導數與函數的單調性-高考數學重難點題型講義（新高考地區專用）原卷版

專題3.3導數與函數的單調性.重難點題型精講

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1.函數的單調性與導數的關系

條件恒有結論

/(x)>0/(x)在(m初內單調遞增

函數y=/Q)在區

fU)<0/(x)在3,切內單調遞減

間3,份上可導

f(x)=0/(?在3,小內是常數函數

2.函數值變化快慢與導數的關系

一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么在這個范圍內函數值變化得快，這時,

函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較小，那么在這個范

圍內函數值變化得慢，函數的圖象就“平緩”一些.

常見的對應情況如卜.表所示.

/'(X)變/'(x)>0/'(x)>0/*(x)<0/'(x)<o

化規律且越來越大且越來越小且越來越小且越來越大

函數值變函數值增加函數值增加函數值減小函數值減小

化規律得越來越快得越來越慢得越來越快得越來越慢

””產三

【題型1不含參函數的單調性】

【方法點撥】

確定不含參函數的單調性、單調區間的步驟：

(1)確定函數f(x)的定義域；

(2)求尸(X)；

⑶解不等式尸(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間；解不等式/(x)vO,解集在定義域內的部分為

單調遞減區問；

(4)由此可得出函數/(X)的單調性；

【例I】(2022?揚州開學)下列函數中，在(1,+8)上為增函數的是()

A.y=xi-3xB.y=lnx-xC.y=x+-D.y=x1-3x+l

X

【變式1-1](2022春?湖北期末)函數/CO一/心的遞減區間為()

A.(…，1)B.(0,1)C.(1,+8)D.(0,+8)

【變式1-2](2022春?長壽區期末)函數/?(%)=%-$—5億x的單調遞減區間為()

A.(0,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(3,+~)

【變式1?3】(2022春?吉林期末)函數/(%)=■從計x的遞增區間是()

A.(-°°,0)U(1,+oo)B.(-8,0)和(|,4-00)

C.(1,+8)D.(-1,+8)

【題型2含參函數的單調性】

【方法點撥】

⑴研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

⑵劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點.

【例2】(2022春?巴宜區校級期末)已知函數f(%)=2?-

(1)若函數/(x)在x=l處取得極小值?4,求實數小〃的值；

(2)討論/(x)的單調性.

【變式2-1](2022春?滿洲里市校級期末)已知函數/(x)=，-(?+2)x+alnxCaER).

(I)d=-2,求函數/(x)在(1,/(1))處的切線方程;

(2)討論函數/(x)的單調性.

【變式2-2](2022春?藍田縣期末)已知函數f(x)=abix-ar-3(4#0).

(I)討論函數/(x)的單調性；

(II)當4=-1時，證明：在(1,+°°)上，/(X)+2>().

【變式2-3](2022春?南沙區期末)己知函數/a)=2lnx-a?-2(?-1)x+\(t/GR).

(1)求函數/(x)的單調區間；

(2)若函數/(x)有兩個不同的零點xi,X2,求實數a的取值范圍.

【題型3利用函數的單調性比較大小】

【方法點撥】

根據題目條件，構造函數，利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性來比較大小，即可得解.

【例3】(2022春?眉山期末)己知實數x,y,z滿足"心l)"=(),zex—exln-=0,若)>1,則(

X

A.x>y>zB.y>x>zC.y>z>xD.x>z>y

【變式3-1](2022春?紹興期末)已知a=e°2-l,b=ln\.2,c=tan0.2,其中e=2.71828…為自然對數的底

數，則()

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

【變式3-2](2022春?渭南期末)已知函數/(x)=siru+cosA-2x,a=f(n)>b=f(20),c=f(///2),

則a,b,c的大小關系是()

A.a>c>bB.a>h>cC.b>a>cD.c>b>a

【變式3-3](2022?山東開學)已知0<a<4,0<b<2,0<c<3,且16加a=d/〃4,41nb=戶1口2,9lnc=

c2伍3,則()

A.c>b>aB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

【題型4利用函數的單調性解不等式】

【方法點撥】

要充分挖掘條件關系，恰當構造函數，與題設形成解題鏈條，利用導數研究新函數的單調性，從而轉化求

解不等式.

【例4】(2021秋?重慶月考)已知/(x)是定義在R上的可導函數，其導函數為，(x),且/CO-2/

1

(x)>0,f(-)=e(e為自然對數的底數)，則關于x的不等式/(/.)Vf的解集為()

Qlee

A.(0,—)B.(0,y/e)C.-)D.(—,y/e)

2e22

【變式4-1](2022春?新邵縣期末)設/(幻，g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，

f(x)g(X)-/(x)g(x)>0,且/(2)=0,則不等式/(x)g(x)>0的解集是()

A.(-8,-2)U(0,2)B.(-2,0)U(0,2)

C.(…，-2)U(2,+oo)D.(-2,0)U(2,+?>)

【變式4-2](2022春?遼寧月考)已知函數在R上存在導函數/(x),對%GR滿足.*x)一

=2?,在.隹(0,+8)上，f(x)V2x若/(2-m)-/(〃】)24-4m,實數m的取值范圍是()

A.[-1,1]B.(?8,1]

C.[1,+8)D.(-8,-1]U[1,+8)

【變式4-3](2022春?贛州期末)已知定義在R上的函數/(上,其導函數為了(幻.若/(*)-

1

.r)-cosx,且當xW()時，//(x)--^sinxX),則不等式/(IT-x)>/(x)+cosx的解集為()

nTC

A.(-8,2)B.(—,+8)C.(-8,口)D.(TT,4-oo)

【題型5函數單調性與導函數圖象的關系】

【例5】(2022?赫山區校級開學)如圖所示是函數/(X)的導函數/(x)的圖象，則下列判斷中正確的

是()

y

A.函數f(x)在區間（-3,0）上是減函數

B.函數/（x）在區間（-3,2）上是減函數

C.函數/(x)在區間（0,2）上是減函數

D.函數/（x）在區間（-3,2）上是單調函數

【變式5-1]（2022春?平頂山期末）已知函數,，=/（x）的部分圖象如圖所示，且/（外是/G）的導函數,

B.()>/(2)>/(1)>/(-1)=/(-2)

C./(2)</(1)<0</(-1)=/(-2)

D./(2)</(1)<0</(-2)</(-1)

【變式5-2】(2022春?莆田期末)定義在(?1,3)上的函數y=f(x),其導函數y=/(x)圖象如右圖

所示，則y=/(x)的單調遞減區間是()

D.(2,3)

【變式5-3]（2022春?遵義期末）函數/（x）的導函數為/（x）的圖象如圖所示，關于函數,f,下列

說法不正確的是（）

A.函數在(-1,1),(3,+8)上單調遞增

B.函數在(-8,-1),(I,3)上單調遞減

C.函數存在兩個極值點

D.函數有最小值，但是無最大值

【題型6根據函數的單調性求參數】

【方法點撥】

根據函數單調性求參數的一般思路：

(1)利用集合間的包含關系處理：j=/(x)在(m加上單調，則區間3,是相應單調區間的子集.

(2)/(x)為增(減)函數的充要條件是對任意的3都有/(x)KKfa)WO)且在(a,協內的任一非空子區間上,

尸(x)不恒為零，應注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

⑶函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題.

【例6】(2022?安徽開學)已知函數/Xx)=4cosx-加