2025年九年級中考數學二輪復習：圓的切線的證明與銳角三角函數（綜合訓練）含答案

2025年九年級中考二輪專題訓練圓的切線的證明與銳角三角函數綜合訓練

1.如圖，48為。。的直徑，點。是。。上一點，點。是。。外一點，NBCD=/BAC,

連接。。交8C于點￡

(1)求證：CO是。。的切線.

(2)若CE=O4,sin/84c=1，求tanNCE。的值.

2.如圖，。。是△48C的外接圓，48是直徑，ODLOC,連接4D,ZADO=ZBOC,AC

與。。相交于點￡.

(1)求證：力。是00的切線:

1Q

(2)若tan/CMC=*,AD=求。。的半徑.

3.如圖，44是CO的直徑，C,。都是GO上的點，40平分NC44,過點。作4C的垂線

交dC的延長線于點E,交力8的延長線于點尸.

(1)求證：屬'是。。的切線；

(2)若力8=10,JC=6,求tan/ZMB的值.

4.如圖，彳8為。。的直徑，。是。。上一點，過點C的直線交力8的延長線于點作

AD±MC,垂足為Q,已知/C平分NM4。.

(1)求證：A/C是。。的切線；

(2)若AB=BM=4,求tanNA//C的值.

5.如圖，△48。內接于0O,4c是。。的直徑，過0/(上的點P作PO_L/C,交C8的延

長線于點。，交48于點從點廠為。上的中點，連接8K

（1）求證：8尸與相切;

4

(2)若4P=OP,cosA=AP=4,求8斤的長.

6.如圖，已知為0。的直徑，點C為。。外一點，，4C=8C,連接OC,是力C的垂

直平分線，交OC于點凡垂足為點，連接力。、CD,且NOC4=NOC4

（1）求證：力。是。。的切線;

(2)若CD=6,0F=4,求cosND4c的值.

7.如圖，。0是△力8C的外接圓，力。是。。的直徑，F是力。延長線上一點，連接CQ,

CF,且N。。產=NC4Q.

（1）求證：。尸是。。的切線;

C

(2)若cos8=1,力。=2,求尸。的長.

8.如圖，RtZ\/4C中，ZJ5C=90°,以點C為圓心，C8為半徑作。。，。為。。上一點,

連接力。、CD,AB=AD,AC平分NB/D.

(1)求證：力。是OC的切線；

(2)延長力。、8c相交于點E,若S?DC=2SMBC,求tanN34c的值.

9.如圖，在。。中，力8是直徑，。。是弦，ABVCD,垂足為P,

過點。的。。的切線與力4延長線交于點連接C￡.

(I)求證：CE為。。的切線;

(2)若OO半徑為3,CE=4,求sinNOEC.

10.如圖，在Rt△力8c中，Z/iCZ?=90°,力。是N8/IC的平分線，以力。為直徑的。。交

力8功干點E,連接CE,過點力作。尸〃。巴交力8千點凡

(1)求證：。尸是。。的切線；

(2)若80=5,sinZ5=1,求線段。尸的長.-

11.如圖，△力8c內接于OO,是。。的直徑，E為AB上一點,BE=BC,延長CE交

AD于點D,AD=AC.

(1)求證：力。是O。的切線;

(2)若tanN4CE=C，OE=3,求8C的長.

EO

C

12.如圖，在RtaZCO中，ZJCD=90a，點。在CO上，作。。使。。與4。相切于

點、B,。0與CQ交于點過點。作。尸〃4C,交.40的延長線于點凡且NO48=N

F.

(1)求訐：力。是0O的切線:

(2)若OC=3,DE=2,求tan/尸的值.

13.如圖，已知點C是以力4為直徑的半圓JL一點，。是/心延長線上一點，過點。作

的垂線交力。的延長線于點E,連結C。，且CD=ED.

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若tan/OC￡=2,BD=1,求00的半徑.

DBO

14.如圖，是。0的直徑，點廠在OO上，斤的平分線4E■交。。于點E,過點￡

作交力尸的延長線于點。，延長。E、48相交于點C.

(1)求證：CO是。0的切線；

1

(2)若OO的半徑為5,tan/￡>lQ=矛求8c的長.

15.如圖，△力8。內接于。0,。是。。的直徑48的延長線上一點，NDCB=NOAC.過

圓心O作BC的平行線交DC的延長線于點E.

(I)求證：CO是。。的切線；

(2)若CO=4,CE=6,求。。的半徑及tan/OCB的值.

BD

A

C

E

參考答案

1.【解答】（1）證明：連接0C,

???月6是直徑，

；?N4c8=90°,

.??N4+N4=90°,

?：OC=OB,

；.NOCB=NOBC,

"：/BCD=/BAC,

???NOC8+NOCA=9（r,

???OC_LCO,

???OC為。。的半徑,

???。。是。。的切線:

（2）解：過點。作0"_L8C于點

TsinN區4。一器4

耳'

,可以假設5C=4hAB=5k,則/O=OC=CE=2.54,

YOHLBC,OC=OB

:,CH=BH=2k,

222

*：OA=OB,AC=AB-BCf

：.OH=^AC=^k,

:,EH=CE-CH=25k-2k=65k,

OH部

JanNCEg而=兩=3.

2.【解答】（1）證明：???OQJ_OC,

/.ZCOD=90°,

：.ZBOC+ZAOD=\SO0-90°=90°,

又?「ZADO=ZBOC,

AZADO+ZAOD=W,

.??NOW=I80°-90°=90°,

即OALAD,

'：OA是半徑，

???4）是。。的切線；

（2）解：'：OA=OC,

：,ZOAC=ZOCA,

1np

tanZOAC=工=tanZOCA=況r.

??15是直徑,

AZJC5=90°=NOAD,即N0C8+N0C/=90°=ZOAC+ZDAE,

；.NDAE=NOCB,

又；NADO=/BOC,

：?NDEA=/B,

?：OB=OC,

工NOBC=N()CB,

:?NDAE=NDEA,

3

1.AD=DE=當

設半徑為7則。E=1r,OD=1r+1,

在中，由勾友定理得，

AD1+OA2=OD2,

即(|)2+/=(1,+|)2,

解得/=2或/=0(舍去)，

即半徑為2.

3.【解答】(1)證明：如圖1,連接O。,

??ZO平分NC48,

；?/OAD=/EAD.

*：OD=OA,

：.ZODA=ZOAD.

：.ZODA=ZEAD.

：.OD//AE.

?；NODF=NAEF=900且。在。。上，

???比是。。的切線；

(2)連接8C,交OD于H,

???月6是OO的直徑，

AZACB=9()°,

VJ^=1(),4c=6,

:?BC=V/1F2-AC2=V102-62=8,

???/￡=NNC8=90°,

:.BC"EF,

二.乙OHB=4(JD卜’=90’,圖2

：.OD1BC,

1

工CH=/C=4,

?：CH=BH,OA=OB,

1

：?OH=BC=3,

：.DH=5-3=2,

???NE=N〃CE=NEQH=90°,

???四邊形ECHO是矩形，

.\ED=CH=4,CE=DH=2,

???/[￡=6+2=8,

?:/DAB=NDAE,

nr41

tanZZ)/lZ?=tanZF=而=Q=2'

4.【解答】(1)證明：

/.ZZ)=90°,

'：OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

??FC平分NM4。，

：.NDAC=NO4C,

：.ZOCA=ZDAC,

：?OC〃DA,

；?ND=NOCM=90°,

?；oc是O。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：-：AB=4t

：?OC=OB=%B=2,

：?OM=OB+BM=6,

在RtZXOCM中，MC=VOM2-OC2=V62-22=4\/2,

VZM=NOCM=/￡>=90°,

:?AMCOs4MDA,

0cMo

=-=

DT

76

2

==一

A8,

W

⑦8

16

=3一

-Vz)=父

:,CD=MD-MC=W近,

在RtA/lCZ)中，tanZZ)JC=給=琛=孝

3

AtanZMAC=tanZDAC=*，

tanZMA。的值為亨.

5.【解答】(1)證明：連接08,

??"C是GO的直徑，

AZABC=90Q,

.\ZJ5D=I8O0-Nd8c=90°,

:點尸為。石的中點，

1

：.BF=EF=^DEt

：?4FEB=/FBE,

???NAEP=/FEB,

:?/FBE=/AEP,

yPD±AC,

:.NEPA=9U°,

AZA+ZAEP=90°,

，：OA=OB,

???NA=NOBA,

???NOBA+/FBE=90°,

：.ZOBF=90°,

是OO的半徑，

???8”與。。相切；

(2)解：在RtZX/lE尸中，cosJ=1,AP=4,

AP4

*.AE=

cosA-1"

:.PE=>JAE2—AP2=\/52-42=3,

?;AP=OP=4,

：.OA=OC=2AP=S,

：.PC=OPWC=\2,

VZJ+Z/1EP=9O°,ZJ+ZC=90",

；?NAEP=NC,

?:/APE=NDPC=90°,

:.4APEs叢DPC,

.竺—竺

??-，

DPPC

._4____3_

??-9

DP12

：,DP=\6,

[DE=DP-PE=\6-3=\3,

:.BF=aDE=孚

13

:?BF的長為？.

6.【解答】(1)證明：???/C=8C,點。為力〃的中點,

：.CO1AB.

丁。尸是力。的垂直平分線,

:?DC=DA,

：.ZDCA=ZDAC.

,：ZDCA=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.DA//OC,

：.DA1OA.

,：OA是。。的半徑，

???彳。是。。的切線；

(2)解：在和△。尸E中,

(Z.DCA=Z-OCA

\CE=CE，

("ED=Z,CEF=90°

:.△CDE94CFE(ASA),

：.CD=CF=6,

：.CO=CF+OF=\0.

???力/是4C的垂直平分線，

：.CE=AE=^AC,

?；NCEF=NCO4=90°,NECF=/OCA,

:.ACEFSACOA,

?￡￡_￡￡

，，'CF='AC，

,2^￡_10

=AC'

AJC=2V30,

在Rt^/lOC中，

../oOC，須

?cosN004==6，

：.cosZDAC=cosZOCA=蟄.

o

7.【解答】解：(1)連接OC,

??Z。是。。的直徑，

/.^ACD=90°,

：.ZADC+ZCAD=W,

又.：OC=OD,

???ZADC=ZOCD,

又，：NDCF=NCAD.

：.ZDCF+ZOCD=W,

即OCLFC,

???/。是。。的切線；

3

(2)?:NB=NADC,cos5=

/.cosZADC=I，

在RtZS，C。中，

3CD

???cos//OC=曰=器，AD=2,

：.CD=AD*cosZADC=2x|=|,

：.AC=>JAD2-CD2=^22-(1)2=|,

CD3

???_-，

AC4

":NFCD=/FAC,NF=NF,

:ZCDsXFAC,

*CDFCFD3

??———1

ACFAFC4

設戶￡)=3x,則尺?=4<，AF=3x+2,

又?：FC?=FD?FA,

即(4.r)2=3X(3X+2),

解得x=3(取正值)，

：.FD=3x=

8.【解答】(1)證明：??7C平分/艮40,

，ZBAC=/DAC.

又?：AB=AD,AC=AC,

:./XBAgADAC(SAS),

AZADC=ZABC=90a,

:?CD1AD,

即力。是oc的切線；

(2)解：由(1)可知，/EDC=NABC=90°,

又NE=NE,

:?△EDCS^EBA.

.：S4EDC=2S”BC，且△加。絲△NG

:.S*EDC：S^EBA=1：2,

：.DC：BA=\：V2.

,:DC=CB,

:,CB：BA=1：V2.

/.tanZ^/iC=需=芋.

9.【解答】證明：3)連接OC,OD,

f：OC=OD,AB1CD,

：./COE=/DOE,

在△COf和△OO￡中，

(OC=OD

\^COE=乙DOE,

(0E=OE

:?△COEeRDOE(5/15),

：?4OCE=4ODE,

二'DE是OO的切線，

：.ZODE=90U,

：?/OCE=90°,

?；oc是O。的半徑，

；?CE為OO的切線；

(2)解：過。作。兒LCE于"，

由(1)知，NOCE=90°,

在Rt^OCE中，???CE=4,OC=3,

：?OE=y/OC2+CE2=V32+42=5,

■:ABLCD,

:S=%)C?CE=抄?OE，

???3X4=5CP,

12

*：OC=OD,AB工CD,

:.CP=DP,

24

:.CD=2CP=g

在RtZsbE中，PE=-ICE2-CP2=?—(妁2考

?；CE,QE是CO的切線，

：.DE=CE=4,

,:SKDE=*E?DF=#D?PE,

：?4DF=爭x蛤

96

君

在R公DEF中，sinZD￡C=黑=罕=會?

10.【解答】解：（1）證明：???/1。是NA4C的平分線,

:?NBAD=NC4D.

：.ED=DC.

：,OD1EC.

■:DF//CE,

???OD工DF.

，。少是。。的切線.

(2)連接。E,如圖,

*：ED=DC,

：,ED=DC.

??7Q是。。的直徑，

：.DE±AE.

：./BED=90°.

3DF

VsinZ5=I，sin/8=飴，BD=5,

:.DE=3.

：.BE=y/BD2-DE2=4,DC=DE=3.

/.BC=BD+CD=5+3=8.

,:NB=NB,NBED=NBCA=90°,

:ZEDsABCA.

.BEBDDE

'''BC='BA=~AC'

:?RA=2BD=\0,AC=2DE=6.

：.AE=AB-BE=\0-4=6.

?.?/力。k=90°,DEIA^',

MDEFsAAED.

.DEAE

,?而=奇

.sDE2323

-EF=^E=-6=2'

：,FD=ylEF2+DE2=J（1）24-32=1A/5.

11.【解答】解：（1）:川？是。。的直徑，

，/4C8=90°，

艮|JN』CE+N8CE=90°,

?：AD=AC,BE=BC,

AZACE=ZD,ZBCE=ZBEC,

又,：NBEC=NAED,

AZJED+ZD=90°,

???N。力￡=90°,

即ADLAE,

,：OA是半徑，

???4。是。。的切線；

（2）由tanN/CE=《=tanN。可設力WJAD=3a=AC,

???OE=3,

.\OA=a+39Z8=2a+6,

/?8￡=a+3+3=4+6=BC9

在Rt448C中，由勾股定理得，

AB2=BC2+AC2,

即（2。+6）2=（a+6）2+（3。）2,

解得。1=（）（舍去）,能=2,

8。=〃+6=8.

12.【解答】（1）證明：

：,ZF=ZOAC,

?：NOAB=NF,

；.NOAB=NOAC,

：-OA是NA4C的角平分線，

:。。與力。相切于點8,

是。。的半徑，0B工AD,

VZ/iCD=90°,

：.OCA.AC,

：?OB=OC,

工點C在點O上,

VOC1AC,

，力。是。。的切線：

（2）解：由（1）知：OB=OC=3,OC是。0的半徑,

???CE是。。的直徑，

：.CE=2OC=6,

：.CD=CE+DE=6+2=8,OD=OE+DE=OC+DE=3+2=5,

在RtZXOBQ中，由勾股定理得：BD=y/OD2-OB2=V52-32=4,

VZO5D=ZJCZ)=90o,NODB=/ADC,

???△。。8s△4)。,

OBBD

'AC='CD'

.“OBCD3x8人

-AC=-BD-=-=^

???/尸=/。力。,

OC_3_1

tanF=tanZOAC=AC=6=2'

13.【解答】解：（1）連接。C,如圖:

°：CD=DE,OC=OA,

；?/"E=/E,ZOCA=ZOAC,

'：EDYAD,

AZJDE=90°,NO4C+NE=9()°,

：.ZOCA+ZDCE=W,

：,ZDCO=90°,

.,.OC1CD,

DB

???C。是G）O的切線;

(2)連接8C,如圖：

?：CD=DE、

r.ZDCE=ZE,E

VtanZDC￡=2,

:.tan￡=2,

EDLAD,

AD

RtAEDJ中，—=2,

ED

設OO的半徑為X,則04=0〃=x,

■:BD=\,

：,AD=2x+\,

：.ED=x+^=CD,

???CO是。。的切線，

:.CD^BDYD,

I.2

:.(x+亍)2=IX(2A+I),解得》=亍或工=!(舍去),

3

???OO的半徑為不

14?【解答】(1)證明：連接OE,

'：OA=