相似三角形中的動點問題的六種模型-北師大版九年級《數學》上冊培優專項訓練

專題04相似三角形中的動點問題的六種模型

題型歸納

目錄

題型一：相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）...................................1

題型二：相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）.................................6

題型三：相似三角形動點中求線段及線段和最值問題...............................................14

題型四：相似三角形中的動點問題與函數圖像問題.................................................20

題型五：相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題.................................................25

題型六：相似三角形中的動點探究應用問題........................................................38

:題型專練

題型一：相似三角形動點中求時間多解問題（利用分類討論思想）

例I.如圖，在VABC中，AB=4cm,AC=8cm,點P從8點出發沿胡方向向終點A以la〃/s的速度移動；

同時，點。從A出發沿AC方向向終點C以2a〃/s的速度移動.設運動時間為/（s）,當1=時，NABC

與△APQ相似.

4

【答案】2或］

【知識點】相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題關犍是根據題意分類討論，列出比例式，根據比例式

求出運動時間.

【詳解】解：點P從3點出發沿胡方向向終點A以lcm/s的速度移動；同時，點。從A出發沿AC方向向

終點。以2c〃z/s的速度移動.設運動時間為/（s）,

則BP=/cm,AP=(4-/)cm,力。=2fcm,

回N4=N4,

當理二強時AAPQ^SBC.

ABAC

團AB=4cm,AC=8cm,

4T2t

a——=—,

48

解得，E=2；

當絲=超時，△APQ^AACB,

ACAB

0AB-4cm,AC=8cm,

4-t2t

0——=—

84

4

解得，

J

4

故答案為：2或

知識點總結

1.相似三角形判定與性質：需掌握A4（兩角對應相等）、SAS（兩邊對應成比例且夾角相等）、SSS（三邊

對應成比例）判定定理，以及相似三角形對應邊成比例、對應知相等的性質，這是列比例式的基礎。

2.動點運動規律：明確動點的起點、終點、速度，用含時間/的弋數式表示線段長度，注意運動過程中線

段長度的變化及取值范圍，避免漏解。

解題技巧

1.分類討論圖形位置：動點移動會導致三角形頂點位置變化，需按相似三角形的不同對應關系分類（如

不同頂點對應），分別列出比例方程，避免只考慮一種情況。

2.驗證解的合理性：求出/的值后，需代入線段長度表達式，檢查是否符合圖形實際（如線段長度非負、

動點未超出運動范圍，排除不合理的解。

【變式11】？24-25九年級上?四川內江?期中）在中，NC=900「16cm,12cm.現有

動點尸從點A出發，沿線段AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿線段8向點3方向運動.如果

點P的速度是4cm/s,點Q的速度是女m/s,它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動，

設運動的時間為is.當/=秒時，以C、P、。為頂點的三角形與V48C相似？

【分析】此題主要考查了相似三角形的性質，應分兩種情況：當R^CPQsRfCAB時，根據g=坐，可

將時間，求出;當RtQQsRMBA時,根據若=詈,可求出時間

【詳解】解：由題意得4尸=4/cm,CQ=3zcm,則CP=（16—4i）cm,

VAC=16cm.BC=12cm,

，當時，—=^,

CACB

即3U=解得1=2：

1612

當RIACPQ^RQCBA時，土=絲,

CBCA

口“16—4/3twn64

即丫=記‘解得"升

Ad.

因此，=2秒或/二￡秒時，以點C、P、。為頂點的三角形與VABC相似,

故答案為：2或黑64.

【變式1-2］（23-24八年級上?四川宜賓?期末）如圖，在VA8C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,點。

為BC邊上一動點，點。從點8出發，以1個單位每秒的速度沿8c向點。運動，到達點C時停止運動.設

運動時間為/秒，則當"秒時，ZADC=2ZC.

【分析】本題考查相似三角形，勾股定理.根據題意由勾股定理求得BC=10,再由△84￡s2X8C4的性質

求出3￡AE的長，在8C上取點尸，使得AE=b,可得NAq=2NC,再利用等腰三角形判定及性質得

AADF為等腰三角形，在4AEF'卜應用勾股定理即可得到本題答案.

【詳解】解：在VA8C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,

，BC=10,

過點A作A￡_L8C,并在BC上取一點F,使得CF=4F,則NAF6=2NC,

???設運動時間為/秒,

**.BD=t,

?：-ABAC=-BCAE,g|Jix6x8=lx!0AE,

2222

24

解得：AE=—

1Q

在△ABE中應用勾股定理：BE=-,

當乙M>C=2NC時，ZADC=ZAFB,

:.AD=AF=CF,

*/AE1.DF,

1QIQIQ14

，DE=EF=BE-BD=——t,AF=CF=BC-BE-EF=\0----(一—t)=—+t,

5555

在AAE尸中應用勾股定理：AE2EF2=AF2

(￡T)2+(g)2=(g+/)2,解得：t=2.2?

當點。與點尸重合時，ZADC=2ZC,

ADE=EF=則5尸=口+2+[=5,

555555

，當5秒時，ZADC=2ZC,

故答案為：2.2或5.

【變式1-3](24-25九年級上?江西南昌?期末)如圖，在矩形"C。中，AQ=4cm,/W=3C〃7,動點P以Icm/s

的速度沿著折線/W,運動到點C時停止.已知與△A4O關于直線PQ對稱，連接A4'.設運動

時間為令，連接8A,若△A34是直角三角形，，的值為.

【答案】1或16-；"或7或3+"

【分析】分三種情況：當NA4'8=90。時，當484=90°時，當N84A=90°時，分別利用相似三角形的判

定和性質以及勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：連接AH,如圖,

根據軸對稱可得NAE尸=90。，AE=A'E,

當乙44/=90。時,

則NAA7?=NAEP=90°,

:.DP//AB,

：；Es.N、

AP_AE

~AB~~AA~2

13

/.AP=-AI3=-cm,

22

3

2

當乙ABA=90°時，如圖,

由題意得人尸=人/=/cm,PB=(3-f)cm,

NAED=NZMB=N3=90°,

/.Z4PP+ADAE=NZM石+NB4A'=90°,

：.ZADP=ABAA,

：.^ADP^^BAA,,

型=",即色，

ABAD34

/.AB=-t,

4

?.冶+A'B2=A'P2,

(3—/)"+

解得“￥或「產（舍去）;

當NW=90°時,如圖,

BC(P)

,/4A關于OP對稱,

與點C重合

當ZABA'=90°時，點4在BC的延長線上，連接AP,

???四邊形44co是矩形，

???AD//BC,

???ZAPD=ZADP^

VAA'關于。P對稱，

:,ZADP=ZADP,A,D=AD=4cm.

,ZAPD=ZADP,

,,

???AP=AD=4cnit

在心“VCD中，4'。="^="，

，BP=BC+A，C-A，P=4+@-4=y/icm,

A/=3+V7

綜上所述，當△A84是直角三角形時，Z的值為:或16—4.或7或3+".

23

故答案為：g或16一；6或7或3+77.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理，相似三角形的判定和性質

等，運用分類討論的思想解決問題是解題關鍵.

題型二：相似三角形動點中求線段長多解問題（利用分類討論思想）

例2.如圖，為△ABC中，ZC=90°,47=4,BC=3,點P、。分別為A3、8c上的動點，將沿

。。折疊，使點8對應點。恰好落在邊AC上，當△APO與VAKC相似時，則”的長為.

A

【答案】?25或一20

【知識點】折疊問題、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題考查了直角三角形的性質，相似三角形的判定，折疊的性質，熟練掌握這些性質是解題的關

鍵，注意△APD與VABC相似要分情況討論.根據直角三角形的性質可得48=5,當△AP。與V48C相似

時，設=則。8=尸。=5-x,分兩種情況：?Z\APD^ABC,②分別列方程求

解即可.

【詳解】解：?.?RtAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

AB=V32+42=5?

當△APO與VA3C相似時，

???點。始終在邊4c上，

根據折疊用=P￡>,

設AP=x,貝UP8=PO=5—x,

二.分兩種情況：

①AAPDs公ABC,

此時ZADP=ZACB=90°,

PDAP5-xx

一=——，即nri----=-,

BCAB35

解得尸學，

O

AP=—

8t

@^APD^>^ACB,

此時ZAPD=ZACB=90°,

PDAP.5-xx

即Mr----=-

~BC~~AC34

解得戶亍,

綜上，AP的長為—或—,

故答案為：三25或號20.

知識點總結

1.相似三角形的判定與對應關系：需熟練運用AA、SAS、SSS判定定理，明確動點移動中三角形可能形成

的不同對應頂點組合，因對應關系不同，線段比例式也會不同，這是產生多解的核心原因。

2.用變量表示線段長度：根據動點速度和時間，用含/的代數式表示相關線段，同時明確動點運動的范圍

（如線段端點、邊界位置），確定變量的取值限制，為后續計算鳧供依據。

解題技巧

1.按對應頂點分類列比例：根據動點位置變化，列舉所有可能的相似對應方式（如頂點A對應。或E）,

分別列出不同比例式，避免遺漏對應關系導致的漏解。

2.結合圖形驗證線段合理性：求出線段長度后，結合動點運動軌跡，檢查線段是否符合圖形邏輯（如長

度為E未超出原線段范圍），排除因計算或對應錯誤產生的不合理解。

【變式22］（24-25八軍級下?甘肅定西二期末）在矩形A8=9；/V）=12；點E在邊COE,且CE=4,

P是直線8C上的一個動點.若VAPE1是直角三角形，則CP的長為.

【答案】:或苧或6

【分析】通過直角三角形未確定直角分三種情況進行討論，利用互余關系，得到三角形相似，得到邊長比

例關系進行求解即可.

【詳解】解：VAPE是直角三角形，有以下3種情況：

①如圖1,Z4EP=90°,

???矩形A8CD,

/.ZC=ZD=90°,

???/.CEPINC"=90。，

：.^AED=^CPE,

/XADEsAECP,

.ADDE129-4

'''CE~~CP~^~~CP

②如圖2,NPAE=90。，

:^DAE+NBAE=ZBAE+ZBAP=90°.

同理得至△八4產，

.ADDEn5

,?詬一詬一5一而‘

/.BP=—,CP=BP+BC=—；

44

③如圖3,ZAPE=90°,設8P=R,則尸C=12—X,

圖3

同理得：AABPs^pcE.

.ABBP9x

??===,

PCCE\2-x4

百=七=6,

???CP=BC-BP=6；

綜上”的長是g或苧或6,

34

故答案為：。或黑或6.

34

【點睛】本題考查直角三角形的相似問題，矩形的性質，在不確定直角的情況卜.需要分類討論計算，靈活

利用相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

【變式2-2］（24-25九年級上?河南周口?期末）如圖，等邊VABC的邊長為8,。為BC上的一點，DC=3BD,

P是線段AO上的一動點（點尸不與點A,。重合）.若點。和V48C中的一個頂點的連線與P。的夾角為60。，

則DP的長為.

【分析】過點。作于點例，利用勾股定理和等邊三角形的性質求出入。=療；根據題意，分兩種

情況討論，即/82。=60。或NC包）=60。，進而證明與△CPDsdCO,利用相似三角形的

性質列出避雷線即可求出P。的長.

【詳解】解：如下圖，過點。作廣點M,

A

BD

???等邊V/WC的邊長為8,CD=3BD,

;.BD=2,CD=6,NB=/C=60。,

NBDM=30。,

..BM=-BD=\,

AM=AB-BM=7,DM=』BD：-BM?=6

：.AD=dAM。DM?=2VB，

分兩種情況：①如下圖，連接8尸，若N8尸。=60。,

/BPD=/ABD=60°,NBOP=/ADB,

BD

.△BPDS&ABD,

PDBDPD_2

..茄=布’即〒二月忙解得月

②如下圖，連接CP,若NCPD=60°,

4CPD=ZACD=60°,4CDP=ZADC.

BD

:ACPDSAACD，

PDCDPD_6?

..而=而‘即T=礪'解向

綜上所述，PD的長為名叵或更姮

故答案為：嶇或電叵.

1313

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，

勾股定理，熟練掌握三角形相似的證明及性質的使用是解決本題的關鍵.

【變式2-3］（2025?河南駐馬店?三模）如圖，菱形/WC。中，點P為對角線8。上一動點，作關于AP

的對稱圖形，得到aAQ尸，點。的對應點為點Q,射線PQ與菱形A8C。的邊交于點M.若AB=5,BD=6,

則當點P為B。的三等分點時，P例的長為.（溫馨提示：38=1444）

■田“.■6834

【答案】E或r五

【分析】本題考查了菱形的性質、相似三角形的判定與性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質，根

據P是8。上的一個三等分點，可分成兩種情況求解，先根據對禰性得到邊長，然后根據三角形相似以及直

角三角形的勾股定理可求得結果.解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AC,交8。于點0，

?.?四邊形為菱形，

\OD=OB=gBD=3,ZAOD=403=90。，

22

/.AO=JAB2-OB-=V5-3=4,

分兩種情況：①當。=2時，OP=OD-DP=\,

如圖，連接AQ，AP,AQ與8。交于點N,

由對稱性可知，DP=PQ=2,ZAQP=ZADB=ZABD,ZPNQ=ZANB,

叢PNQs叢ANB,

■小一AB5

'~PN~~PQ~2，

設加=2x,則AN=5x,

二ON=NP-OP=2x-\,

在Rt~4NO中，AN2=AO2+ON2,

即(5X)2=42+(2X-1)2,

17

解得：用=-1(含去)，x2=—

S4

:.PN=—,

21

?/ZPQA=4DBC=ZADB,^NPQ=4MPN,

△PNQ^fMB,

PMPN

~PB~~PQ'

PNPB68

PM

PQ~2\'

2

②當。。=產=4時，連接AQ,AP,

由對稱性可知，AQ=AD=5tPQ=DP=4,"DP=ZAQP="BD,ZAPD=ZAPM,

過點A作ANJL尸Q廣點N,如圖,

ZAQM=/PBMZAMQ=ABMP,

.加BP2

一而=而=歹

設EF=2x,則A"=5x,

在△APO和△AN尸中，

ZAPO=ZAPN

?/AOP=NANP=90。，

AP=AP

：.A4P0gzMPN(AAS),

:.OP=PN=\,

..NM=2x-[,AN=AO=4,

在RSANM中，AM2=AN2+NM1,

即(5x)2=4?+(21)2,

解得：x,=-l(舍)，9=[，

34

:.PM=2x=—,

21

綜上，PM的長為抑或青

故答案為：II或

【變式2-4］（2026.江西.模擬預測）如圖，等腰三角形ABC中，AH=AC=5,AC=8,點M是4c邊上一

動點，連接八M,當圖中存在直角三角形時（不添加其他線段）：的長為一.

【答案】4或一25或;7

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握分類討論的數

學思想.

根據題意求出等腰三角形A8C底力上的高，然后分三種情況討論，然后利用等腰三角形的性質和相似三角

形的判定和性質進行求解即可.

【詳解】解：根據題意求出等腰三角形A8C底邊上的高.

如圖（1）,過點A作8c于點兒

VAB=AC=5,BC=8,

：,BH=CH=4.

圖⑴

根據直角三角形的直角不確定，分情況求解.

①當NAM8=90。時，點M與點”重合，此時均為直角三角形，BM=BH=4；

②當N84M=90。時，為直角三角形，如圖（2）,

?.-NB-NB,NRAM-ZBHA-90°.

^BAMS^BHA，

二空=也，即3=BM

BHBA45

25

解得口

95

；“i/CAAf=90。時，為直角三角形，如圖(3),同理②可得CM二一

4

BM=S--=-

44

?57

綜上所述，府的長為4或z叱.

757

故答案為：4或亍或“

題型三：相似三角形動點中求線段及線段和最值問題

例3.如圖，在矩形A3CQ中，AB=2,8C=3,E為A8的中點，〃為8c上的一點，連接P。、PE,當PE+2PD

的值最小時，BP=.

【答案】2

【知識點、】根據矩形的性質求線段長、證明四邊形是矩形、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題考查了矩形的性質與判定，相似三角形的性質與判定；在4C的延長線上截取b=28=4,

過點尸作尸GJL。尸，使得PG=2PD,則△ZX/S“)PG得出NPGO=NPED,即可證明△尸IBAG。/7,進

而得出NPC￡>=NGfD=90。，則點G在與。尸垂直的尸G上運動，當EGJ_R7時，即NPG/=90。時，

PE+2P。最小，進而得出四邊形￡>PG〃是矩形，證明△DC—"'。。，得出。。=],即可求解.

【詳解】解：在矩形A8CD中，AB=2,BC=3,

0CD=AB=2,NDC8=90°,

nr1

如圖所示，在8c的延長線上截取。'-2C￡>-4,則k==,過點。作PG_LOP,使得

G

DCDP

0----=——

CFPG

又僅NDCF=ZDPG=90°

^^DCF^DPG

DPDG

E4GD=/PFD,■1

DCDE

DPDC

蟲"DC=4GDF,=---

DGDF

中APDCS^JDF

⑦"CD=NGFD=90。

（3點G在與。產垂直的AG上運動，

當正：+2電）的值最小時，〃在￡G上，最小值為EG的長

回當EGJ_/G時，即NPG『=90。時，EG最小

此時如圖,

0ZDPG=4PGF=ZDFG=90°

回四邊形OPG尸是矩形，

0ZPDF=9O0

⑦"DC=90。-NFDC=/DFC

又NDCP=/FCD=90。

醍DCPs4FCD

"CPC

FCCD

2PC

0—=——

42

解得：PC=\

國PB=BC—PC=3—1=2

故答案為：2.

知識點總結

1.腦披!扁形性質與動態線段表達：利用相似三角形對應邊成比例的性質，結合動點速度、時間，用含變

量的代數式表示相關線段長度，明確變量的取值范圍（受動點運動邊界限制）。

2.最值求解相關定理：涉及垂線段最短、兩點之間線段最短（如將軍飲馬模型），以及二次函數頂點最值

（當線段表達式為二次函數時，利用頂點坐標求最值）。

解題技巧

1.轉化線段表達式：通過相似比將所求線段或線段和轉化為含單變量的代數式，若為二次函數形式，利用

配方法或頂點公式求最值；若為一次函數，結合變量范圍找端點值。

2.結合幾何模型構造對稱點：對于線段和最值，若涉及定點與動點，可通過構造對稱點，將折線轉化為直

線，利用“兩點之間線段最短“求解，再結合相似關系確定動點位置及對應線段長。

【變式37］（2025?四川瀘州?三模）如圖，。是等邊三角形48c的邊AC工的動點，連接。3,將DB繞點D

逆時針旋轉120。，得到。連接E4,EC,若BC=2,則E4+EC的最小值為.

【答案】2G

【分析】延長AC到尸，使C"=8C,根據等邊三角形的性質和旋轉的性質得出N￡ZM=N/，C3=120。，

BD=ED,根據如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似可

得公EDB-AFCB，根據相似三角形的對應角相等，對應邊成比例可得黑=鬟，推得

oCifr

NDBC3F‘黑嘴,根據如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等，那么這兩

個三角形相似可得根據相似三角形的對應角相等得出/DCB=NEFB=旗）。.得出點E在

ZBFE的邊FE上運動，根據三角形的外角性質和等邊對等角得HNCFB=NC8/=30。，求得/EFC=30。，

ZFBA=90°,作點。關于FE的對稱點C,連接C'E,根據軸對稱的性質得出N￡FC=NEFC=3（）。，

EC=EC,根據垂線段最短和兩點之間，線段最短得出滿足A,E,C'三點共線，且ACJ_C戶時，EA+EC

的值最小，根據二個角是直角的四邊形是矩形得出四邊形AWP是矩形，根據矩形的對邊相等和勾股定理

求出R?'的值，即可求解.

【詳解】解：延長AC到廣，使C/=4C.如圖：

VVABC為等邊三角形，08繞點。逆時針旋轉120°得到DE,

：./EDB=NFCB=120°,BD=ED,

DEBD

?:/EDB=/FCB,~FC~~BC

：.^EDBs/CB,

BDBE

，＜DBE=NCBF,

~BC~而,

*/4DBE+NEBC=NCBF+NEBC,

：.1DBC=/EBF,

由也殷可得旦生，

BCBFBEBF

△EBF'sADBC,

：./DCB=/EFB="。,

???點E在4FE的邊FE上運動，

?:CF=BC,ZAC3=600.

???工CFB=NCBF=3U,

故/￡FC=30。，ZFBA=90°,

作點C關于左的對稱點C',連接C'E,

則NEFC=N￡FC=30°,EC=EC',

故NC77J-90。，

當A,E,C三點共線時，EA+EC=AC,

當AC_LUF時，AC的值最小，

故滿足A,E,C三點共線，且ACJ■。口時，E4+EC的值最小,

VACA.CF,

???四邊形A8R7是矩形，

?*-AC=BF=ylAF2-AB2=V42-22=2V5，

故E4+EC最小值為2G.

故答案為：26

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，三角形的外角性質，等

邊對等角，軸對稱的性質，垂線段最短，兩點之間，線段最短，矩形的判定和性質，勾股定理等.熟練掌

握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

【變式3-2］（2025?陜西?模擬預測）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,。是對角線AC的中點，E

是邊8C上的動點，連接OE.以。E為斜邊作直角三角形OFE,使點尸在OE的左側，旦NOEF=ZACB,

連接8尸，則8戶的最小值為.

【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，取中點M，連接MF,過

3作交直線”產于N,則NA8C=NOMC=9()。，

1OFOF

CM==二AC=2,再證明.0莊s^M/C,得到-=二，NFOE=NMOC，即可證明△FOM^EOC,

2OMOC

得到/OM/=NMCO,確定點尸的運動軌跡為定直線MN,當F運動到點N時，BF=BN最小,最后證明

△BMNs^CAB,得到嬰=駕，代入計算即可.

BCAC

【詳解】解：取8C中，點:M,連接0W,MF,過。作物V_LMF交直線”〃于N,

,AC7AB2+BC?=也+42=26，ZABC=90°,

???。是對角線AC的中點，

:.OM是V48c的中位線，

：.0M=-AB=[,OC=LAC=亞,CM=BM=-BC=2,OM//AB,

222

Z4BC=ZOMC=90°,

???以OE為斜邊作直角三角形O尸E,使點尸在OE的左側，且N0EF=4CB,

；?Z0FE=Z0MC=9()0,

???QFES&0MC,

OFOF

??7777==，4F0E=4M0C,

OMOC

工/FOE-/MOE=/MOC-4M0E,ZFOM=ZCOE,

:?肝OMs&EOC,

???COMF=4MC0,

???點M和NMCO固定不變，

:.點F的運動軌跡為定直線MN,

???當尸運動到點N時，BF=BN坡小,

*：20MF=AMCO,NOMF+/BMN=90。,NNBM+NBMN=鞏)。，

/.AOMF=ZMCO=4NBM,

???ZACB=NNBM,ZABC=4BNM=90。，

:.4BMNsACAB,

.BNBM

~BC=~AC，

BN2

'丁"麗，

???BN=—,

5

，分,的最小值為BF=BN=—,

5

故答案為：史.

5

【變式3-3］（2025?陜西西安?二模）如圖，已知矩形八BCD,AB=2,4）=4,E,尸分別為AD,8C邊上的

動點，且研=2AE,將四邊形AB在:沿EF翻折到四邊形EH7G,則C”的最小值為.

G

【答案】4夜一4/T+4及

【分析】延長BAHS交F點。，則△Q4Es/\o8尸，那么（M=2A3=4,在Rt408。中，由勾股定理得

OC=yiOB2+BC2=472?在中，由三邊關系即川-求解.

【詳解】解：延長84,"G交于點。，連接。區OC、CH

由沿打翻折可知直線石戶經過點。，

???四邊形"CD是矩形，

AAD//BC,Z4BC=9O°,

，AOAE^OBF，

,OAAE]

?.—=—=一,

OBBF2

：.OB=2OA,

/.()I3=2AI3=4,

???在RtaOBC中，odk+BC。=4五,

由詡折得到：OH=OB=4,

:?CHNOC-OH=4丘-4,

:.當點。,CH三點共線時，CH取得最小值為4&-4，

故答案為：40-4.

【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，正確添加輔助線是

解題的關鍵

題型四：相似三角形中的動點問題與函數圖像問題

例4.如圖1所示，在矩形A3C。中，動點。從點8出發，沿6->Cf￡>的路徑運動，當點戶到達點。時

停止運動.過點戶作P。交A。于點Q,設點尸運動的路程為x,DQ=y,已知y關于x的函數

【答案】B

【知識點】動點問題的函數圖象、根據矩形的性質求線段長、相似三角形的判定與性質綜合

【分析】本題考查動點的函數圖象問題，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，由圖象可知8c=3,6=2,

分點尸在8c上和點尸在CO上，兩種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：由圖象可知，當點?與點3重合時，此時點。與點A重合，DQ=AD=3,

當點尸與點C重合時，此時點。與點。重合，此時x=3,y=0,即：8c=3,

當點尸與點。重:合時，x=5,故CQ=5-BC=2,

①當點產在用C_L時，此時四邊形c?QF為矩形，

團"2=CP,

回當y時，即：DQ=CP=g,

JJ

|Q

團x=BP=BC-CP=3—上=2,

33

②當點2在。。上時，如圖：

則：ZC=ZD=90°,

團PQ_L3P,

團NBPQ=90。，

0/BPC=NPQD=90°-4DPQ,

回△8C7>s/。。，

CPBC

團---=---,

DQPD

0BCDQ=CPPD,

^CP=x-BC=x-3,

^DP=CD—CP=5—x,

國當尸L即:OQ」時，3xl=(x-3)(5-x),

333

解得：%=々=4；

故選B.

知識點總結

1.相似三角形的判定與性質：需掌握AA、SAS、SSS等判定定理，以及相似三角形對應邊成比例、對應高

的比等于相似比等性質，為建立線段關系提供依據。

2.函數表達式的構建與圖像特征：根據動點運動規律，用含時間，的代數式表示線段長度，結合相似關系

轉化為函數解析式（如一次函數、二次函數），并理解函數圖像的增減性、頂點等特征。

解題技巧

1.分段分析運動過程：動點在不同階段可能形成不同的相似三角形，需按運動臨界位置分段，分別列出

對應函數表達式，避免因過程遺漏導致圖像錯誤。

2.結合函數性質求關鍵點：根據相似關系確定函數定義域，利月函數圖像的頂點、端點等關鍵點，對應

動點位置，解決與圖像趨勢、最值相關的問題。______________________________________________________

［變式4一1］（202》新疆烏魯木齊?模擬預測）如圖I,矩形A月面虱區￡）為其對角線，一動點P從。出發，

沿著Of8fC的路徑行進，過點〃作尸Q_L6,垂足為Q.設點尸的運動路程為x,PQ-DQ為丫,丁與

x的函數圖象如圖2,當CT=2時，x的值為

圖1圖2

【答案】0,4或匹

5

【分析】本題主要考查了矩形和函數圖象的結合，動點路徑問題，圓的垂徑定理，勾股定理，利用一元二

次方程解決幾何問題等知識點，解題的關鍵是熟練掌握以上性質，并結合圖形獲取正確信息.

以點。為圓心，C。長為半徑畫圓，交BDT?點、交8c廣點鳥，過點C作CMLBD交BDT點M,結合

圖形和函數圖象求出直角三角形的三邊，然后分情況進行討論，惜助于圓的性質和解直角三角形即可求解.

【詳解】解：如圖，以點。為圓心，。。長為半徑畫圓，交BDT點、R,交BC「點、P2,過點。作CM_L8O交

BD廣點M，

根據題意，結合圖形可知，CD=2,

由圖2點（40）可得，假設4。長為〃，由勾股定理得,

BD2=BC2+CD2

即d2=（4-?+2）2+22

解得。

BD=TBC=4-T+2=I

:x2

根據等面積法可得CM=筆2=^-=7

DL）又3

T

由勾股定理得DM=y/CD2-CM2=

根據垂徑定理得。R=2DM=浮

即此時工=①

5

vCE=CD=2,

結合圖形可得此時x=4；

當點p與點。重合時，a=a>=2,此時x=o；

綜上，x=0或x=4或工=52^11

5

故答案為：0,4或坦.

5

【變式4-2］（2025?湖北?中考真題）如圖1,在VA8C中，ZC=90°.BC=4cm,AB=ncm.動點P,。均以

lcm/s的速度從點C同時出發，點尸沿折線Cf8fA向點A運動，點。沿邊CA向點A運動.當點。運動

到點A時，兩點都停止運動.△PCQ的面積S（單位：cm?）與運動時間，（單位：s）的關系如圖2所示.（1）

【分析】本題考查動點的函數圖象，相似三角形的判定和性質，從函數圖象中有效的獲取信息，是解題的

關鍵：

（1）觀察圖象可知，當f=4時，點P與點8重合，得到CP=G2=4,利用直角三角形的面積公式進行計算，

求出機的值即可；

（2）根據圖象當f=10時，5=10,此時CQ=10,8P=10—8C=6,過點P作PO_LAC,根據面積公式求

出PD的長，證明AAOPSAACB,列出比例式求出的長，進而求出4B的長即可.

【詳解】解：（1）觀察圖象可知，當，=4時，點尸與點〃重合，

???動點P,Q均以lcm/s的速度從點C同時出發，

：.CB=CP=CQ=4cm,

*/ZC=90°,

???"i=gcPCQ=gx4x4=8；

故答案為：8；

（2）由圖象可知,當1=10時,5=10,此時CQ=1。,叱=1。-8。=6,

過點尸作PD_LACF點。，如圖：則：NPDA=90。.

工PD=2,

?//PDA=ZC=90°,NA=NA,

??4ADP^^^ACB,

.AP_PD_2_\

"~AB=~BC=4=2

：.AP=-AB,

/.『為AB的中點，

/.AB=2BP=12;

故答案為：12.

【變式4-3](2024?四川南充?一模)如圖1,在VA8C中，N8AC=72。，動點。從點A出發,沿折線Af3fC

勻速運動至點C停止.若點尸的運動速度為Qcm/s,設點P的運動時間為f(s),4尸的長度為y(cm),)，與1

的函數圖象如圖2所示，當AP恰好平分/B/AC時/的值為s.

【分析】本題主要考查了圖形與函數圖象間的關系、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程等知識點，

正確理解兩種圖形間的關聯信息是解題的關鍵.根據函數圖象可得A8=8C=6cm，作NBA。的平分線AP,

/%。=72。可得/8=/%。=36。，進而得到△APCsZi8AC,由相似求出8尸的長即可.

【詳解】如圖，當AP恰好平分N84C時，連接心，

3

由圖2可得AB=BC=4x—=6cm,

?.?N84C=72。，AB=BC,

:"BAC=NC=M.

.*.ZB=36°,

A尸平分N84C,

...NBAP=APAC=NB=36°,

：.AP=BP,ZAPC=72o=NC,

AP—AC=BP,

VAPAC=ZB,ZC=ZC,

.^SPC^BAC,

AP-pc

AP2=ABPC=6（6-AP）,

解得AP=3石-3（負值舍去）,

，BP=3后-3,

，一處軍2=2+26（s）

??

2

故答案為：2+26.

題型五：相似三角形中的動點問題與幾何綜合問題

例5.如圖，正方形人BC。的邊長為5,點E是邊A。上的一個動點，連接Cf,將線段CE繞點E按逆時針

方問旋轉90。得到線段所，連接斷交CE于點P.

圖1圖2

⑴如圖1,求證：NDEF=NDCE；

(2)如圖2,當跖經過點。時，求證：點石是AO的中點;

np

⑶當=時，求方二的值.

PF

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3糕的值為9或會

【知識點】用勾股定理解三角形、根據正方形的性質證明、根據旋轉的性質求解、相似三角形的判定與性

質綜合

【分析】(1)由旋轉性質可知ZCEF=90°，則NOEP+NCEDnW,又四邊形ABCD是正方形，則？090?,

故有ZDCE+ZCED=90°,然后通過同角的余角相等即可求證;

（2）作/G_LA力交八。的延長線于點G,證明aC。入△EG"（AAS）,則有反；=C。，FG=ED,又四邊

形ABCD是正方形，所以AB=CD=AD,NA=90。，然后有/FDG=NOFG=NADB=45。，故FG=QG=￡￡>,

最后由線段和差即可求證；

（3）過點/作分別交8C,A￡>的延長線于點，，Q,則N8//=90°,證明四邊形6Q”是矩

形，則。。=C〃，同理可得AC。回△E0F（AAS）,則EQ=CD=A。，故有OQ=AE,設OQ=AE=x,

貝lJDQ=C"=x,BH=5+x,FQ=5-x,FH=lO-x,在Rt△尸“5中，BH2+PH2=HF2，

（5+x）2+（io_x）2=（3jB『，解得$=1,修=4,作BT_LCE于點7,然后分兩種情況求解即可.

【詳解】（1）證明：由旋轉性質可知/CEF=90。，

^ZDEF+ZCED=90°,

回四邊形ABC。是正方形，

回？D90?,

^ZDCE+ZCED=90°,

EZDEF=/DCE；

（2）證明：作/G_LAO交A。的延長線于點G,

圖2

由(1)得NDEF=NDCE,

^FGIAD,

0ZFGE=9O°,

0Z4DC=9O°,

同NFGE=NADC,

^CE=EF,

HACD￡^AEGF(AAS),

0EG=CD,FG=ED,

團四邊形ABC。是正方形，

^A13=CD=AD,ZA=90°,

0￡G=AD,ZADB=45°,

^^FDG=ADFG=ZADB=45°,

0FG=DG=ED,

◎AD=EG=ED+DG=2ED,

⑦點E是AD的中點;

(3)解：如圖，過點尸作F”_LBC分別交8C,4。的延長線于點〃，Q,則"”產=90。,

^AB=CD=AD,AD//BC,ZADC="CD=90°,

@ZACF=ZBHF=9()°,

0NBHF=ZLDCH=Z.CDQ=90°,

回四邊形8。”是矩形，

^]DQ=CH,

同理可得：ACDE^EQF(AAS),

團EQ-CD=AD,

回EQ—ED=AD—ED,

^IJQ=AEt

DQ=AE=x,plljDQ=CH=x,BH=5+x,FQ=5-x,FH=\0-x,

在RlAJT汨中，BH2+FH2=BF2^(5+x)2+(10-x)2=(3x/i3)\解得耳=1,電=4,

作B7J_CE于點T,

當R=1時，DE=4,則CEny/DE-Cb2=,42+52=屈，

0ZBCT+ZECD=9()0,ZDEC+ZECD=90°,

田ZBCT=/DEC,

0ZCTC=Z￡DC=9O°,

△CDES^BTC,

BTBC

0=——,

CDCE

BT5

0T=W,

0Br=—VJT,

41

同理“J得Z\BPTSAFPE,

25rrr

回嘰更二五”=”，

~PF~~EF~>/41-41

當二=4時，DE=I>也CE=JDE2+CD，=\/l2+52=>/26?

同理△COESQJJTC,

BTBC

0-—=-—,

CDCE

BT5

『裙

0^r=—V26,

26

同理可得ABPTS^FPE,

255Z

團?887=26二25,

~PF~~EF~V26-26

，