人教版高中數學必修2考點訓練 專項強化05：線面的平行與垂直（解析版）

專題強化05：線面的平行與垂直

【題型歸納】

＞題型一：線面平行的判定與性質

＞題型二：面面平行的判定與性質

＞題型三：線面垂直的判定與性質

＞題型四：面面垂直的判定與性質

＞題型五;平行與垂直的綜合問題

【題型探究】

題型一：線面平行的判定與性質

1.（23-24高一下?江西宜春?期末）如圖，正三棱柱/AC-4片G中，。是的中點，AA.=AB=2.

⑴求證：4?！捌矫?8Q；

⑵求三棱錐的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵*

【分析】（1）連接48,設證明即可證明4c〃平面力禺。；

（2）先證明力。，平面48CG，再利用等積變換，結合錐體體積公式可求三棱錐用-4QG的體積.

【詳解】（1）連接48,設力/n力用=E,連接。E,

?.F8C-48G是正三棱柱，且44=力8,

???四邊形是正方形，.?.￡是4/的中點，

又。是4c的中點，.?.D七〃4C,

???DEU平面4BQ,4ca平面月片小.??4。〃平面ABQ.

(2),?,正三棱柱48C—44G中，。是8C的中點，所以力。

又因為平面，平面力8C,平面與8C￡c平面/也。=/？，HOJ平面也5C,

4。，平面與BCG，

.".V=匕，?AD

8R1TALrec1g/k=31S,.=—3x2—x2x2x5/3=23".

2.(23?24高一下?福建廈門?期中)如圖所示，已知點P是平行四邊形力8c。所在平面外一點，M,MK分別為/出,

PC,4的中點，平面尸8CD平面4PD=/.

(1)判斷直線I與BC的位置關系并證明；

(2)求證：MN//平面R1Q；

(3)直線P4上是否存在點H,使得平面NK"http://平面48CQ?若存在，求出點，的位置.，并加以證明；若不存在，請

說明理由.

【答案】(1)//4C,證明見解析；

(2)證明見解析；

(3)存在，H為PB中點,證明見解析.

【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明8c〃平面4。，再由線面平行的性質定理證明即可.

(2)利用線面平行的判定定理證明即可.

(3)利用面面平行的判定定理證明即可.

【詳解】(1)1//BC.

依題意，BC//AD,＜。＜=平面。/1。，ACa平面則平面

又平面P4)C平面P8C=/,BCu平面PBC,所以〃/BC.

（2）取P。中點尸，連接力REV,在△PC。中，FN//DC,FN=-DC

在0488中，AM//CD,AM=^-CD,則4"〃RV,4"=EV,即四邊形X/WM為平行四邊形,

2

因此/F//MW,力bu平面夕力。，MN?平面P4D,

所以MN//平面P/Q.

（3）當〃為P8中點時，平面KNH/j平面48CD

證明如下：

取M的中點為〃，連接KH,NH,

在中，HNHBC,HNQ平面4BCD,BCu平面4BCD,

則”N〃平面力BCO,同理可證，KH〃平面4BCD,

又KH,HNu平面KNH,KHcHN=H,

所以平面KN////平面ABCD.

3.（23-24高一下?吉林?期中）如圖，在四棱錐夕-43。。中，底面488是正方形，點/在楂尸/上（不與端點重合）,

⑴證明：）//平面P8C.

（2）若平面平面￡77=/,證明：EF//1.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）利用中位線定理及線面平行的判定定理即可證明：

（2）由（1）得小//平面。8C,由線面平行的性質定理即可證明.

【詳解】（1）連接8。，

因為底面/8CQ是正方形，所以少是8。的中點，

又因為七是PO的中點，所以￡尸是△P4O的中位線，

所以EF//PB,

因為房二平面尸8C,P8u平面P8C,

所以￡///平面P8C

（22??瓦尸分別是尸。,即的中點,

:.EFHPBt

?/EF<z平面PAB,PBu平面PAB,

“尸/；平面PAB,

若平面PABc平面EFI=l,

又石尸u平面石尸/,

所以EF//I.

題型二：面面平行的判定與性質

4.（2324高一下?黑龍江雞西?期中）如圖，已知四棱錐中，底面/8CO為平行四邊形，點必、N、0分

別是P/、BD、0。的中點.求證：平面"N0//平面P8C.

【答案】證明見解析

【分析】根據題意結合三角形的中位線定理可得"N//PC,NQ//PB,則由線面平行的判定定理可得MN〃平面

PBC,2。//平面夕8。，再利用面面平行的判定定理可證得結論.

【詳解】因為底面44CQ為平行四邊形，N為的中點，

所以N為彳。的中點，

因為M、0分別是尸力、尸。的中點.，

所以MV//PC,NQ/1PB,

因為平面尸8C,PB,PCu立面PBC,

所以MV//平面PBC,NQ//平面PBC,

因為MVQNQ=N,MN、NQu平面MNQ,

所以平面A/N0〃平面PBC.

5.（23-24高一下?北京?期中）如圖，已知三棱柱力8C-44G中,4c與4G交于點0,。為8c邊上一點，。為4G

中點，且48〃平面力。C.求證:

（2）平面力產。//平面4OC；.

【答案】（1）證明見解析.

（2）證明見解析.

【分析】（1）由線面平行的性質即可證明：

（2）由（1）力產//。。得。為8c的中點，再證明8QJ/QG，最后根據面面平行的判斷定理即可證明.

【詳解】（1）由題意，因為48//平面/OC；,

且48u平面48c

又因為平面力oqc平面44c=0。，

所以由線面平行的性質得A.BHOD.

（2）由（1）可知48//。。，

又因為。點為4c的中點，

所以。為6c的中點，即3。—

因為。為4G的中點，即RG=gB￡,

又因為6C〃4G，8c=4G,

所以BD=D\CT，BD"D￡T，

所以四邊形8力GA為平行四邊形，

所以&V/QG,

又因為QGu平面4QG,8〃a平面ADC]t

所以8。"平面月。G，

又48〃平面/￡）G，4BcBDi=B,48u平面u平面4/R,

所以平面力產。//平面/。G.

6.（23-24高一下?廣東深圳?期中）如圖所示正四棱錐S—/YC。，S4=SB=SC=SD=2,AB=6,P為側棱S。

上的點，月.SP=3尸。，求:

⑴若M為SN的中點，求證：SC//平面8W。；

（2）側棱SC上是否存在一點￡,使得平面21C.若存在，求名的值；若不存在，試說明理由.

【答案】（1）證明見解析

(2)存在，――=2.

【分析】（1）根據線面平行的判定即可證明；

（2）分析可得在側棱SC上是否存在一點E,使〃平面4C,滿足義=2.證得平面8￡?！ㄆ矫?。，根據

EC

面面平行的性質定理即可證出結論.

【詳解】（I）

如圖，連接4。交4c于點0,連接M。，BAJDM,則。為力C的中點,

當“為54的中點時，OM"SC,

又0,“，二平面8"。，SC<Z平面8A/Q,所以SC//平面8"。；

（2）在側棱SC上存在點E,使得8￡//平面P4C,滿足$=2,

理由如下：取S。的中點。，由S尸二3尸。，得尸。=尸。，

過。作PC的平行線交SC于￡,連接伙？，BE,ABDQ中,有BQ//P0,

又產Ou平面P/iC,80a平面產力。，所以8。//平面21C,

又QEUPC,又PCu平面尸4C,?！?平面尸/C,

所以?！?/平面4C,又8。口。F二。，BQ,0Eu平面4E。,

所以平面2EQ”平面D4C,而BEu平面REQ,

所以8￡〃平面PXC,

即在側棱SC上存在點E,使得8E//平面4C,滿足告=2.

EC

題型三：線面垂直的判定與性質

7.(23?24高一下吶蒙古?期末)如圖，在直角梯形力8C。中，已知4D〃BC,AD=AB,NB4D=90),NBCD=45。,

E為對角線的中點，現將△48。沿8。折起到△P8。的位置，使平面平面8CQ.求證：

(1)直線PE_L平面4C。；

(2)平面P8C_L平面PCD.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)由已知E為8。中點，可得PE_L8Q,利用面面垂直的性質定理即可證明；

(2)由己知，可得CQL平面P8。，則CO_LPB,乂得BP上PD,則8P_L平面尸。。，利用面面垂直的判定得證.

【詳解】(1)因為平面心。_L平面5CO,且平面QB。。平面8co=8Q,

又AD=AB,則PE=PD,且七為80中點，所以尸￡_L8。，

又尸Eu平面P8。，所以尸EJ_平面8CO；

(2)在直角梯形48co中，AD=AB,/BAD—

則/ABD=乙4DB=45”,

XADhBC,則8c=45°，

又NBCD=45°,所以N8QC=90°,

在折后的幾何體PBCQ中，BDA.DC,

因平面尸8Q_L平面8CQ,平面P8Z)n平面

又COu平面8c。，

所以C￡>_L平面，

又PBu平面尸BD,則CZ)_LP8,

乂NBAD=90°,即84140,則8PJ.PZ),

又CDCPD=D,PDu平面PDC,CQu平面PQC,

則BP1平面QQC,

又BPu平面PBC,

所以平面JL平面PCD.

8.(23-24高一下?黑龍江大慶?期末)如圖，在四棱錐尸-48c。中，M為力2邊上的中點，N為CP邊上的中點，

平面P8C1平面力BC。，ZPBC=90°,AD//BC,48C=90°,2AB=2AD=&CD=BC=2.

C-

⑴求證：MN〃平面力8CQ；

(2)求證：U。I平面尸AD：

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)由條件可得MN///C,根據線面平行的判定推理得證.

(2)由條件結合面面垂直的性質可得尸〃_LC。，CDA.DB,再利用線面垂直的判定推理得證.

【詳解】(1)在四棱錐P-48C。中，連接/C,

在△月C尸中，由加、N為對應邊上的中點，即MN為中位線，得MV//4C,

又MN<Z平面力8CZ),力Cu平面48C。，所以A/N//平面力8co.

(2)在四邊形44CO中，AD//BC,N/1BC=90°,則/84。=90。，由48=力。，得BD=gAB，

而2/B=&CQ=8C，則002+802=44^=802,于是。_LO8,

由NP8C=90°,得PB工BC,又平面尸8cd.平面力8C。，平面PBCD平面/出C'O=4C,

PBu平面PBC,于是直線&_!_平面"CQ,又COu平面"CQ,則P8_LC。，

又PBcBD=B,PB,BDu平面PBD,所以CO_L平面。80.

9.(23-24高一下?云南曲靖?期末)在四楂錐產一48CO中，底面48co是矩形，21_L平面片8CO,M.N分別是48,小

的中點.

(1)求證：〃%//平面%。；

(2)求證：MN±CD；

⑶若QD與平面/BCO所成的角為45。，求證：MV_L平面PCQ.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【分析】（1）取尸。中點E,連接力￡,NE，由線面平行的判定定理即可得證；

（2）先由線面垂直的判定定理證明CO_L平面尸力。，得到CO_L4E,再由（1）即可得證；

（3）先由題意得到NE4Q=45。，AELPD,由線面垂直的判定定理證明力七_L平面PC。，從而得證.

【詳解】（1）取夕。中點E,連接力七，NE,

.「M是/18的中點，底面/伏：。是矩形，二4W//C。，

???AMiINE且AM=NE,

四邊形4M/VE為平行四邊形，所以MN//4E,

又XEu平面P4）,MN（z平面P4D,

:.MN//平面PAD.

（2）R4_L平面/8C0,CDcT?ABCD,/.PALCD,

又???底面43c。是矩形，「.CO14。，

又力。fl21=4皿PAu平面PAD,CO_L平面PAD,

???REu平面P/D,CD1AE,

由（1）可知MN//4E,:.MN【CD.

（3）/M_L平面/8CO,所以NPD4為PO與平面48。所成的角，

；.NPD4=45。，乂P4工4D,；.P4=AD,即△4/）為等腰三角形，

?；E為PD中點,AAELPD,

又由（2）可得力EJLCO,CQcPQ=DCD,/>Du平面PCD,

4El平面PC。，

由（1）可知：MV/A4E,1.MV_L平面PCQ.

題型四：面面垂直的判定與性質

10.（23-24高一下?湖南益陽?期末）如圖，在四楂錐5-48。0中，四邊形48co是邊長為2的菱形，N48C=60。，

△S力。為正三角形，E,尸分別為川D,S3的中點.

F

(1)若平面"L平面ABCD,求直線8s與平面力8c。所成的角的正弦值；

(2)求證：平面4SB_L平面S8c.

【答案】(1)詈

(2)證明見解析

【分析】(1)由面面垂直的性質得到SE_L平面力8。。，連接8E,則NS8E為直線8s與平面43C。所成的角，求

出SE、BE、SB,再由銳角三角函數計算可得；

(2)取SC的中點G,連接EG,/G,所以證明月。_L平面SEC,得到再證明四邊形力尸G￡為矩形，得

到力產1R7,結合AF工BS,即可證明力產1.平面S8C,從而得證.

【詳解】(1)為正三角形，E為力。的中點，.?.SE1/O,

又平面S4D1平面力8C。，平面S4)c平面力8CQ=4),且SEu平面S4D,

.?.S￡_L平面力8CO,

連接則NS8￡為直線4s與平面.44。。所成的角，

在等邊三角形雙。中，SE=dH-，=6,

在三角形片在1中，AB=2,AE=\yZBAE=y

BE=ylAB2+AE2-2AB-AEcosZBAE=^22+12-2x2xlx-lj=V7

：.BS=\ISE2+BE2=J(可+("j=疝，

???sin5小"=g=我,

BSVioio

???直線BS與平面ABCD所成的角的正弦值為畫:

10

F

(2)取SC的中點G,連接￡G/G,

由(1)得SEJ.力。，

四邊形48。。是的菱形，418c=60',

△力為正三角形，又￡為4。的中點，則力。_LC￡,

又SEaCE=E,SE,CEu平面SEC,

.?.4O_L平面SEC,又EGu平面SEC,

AD1EG,

因為￡,廠分別為XD,S3的中點，所以R7〃8C且/G=：BC,

又4E〃BCME=LBC,

2

所以/G/〃E且FG=/E,所以四邊形力尸G￡'為平行四邊形，

又AE工EG，所以平行四邊形月/GE為矩形，

/.AF1FG,

???S4=4￡產是48的中點，

:AFIBS,

又尸6口85=￡/6,85<=平面54。，

.?.4/71平面58。，又月bu平面力SA,

「?平面4S8J.平面S8C.

11.（23-24高一下?甘肅慶陽期末）如圖，在直四棱柱488-44GA中，底面力次》為菱形，E是線段4c上的

一點.

（1）若4七=后。，求證：月4〃平面皮必；

（2）若4EJL4C,求證：平面4OC_L平面8QE.

【答案】（1）證明見解析；

（2）證明見解析.

【分析】（1）證明線面平行，只需在平面4OE內找到一條直線與44平行即可;

（2）證明面面垂直，只需證明線面垂直，只需證明線線垂直即可.

【詳解】（1）連接4C,交8力于點。，連接E0,如圖所示.

因為底面44CQ為菱形，所以。是4C的中點，又4E=EC,所以灰川彳4,

又EOu平面BDE,44a平面瓦必，所以44,“平面

（2）在直四棱柱力6c中，力4-L平面力68,

因為80u平面48CQ,所以441歷），

又底面力BCD為菱形，所以4C/8。，

又44rMe=4，AA1,力。匚平面4力。，所以8。/平面44C,

又4CU平面44C,所以CDJL4C,

又8E14。，BEcBD=B,BE,BDu平面BDE,所以4c，平面8QE,

又4。U平面4。。，所以平面4。。1平面8力f.

12.（23-24高一下?廣西河池期末）如圖1,在四邊形力8。。中，AB〃CD,AB=1/A=60。,BD=CD,ZABD=90。,

將△力8。沿邊8。翻折至△P8。，使得平面尸4Q_L平面8c。，如圖2所示.E是線段尸。上的一點，R.BE工PD.

圖1圖2

（1）求證：平面8EC_L平面PCO；

（2）求直線BE與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵半.

4

【分析】（1）由平面平面8CQ,可得CD_L平面。8。，從而BEtCD,結合已知可證HE1平面PC。，由面

面垂直的判定定理可證平面BEC1平面PCD-

（2）根據等體積法求出點￡到平面P8C的距離d,則直線與平面尸8c所成角的正弦值為二.

【詳解】（1）因為平面尸8。_L平面AC。，平面。8。0平面8。。=8。，

且C'Ou平面6CQ,由題意易知CO_L〃。，所以CQ_L平面尸8D,

又BEu平面PBD,所以AEJ.CQ,

又BE1PD,PDCCD=D，且PD,CDu平面PCD,所以8￡_L平面PC。，

乂BEu平面BEC,所以平面EEC_L平面PC。；

（2）在△P8Z）中，結合已知有PB=T,BD=?PD=2,BE=&

2

因為平面尸8D1平面BCD,平面P8。Cl平面BCD=BD,

且P8u平面尸5。，PB工BD,所以P8J_平面8CO,

8Cu平面80,所以P818C,

所以/sPBC中，易得PB=1、BC=6,

所以％BC,P88C=邁.

L2A7K22

因為C7)_L平面08Q,所以。是三楂錐C-P8。的高，

解法一：所以匕?-P8Q=：5乙依0?CC>=；X；X[X.

設點。到平面P8C的距離為h,因為％_PBD=%PBC，

所以_U如〃=L,解得〃=逅，

3222

易得尸￡=!尸。，所以點￡到平面P8C的距離為4=乙="，

448

魚廠

所以直線即與平面P8C所成角的正弦值為《二冬=坐x|=坐.

BE，38v34

T

解法二：在RtZ\P8O中，8E是邊產。的高，可求出產月二g,

所以憶-P3E=；.S△尸8￡-CQ=gxgx；X孚x6=；,

設點￡到平面PBC的距離為乩則VEPBC=--S,PBCd=^d.

由等體積可知，令！=逅〃，解出"=必，

868

所以直線BE與平面PBC所成角的正弦值為4=交.

BE4

題型五;平行與垂直的綜合問題

13.(23-24高一下?甘肅臨夏?期末)如圖所示,三棱柱N5C-48cl中，側棱。4垂直于底面，AB=5,AA{=AC=3t

8c=4,點P,。分別為4氏C/的中點.

(1)求證：尸。//平面/4GC；

(2)求證：BC1PD：

(3)求點C到平面MG的距離.

【答案】(1)證明見解析:

(2)證明見解析:

⑶尬

⑴41

【分析】（1）連接力G，利用線面平行的判定推理即得.

（2）利用線面垂直的判定、性質推理即得.

（3）連接4C,交力G于點E,連接過點。作。/_1_8后于尸，利用線面垂直的判定、性質推證CF_L平面"C"，

再借助直角三角形求出W即可.

【詳解】（1）如圖，連接力的，在"BG中，D,尸分別是AG，的中點，則PQ/〃G，

而％Gu平面力4GC,2。二平面力4。?,所以尸?！ㄆ矫媪?CC

（2）由48=5,/lC=3,8C=4,得/￡2=/02+802,則/48=90。，即4C_LAC,

由441.平面ABC,BCu平面48C,則4411BC,

而44n/C=/1,力Cu平面/1CG4,于是8C_L平面力CG4，

又＜Gu平面力CG4,則BdG，又AC'UPD,所以AC1PQ.

（3）如圖，連接4C,交4G于點￡連接8E,過點。作C”J_5E,/為垂足，

G

由＜4=4C=3,側棱力4垂直于底面，得CEJ.4cl且CE=地,

2

又CB工AG，CB[}CE=C,CB,CEu平面CBE,則4G_L平面C8E,

又CFu平面C8E,則b_L4G，又ChBE,BE（UC\=E,8￡,4￡u平面月8弓，

因此Cb_L平面BC.A,即為點。到平面PBC.的距離，

由8cl平面ACC/，"u平面力CCd，得8C_LCE,8￡=，42+（孚）2=孚，

逑

所以點C到平面PB3的距離CF==—f=~=^7T.

DAV8241

2

14.（23-24高一下?天津西青?期末）如圖，直三棱柱月6。一月心。1中，4CB=^,E、尸分別為48、8￡的中點.

(I)求證：c///平面4CE；

(2)求證：EFIBCx

(3)若4。=8。=2,直線EF與平面48c所成角為三，求三楂錐片一4石。的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

喑

【分析】(1)利用線面平行的判定定理，即可證明結論；

(2)取4C中點為〃，先證明8CJ.平面/EH,再根據線面垂直的性質定理，即可證明結論;

(3)證明CEJ■平面4根據等體積法即可求得答案.

【詳解】(I)連接力C1,4c交于。點，連接

則直三棱柱力AC-44G中，四邊形4CG4為平行四邊形,

則。為力G的中點，又上為的中點，故OE〃C\B,

OEU平面4C￡，G〃<z平面4CE,

故。田〃平面40E；

(2)取BC中點、為H,連接

4

故尸〃J■底面48C,BCu底面48C,故FHJ.BC;

又七為45的中點，則叫/〃力C,而/力C8=￡,即4C18C,

2

故EH1BC,而EHCFH=平面FEH,

故8cl平面MH,EFu平面FEH,故BCtEF,即石尸18C；

7T

(3)由(2)可知NF￡H為直線E/與平面力4C所成角，即//E"=],

由4C_LBC,￡為/出中點，則CE工力8；

義AC=BC=2,AB=14i,CE=-AB=41.EH=-AC=l,：.CC=FHYj,

22

又AAX_L底面ABC,CEu底面ABC,故彳4_LC￡,

而力4V\AB=4力4,48u平面力昉M,故?！阓1_平面力叫4,

故，瓦-4￡c=^c-w=5sM3gCE=-x-x2>/2x>/3x^2=?

15.(23?24高一下?江蘇南京?期末)如圖,正三棱柱"C-44G中,各棱長均相等,D、E、F、G分界，為棱/IB、RC

、4C、48的中點.

(2)證明：平面平面力GC；

(3)求二面角G的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析?】(1)先根據證明平行四邊形得出線線平行，再應用線面平行判定定理證明即可；

(2)成用線面垂直判定定理及面面垂直判定定理證明即可；

(3)根據面面垂直結合二面角定義找到二面角4〃。，再應用邊長求正弦及余弦值即可.

【詳解】(1)

連接ED,?:ED//AC,ED=gAC,

又?.?尸為4G的中點，4/=z)E,

四邊形4。后戶是平行四邊形，二小〃4。

又4。u平面4CD,EFu平面4cO,

EF〃平面4CQ,

(2),.,力第！平面48C,4LC'。，

?.?。是48的中點，.,.48_LC￡>,又=4A,4Bu平面,

\CD'平面4/3與，

又因為GQu平面4/3用，:.CDA.GD,

在正方形力880中，Q、G分別為棱,48、的中點，

A}DA.AG,vA}DnCD=D,AQ,CDu平面A】DC,

.?.力G_L平面4。。，

又?.?4Gu平面力GC,???平面4GC_L平面4OC.

(3)由(2)知CZ)_L平面44vCOu平面4。。，

平面4。。_1平面平面,且平面4C、oc平面=4。，

???4DJG,設4。與力G交于點。，則/。_1_平面4cO，

過。作?！按怪?。，連接4〃，則“H_L4。，

??./AHQ為二面角力一4C-。的平面角,

令44=2。，則4Z)=a,A]D=\[5a,

,八A.AAD2a-a2a

；,AQ=FTFF

又因為AHLA.C,

為4c的中點,

AH=-A,C=—a=y/2a，

22

2a

在直角三角形力Q〃中，疝7470二AQ二忑二M,

AH~42a~5

由圖知，乙4HQ為銳角,

cosZAHQ=y]\-sin2ZAHQ=半,

由圖知二面角G-4。-力的平面角與二面角力-的平面角互補，

故二面侑G-4C-。的平面角的余弦值為-半

【專題強化】

1.（2324高一下?山東威海?期末）在正三棱柱力8C-44G中，M,。分別為力4，8G的中點.

（1）證明：M0〃平面48C；

（2）證明：MOJ.平面4/CG.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）根據線面平行判定定理證明即可;

（2）先證明線面垂直再應用平行得出結論.

【詳解】(1)

取8c的中點。，連接0。，AD,

因為O為8G的中點，

所以oz)〃CG且。。=gcq,

又因為4W//CG且4W=1CC,,

所以OO//4W且。。=4M,

所以四邊形4欣9。為平行四邊形，

所以〃/。，

又因為“0a平面48C,/。＜=平面兒?。，

所以M。//平面/灰?.

(2)因為48C—44?為直三棱柱，

所以4q_L平面力8C,因為[Qu面48C,

所以gIAD,

因為△/8C為等邊三角形，所以力。18。，

又BBqBC=B,BB,,BCu平面B}BCC],

所以/W_L平面8/CG，又M0//4力，

所以M0_L平面用8CG.

2.(23-24高一下?河北?期中)如圖所示：在長方體力88-45cA中，AB=AA[=3,8。=2,￡尸分別是面力。已4,

力8co中心，G,，分別是4),。。的中點.

（2）證明：G”//面N4GC

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）先由線面平行再由判定定理證明面面平行;

（2）由線面平行判定定理證明.

【詳解】（1）連接力C,g,則RE分別為4C,的中點,

則/1Q//8G，又HAU面4BG，BRU面4/G，

所以4。//面4次7

JCZ/4C,,又力C(z面48c1,4GU面48C1,

所以4c〃面45cl,

乂力"0彳。=4，AD],4Cu面4EF,

所以面4G〃〃面4

（2）連接GF,C,F,G,尸分別是4O,4C的中點,

GF//DC,G/=；OC=；Z）|G,

所以G尸//“G，且GF=〃G，

所以四邊形GPG”為平行四邊形，則

又G〃(Z面44GC，面A4GC,

所以G，〃面彳4C1C.

3.（23-24高一下?黑龍江齊齊哈爾?期末）如圖，在四棱柱力中，已知平面力力℃J?平面48C。，且

（1）求證：8￡>J_%4

（2）若￡為棱8c上的一點，且IE〃平面QCGA，求線段引?的長度

【答案】（1）證明見解析

⑵8￡=包

2

【分析】（1）先根據面面垂直性質定理，將面面垂直條件轉化為線而垂直，再利用線面垂直性質定理轉化為線線

垂直.

（2）先根據線面平行性質定理，將線面平行轉化為線線平行，然后在平面ABCD中解出力￡的值.

【詳解】（1）在四邊形45cZ>中，因為B/1=3C,DA=DC,所以BQ_L/1C,

又平面AA.C.C1平面ABCD,

且平面AA}C}CD平面ABCD=AC,8。u平面ABCD,

所以401平面44cC,

又因為力4u平面彳4GC,

所以80_L彳4.

（2）因為平面。CCQ,

力Eu平面48CQ,平面力BC'OPI平面。CG2二。。，

所以/E//CD,

所以￡為6c的中點，BE=—

2

4.（23-24高一下?海南省直轄縣級單位期末）如圖，平面四邊形48"）中，AB=8,CD=3,AD=5B/ADC=90,

/BAD=30",點、E,尸滿足近二三萬，AF=-ABf將△4所沿所翻折至！P￡F,使得尸C=4百.

（I）證明：EF1PD；

（2）求五棱錐P-BCDEF的體積

【答案】（1）證明見解析：

⑵19

【分析】（1）由題意，根據余弦定理求得七戶=2,利用勾股定理的逆定理可證得上廠工力。，則EF1PE,EFIDE,

結合線面垂直的判定定理與性質即可證明；

（2）先證明CQ_L平面PEO,得CD_PD,PD=回,勾股定埋得尸EJ.E。，從而PE1底面BCDEF,PE即為

五棱錐的高，再結合棱錐的體積公式計算得答案；

【詳解】（1）由44=8,4。=5g，~AE=-AD,~AF=,

J4

得力上=2，J，AF=4,又/410=30”,在△月￡：尸中，

由余弦定理得EF=4AE1+AF2-1AE-AFCOS^BAD=J16+12—2.42行乎=2，

所以力片+石尸=力尸，則/E_LE6，即七尸工4。，

所以EFJ.PE,EFIDE,又PERDE;E,PE、DEu平面PDE,

所以政_L平面尸OE,又PDu平面PDE,故EF人PD；

(2)PE=AE=2追,ED=36,?/CD1AD,EF1AD

:.CDHEF,即。O1平面PEO,所以CD上PD,PD=XIPC2-CD2?

且P￡2+￡O2=p"2,所以PK_LE。，由(i)EFLPE,

而EF,ED是平面BCDEF內的兩條相交直線，

由此得產石J■底面6C0E尸，尸石即為五棱錐的高，過4點作6G〃功.則6G=2所=4,

$五邊形=S梯形匹8G+S梯形°8G=；X（2+4）X2百+（X（3+4）XJJ=￥G

P=；S五邊膨xPE=gx號石x2百=19

5.（23-24高一下?福建福州?期末）如圖，在三棱錐P-48c中，側面04?_L底面ABC,且P/1_L48,尸4=5,

△Z8C的面積為6.

C

（1）求三楨錐尸/8C的體枳；

（2）若力B=5,AC=4,且/歷1C為銳角，求證：8C_L平面4C.

【答案】⑴10

（2）證明見解析

【分析】（1）結合條件可證明21_L平面力BC,由三棱錐力AC的體積公式求解即可；（2）利用勾股定理可得：

AC1CB,結合PAA.BC,即可證明8cl平面尸/TC.

【詳解】（1）囚為在三棱錐尸一月6。中，側面產力臺_L底面力8C,側面H46c底面月6C=月6

因為P/_L48,4u平面產48，

所以尸＜_!_平面ABC,

所以“而《尸"0詼=；16=10

（2）在△/水?,由面積公式可得：S.=-A3-AC-s\nZBAC=6,解得：sinZBAC=-

BC25f

i----------4

因為上7MC為銳角，所以cos4MC=Jlsin2ZBAC=—,

由余弦定理可得：BC2=AC1+AB2-2AC-ABcosABAC=9,即8c=3,

222

AC+BC=ABf

所以4C_LC8,

因為P/_L平面/BC,BCu平面48C,

所以4J.8C,

因為尸/0/。=力，PA,4Cu平面弘C,

所以8CJ_平面P力C

6.(23-24高一下?四川成都?期末)如圖，四棱錐P-480中，底面48co是邊長為4的菱形，FD=PB=4,

乙以0=60。，E為P4中點,AC與BD交點、為O.

(1)求證：PC//平面EBD；

(2)求證：平面平面4C：

(3)若H=PC,求點C到平面/8E的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

⑶警

【分析】(1)只需證明上。〃QC,結合線面平行的判定定理即可得解；

(2)只需證明4。/平面P4C,在結合面面垂直的判定定理即可得解;

(3)首先證明PO_L面/8c。，由等體積法即可列方程求解.

【詳解】(1)設力?？?。=。，連結E0,

為P4中點,。為4c中點，:.E0HPC,

乂TEOu平面上80,PC<Z平面，PC//平面￡8。；

(2)連結PO,*?PD=PB,。為BD中點,：?P0工BD,

又???底面力8CO為菱形，???XC/8。，???20(14。=。且兩直線在平面內，???8。1平面口。，

乂???80u平面E8D,???平面平面0/C；

(3)由(2)得：PO1BD,由P4=PC,同理可得：P01AC,

而8。C力。=。,8。,4。<=平面48。。，

，P01面48CO可求：AC=4有，8。=4,PO=2百，

/.Vc....=V...nc=-x—xJCx()Bx=—x4>/3x2x6=4,

C-/iotc-/iZ>CQ/■

而△P/3中，AB=4,可求：PA=2而,尸8=4,

可求：SGEAB=；S4PAB=岳，

而VjBE~5s,則4=~Y~（ic-ABE,

則金APF=—即為所求點C到平面ABE的距離?

7.（23-24高一下?遼寧?期末）如圖，在三棱柱48C-4，G中，底面/BC是正三角形，D,E分別為＜蜴,Cg的

中點,4BJGD.

⑴求證：CQ〃平面8%￡；

（2）若45=4%,求證：力4JL平面54后.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

【分析】（1）設44rl48=尸，連接政，FD,即可證明四邊形ECQ/7為平行四邊形，從而得到。G的,即可

得證；

（2）依題意可得平行四邊形力4夕因為菱形，即可得至IJ4用?力明，再由力用IC。得至IJ44IEF,從而得證.

【詳解】（1）設力4048=尸，連接.，FD,

則/為力M的中點，乂。，￡分別為44，eq的中點，

所以DF/IBB.且DF=；B「EC#BB\旦,

所以ECJ/DF且EG=DF,

所以四邊形EC.DF為平行四邊形，

所以DC//EF,又JDa平面B%E,EFu平面所以CQ〃平面

（2）因為力8=力4,所以平行四邊形4乃為菱形，所以力用"1/1",

又ABiLQD,EF//QD,所以力與，￡7"

又從Bf]EF=F,4'E/u平面

所以力&_L平面54邑

8.（2324高一下?遼寧大連,期末）如圖，在直三棱柱45C—48c中，AB=BB、,ABLBC.

（1）求證:平面44C_L平面力8與4；

（2）求證：AC.LAfi,

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）首先根據線面垂直的性質得8q_L8C,結合8d8,最后利用面面垂直的判定定理即可證明;

（2）由（1）得8C_L48,根據8C〃4G得4GJ.4",最后利用線面垂直的判定與性質即可證明.

【詳解】（1）在直三棱柱48C—44G中，

因為8q_L平面48C,8Cu平面48C,所以18c.

又因為BC工＜B,u平面48用4、u平面4BB4,48cSB1二B,

所以BC_L平面

乂因為3Cu平面48C,所以平面4BC1平面488a.

（2）連接力4，由（1）可知8C_L平面

因為％Bu平面片％,所以4CJ.4尻

因為8C〃8G，所以4CJ4〃.

又因為在正方形ABBiA中紇,

4綜8?（=平面"6，44C8C=M，

所以4B1平面NBC.

又因為AC]u平面力"￡,所以481.4C],即力G_L48.

9.(23-24高一下?遼寧沈陽?期末)如圖，在四棱錐尸-中，底面力AC。是正方形，P/J.平面4/?。。，旦

(1)求證：PB//平面力EC；

(2)求證：力￡1平面PC。；

(3)求三棱錐P-BCE的體積.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

嗚

【分析】(1)連接30,利用中位線的性質得線線平行，即可證明線面平行；

(2)利用線面垂直的性質與判定定理得/E1CO,結合等腰三角形的性質即可得線面垂直;

(3)利用等體積法及三棱錐的體積公式計算即可.

【詳解】(1)連接B。交彳。于點。，連接EO,由底面力8c。是正方形，故。為4。中點，

又點月為線段。力的中，點，故0EIIPB、

又OEu平面4EC,平面4EC,故“8〃平面4EC；

(2)由點E為線段PO的中點，PA=AD,易知/1E_LP。，

由4_L平面力8C。，CQu平面力8c0,故力1_LCO,

又底面力6c。是正方形，故為0_LCO,

而4O、Hu平面P4D,ADc\PA=A,故CD_L平面PZO,

又“Eu平面P4。，故CO_L/1E,

又CQ、PDu平面PCD,CDQPD=D,故4￡_L平面PC。；

(3)由點￡為線段。。的中點，故點P與點。到平面力EC距離相等，

故yp-BCE=V(>~BCE=嚷8。。=5%8CZ>=不乂,'2、5乂2'2=1.

10.(23-24高一下?黑龍江大慶?期末)如圖，在四棱錐尸-/3CQ中，四邊形//CO是矩形，平面P,48_L平面力3CQ,

E,尸分別為8C,/1尸的中點，且AD=AP=PB==2.

(1)求證：BP1DF；

(2)求三棱錐P-DEF的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)由面面垂直的性質得到切_L平面力8。，即可得到D4_L8P,再由勾股定理逆定理得到8P_!./!〃，從

而得到8PL平面D4P,即可得證；

(2)首先證明8c〃平面RW,再由％。M=嚷/必?=；￡加-4P計算可得.

【詳解】(1)?四邊形力4C'。是矩形，.?.O4_L/18,

又?平面尸48_L平面/8CQ,平面XBCOn平面48P=48,。/u平面/8CO,。4_L平面44尸，

乂BPu平面4BP,:.DAA.BP,

-：AP=BP=2,48=2&，/.AP^BP-=AB1?ABP1AP,

DAC\AP=A,。力,/Qu平面NP,「.E尸1平面D4P,

???O/u平面D4P,:.BP工DF;

(2)因為四邊形力88是矩