2026年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之一題多變講義：第5題 依“法”解決數(shù)列新定義（學(xué)生版+解析）

第5題依“法”解決數(shù)列新定義（解透一題）

【山東青島2024-2025學(xué)年高三年級(jí)調(diào)研檢測T11]

（多選題）設(shè)數(shù)列｛叫和也｝的項(xiàng)數(shù)均為川,稱￡0-也|為數(shù)列｛4｝和也｝的距離.記滿

1-1

足q+1=詈的所有數(shù)列｛《J構(gòu)成的集合為c.已知數(shù)列｛A｝和｛紇｝為C中的兩個(gè)元素，

n

項(xiàng)數(shù)均為〃?，則下列正確的有（）

A.數(shù)歹小3,5.7和數(shù)列2,4,6,8的距離為4

B.若m=4p（pwN）,則A4…4=8也…凡

c.若〃7=4〃（八1＜）,則￡|4臼〃

/-I

D.若A=2,4=3,數(shù)列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017,則/"的最大值為3456

本題數(shù)列題將“新“溶于命題之中.通過定義?個(gè)兩數(shù)列的距.離這?新概念來創(chuàng)設(shè)問題情境考

察數(shù)列知識(shí).數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，也是高等數(shù)學(xué)如常微分方程組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),

既是特殊的函數(shù)，也能構(gòu)成各種各樣的遞推關(guān)系.屬于高考數(shù)學(xué)中必考查的內(nèi)容之一，對(duì)于

新定義問題，要求我們?cè)陂喿x理解題意的基礎(chǔ)上，善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì)，依據(jù)題

中提供的信息，聯(lián)系所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，將新定義的數(shù)列題遷移到等差、等比或遞推

數(shù)列的知識(shí)上來，從而解決問題.

?本題給定一個(gè)新信息，數(shù)列｛q｝和｛2｝的距離，要求我們通過認(rèn)真閱讀理解、

思路分析

觀察分析，并與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)進(jìn)行同化，探索斐取有用的信息，從而創(chuàng)造性地解決

問題.對(duì)丁選項(xiàng)A,直接套用定義約定驗(yàn)證即可;對(duì)丁B選項(xiàng)，題目給出一分式遞推關(guān)系，根

據(jù)初始條件和遞推公式，計(jì)算出前幾項(xiàng)，再通過這幾個(gè)特殊項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式，.在選擇題

中合理地進(jìn)行猜想，往往能有效地簡化運(yùn)算.值得注意，需要關(guān)注選項(xiàng)對(duì)知識(shí)考察的暗示.從

選項(xiàng)提示來看，需判B選項(xiàng)，要關(guān)注｛叫的前n項(xiàng)的積，證明或反駁〃?=4p（〃wN"）時(shí)，

%出…品的取值與初始項(xiàng)無關(guān).對(duì)于選項(xiàng)C,由于遞推關(guān)系沒有給出初始項(xiàng)，說明初始項(xiàng)可

以任意，故可以思考反例排出：對(duì)于選項(xiàng)D結(jié)合選項(xiàng)B歸納的結(jié)論套用約定解決.

詳細(xì)解析

對(duì)于A,數(shù)列A3,5,7和數(shù)列2,4,6,8的距離為|1一2|+|3-4|+|5-6|+|7-8|=4,（提醒:

套用定義約定）A正確;

1+9

對(duì)于B,由凡”=丁衛(wèi)得，42=^烏，"3=[也=—=

1一%1-弓\-a2]1+.4

1一4

I--1+忙

1+?3_a}_?1-1_I_I+a4_q+]

1-%]+14+1%，%1一&

%q+1

因此數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，即｛q｝滿足4向=4，包“+2=生，

1I

%“+3一勺----，&n+4~a4~-------,〃WN,

q%

J*—=1，可以判斷B正確；

對(duì)于c,舉反例，取〃=1,則〃?=4,當(dāng)入=機(jī)+1時(shí)，，XlAl>|A|>w*七|A|K〃?不成

r=l;=1

立，故c錯(cuò)誤：

對(duì)于D,由B分析知，若A=2,B[=3,則4向=2,4”+2=一3,兒小二一；，4"+4=；，

1147

%,1=3,/九+2二-2,/九+3=工，B=-,￡|4一瓦|=可，

J4n+4幺j=]1

gA/=864xg=等<2017,

34553456八i

￡同一周=￡同-周=|2-3|=等=2017,

1-11-1J

故滿足數(shù)列｛4｝和｛凡｝的距離小于2017的次的最大值為3456,D正確.

所以，答案為ABD.

■方法總結(jié)

本題是一道數(shù)列相關(guān)的新定義試題，解題關(guān)鍵是掌握新定義的本質(zhì)，借助新定義的數(shù)列的特

征，向已掌握的數(shù)列知識(shí)轉(zhuǎn)化.解題的突破點(diǎn)是正確理解與運(yùn)用新的概念、新的運(yùn)算或新的

關(guān)系的意義，理解新符號(hào)，轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行.值得注意的是，對(duì)于

?=產(chǎn)，我們可以深入研究”對(duì)于連續(xù)函數(shù)/⑺，若/（小）=%，則稱/為/（x）

的不動(dòng)點(diǎn).分式函數(shù)型。加二里三的通項(xiàng)公式的求解，構(gòu)造函數(shù)〃刈="辿,并令

man+1rnx+t

/(x)=x,求出f(x)的不動(dòng)點(diǎn).若/(x)有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則用?d+1=彩令兩端

分別減去兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，得到兩個(gè)式子，兩式相除構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)公式；若/(%)只

有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則用勺川=芯)兩端減去該不動(dòng)點(diǎn)，再取倒數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng);

若J'")沒有不動(dòng)點(diǎn)，則在考題中，｛?；｝往往是周期較小的周期數(shù)列，直接根據(jù)首項(xiàng)和

遞推公式^-=7^77求出前幾項(xiàng)找規(guī)律即可.本題就對(duì)這一性質(zhì)進(jìn)行編制考察?

?解透一題?類題講解一定義”等和(積)數(shù)列，周期考察

新定義型試題主要FI的是考查考生在短時(shí)間內(nèi)以最快速度理解、接受并運(yùn)用新知識(shí)解決數(shù)學(xué)

問題能力，給出等和數(shù)列的概念，類題如下：

【典型例題】定義“等和數(shù)列”：在?個(gè)數(shù)列中，如果每?項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同?個(gè)常

數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.若數(shù)列｛%｝是等和數(shù)列，且

4=1,公和為3,則這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和s”的計(jì)算公式為

【思路導(dǎo)引】根據(jù)等和數(shù)列定義可寫出通項(xiàng)公式，分〃為奇數(shù)偶數(shù)求和即可.

【詳細(xì)解析】

由％=1,公利為3知。22==2,

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，Sn+a2+a3+a4++an_i+an=3-^=^-,

當(dāng)〃23,〃為奇數(shù)時(shí)，〃-1為偶數(shù)，S”=S“T+4="^+1=￥，

網(wǎng)，〃為偶數(shù)

7

代入檢驗(yàn)知/7二1時(shí)也成立，，S“二(

四二，〃為奇數(shù)

2

【舉一反三】

1.定義”等積數(shù)列''：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列｛%｝是等積數(shù)列且4=3,

前61項(xiàng)的和為113,則這個(gè)數(shù)列的公積為()

A.2B.3C.6D.8

0tli

■解透TH*類題講解二集線搭橋考分式遞推

形如％川=亡7的分式型遞推數(shù)列求解通項(xiàng)公式問題，是高考數(shù)列試題中的難點(diǎn).故

叫+d

而高考在考查此類問題時(shí)，通常先給出輔助數(shù)列｛〃｝，通過求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而再求

｛a?｝的通項(xiàng).顯然這里的輔助數(shù)列是求解最終目標(biāo)的通項(xiàng)的一座“橋

【典型例題】設(shè)4=2,。川=-bn=,則數(shù)歹IJ也｝的通項(xiàng)公式b.=

a.+1a-\

【思路導(dǎo)引】此題給出的遞推公式〃用二三屬于“，品二絲片”型，試題中給出了“橋”

a“+lc&+d

，通過這座“橋”，可以進(jìn)一步求出｛a?｝的通項(xiàng).

【詳細(xì)解析】

由條件得2%且4=4,所以數(shù)列｛3｝是首項(xiàng)為4,

公比為2的等比數(shù)列，則2=4.2。7=2用.

【舉一反三】

2.已知數(shù)列｛q｝中q=2,4*=（右一1）（q+2）,〃=1,2,3,

（I）求｛4｝的通項(xiàng)公式：

（II）若數(shù)列⑻中4=2,%=|^甘,八二1,2,3,???,證明:

V”W。4用刀=L2,3,'-.

3.定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛4｝是公積不為0的等積數(shù)

列，且6=3,前7項(xiàng)的和為14.則下列結(jié)論正確的是（）

生［

A.B.C.公積為1D.4H”+W”+2=6

4.設(shè)正整數(shù)〃=旬?2°+什2+,,+%?2i+4-23其中《丘{0,1},記

(w(〃)=%+q+??+?*.貝］()

A.69（2/7）=69（/2）B.6?（2/2-3）=69（/2）+1

C.況8〃+5）=《。（4〃+3）D.°（2"-1）二〃

5.定義“等和數(shù)列〉在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為問一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛4｝是等和數(shù)列，且q=2,

公和為5,那么小的值為，且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和S21的值為.

6.已知數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)。向二券斤，〃eN*.

⑴設(shè)a=｝-1,求數(shù)列例｝的通項(xiàng)公式；

⑵是否存在互不相等的正整數(shù)加，s,n,使機(jī)，$,〃成等差數(shù)列，且%-1,as-\tan-\

成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

7.若數(shù)列｛叫和也｝的項(xiàng)數(shù)均為加，則將數(shù)列也｝和血｝的距離定義為之何一如

1=1

（1）求數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離:

⑵記A為滿足遞推關(guān)系。用二巖的所有數(shù)列｛《,｝的集合，數(shù)列｛"｝和｛&｝為A中的兩個(gè)

m

元素，且項(xiàng)數(shù)均為m.若4=2,q=3,數(shù)列也｝和｛c,J的距離-q區(qū)2024,求系的最

J=I

大值；

⑶記S是所有7項(xiàng)數(shù)列｛q｝（其中q=0或1）的集合，TqS,且7中的任何兩

個(gè)元素的距離大于或等于3.求證：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.

第5題依“法”解決數(shù)列新定義（解透一題）

【山東青島2024-2025學(xué)年高三年級(jí)調(diào)研檢測T11]

m

（多選題）設(shè)數(shù)列｛q｝和也｝的項(xiàng)數(shù)均為〃，，稱為數(shù)列｛〃0｝和也｝的距離?記滿

足。用=詈的所有數(shù)列｛q｝構(gòu)成的集合為c.已知數(shù)列｛A｝和｛用｝為C中的兩個(gè)元素，

項(xiàng)數(shù)均為〃?，則下列正確的有（）

A.數(shù)列L357和數(shù)列2,4,6,8的距離為4

B.若〃?=4p（〃eN）,則-4…4=4。…上

c.若〃?=4〃（〃GN）,則

/=!

D.若A=2,片=3,數(shù)列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017,則機(jī)的最大值為3456

本題數(shù)列題將“新“溶于命題之中.通過定義一個(gè)兩數(shù)列的至離這一新概念-來創(chuàng)設(shè)問題情境考

察數(shù)列知識(shí).數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)，也是高等數(shù)學(xué)如常微分方程組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),

既是特殊的函數(shù)，也能構(gòu)成各種各樣的遞推關(guān)系.屬于高考數(shù)學(xué)中必考查的內(nèi)容之一，對(duì)于

新定義問題，要求我們?cè)陂喿x理解題意的基礎(chǔ)上，善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征和本質(zhì)，依據(jù)題

中提供的信息，聯(lián)系所學(xué)過的數(shù)學(xué)知以和方法，將新定義的數(shù)列題遷移到等差、等比或遞推

數(shù)列的知識(shí)上來，從而解決問題.

?本題給定?個(gè)新信息，數(shù)列｛%｝和｛"｝的距離，要求我們通過認(rèn)真閱讀理解、

思路分析

觀察分析，并與己有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)進(jìn)行同化，探索獲取有用的信息，從而創(chuàng)造性地解決

問題.對(duì)于選項(xiàng)A,直接套用定義約定驗(yàn)證即可;對(duì)于B選項(xiàng)，題目給出一分式遞推關(guān)系，根

據(jù)初始條件和遞推公式，計(jì)算出前幾項(xiàng)，再通過這幾個(gè)特殊項(xiàng)歸納出通項(xiàng)公式，.在選擇題

中合理地進(jìn)行猜想，往往能有效地簡化運(yùn)算.值得注意，需要關(guān)注選項(xiàng)對(duì)知識(shí)考察的暗示.從

選項(xiàng)提示來看，需判B選項(xiàng)，要關(guān)注｛為｝的前n項(xiàng)的積，證明或反駁〃?=4p（〃wN"）時(shí)，

4%…品的取值與初始項(xiàng)無關(guān).對(duì)于選項(xiàng)C,由于遞推關(guān)系沒有給出初始項(xiàng)，說明初始項(xiàng)可

以任意，故可以思考反例排出；對(duì)于選項(xiàng)D結(jié)合選項(xiàng)B歸納的結(jié)論套用約定解決.

詳細(xì)解析

對(duì)于A,數(shù)列1,3,5,7和數(shù)列2,4,6,8的距離為—2|+|3—4|+|5—6|+|7-8|=4,（提醒:

套用定義約定）A正確；

1+9

對(duì)于B,由得，出=『烏，％=產(chǎn)歪=一三L=-J_,

1-%|_ql-a2]1+4q

1-%

I--1

〃=115.=_=〃J+%=%+1_<

1-。31+±%+1%I-4]/T

%q+1

因此數(shù)列｛qj中的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，即｛%｝滿足。4“+L4，%“+2=%，

11

a

%“.3=%=—-，%4=4=---------,〃eN,

%%

。4"+1。4”+2。4”+3“4”+4=??可以判斷B正確；

對(duì)于c,舉反例，取〃=1,則6=4,當(dāng)A=〃?+1時(shí)，，ZW>|A|>，〃，￡%臼〃不成

r-li-l

立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由B分析知，若4=2,4=3,則4向=2,4”+2=-3,4“+3=-《，八4.+4=:，

114、7

%3=3,%+3=-1%+4=5,ZlA-5|=-?

f^4n+2=-2,，（

ni76048

^|/\.-Bf.|=864x-=——<2017,

1=1J3

ME55lA-fiJ=3Z456|A-^|=|2-3|=^i=2O17,

<=i3

故滿足數(shù)列｛4｝和｛紇｝的距離小于2017的機(jī)的最大值為3456,D正確.

所以，答案為ABD.

?方法總結(jié)

本題是一道數(shù)列相關(guān)的新定義試題，解題關(guān)鍵是掌握新定義的木質(zhì)，借助新定義的數(shù)列的特

征，向已掌握的數(shù)列知識(shí)轉(zhuǎn)化.解題的突破點(diǎn)是正確理解與運(yùn)用新的概念、新的運(yùn)算或新的

關(guān)系的意義，理解新符號(hào)，轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，利用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行.值得注意的是，對(duì)于

%=L，我們可以深入研究”對(duì)于連續(xù)函數(shù)/（X），若〃小）=/，則稱/為/（X）

的不動(dòng)點(diǎn).分式函數(shù)型〃用二四49的通項(xiàng)公式的求解，構(gòu)造函數(shù)=,并令

〃x）=x,求出/（-r）的不動(dòng)點(diǎn).若/（力有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則用??+1=鬻詈兩端

分別減去兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，得到兩個(gè)式子，兩式相除構(gòu)造等比數(shù)列來求通項(xiàng)公式；若/（"只

有1個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則用《川=兩端減去該不動(dòng)點(diǎn)，再取倒數(shù)，構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng);

若/（X）沒有不動(dòng)點(diǎn)，則在考題中，｛a?｝往往是周期較小的周期數(shù)列，直接根據(jù)首項(xiàng)和

遞推公式。，用=靠;求出前幾項(xiàng)找規(guī)律即可.本題就對(duì)?這一性質(zhì)進(jìn)行編制考察.

定義”等和（積）數(shù)列，周期考察

新定義型試題主要目的是考查考生在短時(shí)間內(nèi)以最快速度理解、接受并運(yùn)用新知識(shí)解決數(shù)學(xué)

問題能力，給出等和數(shù)列的概念，類題如下:

【典型例題】定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常

數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.若數(shù)列｛%｝是等和數(shù)列，且

4=1,公和為3,則這個(gè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和S.的計(jì)算公式為

【思路導(dǎo)引】根據(jù)等和數(shù)列定義可寫出通項(xiàng)公式，分〃為奇數(shù)偶數(shù)求和即可.

【詳細(xì)解析】

由4=1,公和為3知a2n-\==2，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，S0=q+生+/+4++凡-1+4=3?耳=彳，

當(dāng)〃之3,"為奇數(shù)時(shí)，〃-1為偶數(shù)，S”=S,i+q=30；D+]=1,

學(xué)，〃為偶數(shù)

代入檢驗(yàn)知〃二1時(shí)也成立，???s.二々~?

也二，〃為奇數(shù)

2

【舉一反三】

1.定義“等積數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公枳，已知數(shù)列｛q｝是等積數(shù)列且卬=3,

前61項(xiàng)的和為113,則這個(gè)數(shù)列的公積為（）

A.2B.3C.6D.8

【答案】A

【解析】先由題意，記凡%x=A（k為常數(shù)）,得出〃“.2=勺，即數(shù)列｛&｝是以2為周期的

數(shù)列，

再由題中條件求出的=彳2，即可求出公積.

【詳解】由題意，記%=%（1為常數(shù)）,

則4+4+2=k,所以乎=1,即%=凡，

所以數(shù)列｛q｝是以2為周期的數(shù)列，

又其前61項(xiàng)的和為113,

所以有+%）+4=113,因?yàn)椋?3,

9

所以外=1，因此04+i=2.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考兗數(shù)列周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.

,^11__________________

暈線搭橋考分式遞推上

形如。用二二七方的分式型遞推數(shù)列求解通項(xiàng)公式問題，是高考數(shù)列試題中的難點(diǎn).故

〃十a(chǎn)

而高考在考查此類問題時(shí)，通常先給出輔助數(shù)列作“｝,通過求輔助數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而再求

｛an｝的通項(xiàng).顯然這里的輔助數(shù)列是求解最終目標(biāo)的通項(xiàng)的一座“橋

【典型例題】設(shè)4=2,。川=二丁”=紀(jì)9,,則數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式b“=

+1\a-\\

【思路導(dǎo)引】此題給出的遞推公式"用二三屬于“〃"小絲弓”型，試題中給出了“橋

4+1ca.+d

，通過這座“橋”，可以進(jìn)一步求出｛%｝的通項(xiàng).

【詳細(xì)解析】

-^—+2

。川+24+1=2周=2%且R=4,所以數(shù)列｛￡｝是首項(xiàng)為4,

由條件得么”=

%+i——--1

。+1

公比為2的等比數(shù)列，則以=4.2”T=2m.

【舉一反三】

2.已知數(shù)列｛〃“｝中％=2,an+x=（a-1）?+2）,w=1,2,3,....

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

（II）若數(shù)列也J中也=2，%=堯|,〃=1,2,3,?,證明：

&vbnGa4n.3,n=1,2,3,….

【答案】（I）｛q｝的通項(xiàng)公式為4=&1）"+1,〃=1，2,3,...

（II）證明見解析

【分析】（I）利用構(gòu)造等比數(shù)列的方法求解數(shù)列｛可｝的通項(xiàng)公式；（H）利用數(shù)學(xué)歸納法,

證明〃=1和〃=k+1時(shí)不等式均成立.

【詳解】（I）由題設(shè)：。,川=（啦一1）（q+2）=（/一1）（4-夜）+（夜一1）（2+夜）

=（及一1）30一&）+&,即向一血二（a-1）（%—O）.

所以數(shù)列｛。“-及｝是首項(xiàng)為2-a，公比為五-1的等比數(shù)列，

，

????w-x/2=（2-V2）（V2-ir,即a,-41=（忘-1/-'=72（72-1）%

72—I

即｛%｝的通項(xiàng)公式為4=拉［（夜—1）“+1,〃=1，2,3，….

（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（i）當(dāng)〃=1時(shí)，因夜<2,4=4=2,所以

x/2<Z?（<?（,結(jié)論成立.

（ii）假設(shè)當(dāng)〃=〃時(shí)，結(jié)論成立，即應(yīng)攵=123,

也即0<4—近4/一一企.

當(dāng)〃=左+1時(shí),

（3-2何+（4-2&）

24+3

一（3-2就—6）：0

2々+3^

又一--<—4—=3-2日

2a+32x/?+3

所以所「&=--2￡購-&）<加2⑸2（心正”（拉（--揚(yáng)

+3

=@&-1廣=%-、%

也就是說，當(dāng)〃=左+1時(shí)，結(jié)論成立.

根據(jù)⑴和(ii)知及".《勾”3，，2=1，2,3,,?.

【點(diǎn)睛】1.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問

題.證明時(shí)步驟⑴和(2)缺一不可，步驟(I)是步驟⑵的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù).

2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算〃=〃。的〃。不一定為1,而是根據(jù)題目要求選擇合

適的起始值.第(2)步，證明〃=左+1時(shí)命題也成立的過程，一定要用到歸納假設(shè)，否貝！就不

是數(shù)學(xué)歸納法.

Hi

3.定義“等枳數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積都為同一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列｛4｝是公積不為0的等積數(shù)

列，且4=3,前7項(xiàng)的和為14.則下列結(jié)論正確的是()

2

A.4+2=4B.?,=-C.公積為1D.凡。-=6

【答案】AB

【分析】根據(jù)等積數(shù)列的定義，可判斷A的正誤，根據(jù)條件，代入數(shù)據(jù)，可判斷B、C的正

誤，分別討論〃為奇數(shù)和偶數(shù)，可判斷D的正誤，即可得答案.

【詳解】設(shè)該等積數(shù)列的公積為〃？(〃?為常數(shù)，加工0),

根據(jù)等積數(shù)列的定義可得仆。"產(chǎn)，小。向勺+2=用，

所以即。”+2=4，故A1E確:

%+2

貝ijq=6=見=%=3,

又前7項(xiàng)的和為14,則4x3+3xg=14,解得6=2,即公積為2,

所以g=1，故B正確，C錯(cuò)誤，

4

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)。“4+陷”+2=6,當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)44川。”+2=.,故D錯(cuò)誤

故選：AB

4.設(shè)正整數(shù)〃=%「2°+6?2+…+4.2J+4-2。其中6€{0,1},記

。(〃)=%+%+???+&?貝J()

A.02〃)=/(〃)B,/(2〃-3)=。(〃)+1

C.3(8〃+5)=⑷(4〃+3)D."2"-1)=〃

【答案】ACD

【分析】利用/(〃)的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.

12AX+I

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，0(〃)=an+q++q，2n=a0-2+?)-2++at_}-2+at-2,

所以，02〃)=4+4++ak=/(〃),A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，取〃=2,2?+3=7=1-20+1-2,+1-22,/.^(7)=3,

而2=0?2°+1?2、則3⑵=1,即3⑺工02)+1,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

A+3f234+3

對(duì)于C選項(xiàng)，8〃+5=恁?23+4?2'+?+^-2+5=l-2+1-2+?0-2+?,-2++^-2*,

所以，少(8〃+5)=2+4)+4++《，

23+2,23

4n4-3=a0-2+a1-2+---+ar2*+3=l-2°+b24-^)-2+a1-2++"",

所以，力(4〃+3)=2+/+4++%，因此，＜y(8〃+5)=0(4〃+3),C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，2M-l=2°+2,+...+2n-l?故磯2"-1)=〃，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

5.定義“等和數(shù)列“：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么

這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列｛4｝是等和數(shù)列，且％=2,

公和為5,那么候的值為,且這個(gè)數(shù)列的前21項(xiàng)和L的值為.

【答案】352

【分析】由題意得(+凡+=5對(duì)任意的〃wN?恒成立，從而可求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式，從而

可求“18與$21.

【詳解】根據(jù)“等和數(shù)列''的定義及公和為5,可得%+<%=5對(duì)任意的〃wN?恒成立.

2/為奇數(shù)

因?yàn)閝=2,所以《

3"?為偶數(shù).

所以小=3.

所以S?i=10(4+4)+4=52.

故答案為：3;52.

6.已知數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)q=：,6+i=q

5^an+1

⑴設(shè)a=：T,求數(shù)列也,｝的通項(xiàng)公式：

n

(2)是否存在互不相等的正整數(shù)明，使小，一〃成等差數(shù)列，且七7as-\t?n-l

成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴(W€N*)

(2)不存在，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)何力中給出遞推公式，先取倒數(shù)再配湊的方法，就可以得到數(shù)列

是等比數(shù)列，進(jìn)而求解.

(2)先假設(shè)存在，利用等差中項(xiàng)性質(zhì)得到〃7+〃=2￡,等比中項(xiàng)性質(zhì)得到￥+4"=24，再

根據(jù)基本不等式發(fā)現(xiàn)〃?=〃時(shí)等式成立，但題中條件是m，，，〃G不相等，從而得到結(jié)論.

4〃“4

【詳解】(I)因?yàn)樯?產(chǎn)記Uy,%=§工。，

所以，”工。,

,,131

取倒得￡=/福'

因?yàn)閍=’一1=；/0，

44

1/

所以a=丁-1，°（〃*N），

所以｛〃｝是4=；，，/=；的等比數(shù)列，

所以以」_1=，但『/，丫（〃拼

（2）假設(shè)存在，則〃7+〃=25,（4-力（⑸-1）=（&-1）2,

4"

由（1）得。”=

4"+1

化簡得4旭+4=24,

因?yàn)?"+4”22.，4次"=2-4，當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃時(shí)等號(hào)成立，

又〃I,$,〃互不相等，

所以中+4">2?43即不存在符合條件的機(jī)，$，〃.

m

7.若數(shù)列㈤｝和色｝的項(xiàng)數(shù)均為小，則將數(shù)列｛嗎和也｝的距離定義為Zl4fl.

f=l

⑴求數(shù)列I,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離；

⑵記A為滿足遞推關(guān)系。用=魯?shù)乃袛?shù)列乩｝的集合，數(shù)列也｝和｛%｝為A中的兩個(gè)

元素，且項(xiàng)數(shù)均為機(jī).若a=2,c,=3,數(shù)列也｝和｛q｝的距離2|4一局42024,求加的最

1=1

大值；

⑶記S是所有7項(xiàng)數(shù)列｛q｝（其中4=0或1）的集合，TyS,且7中的任何兩

個(gè)元素的距離大于或等于3.求證：丁中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.

【答案】⑴7

（2）3469

（3）證明見詳解

【分析】(1)由數(shù)列距離的定義直接求出所給兩個(gè)數(shù)列的距離;

47

(2)由題意分析可知A中數(shù)列項(xiàng)的周期性，可得2的一4二可結(jié)合周期性求得加的最大值;

J=lJ

(3)假設(shè)r中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè)，設(shè)出｛&｝,｛4｝,｛，｝,最終求得￡|工-￡氏2和