人教A版高一數學暑假預習：冪函數的圖像和性質（講）-（人教A版必修第一冊）原卷版+解析

3.4募函數的圖像和性質

【題型解讀】

【知識儲備】

一.易函數

(I)一般地形如y=f(a為常數)的函數叫做幕函數.

［知識點撥］累函數與指數函數的區別與聯系

函數表達式相同點不同點

指數函數y=a'(a>0,且aWl)指數是自變量，底數是常數

右邊都是暴的形式

幕函數y=P(a￡R)底數是自變量，指數是常數

(2)對于累函數，我們只討論。=123,-1時的情形.

(3)圖象：在同一坐標系中，鼎函數y=x,)，=『，)，=2,j=x2,)，=入門的圖象如圖.

［知識點撥］賽函數在第一象限內的指數變化規律：在第一象限內直線x=l的右側，圖象從上到下，相應

的指數由大變小，即指數大的在上邊.

(4)五種常見塞函數的性質，列表如下:

定義域值域奇偶性單調性公共點

y=xRR奇在R上是增函數

在(一8,())上是減函都過

R[0,+8)偶數；在［0,+8)上是(1,1)點

增函數

），=丁RR奇在R上是增函數

2非奇在［0,+8）上是增函

y=x1[0,+8)[0,+8)

非偶數

(一8,0)U(一8,0)U在（一°°?0）和（0,+

y=x-1奇

(0,+8)(0,+8)8）上均是減函數

【題型精講】

【題型一寨函數的概念】

方法技巧寐函數的概念

判斷一個函數是否為寐函數的依據是該函數是否為y=U（a為常數）的形式，即函數的解析式為一個寐的形

式，且需滿足：①指數為常數；②底數為自變量；③系數為1.

例I（2022?河北?武安市第一中學高一期末）下列函數是幕函數的是（）

A.y=2x2B.y=-x-1

C.y=4D.y=2x

x

例2（2022?廣東中山市月考）已知函數/（月=（〃2-〃-1）/一向（〃eZ）為幕函數，則/（2）=__.

【題型精練】

1.（2022?山東?濟南一中期中）若昂函數/（x）經過點（6,36）,且〃。）=8,則。=（）

A.2B.3C.128D.512

2.（2022?安徽宣城市?高一期末）7=2”是"函數/（x）=（如一3）-1卜々（。為常數）為痔函數”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【題型二累函數的圖像】

例3（2022?山東濟寧?高?一期中）已知幕函數y=x"在第一象限內的圖象如圖所示.若

〃氣2,-2,3，-弓，則與曲線G，c2,G，G對應的〃的值依次為（）

例4（2022?湖北十堰高一期末）（多選）如果某函數），=（〃/-3〃]+3）/-m”的圖象不過原點，則實數〃?

的取值為（）

A.0B.2C.1D.無解

【題型精練】

（1、

1.（2022?四川涼山?高一期末）已知幕函數），=/（"的圖象經過點P4,-，則y=/（x）的大致圖象是

（）

2.（2022?河北石家莊期中）若aeR,函數/（x）=（x—+3的圖象恒過定點尸，則點P的坐標為

【題型三募函數的三要素】

例5（2022?綏德中學高一期末）已知哥函數），=x”的圖象經過點（27,；1則此事函數的解析式為

例6（2022?山西?懷仁市第一中學校月考）（1）函數）,=#的定義域是,值域是

（2）函數ft的定義域是—，值域是；

（3）函數j的定義域是,值域是；

（4）函數的定義域是，值域是

）一彳

【題型精練】

1.（2022?北京大興?高一期末）（多選）已知ae{-1,1,2,3},貝］使函數），=/的值域為R,且為奇函數的

〃的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

2.（2022?河南開封?高一期末）討論下列函數的定義域、值域.

,ia2

（1）y=X；（2）y二戶；（3）y=X'；（4）y=X3.

【題型四塞函數的性質】

例7（1）（2021?廣西高一期末）基函數〃力=￡?的圖象過點（9,3）,那么函數/⑶的單調遞增區間是

()

A.(-2,+x)B.[—l,+oo)-C.[0,+oo)D.2)

(2)(2021?安徽高一開學考試)已知累函數/("=(1-3/〃+3)廿是偶函數，則〃2)=.

(3)(2021?安徽省安慶九一六學校高一開學考試)已知基函數=(〃-1)/的圖象過點(2,8)?,且

/(b-2)</(1-2Z?),則b的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,2)-C.(5)【).(l,+oo)

【題型精練】

1.(2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中)下列函數既是基函數又是偶函數的是()?

A./(x)=3x2B.f(x)=y/x

C./(幻=4D.f(x)=x~3

X

2.(2022?安徽宣城?高一?期中)已知尋函數/(幻=1〃2-3〃7+3卜”兒小在(0,+8)上單調遞增，則m值為

3.(2021?江蘇?高一專題練習)下列比較大小中正確的是().

A.g產嚴

B.(-1)-,<(-1)_,

33

C.(一2.1戶<(一2.2尸

D.(§<(g

4.(2022?廣東高一期末)已知塞函數/。)=/用過點(3,27),若/(公+3)+/(9-8攵)<0,則實數人的

取值范圍是__________.

【題型五幕函數的綜合運用】

例8(2022?陵川縣高級實驗中學校月考)若暴函數/。)=(2>+/〃-2)一向在其定義域上是增函數

(1)求/⑴的解析式；,

(2)f(,2-a)<f(a2-4),求。的取值范圍.

【題型精練】

1.（2022.廣東.金山中學高一期中）已知累函數/（"=”八丁6（小€2）在區間（0,y）上是減函數.

⑴求函數的解析式；

⑵討論函數/（"的奇偶性和單調性；

⑶求函數/（X）的值域.

2.（2022?全國?高一課時練習）已知暴函數），=/。）=/21.（〃[￡2）在（0,+8）是嚴格減函數，且為偶

函數.

（1）求丁=/（%）的解析式；,

（2）討論函數尸叭幻+（。-2）戶/（工）的奇偶性,并說明理由.?

3.（2022?湖南高一月考）已知事函數/（力=（加-2機+2）戶口[（Awz）是偶函數，且在（0,+“）上單

調遞增.

（1）求函數“X）的解析式；4

（2）若〃2..1）＜/（2-力?求X的取值范圍;

32

⑶若實數明”3-）滿足2〃+3f加求西+a的最小值.

3.4幕函數的圖像和性質

【題型解讀】

【知識儲備】

一.基函數

⑴一般地形如y=K(a為常數)的函數叫做累函數.

I知識點撥I黑函數與指數函數的區別與聯系

函數表達式相同點不同點

指數函數y=a\a>0,且aWl)指數是自變量，底數是常數

右邊都是轅的形式

轅函數y=K(a￡R)底數是自變量，指數是常數

(2)對于尋函數，我們只討論。=123,-1時的情形.

2

(3)圖象：在同一坐標系中，鼎函數)，=x,y=f,y=x2,的圖象如圖.

I知識點撥I森函數在第一象限內的指數變化規律：在第一象限內直線X=1的右側，圖象

從上到下，相應的指數由大變小，即指數大的在上邊.

(4)五種常見冢函數的性質，列表如下:

定義域值域奇偶性單調性公共點

RR奇在R上是增函數

都過

在(-8,0)上是減函

產fR[0,+8)偶(1,1)點

數：在［0,+8)上是

增函數

RR奇在R上是增函數

非奇在[0,+8）上是增函

了=巨[0,+°°)[0,+8)

非偶數

(一8,())u（一8,（））u在（一8,0）和（0,十

y=x-1奇

(0,+8)（0,+8）8）上均是減函數

【題型精講】

【題型一幕函數的概念】

方法技巧黑函數的概念

判斷一個函數是否為旌函數的依據是該函數是否為），=d（a為常數）的形式，印函數的解析式

為一個祿的形式，且需滿足：①指數為常數；②底數為自變量；③系數為1.

例1（2022?河北?武安市第一中學高一期末）下列函數是基函數的是（）

A.y=2x2B.y=-x~'

C.y=4D.y=2x

x

【答案】C

【解析】形如），=嚴（。為常數且owR）為呆函數，

所以，函數丁=9=/3為黑函數，函數）,=2/、y=--、y=2”均不是幕函數.

故選：C.

例2（2022?廣東中山市月考）已知函數丁為帚函數，則

"2）=—.

【答案】8

【解析】由于函數/（x）=W-〃一（"Z）為哥函數，則/_〃_]=],即

“2一〃-2=0,

?.?〃wZ,解得〃=-1或2,所以，/（x）=E

因此，"2）=23=8」

故答案為：8.-

【題型精練】

1.（2022?山東?濟南一中期中）若'標函數/（“經過點（道,36）,且/（。）=8,則。=

（）

A.2B.3C.128D.512

【答案】A-

【解析】設/(x)=x-因為塞函數/(.r)經過點(6,36),所以/(")=(6尸=36，

解得a=3,所以/(〃)="=8,解得。=2,故選：A

2.(2022?安徽宣城市?高一期末)*=2"是"函數/(可=(如2-3〃一1卜“(。為常

數)為基函數〃的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】???當函數/(x)=(2〃2—3〃—1卜“為恭函數時，2^2-3/2-1=1,解得8=2或

2，

???7=2"是"函數/(支)=(%2—3/?-1卜“為累函數〃的充分不必要條件.故選：A.

【題型二幕函數的圖像】

例3(2022?山東濟寧?高一期中)已知暴函數y=x"在第一象限內的圖象如圖所示.若

〃￡?2,-2,5，-5?則與曲線G，。2，。3，。4對應的〃的值依次為()

B.2,—,—2,

22

cl]r1

C.2,—,——,—2D.-2-2

222'2'

【答案】c

【解析1由塞函數的圖象與性質，在第一象限內，在人=1的右側部分的圖象，圖象由下至

上，呆指數依次增大，曲線G，G,G，O’對應的〃的值依次為：2,1,-1-2

故選：C.

例4(2022?湖北十堰高一期末)(多選)如果耗函數)，=(川-3〃7+3)入川-"-2的圖象不過

原點，則實數〃?的取值為()

A.0B.2C.1D.無解

【答案】BC

【解析】由已知可得”一癡；3：1,解得〃?=1或2.

nr-m-2<0

故選：BC.

【題型精練】

1.（2022?四川涼山?高一期末）已知幕函數的圖象經過點則），=/（工）的

【解析】設豪函數為/*）=/,

因為尋函數），=/（力的圖象經過點「卜；），

所以4。=g,即22a=2，

解得a=—1，

所以“r）=/，

則函數的定義域為（O，+R）,所以排除CD,

因為一;<0,所以〃工）=/在（0,內）上為減函數，

所以排除B，

故選：A

2.（2022?河北石家莊期中）若awR,函數/（x）=（戈-1）。+3的圖象恒過定點尸，則點

尸的坐標為.

【答案】（2,4）

【解析】因為〃力=丁過定點（草），將圖象向公平?移一個單位，向上平移3個單位得：

/（力=（1-1）“+3,

所以/（力=（不-11+3過定點（2,4）.故答案為：（2,4）.

【題型三募函數的三要素】

例5（2022?綏德中學高一期末）已知幕函數y=x"的圖象經過點（27,；）,則此事函數

的解析式為.

【答案】v_x4

y-x

【解析】因為塞函數y=x”的圖象經過點（27,；）,所以27"二；,解得〃=-g,所以

y=x3

故答案為：y=x4

例6（2022?山西?懷仁市第一中學校月考）（1）函數）=j的定義域是,值域是

_____;

（2）函數ft的定義域是—，值域是：

<3）函數的定義域是,值域是;

（4）函數\,_工3的定義域是，值域是

【答案】R[0,+8）{X|XN0}（0,+8）[0,+8）[0,+oo）（O,4-X>）

（0,+co）

【解析】（1）v_j的定義域是R，值域是[0,+8）；

41

（2））'=x=F?的定義域是{xlxwO},值域是（0,48）：

X5

（3）j的定義域是。”），值域是[°，+8）：

J一八

_51

（4））'=X'==的定義域是（O,+R）,值域是（0,+8）；

故答案為：R；［0,+8）；{x|xwO}；（0,+oo）；［0,+oo）；［0,+oo）,（0,+co）；

（0,4-oc）.

【題型精練】

1.（2022?北京大興?高一期末）（多選）己知aw卜1』,2,3},則使函數y=丁?的值域為

R,且為奇函數的。的值為（）

A.-1B.1C.2D.3-

【答案】BD

【解析】當。=-1時，y=x-'=p為奇函數，但值域為卜?工0},不滿足條件；

當a=l時，），=不為奇函數，值域為R,滿足條件；

當a=2?時，/為偶函數，值域為卜”之。},不滿足條件；

當。=3時，y=V為奇函數，值域為R,滿足條件.

故選BD.?

2.（2022?河南開封?高一期末）討論下列函數的定義域、值域.

（1）y=x4i（2））,=大；；（3）y=x~3；（4）

【答案】（1）定義域為R，值域為【。,+8）；（2）定義域為［0,+8）,值域為［0,48）;：3）

定義域為（—8,0）J（0，+8），值域為（-8,0）U（0,+8）；（4）定義域為R,值域為［0,48）.

【解析】（1）函數的定義域為R,值域為［0,+。。）.

（2）因為）,=%：=近，所以函數的定義域為［0,+8）,值域為［0,+8）.

（3）因為丁二獷3=」,所以工工0,且＞#（）,所以函數的定義域為

（一8,。）50,內），值域為（F,0）11（0,內）.

（4）因為）,=%：=浮，所以函數的定義域為R,值域為［0,+8）.

【題型四幕函數的性質】

例7（1）（2021?廣西高一期末）塞函數/*）二/的圖象過點（9,3）,那么函數/（八）的單

調遞增區間是（）

A.（-2,+co）B.|-l,4-co）-c.［0,+8）D.（-00,-2）

（2）（2021?安徽高一開學考試）已知哥函數/（"=（＞-3〃?+3）/是偶函數，則/（2）=

（3）（2021?安徽省安慶九一六學校高一開學考試）已知輕函數/（x）=（。-l）x”的圖象過點

（2.81，則〃的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,2)C.(5)D.(1*)

【答案】(1)C(2)4(3)C

【解析】(1)因為塞函數過點(9,3),所以〃9)=9°=3-，解得。=g,所以〃x)=4，

那么可知函數的增區間為?+oo).故選：C

(2)因為函數/(x)為轅函數，所以>-3〃?+3=1,解得〃,=1或〃?=2.

當〃7=1,時，/(x)=x,函數/(X)為奇函數，不合題意;

當〃?=2時，/(x)=x2,函數“X)為偶函數，所以f(2)=4.故答案為:4.

(3)因為系函數/。)=(。-l)x"?的圖像過點(2,8),

,aI_?'“_2

所以，:、,所以<所以/(%)=/，

2=8=3

由廣函數/(x)=d?在R上單調遞增，

所以/S—2)v/(l-3)ob—2<l—2〃，解得：b<\.故b的取值范圍是(ro,D.故選：C.

【題型精練】

1.(2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中)下列函數既是鼎函數又是偶函數的是()■

A.f(x)=3x2-B.f(x)=6

C./(x)=4D.f(x)=x~3

X

【答案】c

【解析】幕函數的圖象都經過點(1,1),排除A；\

/(幻=6與/*)=￡3不是偶函數，排除B,D.故選:C

2.(2022.安徽宣城.高一期中)已知暴函數/3)=(加2-3〃7+3)/'"””在(0,+<)。)上單調

遞增，則m值為.

【答案】2

nr-3m+3=1

【解析】由題意可知<?，解得〃2=2故答案為：2

m-m—\>0

3.(2021.江蘇.高一專題練習)下列比較大小中正確的是().

A.(|)05<(|)0-5

B.(-1)-'<(-|)-,

33

C(-2.1)7<(-2.2)_7

1-I-

D.(-a3<e)3

23

【答案】C

【解析】A選項，)，=產在。+8)上是遞增函數，。嚴<(守5,錯，

B選項,y=小在(-8,0)上是遞減函數,(-±)-'>(-￡)-',錯，

C選項，y=j在(』，0)上是遞增函數，

21---5-33

(-2.1)7=(--)7,(-2.2)7=(--)7,(-2.1V<(-2.2p?對，

D選項，y=j在D+8)上是遞增函數，

(-5=(￥'(不>(，，(-/>(￥’錯,

故選：C.

4.(2022?廣東高一期末)已知事函數/(公=產向過點(3,27),若

/(公+3)+/(9-弘)<0,則實數k的取值范圍是.

【答案】(2,6).

【解析】■

,?啼函數/*)=/“過點(3,27),3一,

/."7=1,'

轅函數八處=爐.，顯然/(幻是奇函數，且在R上單調遞增.

若f(k2+3)+八9-8幻<0?,則不等式即f(k2+3)<八弘-9),

.?.公+3<82-9、:.2<k<6,

故答案為：(2,6).,

【題型五哥函數的綜合運用】

例8(2022?陵川縣高級實驗中學校月考)若幕函數/。)=(2>+,〃-2)0^在其定義域上是

增函數.?

(1)求/(幻的解析式；?

(2)若/(2-/</(/-4),求。的取值范圍.

【答案】(1)〃用=產；(2)同。>2或〃<一3}.

3

【解析】(1)因為f(x)=(2〃/+m-2)pT是呆函數，所以2/+〃L2=1,解得〃2-1或

/〃=1,

又/(x)是增函數，2〃?+1>0即〃?>一5，「.〃?=1,則=

(2)因為/(幻為增函數，所以由."2—〃)</(/—4)可得2-。</一4,解得。>2或

aV—3

。的取值范圍是{《a>2或a<-3}.

【題型精練】

1.(2022,廣東?金山中學高一期中)已知轅函數/(x)=”八吁6(〃yZ)在區間(0,+8)上是

減函數.

⑴求函數/(力的解析式；

⑵討論函數/(力的奇偶性和單調性；

(3)求函數f(x)的值域.

【答案】(1)/(a=￡3或f(x)=/或/("=/

(2)答案見解析

⑶答案見解析

【解析】(1)解：依題意—〃?一6<0,即(2"?+3)(〃z—2)<。，解得一］<〃?<2,因為

/〃eZ,所以〃?=一1或〃z=。或〃?=1,所以f(x)=X”或f(.r)=x-6或/(x)=x-5

(2)解：若〃x)=/定義域為(f,O)U(O,M),則/(x)=/為奇函數，且在(_雙0)和

(0.+“)上單調遞減；

若/(“二月6定義域為(y,0)U(0,y),則/(x)=x、為偶函數，且在(-8,0)上單調遞

增，在(0,+8)上單調遞減；

若/(力=/定義域為(y,0)U(0,y),則f(x)=尸為奇函數,且在(7,0)和(0,+8)上

單調遞減；

(3)若/(x)=E,則/(x)為奇函數，當x>0時/(x)￡(0,+8),所以xvO時

/(A)G(-CO,0),所以函數的俏域為(-e,0)U(0,T8)：

若一(力=/，則/")為偶函數，當x>0時/(x)e(0,+8),所以工<()時/(x)e(O,+⑹，

所以函數的值域為(0,+8)：

若/(x)=E，則/(x)為奇函數,當x>0時/(x)e(O,y),所以x<0時/(x)w(fo),

所以函數的值域為(-8,0)U(0,+oo)：

2.(2022?全國?高一課時練習)已知哥函數y=/*)=/—-￡(〃蚱z)在(。,+8)是嚴格減

函數，且為偶函數.

(1)求y=/(x)的解析式;

(2)討論函數產數(%)+(a-2)戶/