有/⑼一/⑼/⑶4〃z)q所以對任意xwR,則有〃x)=g；

經檢驗，對任意實數x,y,z,有;/(肛)+g/(xz)-/(x)/(z)=；,滿足題意，所以

/(%)=；,此時函數為偶函數，故C錯誤；

對于D,由C可知有/(x)=，所以有+=；為偶函數，故D正確.

故選：AD.

(2024?四川德陽?一模)

6.定義在R上的函數小)滿足/3+小)=/(妥|/(寸)/⑴=1,則下列結論正

確的有()

A./(O)=2B.為奇函數

2024i，\

C.6是“X)的一個周期D.ZU彳=4052

【答案】ACD

【分析】利用賦值法求解逐項判斷即可.

【詳解】該函數滿足f(x)+〃y)=/(苫卬仔干)巨〃1)=1.

對于A,令X=)，=l,可得/(l)+/(l)=/(l)/(O)，解得/(0)=2,故A正確；

對于B,令尸r,/(xl+/(-x)=/(0)/(x),所以〃T)=/(X),所以〃力為偶函數,

故B錯誤：

對于C,令x=x+l,y=l,

可得/(x+l)+/(x-l)=/(x)，令X=X4],可得〃x+2)+/(x)=/(x+l),

將兩式相加得：/(x+2)-/(x-l)=0,所以/(x+2)=-〃x-l),

所以/(x+3)=-/(x),所以〃x+6)=-/(x+3)=/(x),

因此，6是〃力的一個周期，故C正確；

對于D,令心、>'=(),〃k)+〃0)=叱)所以叱[=小)+2,

2024(b\2024

所以工尸勺=Z[/(公+2]=/(0)+〃1)+-+〃2024)+2X2025,

因為"0)=2,/(1)=1,

因為/(x+2)+/(x_l)=0,令x=0,/(2)+/(-1)=0,所以62)=寸⑴=7,

令x=l,/(3)+/(0)=0,所以〃3)=-2,

令x=2,/(4)+/(1)=0,所以/(4)=一1,

令x=3,/(5)+/(2)=0,所以/⑸=1,

由于6是/(力的一個周期，

所以

“0)+/⑴+...+/(20241=337["0)+〃1)+〃2)+/(3)+〃4)+"5)]+/(0)+-1)+〃3)=2

2024(卜、2024

所以ZUJ=2[/'(修+2]=〃。)+/(1)+-+/(2。24)+2乂2()25=2+4()5()=4()52，故口

ho12/k=Q

正確；

故選：ACD

(24-25高二上?貴州遵義?階段練習)

7.定義域為｛巾工0｝的函數/(力對任意的非零實數x,y都滿足/(-)=/(力+/(注當

0cx<1時，/(x)<0.下列結論正確的是()

A.〃力=館崗B./(x)滿足了:=/(-')-/(>')

\,yj

c./(-I)=0D.外力在(3,0)上單調遞增

【答案】BC

【分析】A根據充分必要性說明；B利用題設條件證/月+“'，)=/(；)，)=/("，即可判斷；

C令x=y=l、x=.y=-l即可判斷；D先說明奇偶性，再利用單調性定義及題設條件證明

(0,+8)的單調性，即說明(-oo,0)上單調性.

【詳解】由〃司=怛此易知定義域為｛小工。｝,滿足/3，)=/(x)+/(y)且0<x<l

時/(丫)<0,必要性成立，

但滿足題設要求的函數不一定是/(x)=lg|X，A錯；

由/土+/(y)=/(--J)=/(x),則/住=f(x)-f(y)tB對；

令X=)，=l,則+=/⑴=。，

令x=y=_|,則〃1)=〃T)+/(_1)=/(_[)=O,c對，

令)，=T，則〃T)=/(H+/(T)=/(X),定義域為上|工工0｝,即為偶函數，

令內>占>0,貝lj/(芭)一/(占)=/(司)-/(—?8)=f(8)-/(X)-/(%1)=-/(三)，

%%X

由。<受■<1,則/區)>/(9)，即/(X)在(0,+8)上遞胤故(-,0)上遞減，D錯；

故選：BC

(24-25高一上?湖南?階段練習)

8.已知定義域為(f0)U(0，y)的函數/(力滿足：/(個)=/&)+/(#-4,且當工>1時，

/(x)>4,則()

A./(-1)=4

B.“X)的圖象關于y軸對稱

C.外可在(0,+功上單調遞減

D.不等式/⑵+〃》+2)</(公1)+4的解集為(一5,-2)U(-2,-1)

【答案】ABD

【分析】A選項，賦值法得到"1)=4,進而賦值得到〃-1)=4；B選項，令)，=-1得，

/(-x)=/(x),B正確；C選項，令x=$,y=土，0<x,<x2,由定義法得到了(力在(0、+e)

上單調遞增，C錯誤；D選項，變形得到〃2x+4)</a-l),在BC基礎上，得到不等式,

求出解集.

【詳解】A選項，/(x，)=/(x)+/(y)—4中，令x=y=l得/(1)=2/(1)—4,

解得/⑴=4,

令x=y=_|得/(1)=2/(-1)_4,解得/(T)=4,A正確；

B選項，/(孫)=/(力+/(力一4中,令y=-l得,

/(-x)=/(x)+/(-l)-4=/(x),故的圖象關于丁軸對稱，B正確；

C選項，/()=/(x)+f(y)_4中，令x=$,y=*，其中0<%<七，

x\

則/(々)一/(%)=/(￡)一"

/\

因為當x>l時，/(x)>4,且±>1,所以/上>4,

%I%"

所以%)一/(芭)>。，/(%)>/(%),

所以“X)在(0,+8)上單調遞增，C錯誤；

D選項，因為“外)=/(、)十〃)，)—4,所以/(2)十〃%十2)—4=/(2x+4),

故/(2)+〃x+2)<〃xT)+4n/⑵+小+2)-4〈/"-1),

即〃2x+4)<〃x—l),

由BC選項知，/(x)在(0,y)上單調遞增，又/5)為偶函數，

/(|2x+4|)</(|x-l|)=>|2x+4|<|x-l|,且2.r+4/0,x-1工0,

|2x+4|<|x-l|兩邊平方得/+6X+5V0，

解得一5cx<-1,且工工一2、xwl,

所以不等式/(2)+/(x+2)</(x—l)+4的解集為(―5,-2)J(—2,-1),D正確.

故選：ABD

【點睛】抽象函數的單調性或奇偶性研究，通常情況下要利用賦值法，得到特殊點的函數值,

再進行合理賦值，結合函數的單調性的定義，奇偶性的定義進行求解

(24-25高三上?江西?階段練習)

9.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R，且〃x)+g(3T)=3,g(x)-f(x-6)=l，若f(x)

為偶函數，且/(。)=-2,則()

A./(力的圖象關于點11對稱

B.g(x+6)=g(x)

C.g(24)=l

*-0

D.38仕)=35

【答案】BD

【分析】由g(x)6)=1得到g(3x)/(3%)=1,再結合/(x)ig(3x)=3,確定

/(x)+/(x+3)=2,進而通過“力的對稱性、周期性逐項判斷即可.

【詳解】/(x)+g(3—x)=3①，

g(x)-/(x-6)=l②，

由②可得：g(3-x)-/(-3-x)=l③，

@@聯立可得：/(x)+/|-3-x)=2@,

所以/(x)的圖象關于點卜|，1)對稱，A錯；

由④，又/(切為偶函數，所以/(x)+/(x+3)=2,

所以/(x+3)+/(x+6)=2,兩式相減可得：/(x+6)=/(%),

又g(x)=/(x-6)+l,g(x+6)=/(x)+l,結合/(x-6)=/(x)

所以#(x+6)=g(x),B對，

g(24)=X⑹,由g(x)-.f(x-6)=l,可知：g(6)-/(O)=l,

所以g(6)=l+/(0)=-l,所以g(24)=—l,C錯；

由g(x)—/(x-6)=l,可得g(x)=/(x—6)+l,結合/(x+6)=/(x),

得:g(x)=/(x)+l,

氏=0hC

所以與g(Z)=*V(Z)+19,

又/(x)+/(x+3)=2,所以。(1)+((4)=Z〃2)+/(5)=2J(3)+。⑹=2,

即/(1)+〃2)+〃3)+〃4)+〃5)+〃6)=6,/(x+6)=/(x),/(0)=-2,

￡二0

所以點/(4)=-2+3X6=16,

A=0

所以4g(%)=35,D正確.

故選：BD

(24-25高三上?四川自貢?期中)

10.已知定義在R上的函數/'("滿足〃x+3)+/(x+l)=〃2024),且/(2x+l)是奇函數，

則()

A./(3)=/(-1)B./(2)=1

C.小)的圖象關于點(⑼對稱D.若/出=；，則卻(-

【答案】ACD

【分析】利用已知抽象函數關系式和奇偶性定義可推導得到了")的周期性和對稱性，由此

可知ABC的正誤；根據周期性可求得(4〃+1)，4〃+￡|+(4〃+2)/(4〃+3+

(4〃+3)/(4〃+|[+(4〃+4)/(4〃+'的值，由此可計算得到D正確.

【詳解】對于A,/(x-3)+/(x+l)=/(2024),

.?J(x+2)+/(x)=/(2024),/(.r+4)+/(x+2)=/(2024),

.*./(x+4)=/(x),即f(x)是周期T=4的周期函數,

,-./(3)=/(3-4)=/(-1),A正確;

對于CQ/(2x+l)為奇函數，.■J(l_2x)=_/(2x+l),

即“l-x)+〃x+l)=0,\/(x)關于點(L0)中心對稱，C正確；

對于B,/(x+3)+/(x+l)=/(2024),/.^x=2021,則了(2024)+/(2022)"(2024),

/./(2022)=0,又/(2022)="4><505+2)=〃2),:."2)=0,B錯誤;

對于D,Q/(2)=0且/⑴關于點(1,0)中心對稱，.?.〃0)=0,

.-./(2024)=/(4x506)=/(0)=0,/./(x+3)+/(x+l)=0,

又〃l_x)+〃x+l)=O,.?./(x+3)=〃l_x),\/(x)圖象關于x=2軸對稱,

又以M關于點（1。中心對稱，\/（x）的圖象關于）'軸對稱;

〃

二.當〃eN時，f4/2+14M4+g=7

/(4〃+2T卜d4〃+|3卜-卜

2(22'

/"+3一￡|=/(4嗎=同=3一/=

22）04

f\4n+4-^=f\4n+^=f

2

「.(4〃+1)《4〃+g)+(4〃+2)/4〃+g37、

+(4〃+3)++++(

22)

〃〃)

=(4+l)xg+(4+2x+(4〃+3)x4-(47z+4)x—=0,

(199)

+?■?4-1007~)

+2/(|1+3f

=25x/

100/

2g，。正確，

22J

故選：ACD.

【點睛】結論點睛：關于函數對稱性結論如下:

（1）若/（X+〃）=/ST）,則/（X）關于直線工=等成軸對稱;

(9.)若〃x+a)+/(〃-x)=c,則關于J成中心對稱?

（2024高三?全國?專題練習）

11.已知函數/（力不為常數函數，且對任意2￡%都有/（1+）=1）=2"力/3，則（）

⑴

A./=gB./(x)>0恒成立

C.〃力為偶函數D./(A)4