高考復習：高中數學必背公式

高中數學必背公式、常用結論

一.二次函數和一元二次方程、一元二次不等式

b

1.二次函數》=如2+法+。的圖象的對稱軸方程是x=-,頂點坐標是

2a

'bAac-b2>

—9o

、la4。）

2.實系數一元二次方程a/+以+。=0的解：

①若A=/?2-4ac>0,則x=;

2a

②若△=//2-4〃c=0,貝Jx=x=-°；

122a

③若Auy—4icvO,它在實數集R內沒有實數根；在復數集。內有且僅有兩個共地復

(h2-4ac<0).

3.一元二次不等式ax2+bx+c>0（。>0）解的討論:

A>0A=0A<0

二次函數甘V

y=ax2+bx+c

A

（4Z>0）的圖象X

一元二次方程

有兩相異實根有兩相等實根

2b

ax+bx+c=OX=x=-

再，々（為<X2）無實根

（。>0）的根122a

cur+bx+c>0Jb!

]xx^-

m>o)的解集l2R

2

cix+hx+c<0{xx<x<x}0

(a>0)的解集0

二、指數、對數函數

1.運算公式

m-逗1

（1）分數指數哥：an=；“"=（四上〃>0,〃2,〃￡'*,且〃>1）.

a

(2).指數計算公式：dn-a"=a,n+n；(a'n)"=a',u>；(?-b)m=/?b,n

⑶對數公式：①小=NologN=b；②log?(MN)=log“M+log”N：

Mn

③logaN=噢"M-log,N；④log*=/°g/?

⑷.對數的換底公式：logN=10gwN.對數恒等式：d叫'=N.

loga

2.指數函數y=4/(。>0且awl)的圖象和性質

a>l0<a<l

圖

象

(D定義域：R

性(2)值域(0,+8)

質(3)過定點(0,1),即x=0時，y=l

(4)x>0時，y>l;x<0時,0<y<l⑷x>0時0<y<l;x<0

時，y>l.

(5)在R上是增函數(5)在R上是減函數

3.對數函數y=log“X(〃>0,。，1)的圖象和性質

a>l0<a<1

X=1

圖y=1。氐*

E(1.0)

(1.0)(a>,)

>,=〔％x

X=1

(0<a<l)

(l)x40,+8),ywR

(2)當x=l時，y=0；

(3)當x>l時,y<0,

(3)當x>l時,y>0,

0<x<l時，y>0；

0<x〈l時,y<0；

(4)在(0,+oo)上是增函數(4)在(0,+8)上是減函數

三.常見函數的導數公式:

1.①C=0；②(1")'=〃/」；③(sinx)=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(〃，)'=〃'InQ：@(ev)=ex；⑦(logx)=:⑧加工)1=。

xlna..

2.導數的四則運算法則：(〃土vy=M±牝(〃i，y=〃'u+’’=；

wv;()

VV2

3.復合函數的導數：死=尤'也；

四.三角函數相關的公式：

180

1.⑴角度制與弧度制的互化：兀弧度=180。/。=:弧度，1弧度=（尸57。］8

1ol）兀

⑵弧長公式：/=0R；扇形面積公式：S=1//?=,0/?2o

22

2.三角函數定義:角a終邊上任一點（非原點）P3y）,設|OP|=〃則：

yy

sina=,cosa=x,tana='

3.三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡記為“全stc”）

4.誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限”

兀

5.（l）y=/4sin（car+（p）對稱軸：令au+<p=依+,得彳二;對稱中心：

百一

',（））（讓Z）'

co

依一9

（2）y=>4cos（cav+（p）對稱軸：令（at+q>=Z兀，得4二；對稱中心：

3

依+-（P

（----2-.0）（4GZ）；

co

2兀

⑶周期公式:①函數5j=Asin（oir-Hp）及y=Acos（oir+（p）的周期T=（A^3、（p

為常數，

且AW0）.②函數y=Atan（Gr+（|））的周期T=%（A、3、（p為常數，且AN0）.

6.同角三角函數的基本關系：sin2x+cos2x=1;S*nX=tanx

cosx

7.三角函數的單調區間及對稱性、

71兀|

（Dy=sin.r的單調遞增區間為,112kn-,2依+|￡€Z,單調遞減區間為

r-21L22J

7137rl71

2匕t+—,2&兀+keZ,對稱軸為x=kit+—（keZ）,對稱中心為

L22J2

?0）（keZ）.

⑵y=cosx的單調遞增區間為[2E—兀2依,單調遞減區間為

\2k7t,2kn+7i]keZ,兀、

對稱軸為x=wZ）,對稱中心為|產+―,0]（keZ）.

71

（3）y=tanx的單調遞增區間為（兀---，E+—GZ,對稱中心為

他0%團.

8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±|3)=sinacosp±cosasinp；cos(a±p)=cosacospTsinasin(3；

tana±tan[3

tan(a±P)=-

1+tanatanp

②sin(a+[3)sin(a-p)=sin2a-sin2p；cos(a+p)cos(a-p)=cos2a-sin20.

③。sina+/?cosa=sin（a+（p）（其中,輔助角（p所在象限由點（a,份所在的象

限

決定，tan(p=).

a

2

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa.(sina±cosa)=1±2sinacosa=1±sin2a

②cos2a=cos2a-sin'a=2cos?aT=l-2sin2a(升一公式).

14-cos2a

cos'a=J,/降塞公式）.

2

10.正、余弦定理:

aC

⑴正弦定理：.===2R（2R是"。C外接圓直徑）

sinAsinBsinC

注：@::c=sinA:sinB:sinC；@a=2/?sinA.h=2/?sinB,c=27?sinC；

臥abca-^-b+c

^)===o

sinAsinBsinCsin/A+sinB+sinC

b2+c2-a2

(2)余弦定理：a2=b2+c2-2Z?ccosAcosA=等三個。

2hc

‘bh='ch(h>

11.幾個公式:（D三角形面積公式：①S=ah=〃、h分別表示

b

22'2'"

11

a>b、c邊上的高)；②S=—。8sinC=-〃csinA=—casin3.

222

五。立體幾何

1.表（側）面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=S側+2S*；②側面積：Sf2兀汕；③體積：V=S?h

⑵錐體：①表面積：S=SlM+Stt；②側面積：Sw=n/7；③體枳：V=s?h：

3

⑶臺體：①表面積：s=s+s+S；②側面積：S5什+"愚體"

*上底下底?1

（S++5'）h；

⑷球體：①表面積：S=4兀A?；②體積：V=，7吠3.

3

2.空間中平行的判定與性質：

1）、直線和平面平行：

⑴定義：若直線與平面沒有公共點，則直線與平面平行.

⑵判定定理：若a<za,"ua且aI。'，則ala；若a||。目.aua則有。

⑶性質定理：aIa.且〃up,aG0=/則〃lI

2）、平面與平面平行的判定與性質：

⑴定義：如果兩個平面沒有公共點則稱兩個平面平行。

⑵判定定理：若ouQ/ua旦。|。力|。則all。。

若aua/ua,a'u[3,u。且a11",/"http://則a||。<）

⑶性質定理：若allB，any=afGy=〃則有aIb

3.空間中垂直的判定與性質：

1）、直線與平面垂直：

⑴定義：設/為平面a內的任意一條直線，6/1/,則。la。

⑵判定定理：若aua,bua,aC\b=P,且則/_La。

若。|仇b_La則aJ_a

⑶性質定理：若L_La,則411/2<>

2）、平面與平面垂直：

⑴定義：如果兩個平面所成的二面角的平面角為90°,則稱這兩個平面互相垂直。

（2）判定定理:若/la,/cp,則有|31a。

⑶性質定理：若alp.an。=/,aua且all,則/J.|3。

若a_LY，p_Ly,aCP=/則/_Ly。

六.解析幾何：_

1.斜率公式：女二乃-X,其中p（x,）,）、

X-A111222

直線的方向向量u=(。力)，則直線的斜率為々="(*0).

a

2.直線方程的五種形式：

⑴點斜式：y-y1=k\x-xA)(直線/過點尸]區,“)，且斜率為Q.

⑵斜截式：)，=履+/?(匕為直線/在丁軸上的截距).

(3)兩點式：y-y\=x—M(P(x,y)、P(xyy)xwx,ywy).

v—yX—X1112221212

2121

xy

(4)截距式：+二1(其中。、分分別為直線在x軸、)，軸上的截距，且。工0力。0).

ab

(5)一般式：Ax+By+C=O(其中A、B不同時為0).

3.兩條直線的位置關系：

(1)若/[：y=A]X+4,/,:y=k2x+b2,510：

①/[〃/20Al=6.工力2；②/1J.6o二一1?

(2)若4:A[X+8]y+G=0,/2.A2x+B2y+C2=0,則：

出修且工

①/J〃2=42—4=0A|G—&G0；@/I1/2<^A,A2+B1B2=0.

4.求解線性規劃問題的步驟是：

(1)列約束條件；(2)作可行域，寫目標函數；(3)詢定目標函數的最優解。

5.兩個公式：

⑴點P(xo.y0)至IJ直線Ax+By+C=O的距離：d=；

⑵兩條平行線Ax+By+CO與Ax+By+C=0的距離

IZ

6.圓的方程：

⑴標準方程：①(％-。)2+()，一份2=產:②,+)2=/。

⑵一般方程：X2+)，2+。工+小，+/=0(D2+E2-4F>0)

注：Ax?+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓OA=CNO且B=0且D'+E-dAFX)

{x=rcosG

7.圓的方程的求法：(1)待定系數法；(2)幾何法。

8.點、直線與圓的位置關系：(主要掌握幾何法)

⑴點與圓的位置關系：<d表示點到圓心的距離)

點在圓上；②d<R=點在圓內；③d>Ro點在圓外。

⑵直線與圓的位置關系：(d表示圓心到直線的距離)

①^二〃?相切；②d<R=相交；③d>R=相離。

⑶圓與圓的位置關系：Id表示圓心距，RJ表示兩圓半徑，且R>r)

①d>R+/*=相離；②d=R+r=外切；③R-r<d<R+r=相交；

④d=A—r。內切：⑤0<d<A—尸=內含。

9.直線與圓相交所得弦長|=2

10.橢圓、雙曲線、拋物線

橢圓雙曲線拋物線

定義1.到兩定點F1,B的距離之1.到兩定點HE的距離之

和為定值2a(2a>|FEI)的點差的絕對值為定值

的軌跡2a(0<2a<|FF2|)的點的軌跡

2.與定點和直線的距離之比2.與定點和直線的距離之與定點和直線的距離相等的點

為定值e的點的軌跡.比為定值e的點的軌跡.的軌跡.

(0<c<l)(e>l)

圖形

標準方x2丁

4-'一、x2v2

2

方程2-.2=1(a>°，b>0)y=2px

crb~ab-

參數方iX=?sccO卜(t為參數)

程程[y=Z?sin6y=btan6jy=2p/

(參數的離心角)(參數的離心角)

范圍—a<x<a?—b<y<b|x|>a,yeRx>0

中心原點0(0,0)原點0(0,0)

頂點(a,0),(-a,0),(0,b),(0-b)(a,0),(—a,0)(0,0)

對稱軸x軸，y軸;x軸，y軸；X軸

長軸長2a,短軸長2b實軸長2a,虛軸長2b.

隹占尸(P,0)

Fi(c,0),F2(-C,0)Fi(c,O),F2(-C,0)

2

焦距

2c(c=a2-lr)2c(c=a2-i-Z?2)

c

離心率e=C(0<e<\)e=(e>l)e=l

aa

準線22x=J

,a~,a

x=±x=±19

cc

,b

漸近線y=±x

a

焦半徑r=a±exp

r=±(ex±a)r=x+

2

通徑

2b22b2

2P

aa

焦參數

a2a2

P

cc

七.等差、等比數列:

等差數列等比數列

定義

{an]^jA-P<=>an+i-an=d(常數)｛a｝為G,P="川=虱常數）

冊

通項公

an=。]+(n-1)d=ak+(n-k)

式

d=dn+-d

求和公n(a\+a〃)n(n-1).na\(q=、)

%=0=〃/+°d

式2aa-aq

do；d、n\n("1

=n~+(a-)n1-q\-q

212

中項公22

A=2推廣：2%=G=ab推廣：a=axa

式nmn^m

]

薦若m+n=p+q則a+a=a+a若m+n=p+q,貝ijaa=aa。

淘mnpqmnpq

2

若｛先｝成A.P（其中3EN）則｛勾｝若｛尤｝成等比數列（其中左€等）,

n

也為A.Po則｛4｝成等比數列。

ft

3

?S”，$2“一S”，$3“-$2”成等差數列。s?,S*-Sn,s3n-%I成等比數列。

4

,ci?—ci,u,—a”，、n-\_Pan-m_

d=-—1=?—n"(利w〃)ci-'q

n—1m—na\a?R

(m*ri)

2.看數列是不是等差數列有以下三種方法:

①an-an-\=d(n>2,d為常數).②2an=0M.i+an.x(/:>2)

③an=kn+b（n,k為常數）.

3.看數列是不是等比數列有以下2種方法：

①。=ag（〃之2,q為常數，且工0）②a?=a-a（zz>2?aaa0）'

〃“T."?+iI”川e

Si=<71(77=1)

4.數列｛%｝的前〃項和S“與通項許的關系:

”(〃之2)

①1+2+3…+n=3:②]2+22+3?+Q=〃")(2〃+1)

常用公式:；

26

「〃(〃+「]’1111111

③戶+23+33"3=I,@/[、=-1；⑤=.(-.)

\_2']n(n+1)nn+\〃(幾+2)2〃〃+2

Ao復數

i.復數的四則運算法則：

⑴(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)—(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

ac+bdbe-ad

(4)(o+〃)+(c+di)=+,i(c+diwO).

$+d~c『+小

2.復平面上的兩點間的距離公式：

d=\z-z|=(z=x+jz,z=x+yi).

12111222

3.幾個重要的結論：

(1)z+z2+z-z2=2(z'+z2);(2)z-z=z2=z2;(^)(l±z)2=±2/;⑷:/一，二

'21-/1+/

An4rt+I4n+24w+3

⑸i性質：T=4；i=l,z=ij=-l,z=-i：4+/用+產2+i4m3=0.

4.模的性質：⑴IZZ1=1ZIIZI；(2)1Z,|=|Z，1;(3)|zz,1=1Zro

1212.I

九。向量

運算

幾何方法坐標方法運算性質

類型

TTTT

a+b=b+a

TTTTTT

加L平行四邊形法則

。+〃二區+孫,+%：(a+b)+c=a+(b+c)

法2.三角形法則

AB+BC=AC

——T-

a-h=a+(-/?)

減

三角形法則a-b=(x-xy-y)

法l2ii2---?

AB=-BAtOB-OA=AB

T

1.Mz是一個向量，滿T—?

—?—?X(|jr/)=(Xp)t7

足：|貓1=1九13

XX.

—?—?T。+卜以=貓+卜口

2.九＞0時，A/7與〃同向;TTTT

I向T

—?TMa+b)=Xzz+/J?

量

九＜0時，Mi與a異向；—?—?—?—?

—?-?allboa=肪

X=0時，Xzz=0.

-?T-?T

TT

a,b=b?a

是一個數

—?TT

向———T

(Az?)?人=cc(kb)=九3?份

量1.4=0或b=0時，

—?T―?1T—?—?—?

的——

。?匕=匹々+)'1%(a+b)9c=a^c+b^c

數cfb=0.

量*,2一

"且〃工6時，a=|a\2即⑷=x2+

積

2.---TTT-?T

a'b=\a\\b\cos(a,b)\a^b\<\a\\b\

2.重要定理、公式

（1）平面向量基本定理

e?物是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一

對實數入I,入2,使a=入⑹+人必.

⑵兩個向量平行的充要條件:a//bb=\ao七為一七)’1=0；

⑶兩個向量垂直的充要條件:aA-b(。工0)=a?b=0x]x2+=0

九.不等式

1.不等式的基本性質

（1）a>b<^b<a（對稱性）；（2）a>b,b>c=>a>c（傳遞性）

（3）a>b=>a+c>b+c（加法單調性）

（4）a>b,c>d=>a+c>b+d（同向不等式相加）；

（5）a>b.c<d=>a-c>b-d（異向不等式相減）

（6）a.>b,c>0^>（ic>be,（7）a>b,c<0=>ac<be（乘法單調性）

（8）a>b>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）；

（9）a>b>0.0<c"n”’（異向不等式相除）

cd

（10）?/（倒數關系）：（11）”>8>0na">"（〃eZ,且〃>1）（平方法則）

ab

n

（12）a>b>0=>>b（nGZ,.H.n>1）（開方法則）

a+b

2,均值不等式：工&（ayb>0）

2

a+b2a2+b2

注意：①一正二定三相等；②變形：ab<（）<（a,bwR）。

22

3.極值定理：已知兒），都是正數，則有：

（1）如果積X），是定值〃，那么當x=y時和x+y有最小值2；

⑵如果和x+y是定值3,那么當x=y時積X），有最大值1$2.

4

十.概率和統計:

1.概率

⑴互斥事件(有一個發生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

A包含的基本事件的個數

⑵古典概型:P(4)二

基本事件的總數

構成事件A的區域長度(面積或體積等)

⑶幾何概型：P(A)=

試驗的全部結果構成的區域長度(面積或體積等)

益程輯鍛的估計：一；

X=(X)+X;+---+A；,)=Z%，

⑵樣本方差$2=1[(x一幻2+(x一幻？+.二'+。-幻2]J(x-X)2；

I2"-▽一

〃nZb/

⑶樣本標準差S=kr)2+(x-x)2+…+(x-x)2]=

n'

3.相關系數(判定兩個變量線性相關性)：

Z(i)(X7)X(x,T)(x-y)

XIi=l

注：⑴廠>0時，變量乂)，正相關；r<0時，變量負