2025-2026學年高一數學下學期期中模擬卷（人教A版）（全解全析）

高一數學下學期期中模擬卷(人教A版)

全解全析

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共4()分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.(24-25高一下?浙江杭州?期中)已知復數z=S生，則z在復平面內所對應的點位于()

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

2

.，,-(i-2fi-4i+43-4i(v3-4i)(-i)7..2...

【解析】z=—^-=——：——=^—=,：=-31+41-=-4-3i,

iii1(z-11

則z在復平面內所對應的點為(-4,-3),位于第三象限.故選，c.

2.(24-25高一下?廣東深圳?期中)已知。，瓦。分別為△力8c三個內角4民。所對的邊，若

B=60°,b=6,c=，則。=()

A.45°B.135。C.45°或135。D.120°

【答案】A

【解析】由正弦定理，號b=三c，可得=巨,

sinnsmC

因則。＜8=6(T,故C=45°.故選：A.

3.(24-25高一下?江蘇常州?期中j已知向量2=(3,m),^=(1,-1),\a+b\=^l,則加的值為()

A.0B.-2C.0或-2D.0或2

【答案】D

【解析】向量。二(3,帆)，^=(1,-1),故"5=(4,〃?一1),

所以I。+5|2=16+(〃?-1)一=17,解得〃7=0或2.故選：D.

4.(24-25高一下?福建泉州?期中i圓錐的底面半徑為1,其側面展開圖是半圓，那么此圓錐的高是()

A.1B.V2C.GD.2

【答案】C

【解析】由圓錐的底面半徑為1,得側面展開圖半圓弧長為2兀，因此該半圓半徑為2,

即圓錐的母線長為2,所以圓錐的高為序不=6.故選：C

1/II

5.（24-25高一下?湖南?期中）在△力中，角兒B,C的對邊分別為a,b,c,若c+acosB=Z>cos4,則

此三角形的形狀為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【解析】c+acosB=bcosA移項得6cos4-acos8=c,

可化為sin8cos4-sin4cos8=sinC=sin（4+8）,

展開得sinBcosJ-sinAcosB=sinAcosB+cosJsinZ?,

整理得2sin4cos8=0,又sin/IwO,所以cos8=0,即8=

則△/出。為百角三角形.故選：B.

6.（24-25高一下?山東威海?期中）若非零向量而，［滿足何卜忖+同，則2而在;;方向上的投影向量為

（）

A.2nB.nC.-nD.-2n

【答案】D

22

【解析】因為K|=K+R,所以兩邊平方得到：m=m+n\2nt-n^m-n=-^

2百在;;方向上的投影向量為色二業G=20G=三々=-2；；，故選：D

—2—2—2

nnn

7.（24-25高一下?山東棗莊?期中）已知棱長為4的正方體48C。-48cA的一個面48CQ在一半球底面

上，且4叢仁。四個頂點都在此半球面上，則此半球的體積為（）

A.32后兀B.4瓜itC.16百nD.8匹it

【答案】A

【解析】如圖，設半球的球心為。，半徑為R,連接。力.

由題易知半球的球心是底面正方形的中心，且|。4|=孝乂4=2&,|44|=4,

在RSO44中，〃2=|04『=42+（2忘）2=24,得到汽=2遍，

故半球的體積為尸=；*：兀（2灰丫二32卡兀，故選：A.

2/11

8.（24-25高一下?河北唐山?期中）在△力8c中，內角4民。所對的邊分別為

〃，,。,力=26,公由方一=鬲必,。是△力8。的外心，AOBC=6^則△Z8C的面積為（）

A.2V2TB.6C.2y/lD.6x/3

【答案】D

【解析】因為sin"=sin?——=cos—,故由=bsin力得“cosg=8sin4,

BBBB

由正弦定理得sin/icos—=sinBsin/，乂sinJwO,故cos—=sin?=2sin—cos—,

2222

因為白e0，?），所以ces與wO故嗚斗所以吁.

乙、,乙）乙

因為血灰=希.（就一荏）=而?祀一芯?刀=；|正F--|J§|2=6,

所以卜8卜4.在灰〕中余弦定理得，b1=a24-c2—2accosB=28=/+16-4。，

所以〃=6.所以MBC的面積為S=gacsinB=66.故迄D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（24-25高一下?河南濮陽?期中）下列說法不正確的是（）

A.圓柱是將矩形旋轉一周所得到的幾何體

B.平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形

C.過球上任意兩點有且僅有一個大圓

D.圓錐的軸截面是所有過頂點的截面中面積最大的?個

【答案】ACD

【解析】以矩形的一條對角線為軸，旋轉所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；

由平行六面體的定義可知，平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形，故B正確；

當球面上兩點是球的直徑的端點時，過這兩點的大圓有無數個，故C錯誤；

3/11

過圓錐頂點的截面為等腰三角形，且兩腰長為母線長/,

設該等腰三角形頂角為6,則截面三角形面積為S=g廣sin。，

顯然當面積S最大，

故當圓錐的軸截面三角形頂角大于1時，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故D錯誤.

故選:ACD

10.(24-25高一下?浙江杭州?期中)下列說法正確的是()

A.若非零向量滿足引區,方/分，則五〃I

B.7H5+AC-7D=HC

C.若不，&為單位向量，則|2q+即=|自+2可

D.向量所=(1,2),萬=(6,2JJ)可以作為平面內的一個基底

【答案】ABC

【解析】對卜A：由存在實數xeR,使得〃=x。，

由5//己，存在實數yeR，使得1=則萬=個萬，枚。/兄，A正確；

對于B：由麗+%-布=而+比=脛，故B正確；

對于C：由|2不+當.=(24+&『=4彳+44.當+母=5+44,馬,

|召+2可2=年+4號12+4召=5+4年用，則|24+司=|4+2a|,故C正確；

對于D：由比=(1,2)再=(百,2>/5)，所以方=6而，即加〃萬，

故向量百萬不可以作為平面內的一個基底，D錯誤.故選：ABC.

11.(24-25高一下?福建廈門?期中)對于△48C有如下命題，其中正確的是()

A.若sin1力+sin?8+cos?C<1，則△48C為鈍角三角形

B.若B=?a=2區且△力BC有兩解，則力的取值范圍是(6,26)

C.在銳角△力4C中，不等式sin力〉sin8恒成立

D.在△48C中，若6=60°,//=",則^力臺。必是等邊三角形

【答案】AD

【解析】A中,sin2A+sin2B+cos2C<1,即sin?N+sii125Vsii?C,

由正弦定理可得/+從<。2,由余弦定理可得cosC=U+"-c~<0,

2ab

z\

因為Cw(0,7T),所以Cw,即。為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形，故A正確；

Iz

4/11

B中，若4=1,a=2VJ,且△力8c有兩解，則asin8<6<4,即2>/5x光-</）<4,

即〃的范圍為（3,2石），所以B錯誤；

C中，在銳角△48C中，只有彳>8時，不等式sinZ>sin3才恒成立，所以C不正確；

D中,若〃=60,萬=比,由余弦定理可得從=/+/-2accos5=/+/-"，

^ac=a2+c2-ac,即（”-c）2=0,所以。二c,所以△力8c必是等邊三角形，故D正確.

故選：AD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，其中14題第一空2分，第二空3分.

____1____2-_

12.（24-25高一下?湖北十堰?期中）在△力8c中，AM=-AB,AN=-AC,若麗=2萬+正，則

JJ

%+〃=.

【答案】!

【解析】因為瘋="而，麗=1/，

所以加=布_俞=:刀_;福

又碗=/筋+〃就且恭與就不共線，

2=--

3

所以則4+〃=g.

2

13.（24-25高一下?山東濟南?期中）如圖，水平放置的四邊形力8C。的斜二測直觀圖為矩形己知

A'O'=O'B'=1,BC=1,則四邊形/4CO的周長為

【答案】10

【解析】由題設知：原四邊形中18=。=48'=。7）'=2且

所以原四邊形48co為平行四邊形，

而。C”=正，則原四邊形中。。=2夜，故AD=BC=d0C2+OB，=3,

綜上，四邊形力4。。的周長為48+。。+力。+4。=10.

14.(24-25高??下?重慶?期中)解放碑是重慶的標志建筑物之」存在其特別的歷史意義.我校數學興趣小

組為了測量其高度，設解放碑杯杯高為力從在地面上共線的三點C,D,E處分別測得頂點力的仰角為

30°,45°,60°,且CO=QE=22m,則解放碑的高48為.

【答案】1l>/6m

【解析】由題意，設=中,BC=^—=>(3xm,

tan30

同理可得BD=---=xm,BE=---=-xm,

tan45tan603

222

BE?+EC2—BC?-x+44-3x

因為CO=OE=22m,所以在△8EC中，cos/BEC=—"—…①，

2x——xx44

3

"22』：

BE2+ED2-BD23__________

在△8DE中,cos/BED==

2BEBD2x^xx22

3

由①②組成方程組，解得x=116，即月6=

四,解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)(24-25高一下?江蘇南京?期中)已知更數z=(2+i./_3(i+D〃L2(l-i),根據下列條件求實

數陽的值.

(l)z是實數；

(2)2是純虛數；

(3戶在復平面內對應的點在第二象限.

【答案】(1)1或2；(2)-萬；(31一5，1,

【解析】(1)由題意z=(2+i)〃?2—3(i+l)〃，—2(l—i)=(2〃/—3〃-2)+(〃/-3，〃+2)i

=(2m4-l)(m-2)+(/w-r)(w-2)i,

若z是實數，貝lJ(m7)(".2)=0,解得加=1或〃?=2

6/11

(2w+l)(m-2)=0解得〃?=_；；

(2)若z是純虛數，則

(〃?-1)(加-2)。0

(3)若z在復平面內對應的點在第二象限,

(2機+1)(”[-2)<0

則解得-

16.(15分)(24-25高一下?河北衡水?期中)已知向量)=(1,2),b=(2,-1),c=(w,2),weR.

⑴當然-可時，求實數％的值；

(2)當以/(1+1)時，求向量口與w的夾角的余弦值.

【答案】(1)1；(2)—姮

17

【解析】(1)由題意可得)+1=(3,1),而M=(/l,2/l)-(2,T)=(/l-2,21+l),

因為伍+-所以3(2—2)+(2兄+1)=0=/1=1.

(2)5+c=(l+/?,4),

因為?//(1+乙)，所以8+〃?+1=0=/〃=-9,

所以5=(-9,2),

所以。網詞=蔭=及高=叵

~rT1

即向顯值與I的夾角的余弦值為-姮.

17

17.G5分)(24-25高一下?安徽?期中)如圖,在△血中,已知5q”是邊BC上一點,

AD=IO,AC=\4,DC=6.

(1)求cos//。。的值;

(2)求的長；

(3)求4c的長.

7/11

【答案】（l）-g：（2）5指；（3）5>/J+ll

【解析】（1）在“8中,JD=IO,JC=14,DC=6,

由余弦定理，可得cos/力。。=⑹+二一⑷=」

2x10x62

（2）由（1）知：cosZJDC=--,

囚為N/iOCe（0,n）,所以/月。。=牛，以NNO6="一/月

在△48。中，AD=T0、B=三,NADB=X

43

10x3

,

ADAB-r田ADSHDBUX＜江

由正弦定理,可得力8=--------——=—尸V二=55/6.

sin/?sin/,4QBsinBy/2

V

(3)在△48。中，B=三,NADB=%

43

7t兀V2+V6

所以sin/B4D=sin(4+ZADB)=sin—+—

43~T~

BDAB

在△48。中，由正弦定理

sin^BADsinzfADB

,?+&

ABxsinZBAD,娓”

可得8。二-7=^—=5幣+5、

s\x\/.ADB也

所以4。=4。+。。=56+5+6=5石+11.

18.（17分）（24?25高一下,山東泰安?期中）如圖1,設半圓的直徑為4,點、B、C三等分半圓，點、M、N

分別是08、0。的中點，將此半圓以04為母線卷成一個圓錐（如圖2）.在圖2中完成下列各題：

（1）求圓錐中線段MN的長；

（2）求四面體力CMN的體積；

（3）求三棱錐M-ABC與三棱錐N-ABC公共部分的體積.

8/11

【答案】（1）當；（2）得；（3）：

【解析】（1）在圖2中，設圓錐的底面圓半徑為小則2M=〈X2X2兀，解得,?=1.

因為在圖1中，點8、C三等分半圓，

所以在圖2中，點8、C為圓錐的底面圓周的三等分點，則△/18C為等邊三角形,

所以一嚓=2r=2,所以8。=石.

sin600

又因為點M、N分別是。8、0c的中點，

所以MN'BC=立.

22

（2）因為S“8C=gxGxx/Jx~^='：L^,圓錐的高（=J??-12='

所以％Y友?=；'84*、力=3*￥><6=5'

所以乙TC”二I乙.'CO=5X1%ve=J=白，

2224Io

3

即四面體力CMV的體積為h.

16

（3）連接8MCM交于點P，連接。尸并延長。夕交8C于點E,

則三棱錐M-ABC與三棱錐N-ABC公共部分即為三棱錐P-48C.

因為點M、N分別是08、0c的中點，

所以E為"C的中點，且=

所以Vp-ABC="V0-ARC=,

所以三棱錐M-ABC與三棱錐N-ABC公共部分的體枳為:.

4

19.（17分）（24-25高一下?湖北?期中）形如2=。+〃（4/￡1<）的數稱為復數的代數形式，而任何一個復數

9/11

.、\a=/xios^,

z=a+6i都可以表示成〃(cos<9+isin<9)的形式，其中，.為兔數z的模，，叫做好數z的輻角,

我們規定0工。<2兀范圍內的輻角。的值為輻角的主值，記作argz.復數z=r(cos0+isin。)叫做復數的三角

形式.由復數的三角形式可得出，若西=4(cos4+isin，),5^=Mcosa+isina)，則

「(cos"+isin^)r2(cos<92+isin6?2)=,;r2[cos(^+^)+isin(^+《)].其幾何意義是把向量可繞點。按逆時

針方向旋轉角4(如果％<0，就要把西繞點。按順時針方向旋轉角依I)，再把它的模變為原來的々倍.

⑴試將z=3+后寫成三角形式(輻角取主值)；

(2)復平面內，將z=3+后對應的向量繞原點。順時針方向旋轉60、模長變為原來的2倍后，所得向量對應

的復數為馬,求zjcosm+ismmJ[cosm+isinm八cosg+ismMj；

(3)類比高中函數的定義，引入虛數單位，自變量為復數的函數稱之為復變函數.已知復變函數

/(x)=x24-4^eC.若存在實部不為0,且虛部大于0的復數x和實數乙使得/(X”，成立，復數x在復

X

平面上對應的點為40為坐標原點，點P(3,0),以P4為邊作正方形P4MN,其中M,N在心上方，求線

段。M的最大值.

/X_______

【答案】(l)z=26cos^+isin*；伽一6+25/^；(3)|OM二=Jl1+6&

【解析】⑴由于z=3+石i，故|Z|=26所以z=26伴+；i

I乙乙

所以cos，=3,sin，="!■,因為008<2乃，所以

226

=473

H..乃)(3乃..34丫3不..3萬、

cos——+isin——cos—+1si