高中數學必修第2冊第七章 綜合測試B卷（解析版）

第七章復數綜合測試卷B卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項

中，只有一項符合題目要求。

1.若zi=l+3i,貝匹=()

A.3+iB.3-iC.3+2iD.3-2i

【答案】A

【詳解】

由zi=l+3i,得z=9i=3=*=3-i,

ii--1

所以1=3+i.

故選：A

2.己知復數z滿足(l+i)%=4+2i,則復數三=()

A.l-2iB.l+2iC.2+iD.2-i

【答案】B

【詳解】

得2=手=1-%，

由(l+i『z=4+2i,所以工=l+2i.

21

故選：B

―15+15i/

3，2-i=()

A.9+9iB.15+15i

C.3+9/D.5+15i

【答案】C

【詳解】

15-H5i(15+15i)(2+i)

=(3+3i)(2+i)=3+9i

2-i-(2-i)(2+i)

故選：C.

4.已知復數z+2l=3-i(i是虛數單位)，則復數z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【詳解】

i5,z=a+bi,則a+bi+2(a-Z?i)=3a-Z?i=3-i,

所以3a=3且。=1,所以。=0=1,

所以z=l+i,對應點為(1/)，在第一象限.

故選：A

5.已知(l+2i)z=|3-4i|,貝ljz=()

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

【答案】B

【詳解】

因為斤用二對十11=5,

所以z=-^-=5(J2i)=>2i

“人l+2i(l+2i)(l-2i)

故選：B

6.已知xi+)，=i(l+i)(x,)，eR,i為虛數單位)，復數z=x+.yi,則z二=()

A.2B.V2C.2+3iD.-2+3i

【答案】A

【詳解】

由M+y=i(l+i),得)，+xi=-l+i.所以x=l,y=—l

因為z=x+yi,所以z=l—i,z=|+i,

所以zS=(l-i)(l+i)=2.

故選：A

7.設A8為銳角三角形的兩個內角，則復數z=(cotB-tanA)+(tanA-cotA),?對應的點位

于復平面的()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【詳解】

試題分析：因為A,6為銳角三角形的兩個內角，所以A+B>g,cot8-tan4=黨-嗎

2sinBcosA

cosAcos-sinAsinBcos(4+B)-

二—<0,

cosAsinBcosAsinB

八，sinBcosAcosAcos-sin4sinBcos(A+B)-…

tanB-cotA=-----------------=--------------------------------=---------------->0,所以選B.

cosBsinAcosAsinBcosAsinB

8.已知z=a+Z>i(〃、i是虛數單位)，zPz2GC,定義：￡)(z)=|同=同+回，

Q(Z|,Z2)=,-Z2『給出下列命題:

(1)對任意zwC,都有D(z)>0；

(2)若2是復數z的共軌復數，則。仁)=D(z)恒成立；

(3)若D(Z])=D(Z2)(4、z2eC),則4=z2；

(4)對任意Z]、Z：x與WC,結論。(4,4)4。(4,22)+。(22/3)恒成立，則其中真命題是

閣.

A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)(4)C.(2)(4)

D.(2)(3)

【答案】c

試題分析：對于（1），由定義當z=0時，D（z）=0,故（1）錯誤，排除A；對于（2）

由于共規復數的實部相等而虛部互為相反數，所以恒成立，故（2）正確；

對于（3）兩個夏數的實部與虛部的絕對值和相等并不能得到實部與虛部分別相等，所

以兩個復數也不一定相等，故（3）錯誤，排除B,D：從而應選C.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分；在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求；全部選對得5分，部分選對得3分，不選或有選錯得。分。

9.已知復數z滿足z（l-2i）=5（其中i為虛數單位），則下列選項正確的是（）

A.因=5

B.復數z的共朝復數為弓=l+2i

C.復數2在復平面表示的點位于第一象限

D.復數z的虛部為2

【答案】CD

【詳解】

/、55（l+2i）

解：因為62i）=5,所以"匚彳道網4廣閉

所以因=皿=6,故A錯誤；

復數z的共加復數為N=l-2i,故B錯誤；

復數z在復平面表示的點的坐標為（1,2）,位于第一象限，故C正確；

復數z的虛部為2,故D正確.

故選：CD.

10.已知i為虛數單位，復數4=l+i,々=2-i,則下列結論正確的是（）

A.4的模為&B.z?的虛部為T

c.Z/Z?對應的點位于復平面第一象限D.Z1的共筑復數為T—i

【答案】ABC

【詳解】

解：對于A選項，4的模為卜|=?口=及，故正確;

對于B選項，4的虛部為7,故正確；

對于C選項，z1.z2=（l+i）（2-i）=3+i,對應的點的坐標為（3,1）,在第一象限，故正確;

對于D選項，4的共規復數為＞i,故錯誤.

故選：ABC

lk

已知復數z=6+i6為虛數單位），4=］則下列結論中正確的是（)

A.%的虛部為當

B.z°在復平面內對應的點位于第四象限

C.|Z|=1D.若匕-引二^,則㈤的最大值為弓

【答案】BCD

【詳解】

因為z=>/5+i,所以z=\/5-i,所以

zx/3-i(右一03-2x/3i-l16.川+力…G人口

z-z

Z。=-=—f=-；=-r-p—\(r—\=----A----=；一""丁|，°的虛部為一不?A邊項錮球;o

zV3+i(V3+i)(s/3-ij4222

的實部為段，虛部為-亭，在復平面內對應的點位于第四象限，B正確;

f_V32](

聞=的+=1,C正確；R_Zo|=3,設4=x+yi,貝l」Z]_Zo=x_3+y+

2

2/2

1I+)'+I+y+="，即復數

則|z「Zo|=x——r兩邊平方得:X——

22

ZI=x+），i可以看做復平面內的點，則該點在圓心為A,半徑的圓上，

連接原點與圓心并延長，與圓的交點即為㈤的最大值，此時

|7

=1H—=—,D止確.

22

故選：BCD

12.歐拉公式被稱為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復分析領

域的公式，歐拉公式將三角函數與復數指數函數相關聯，即eJcosO+isinO（6>eR）.

根據歐拉公式，下列說法正確的是（）

A.對任意的OwR,卜”[=1

B./在復平面內對應的點在第二象限

C.?爭的實部為正

e2

D.1與e國互為共扼復教

【答案】ABD

【詳解】

對于A選項，卜，=|cos。+isin。|=Vcos2<9+sin20=1,A正確;

對于B選項，e2*=cos2+isin2,fflcos2<0,sin2>(),故F在復平面內對應的點(cos2,$in2)

在第二象限，B正確；

對于C選項，e4'=cos—+isin—=—i,實部為-巫，C錯誤；

44222

對于D選項,e2=cosO-isin。，又一=cos(-9)+isin(-e)=cosO-isin。，故S'與/互

為共規復數，D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.復數z滿足zi=2-i(其中i為虛數單位)，則同=.

【答案】x/5

【詳解】

zi=2-i,|zi|=|2-i|=>|z||i|=>/5=>|z|=\/5.

另解：zi=2-i=>z=-7-!-=-l-2i=>|z|=>/5.

故答案為：后.

14.已知友數z為純虛數，若(2-i)z=〃+i(其中i為虛數單位)，則實數。的值為

【答案】y

【詳解】

.a+i(a+i)(2+i)2a-l+(a+2)i2a-\a+2.

由(2T)Z…澗得z=m=(2—)(2+i)=-5——+—

^^?=0

若Z="U塔i為純虛數，則I可得。=:，

55。+2,八2

5

故答案為：3.

15.在夏平面內，若向量加對應的復數是1,將向量加繞。點逆時針旋轉1?得到向量

0Q,則向量的對應的復數是l?i=i.由類比推理得：若向量方對應的復數是l+2i,

將向量而繞O點逆時針旋轉|■得到向量0月，則向量。片對應的復數是.

【答案】-2+i

【詳解】

向量而對應的復數是(l+2i)i=-2+i.

故答案為：-2+i.

16.已知復數z=l+sinecos9+(cos0-sine)i,則目的最大值為,最小值為

【答案】I應

【詳解】

|z|=^/(1+sin^cos^)'+(cossin

=>/2+2sin-cos+sin2cos2/9-2sin^cos^=小2+；sin)2。，

當4不2。=1時，忖的最大值為5；

當sii122e=0時，忖的最小值為夜；

故答案為：—；>/2.

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，其余各小題為12分，共70分。

17.已知復數會滿足yi=l+i(i為虛數單位),復數4=m+2i⑺祐R).

(1)求馬；

（2）若4々2是純虛數，求〃?的值.

【答案】（1）4=l-i；（2）-2.

【詳解】

解：(1)vz1-i=l+i,...Z]=?==1,

(2)z(Zj=(l-i)(w+2i)=(m+2)+(2-7M)i,

m+2=0

,??馬烏是純虛數,

m=-2.

18.已知z為復數，z+i和七均為實數，其中i為虛數單位，

（1）求復數z和忖；

（2）若復數Z1二z?（〃「i）在復平面內對應的點位于第三象限，求實數，〃的取值范圍.

【答案】（1）z=l-/,|z|=V2；（2）（Tl）.

【詳解】

（1）設2=々+6，由z+i="+（〃+l）i為實數，

則6+1=0,所以方=一1,

z_d-/_(6f-/)(1+0_a+\-\-(a-\)i

口-口~(1-/)(!+/)~2~為實數,

則a—l=O,a=\,

所以z=j,忖=&,

(2)馬=z(m-i)=(l-/)(m-z)=/w-l-(m+l)/在第三象限,

-1<0

所以4^1X0'所以

所以〃?的取值范圍為(T，l).

19.在①z+5=4,②2為純虛數，③4=三且為對應的點在第一象限內，這三個條

1—1

件中任選一個，補充在下面的問題中，并解決該問題.

已知復數Z=(>-3/〃+2)+W-l)i(i為虛數單位)，1為z的共規復數，若,求

實數〃?的值或取值范圍.(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件給分)

【答案】答案不唯一，具體見解析

【解析】

【詳解】

選①：z=(m2-3m+2)-(m-l)i

由z+z=4W(,7/2-3/n+2)+(/zz-1)i+(nr-3m+2)-(/?-1)i=2(m2-37n4-2)=4

解得“7=0或〃？=3；

選②：z為純虛數，所以卜解得吁2；

一1工0

選③：由(二二得.(，"2-3,〃+2)+(,”1)匚(廿-4〃7+3)+(廿-2切+1)1

'1-i11-i2

又ZI對應的點在第一象限內，則"2故/"<1或">3.

20.已知z是復數，z-3i為實數，三二2為純虛數(i為虛數單位).

2-1

(1)求復數z；

(2)在復平面中，若復數三對應向量心且向量5JL%，|可=2,求向量方的坐標.

【答案】(1)z=-l+3i；(2)%］手明或石=(-孚-亭.

X/X、)

【詳解】

(1)設2=。+沅(?〃eR),

由z—3i=〃+S—3)i為實數，可得6-3=0,即力=3.

z—5ia—2\_(4—2i)|、2+i)_2a+2+(a-4)i

為純虛數,

2-i2-i(2-i)(2+i)5

2a+2=0,〃一4H(),l![Ja=-\

z=—1+3i

zl+3i_(—l+3i)(l+i)_-44-2i

=-2+i,貝!d=(-2,l)

1-iI-i(l-i)(l+i)2

-2x+y=()

設向量因為,且|a=2,所以?

x2+y2=4

解得戶±辿所以屋6舊4后264石、

或〃=

55555

21.己知復數z的實部大于零，且滿足z=&（cos6+isin4（eeR）,z?的虛部為2.

（1）求復數z；

（2）設Z、z\z-z?在復平面上的對應點分別為A8,c,求福?衣的值.

【答案】(1)z=\+i(2)-2

【詳解】

(1)由Z?=2|^(cos20-sin26^)+(2sin6^cos0)zJ=2(cos26+isin2e)及已知條件得:

sin29=1=<9=￡4+(仕￡Z),(攵eZ),所以z=血cos!k;r+—H-/sink7r+—

44

又復數z的實部大于零，.?.z=l+i,

(2)ill(1)知z=l+i,z2=2i,z—z2=l—i.?.A(l,l),B(0,2),C(l,—l),

所以A月=(—l1),AC=(O,-2),所以AQAC=-1XO+1X(—2)=—2,

故得解.

22.一般地，任何一個復數z=a+〃（"，/?wR）都可以表示成「（cosO+isinO）形式，

其中，，?是復數Z的模，。是以X軸的非負半軸為始邊，向量被所在射線（射線OZ）

為終邊的角，叫做復數z=a+hi的輻角，r（cos，+isin。）叫做復數z=a+加的三角表示式,

簡稱三角形式.為了與“三角形式”區分開來，〃+嵐（。，8cR）叫做復數的代數表示式，

簡稱“代數形式〃.

y

2

1

42—LO!%

—1

—2

⑴畫出復數z=「i對應的向量，并把z=l-i表示成三角形式;

3

己知z0

(2)4=cosq+isinq,2=cos2+isin^,cos(;r+a+2)=二,其中a

25

夕.試求Z-（結果表不代數形式）.

7萬..17T

【答案】（1）圖象見解析,COS——+1S1I1——

44

34.

(2)--+-i

因為z=l-i對應的點（1,-1）在第四象限,

所以Z對應的向量如圖所示.

易得r=(一=夜,cos0=-j==,sin6^=--j==,

所以。寧

沖吟+is吟）.

所以l-i=

(2)

z、3

因為cos(4+a+ej=-cos(q+q)=..

所以COS(〃+。2)=-1<0.

又仇0(。‘3,弓｝

所以G+qe%兀.所以sin(4+0j=Jl-cos7q+0J=11一(一：=g.

所以馬馬=(cos^)+isin^))(cos02+isin^?),

=(cos6^cos6^,一sinqsin6j+(cosqsin名+sinqcos^>)i,=cos(q+6Q+isin(a+《)

34.

=----1--i.

55

第七章綜合訓練

一、選擇題:在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.［云南保山期末］在復平面內，友數zi-3=-2i對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.［2023河北承德雙灤期中］已知復數z=＞，則5的虛部為()

44C33

A.-55-5-5-

3.[2023浙江杭州上城月考]若復數z滿足z+矢R,則|z+i|的最小值為()

A停B仔C.V2-1D.1

JN

4.復數1+「+^+...+[281=()

A.i-1B.i

C.-lD.O

5.已矢口(l-i>z=3+2i,則z=()

B.-l+ji

33

c6+iD.-pi

6.設復數z滿足匠2i|=3,z在復平面內對應的點為(9),則()

A.(x-2)2+/=9

B.(A+2)2+/=9

C.f+(y-2)2=9

D.『+G+2)2=9

7.已知z是復數，且p:z=；+$;夕:z+*R，則p是q的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

8.關于復數z的方程|z|+2z=13+6i的解是()

A.3+4iB.4+3i

C.y+3iD.3+^i

二、選擇題:在每小題給出的選項中.有多項符合題目要求.

9.已知復數z=（l+2i）（2-i），為z的共甄復數，則下列結論正確的是（）

A.z的虛部為3i

B.|z|=5

C.z-4為純虛數

D.5在復平面上對應的點在第四象限

10.下列表示復數1+i的三角形式中，正確的是（）

44

B.V2Qos-+isin-^

44

C.V5（sin；+icos；）

44

行（9nl..9TT）

D.V2vcos—+isin—7

44

11.已知復數z尸三（i為虛數單位），下列說法正確的是（）

-1+1

A.Z1在復平面上對應的點在第三象限

Bz的虛部為-1

C.zf=4

D.滿足|z|=①|的復數z在復平面上對應的點在以原點為圓心,半徑為2的圓上

12.設./（0）=cos6>+isin伙i為虛數單位），則/（8）=cos2/9+isin2（9/?9）=cos39+isin38…，若

/°（。）為實數，則0的值可能等于（）

A*

B罵

%C-%

三、填空題

13.[2023上海虹口校級期末]已知復數z產-百+i,若復數z滿足2iz=zi,則復數z的輻用主

值為.

14.已知2i-3是關于x的方程2r+pA+26=0的一個根,則實數p=.

15.在復平面內，復數z對應的點的坐標是(-2』),則i-z=.

16.已知復數z滿足lz+2-卬=2,則|z-11的取值范圍是.

四、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.當實數m為何值或何取值范圍時，復數z=0X+("_2Mi為

m

(1)實數？

(2)虛數?

(3)純虛數?

18.[2023陜西咸陽武功月考]設復數zi=2+ai(其中a￡R),Z2=4-3i,i為虛數單位.

(1)若4+Z2是實數，求a的值，并計算zrZ2的值；

(2)若久是純虛數，求〃的值.

Z2

19.設i為虛數單位,a￡R.復數zi=2+(4-1萬㈤=1-2i,且.請從下面三個條件中任

選一個，補充在題目的橫線上，并作答.

①zi+zzER;②ziZ2=6-2i;③在復平面內復數zi對應的點的橫坐標等于縱坐標.

(1)求實數。的值；

(2)若是純虛數,求實數b的值.

20.設△ABC的兩個內角A,8所對的邊分別為。力,復數zi=a+〃i,Z2=cosA+icos3,若復數

Z|Z2為純虛數,試判斷也加。的形狀，并說明理由.

21.已知復數zi=〃?+〃i,Z2=2-2i和z=x+yi,設z=，ii-Z2,wy仁R.若復數zi所對應的點

在曲線產於+2)2+|上運動，求復數z所對應的點P(xj)的軌跡C的方程.

22.已知復數zi滿足(1+i必="+5i,Z2=a-3+i,〃￡R.

(1)求zi的共軌復數通；

(2)若|Z|-Z2|<|Z||,求。的取值范圍.

參考答案

第七章綜合訓練

1.C由題意,z=*=與普=2?3i,根據復數的幾何意義，故復數對應的點(2-3)在第三

1i(-i)

象限.

2cZ=±L=(3-i)(3-i)=%I-黯線=，+*故5的虛部為.

1--3+i—(3+i)(3-i)-To-

3.C設z=〃+岳(。力為實數且不同時為0),2+|=。+加+總=。+歷+鬻^二(。+搭了)+(

力-鏟7)i,由題意可知〃-g=0,得匕=0或/+"=2.當b=0時,z的軟跡是x軸(除原點外),

此時|z+i|的幾何意義是復數z對應的點和點(0,-1)的距離，此時|z+i|>l.當a2+b2=2

2

時,|z+i|=|a+S+l)i|=JQ2+s+I)=/3+2匕,因為4+/=2,所以『=2-比即2-從川，所

以-/W后企.則J3-2或W|z+i區J3+2或,解得&JW|z+i區/+l.綜上,|z+i|的最小值是

V2-1.

4.BVi4=1,i2021=(i4)505-i=i,Ai+i2+i3+...+i2021="=i.故選B.

1-11-1

5.B由題意得X需=喋=-1+永

6.D因為z在復平面內對應的點為(x,y),所以5=x-yi,故5-2i=x+(-y-2)i.因為歷-2i|=3,所以

Jx2+(y+2產=3,化簡可得/+。葉2)2=9.故選D.

7A顯然，當Z=；+李仁鴻+苧+I="余學=]￡R,但當Z+3R時,若

令z=a+句(a,〃￡R),貝“a+b'\+-^-r=7a?+/"JJi,所以有b=0或片+/=],不一定

a+岳a2+ba2+/>-

有z=1+爭.故p是q的充分不必要條件，選A.

y/x2+y2

8.B設z=x+yi(xj￡R),則有yjx24-y2+2x+2y[=13+6i.于是+2x=13,

2y=6,

_t_40

解得3(二4;'或[：]1'因為13d加，故”號，

所以x=與不符合要求，故z=4+3i.

9.BCD因為z=(1+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虛部為3,故A錯誤;由團=|z|=V42+32=5,故B

正確;z-4=3i為純虛數，故C正確;2=4-3i在復平面上對應的點(4,-3)在第四象限，故D正確.

故選BCD.

(W)_isin(-p]=1+i,但是不滿足復數的三角形式，故A不正確;

10.BD對于A,企L-COS

44

對于B,Hc°s%isg)=l+i,故B正做對于C,乩吁端L+i,不滿足復數的三角

形式，故C不正確;對于D,a(cos:+isin?)=l+i,故D正確.

11.AB復數z產2=-前I=-之卷=-1-iz在復平面上對應的點(-11)在第三象限，故

A正確;zi的虛部為1故B正確;0)4=(.1")4=(21)2=4故C不正確;|Z]|二&,滿足|z|二Z|的

復數Z在復平面上對應的點在以原點為圓心，半徑為戲的圓上，故D不正確.故選AB.

12.AC嚴?)=cos106+isin10"要使嚴(夕)為實數，則sin100=0,106=E(keZ),故夕喘(止

Z),當k=\時端當k=2時Y

13.弓Vzi=-V3+i,2iz=zi,

,-冷+i(-后+i)(-i)

??Z—T；—.

212i(-i)

故復數Z的輻角主值為卓

?J

14.12V2i-3是關于x的方程2f+px+26=0的一個根,??.-2i-3是關于x的方程

2T+/M+26=0的另一個根，則⑵-3)+(-2i-3)=-$得p=\2.

15.-1-21因為復數z對應的點的坐標是(21),

所以z=-2+i,所以i-z=(-2+i)-i=-l-2i.

16.[3,7]設z=(xj)(x,y￡R),

???復數z滿足|z+2-4i|=2,

：?J(x+2)2+(y-4)2=2JP(x+2)2+(y-4)2=4.

???z在復平面內對應的點Z的集合走以(?2,4)為圓心,r=