重難點(diǎn)10 函數(shù)易錯(cuò)題九大題型-人教B版高中數(shù)學(xué)講義（必修一）

重難點(diǎn)10函數(shù)易錯(cuò)題九大題型匯總

EB題型解讀；

ESi滿分技巧!

技巧一?不理解函數(shù)的定義

理解函數(shù)的定義，一定要抓住的要點(diǎn)事一對一，或者多對一.

技巧二.忽略定義域的函數(shù)

在求解定義域問題時(shí)，主要定義域代表的是X的范圍.

技巧三.求解與函數(shù)有關(guān)的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則

研究與函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要先明確函數(shù)的定義域是什么，才能進(jìn)行下一步工作。

技巧四.處理二次型函數(shù)忽略討論系數(shù)是否為零

處理二次型函數(shù)需要優(yōu)先要論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零

技巧五.判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，易忽略檢驗(yàn)函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱

判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系得到結(jié)論;

技巧六.抽象不等式忽略函數(shù)的定義域

在解決抽象不等式的問題時(shí)，需要注意函數(shù)的定義域

技巧七.解決分段函數(shù)的單調(diào)性時(shí)忽略端點(diǎn)值

在解決分段函數(shù)別的單調(diào)性時(shí)，注意端點(diǎn)值大小的討論

技巧八.復(fù)合函數(shù)忽略討論根號(hào)里的范圍

在解決復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與最值問題時(shí)，注意小球定義域

雄M題型提分練/

題型1不理解函數(shù)的定義

【例題1]（2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)校考期末）已知集合力=[0,+co）,F=口+8）,下

列對應(yīng)關(guān)系中從A到B的函數(shù)為（）

A./:xy=xB./:x->y=x2

C./:x->y=2xD.f:xy=2x+2

【答案】D

【分析】結(jié)合函數(shù)的值域和定義域之間的關(guān)系，根據(jù)因數(shù)的定義分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】對于A,在對于關(guān)系f：%ty='中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0,則集合8中沒有元素和x對應(yīng)，不是從集

合力到集合8的函數(shù)，故A錯(cuò)誤，

對于B,在對于關(guān)系-y=/中，當(dāng)％=0時(shí)，y=0,則集合B中沒有元素和%對應(yīng)，不是從集合A到集

合8的函數(shù)，故B錯(cuò)誤，

對于C,在對于關(guān)系-y=2z中，當(dāng)x=0時(shí)，y=0,則集合B中沒有元素和x對應(yīng)，不是從集合4到集

合E的函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

對于D,在對于關(guān)系%->y=2x中，因?yàn)楣[0,+OO）,所以yG[2,+oo）[1,4-co）,且則集合力中任意一

個(gè)元素x在集合8中都有唯一的元素與之對應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，是從集合力到集合8的函數(shù)，故D正確，

故選：D.

【變式1-1】1.（2022秋?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中）已知力=（x\l<x<2],B=[y\l<y<4],下列對

應(yīng)法則不可以作為從4到8的函數(shù)的是（）

A.x-?y=2xBy=x2

C.f:%Ty=]D./:x->y=|x-4|

【答案】C

【分析】求出每個(gè)選項(xiàng)中對應(yīng)法則中y的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)1WxW2時(shí)，y=2%W[2,4],且[2,4]G8,A中的對應(yīng)法則可以作為從力到8的

函數(shù)；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)1Wx<2時(shí)，y=/€[1,4],且B=[1,4],B中的對應(yīng)法則可以作為從4到8的函數(shù);

對于C選項(xiàng)，當(dāng)1WxW2時(shí)，y=江區(qū)1],且畛,1]C8,C中的對應(yīng)法則不能作為從4到8的函數(shù)；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)1W%W2時(shí)，-3Wx-44一2,則y=|x-4|￡[2,3],且[2,3]GB,

D中的對應(yīng)法則可以作為從A到8的函數(shù).

古嫡：C.

【變式1-1】2.（2020?浙江杭州?高一期末）若函數(shù)y=f（%）的定義域?yàn)椴穦一3三％W8/手5},值域?yàn)?/p>

{y|-1<y<2,y*0},則y=/[x）的圖象可能是（）

【分析】利用函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合即可對選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】選項(xiàng)A中，當(dāng)％=8時(shí)，y=0,不符合題意，排除A;選項(xiàng)C中，存在一個(gè)x對應(yīng)多個(gè)y值，不

是函數(shù)的圖象，排除C;選項(xiàng)D中，x取不到0,不符合題意，排除D.

故選：B.

【變式1-1]3.（多選）（2023秋?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）下列是函數(shù)圖象的是（）

【答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，進(jìn)行分析判斷即可得解..

【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)不只有一個(gè)y和它對應(yīng)，

因此不能出現(xiàn)一對多的情況,所以C不是函數(shù)圖象，ABD是函數(shù)圖象.

故選:ABD.

【變式1-1]4.（2023秋?上海徐丁?高一上海中學(xué)校考期末）下列進(jìn)口車的車標(biāo)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)圖

像的是().

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)自變量與因變量一對一或多對一的特征判斷.

【詳解】函數(shù)圖像滿足：自變量在它的允許范圍內(nèi)取定一個(gè)值時(shí)，在圖像上都有唯一確定的點(diǎn)與它對應(yīng).

選項(xiàng)D的進(jìn)口車的車標(biāo)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可以看成函數(shù)圖像，其它三個(gè)選項(xiàng)都不滿足條件.

故選：D

題型2忽略定義域的含義

【例題2](2023秋?吉林?高T春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末)若函數(shù)八燈的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)g(x)=

+2)的定義域?yàn)?)

A.[-2,2]B.[0,2]C.[2,6]D.[2,4]

【答案】A

【分析】由函數(shù)/C)的定義域，可得0<x+2<4,求出x的范圍，即可得到函數(shù)g(x)的定義域.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)的定義域?yàn)閇0,4],

所以0?x+2?4,解得一2?丫42,

所以函數(shù)g(x)=/(x+2)的定義域?yàn)閇-2,2].

故選：A.

【變式2-1J1.(2022秋?山東威海高一山東省文登第一中學(xué)校考期末圮知函數(shù)y=f(%)的定義域?yàn)閇-8,1],

則函數(shù)g(x)=卓等的定義域()

A.[-p-2)U(-2,0]B.[-8,-2)U(-2,1]

C.(-oo,-2)U(-2,3]D.[-p-2]

【答案】A

【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)的定義域可得出關(guān)于%的不等式組，由此可解得函數(shù)9(切的定義域.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(幻的定義域?yàn)椤?,1],對于函頻(幻=彗2,

則有「8^2x+l<1,解得％v_2或-2<x<0.

因此,函數(shù)儀外的定義域?yàn)椴罚?2)U(-2,0].

故選：A.

【變式2-1]2.(2023秋?遼寧本溪?高一校考期末)若函數(shù)y=f(幻的定義域是[1,2023],則函數(shù)以外=

安的定義域是()

X—1

A.[0,2022]B.[-1,1)U(1,2022]

C.(1/2024]D.[0,1)U(1,2022]

【答案】D

【分析】由抽象函數(shù)定義域相關(guān)概念可得答案.

【詳解】因y=八外的定義域是[1,2023],

則由gG)=與平可得：｛1<x+l<2023r0<x<2022

x-1*0Ix1

則g(x)定義域?yàn)椋篬0,1)U(1,2022].

故選：D

【變式2-1]3.(2022秋?甘肅蘭州?高一校考期末)若函數(shù)/(%)的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)g(幻=/(%+2)+

器的定義域?yàn)?)

A.(1,2)B.(1,4)C.(1,2]D.(1,4]

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于無的不等式組，由此可解得的數(shù)gG)的定義域.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/'(%)的定義域?yàn)閇0,4],

對于函數(shù)儀幻=/(無+2)+泰，則｛°陽藍(lán)4，解得1K2，

即函數(shù)儀外=/(%+2)+的定義域?yàn)?1,2].

古姆：C

【變式2-1]4.(2023秋?山東威海?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)fQ)的定義域?yàn)?1,2),則/(%-1)的定義域

為

【答案】(0,1)

【分析】通過函數(shù)“外的定義域可得fa+1)中1vX+1v2,解出即可.

【詳解】由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,2)得1VxV2,

，對于/a+1)有1Vx+1<2,

0<x<1,即/a4-1)的定義域?yàn)?0,1).

故答案為：(0,1).

【變式2-1J5.(2023秋?江蘇揚(yáng)州?高一期末)已知函數(shù)/(2x-3)的定義域?yàn)?設(shè)函數(shù)FQ)=-^==，

則函數(shù)F(x)的定義域是

【答案】(1,3]

【分析】由“2%-3)的定義域得出一5<2x-3<5,進(jìn)而由｛-51r2；胱得出所求

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(2X-3)的定義域?yàn)閇—1,4],所以T<x<4,-5<2x-3<5

即｛一言>2；眈，解得lv*.w3

故函數(shù)FQ)=壽*,則函數(shù)“切的定義域是(1,3]

VOX-7

故答案為：(L3]

題型3求函數(shù)解析式忽略函數(shù)的定義域

[例題3]2023秋?四川成都?高一校考期末)已知f(y-1)=T,則/(幻=

【答案】("+17，絲-1

【分析】用換元法求解函數(shù)解析式.

【詳解】令t=?-1,其中￡e|l,+00),則X=(￡+1)2,即f?=Q+1)2

故答案為：(X+1)2,XN—1.

【變式3-1】1.(多選)(2022秋?吉林長春?高一校考期末)已知函數(shù)f(%)滿足fG)=箸，則關(guān)于函數(shù)

/G)正確的說法是()

A.不等式f(x)>2的解集為(-1,0)B./⑺值域?yàn)椋鹹|y工1且？H2｝

C.f(2)=gD.f(x)的定義域?yàn)椋麆漻*-1｝

【答案】ABC

【分析】換元法求得/⑶=1+:且｛小豐0且％*-1｝即知D正誤，解分式不等式判斷A,根據(jù)分式型函

數(shù)的性質(zhì)求值域并求/(2)的值.

【詳解】令t=§工。則》=;，故f(t)=釣=譽(yù)，即f(%)=1+上且｛Mx豐0且工工一1｝,D錯(cuò)誤；

XC-+11十11"TX

所以f(%)=1+*>2,即一自>0,故+1)<0,得T<X<0,A正確；

由/(%)=1+W且口氏*。且匯豐一1｝/則值域?yàn)椋鹹|y*1且y*2｝,B正確；

"2)=1+擊=1c正確.

故選：ABC

【變式3-1]2.(2022秋?河北石家莊?高一統(tǒng)考期末)已知/?(夜=1)=x+l,則函數(shù)f(x)=.

【答案】無2+2,無之0

【分析】采用換元法，令^/^二T=t,(t>0),即可得/“)二尸+2,即可求得函數(shù)解析式.

【詳解】令4一1=t,(t20),則％=t2+1,

故/(t)=t2+l+l=t2+2,即f(x)=x2+2,x>0,

故答案為：/+2,x>0.

【變式3-1］3,(2022秋?黑龍江大慶?高一大慶外國語學(xué)校校考期末港+1)=%+4，則”3)=

【答案】6

【分析】首先求函數(shù)〃為，再求f(3)的值.

【詳解】設(shè)y+1=t>1,則五=t-1

所以f⑷=。-1/+t-1=產(chǎn)-t,gP/(X)=X2-X,(X>1),

/(3)=32—3=6.

故答案為：6

【變式3-114.(2022春?云南曲靖?高一校考期末)已知函數(shù)G(y+2)=x+26+1.

(1)求函數(shù)次外的解析式；

(2)g/(x)=若巴，若存在xG［2,3］使/(%)-奴30成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】(1)。(幻=(工一1)2(工工2)；

⑵卜也+8)

【分析】(1)由配湊法得g(e+2)=(6+2-1)2,再結(jié)合日+2>2,即可求出g(x)的解析式;

(2)先求出“幻，將題設(shè)轉(zhuǎn)化為k1在xG［2,3］上有解，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值

即可求解.

22

【詳解】(1)^(7%+2)=x+2y+1=(Vx4-1)=(Vx4-2-1)，則g(x)=(%-1尸，又、+2>2,

則。(勿=(%-1)2(%22)；

(2)/?(%)=*衛(wèi)==%+：-4(%22),又存在X6［2,3］使/■(%)-kx<0成立，即kN-+

1在Xe［2,3］上有解，

令￡=/設(shè)九(t)=t2—4t+1=(t—2)2—3,易得h(t)在單減,貝必(t)min=h(￡)=-

即AN-［故實(shí)數(shù)k的取值范圍為［一+8).

【變式3-1]5.（2023秋?新疆烏魯木齊?高一烏魯木齊101中學(xué)校考期末）若函數(shù)/1+3=/+/且

fM=4,則實(shí)數(shù)zn的值為（）

A.V6B.遙或-歷C.—V6D.3

【答案】B

【分析】令'+：=乙配湊可得f⑴="-2,再根據(jù)/（m）=俅解即可

【詳解】令》+§=￡（tN2或tW-2）*+點(diǎn)=卜+y-2=產(chǎn)一2/./（t）=C2-2,f（m）=m2-2=4,

m=+V6.

故選；B

題型4二次函數(shù)相關(guān)問題忽略討論二次項(xiàng)系數(shù)為“0”

【例題4]（2023秋嚀夏銀川?高一校考期中）若函數(shù)y=涓蕓云的定義域是一切實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍是（）

A.（0,+8）B,（-0）,0]C.[o,^）D.（o,1）

【答案】C

【分析】由題意可知,對任意的x￡R,kx2+4kx+3工0恒成立，分k=0、kH0兩種情況討論，結(jié)合已

知條件可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f（%）=-2rxM的定義域?yàn)镽，

KX"T*TKXTO

所以，對任意的叉eR,kx2+4kx+3H。恒成立.

①當(dāng)k=。時(shí)，則有3=0,合乎題意；

②當(dāng)k工0時(shí)，由題意可得△=16k2-12k<0,解得0<kV4

綜上所述，實(shí)數(shù)A的取值范圍是[o，）.

古嫩：C.

【變式4-1】1.（2022秋?河南洛陽?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)f（x）=J（Q-1）產(chǎn)一ax十1的定義域?yàn)镽,

則a的取值范圍為()

A.(2}B.［1,2］C.(2,+oo)D.［2,+oo)

【答案】A

【分析】先驗(yàn)證a=1時(shí)的情況，再當(dāng)aH1時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解.

【詳解】當(dāng)a=1時(shí)，/'(%)=V-A+1,定義域不為R；

當(dāng)a裝1時(shí)，若函數(shù)f(x)=J(Q-1)%2-QX+1的定義域?yàn)镽,

則1=(-泥/3"0，解得"2

故選：A.

ax2+2x,x>—1

【變式4-l】2.(2023秋四川成都高一校聯(lián)考期中)已知f(x)=小?滿足也,小eR,

??(1-3a)x-x<—1?

與。乃，都有巫必>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

Xi-X2

【答案】［0,

【分析】由題意得到/(%)的單調(diào)性，從而利用分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

【詳解】因?yàn)椤闞,X】工上,都有“必)一"小)>0,

xl~x2

所以/(x)在R上為增函數(shù)，

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=L3>x<_1,易知函數(shù)/(%)在R上為增函數(shù)；

a>0

--<-1i

1l3a>0，解得"a<

{(l-3a)x(-l)-1<a-2

綜上，04aWJ則a的取值范圍為［0,力

故答案為：［0,；］.

【變式4-1】3.(2023春?上海金山?高一統(tǒng)考階段練習(xí))設(shè)“幻=心一(0+1次+1,%￡(-1,0,若函

數(shù)y=f(x)在定義域上滿足：①是非奇非偶函數(shù)；②既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；③有最大值，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

【答案】(-8,-i)u(-1,-m

【分析】對①：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得a*-1；對②：分類討論可得二次項(xiàng)系數(shù)小于零，且對稱軸為x=

等6(一;《)，求出a的取值范圍；對③：結(jié)合②中所求的范圍驗(yàn)證即可.

【詳解】對①:f(x)4-/(-X)=[ax2-(a+l)x+1]+[a(-x)2-(a+l)(-x)+1]=2(ar2+1)*0,

即/G)*-/(-x),

故/(、)不是奇函數(shù)；

若/(%)是偶函數(shù)，則f(%)-f(一X)=[ax2-(a+l)x4-1]-[a(-x)2-(a4-l)(-x)+1]=-2(a4-l)x=0,

可得a+1=0,即a=-1；

故若f(%)是非奇非偶函數(shù)，貝!Ja=-1；

對③：若/(外在(-：*)上有最大值，則有：

當(dāng)a=0時(shí)，則/'CO=t+1在(后看)上單調(diào)遞減，無最值，不合題意；

當(dāng)aH0時(shí)，則/?(%)=ax2-(a4-l)x+1為二次函數(shù)且對稱軸為x=誓，

由題意可得｛_工V絲1V1,解得Q<--,

I22a2

故若人外在(―：，)上有最大值，則a<；

對②：若aV則八幻二Q/-(a+l)x+1開口向下，且對稱軸為x=翳￡,

故/(%)在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,-1)u(-1,一)

故答案為：(-8,-1)U(一1,一：).

【變式4-1】4.(2023秋?上海浦東新?高一華師大二附中校考期末)若二次函數(shù)/(%)=ax2+2(a-l)x+2

在區(qū)間(-8,4]上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】(0,1]

(a>0

【分析】由題知，再解不等式組即可得答案.

I2a~

【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)八為)=ax2+2(a-l)x+2在區(qū)間(-8,4]上為嚴(yán)格減函數(shù)，

(a>0(a>01

所以，_2(。-1)>4，即｛0VaW；解得。<a<-,

V2a—I-5

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,才

故答案為:(0中

【變式4-1]5.(2023秋?上海松江?高一上海市松江二中校考期末)已知函數(shù)f⑺=x,gW=ax2-x,

其中Q>o,若對任意的%]G[1,3]，總存在%2G[1,4],使得f(石)/(%2)=9(巧)或小)成立，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是

【答案】圖

【分析】根據(jù)題意可得Q-2=工，分別求兩邊的范圍，利用子集關(guān)系，得到結(jié)果.

x2x\

222

【詳解】由f(Xi)f(>2)=g(M)g(%2)可得=(axj-41)(。工22-12)，化簡得：aX1x2-ax^x2-

ax^2=0,

+

因?yàn)閍>0,e[1,3],x2e[1,4],所以-工2--&=。，即。=生孑V1

XLX2X1x2

所以，a—=已因?yàn)?，且。一3[。一1，"力,

因?yàn)閷θ我獾拇騂1,3],總存在*G口川，有Q-2=工成立,

x2X1

r,ir.-i(^>a-1

所以，片1]G[Q—1,QT，所以」

所以，祥a轉(zhuǎn)，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是居]

故答案為：生弓

題型5由奇偶性求解析式忽略“x”的范圍

【例題512023秋?福建福州?高一福建省福州格致中學(xué)校考期中月知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)％<0

時(shí)，fM=x2+2x;貝!]當(dāng)％>0時(shí),/(%)=

【答案】x2-2x

【分析】當(dāng)％2o時(shí)，T40,先寫出函數(shù)y=/(T)的解析式,再利用函數(shù)為偶函數(shù)，即可寫出分段因數(shù)的

解析式.

【詳解】由已知可得，當(dāng)XN0時(shí)，一工工0,/(一0=%2-2x=f(x),

即當(dāng)x>0時(shí)J(x)=x2-2x；

故答案為：x2-2x

【變式5-1J1.(2022秋?海南海口?高一海口一中校考期中H知函數(shù)y="的為奇函數(shù)目當(dāng)X>0時(shí)/(幻=

x2-2%+3,貝I當(dāng)」％<。時(shí),fM=

【答案】-x2-2x-3

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)為奇函數(shù)，

所以當(dāng)不<0時(shí)J(x)=-/(-X)=-(%2+2%+3)=-x2-2x-3,

故答案為：———2x—3

【變式5-1]2.(多選)(2023秋?廣西桂林?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)工工0

時(shí)/⑺=r2一2%,貝(]()

A./(%)的最大值為1B?/(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增

C.fW>0的解集為[-2,2]D.當(dāng)》>0時(shí)，/■(%)=/—2%

【答案】AC

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義以及部分解析式可求得函數(shù)f(x)=仁”;；與x；:，畫出函數(shù)圖象即可求得

其值域及單調(diào)性，結(jié)合圖象進(jìn)行不等式求解.

【詳解】根據(jù)題意可知當(dāng)X>0時(shí)，T40,所以/'(T)=-(-r)2-2(-x)=-x2+2x；

又因?yàn)?(%)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/■(%)=/(-X)=-/+2x；

因此，出二仁2；2善■易知選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

畫出函數(shù)/?(%)的圖象如下圖所示:

由圖可知，/(幻的最大值為1,即A正確；

易知外%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，即B錯(cuò)誤；

結(jié)合圖像可知/■(%)>。的解集代表的是函數(shù)圖象在無軸上方部分對應(yīng)的自變量的取值范圍，即x€[-2,2],

所以>0的解集為[-2,2],即C正確.

故選：AC

【變式5-1]3.(2023秋?北京?高一校考期中)已知/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)“e[0,+8)時(shí)，f(x)=

/+2x,則/(-1)=，當(dāng)工￡(-8,0)時(shí)，/(%)二.

【答案】-3-%2+2%

【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義分析求解.

【詳解】由題意可得：/(-1)=-/(D=-3；

當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，則一%>0,

所以/(%)=-/-(-X)=-[(-X)2+2(-x)]=-x2+2x；

故答案為：-3；-x2+2x.

【變式5-1]4.(2023秋?陜西西安?高一統(tǒng)考期末)已知y=f3是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0B寸J(x)=

x2+2x.

(1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,7九-1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】⑴3)=1%2黑黑;

(2)I：0,2]

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義和已知區(qū)間上的解析式，可得所求解析式；

(2)作出函數(shù)y=f(x)的圖象，從而得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由題意列不等式求解,即可得答案.

【詳解】(1)設(shè)x>0,則r<0,所以/(r)=/一2%,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(均是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(無)=-/(-x)=-X2+2x,

所以函數(shù)人均在R上的解析式為f(幻=,

(2)作出函數(shù)y="幻的圖象，如圖所示，

由函數(shù)圖象可知，y=/(%)在[-L1]上單調(diào)遞增，

根據(jù)題意得/—1<TH—1<1,解得0VmW2,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,2].

【變式5-1]5.(2022秋?安徽蕪湖?高一安徽省無為襄安中學(xué)校考期中)已知y=f(x)是定義在R上的奇函

數(shù)，當(dāng)為N0時(shí)，/(%)=x2-2%;

(1)求/?(1)，〃-2)的值；

(2)求f(%)的解析式.

【答案】=,f(-2)=0

_(x2—2x,(x>0)

=l-x2-2x,(%<0)

【分析】(1)根據(jù)題意，求出/(I)的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得答案；

(2)令xV0,則-%>0,利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出f(%)的表達(dá)式，綜合可得答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，當(dāng)xN0JG)=爐-2x,則f(1)=12-2=-1,

f(?)是奇函數(shù),則八一2)=一/⑵=0.

(2)令x<0,則一%>0,由已知/(一幻=(-x)2-2(-x)=%2+2x,

??/(%)是奇函數(shù),

.??當(dāng)x<。時(shí)，/(x)=-/(-%)=-x2-2%,

.心_"-2x,(x>0)

一八)一(一產(chǎn)一2項(xiàng)。<0)

題型6判斷函數(shù)奇偶性忽略求定義域

【例題6](2023秋湖南婁底?高一校考期末)已知f(%-1)=x+

(1)求/(%)的解析式及定義域；

(2)求f(%)的值域，單調(diào)區(qū)間并判斷奇偶性.(不要求寫理由，只寫結(jié)果)

【答案】Q)/(x)=x+：+1,定義域?yàn)閧RxH0};

(2)詳見解析.

【分析】(1)利用配湊法求/(%)的解析式，根據(jù)解析式求定義域；

(2)由定義法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，得函數(shù)值域；由定義法判斷函數(shù)奇偶性.

【詳解】(1)因?yàn)閒(%—1)=X+-7-7=X—1+-^―+1,

X-1X-1

所以f。)=x+^+1.

函數(shù)f(x)有意義，則%*0,

所以/(%)的定義域?yàn)閧x|x*0}.

因?yàn)?■(%)=，任取

(2)x+-+10<<%2r

所以/(“】)—〃M)=必+：+1-(乃+《+1)=,

?*1\42，xlx2

由0<%1V%2，可得%1-X2<0,XjX2>0,

xx

當(dāng)0<Xi<X2<1時(shí)，-1<o；當(dāng)1<X1V%2時(shí)，l2-1>0/

所以當(dāng)0</VX2Vl時(shí)，/。1)一/(%2)>0，f(不)>f(必)，

當(dāng)1v多<工2時(shí)/fM-f(小)<oJG>)v/(不),

所以/(無)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,f⑴=3；

同理，/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,0)上單調(diào)遞減,/(-I)=-1；

所以/(%)值域?yàn)?-8,-1]U[3,+CO);

v/(x)-f(-x)=x+^+1-(-x+^+1)=2X4-|^0,即f(x)*f(-x),

fW+/(-x)=x+3+l+(T+/+l)=2HO,即/(X)豐-/(-x),

所以f。)為非奇非偶函數(shù)；

所以函數(shù)/■(%)的值域?yàn)閁[3,+8)；單調(diào)增區(qū)間為(一8,-1),(1,+8)，單調(diào)減區(qū)間為(一1,0),(0,1)；

/(%)為非奇非偶函數(shù).

【變式6-1]1.(2022秋?江蘇連云港?高一統(tǒng)考期中)已知/Q)=x|x-2m\+x,meR.

(1)判斷f(%)的奇偶性并說明理由；

(2)當(dāng)％e[0,1]時(shí)，/?(%)的最大值為2,求m的值.

【答案】Q)當(dāng)m=0時(shí)，/'(%)是奇函數(shù)；當(dāng)加工0時(shí)，"X)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，理由見解析

(2)m=0或m=1.

【分析】(1)分加=0與mH0兩種情況分別判斷即可；

(2)去絕對值將函數(shù)改為分段函數(shù)，再分情況討論二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)函數(shù)/(切的定義域?yàn)镽,

當(dāng)m=0時(shí)，f(x)=x\x\+X,因?yàn)閒(r)=-x\-x\-x=-x\x\-X=-/(%),

所以/(%)是奇因數(shù).

當(dāng)?n*0時(shí),f(-l)=-|1+2m\-1,f(l)=|1-2m\+1,

可知/(一1)0/(I),/(-I)*-/(I),所以/(%)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).

(2)由題意得/(%)=廣2工:21)］>2m,

+(1+2m)x,x<2m,

當(dāng)m-即一1Wm4時(shí),

/G)在R上是增函數(shù)，

當(dāng)27n<m,即zn<-g時(shí)，

f(x)在(m-+8)上是增函數(shù);

因?yàn)楦唬簐o,所以f(x)在［0,1］上是增函數(shù);

當(dāng)2m>m,即m>:時(shí)，

八%)在(一co,m+｝上是增函數(shù)；

因?yàn)閙+1>1,所以f(x)在［0,1］上是增函數(shù)；

故當(dāng)為G［0,1］時(shí)JQ)的最大值為/⑴=|l-27n|+l=2,

解得7M=0或1.

【變式6-1］2.(2022秋?上海浦東新?高一校考期中)已知函數(shù)/*(幻=x+&，其中Q,bER.

(1)討論函數(shù)f(%)=x+&的奇偶性，并說明理由；

(2)若a<^,b=0,判斷函數(shù)y=/(%)在［1,+8)上的單調(diào)性，并證明.

【答案】Q)見解析

(2)單調(diào)遞增，證明見解析

【分析】(1)由奇偶性的定義求解，

(2)由單調(diào)性的定義證明，

【詳解】(1)以幻的定義域?yàn)?戊Hb］,

當(dāng)￡工。時(shí)，f(%)為非奇非偶函數(shù)，

當(dāng)匕=0B寸,/(x)=%+/J(r)=-無+委，

令/(r)=~fW，解得a=0，令f(r)=f(%)，得a無解，

綜上，當(dāng)Q=b=0時(shí)，/(%)為奇函數(shù)，

當(dāng)a工0或匕=0時(shí)，/(均為非奇非偶函數(shù)，

(2)/(x)=%+￡,設(shè)《,426[1，+8)/且XI<x2,

則/(%2)-f(%l)=%2+考一(%1+3)=(%2-%1)(1-"*?)).

由^5^=772+<2,a<孑導(dǎo)1->°，而2%—>°，

故/(4)一/■&])>0,y=f(x)在[1,+8)上單調(diào)遞增

【變式6-1]3.(2022秋?浙江?高一舟山中學(xué)校聯(lián)考期中)設(shè)函數(shù)“X)=芹a€R.

4X,一1

⑴討論函數(shù)f(x)的奇偶性(寫出結(jié)論,不需要證明)；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于%的方程/(*)=1有唯一解？若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍：若不存在,

請說明理由.

【答案】(l)a=0時(shí),/(%)為奇函數(shù)；a。0時(shí)，/(%)為非奇非偶函數(shù)

(2)存在，卜1,W)U(/2)U{-畜

【分析】(1)討論a的取值，根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性；

2

(2)利用換元法，設(shè)”六，將關(guān)于x的方程f(含)=1有唯一解轉(zhuǎn)化為9(。=4t-t-l/y=a的圖象

在t6(0,0uQ,1)上只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，可得答案案.

【詳解】(1)a=0時(shí)，/'(%)=蠟7?滿足f(-x)=-f(%),/()為奇函數(shù)；

-x+a

aH0時(shí)，f(r)=^776-/(x)J(-x)=豐fw，/(%)為非奇非偶函數(shù).

4X2-1

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于煙方程/(*)=1有唯一解，即藥+a

4?島)2-1

不妨設(shè)t=去，由題意可得，*€(°,)u&1),

整理可得：Q=4/一C-1在t￡(0,1)UG，1)上有一個(gè)根，

設(shè)g(t)=4嚴(yán)一￡一1,作出其在「G(o,1)UG，1)內(nèi)的圖象，

如下圖所示，若X的方程/(六)=1有唯一解，則g(t)=4t2-t-l,y=a的圖象在tG(o,1)U&1)上只

有一個(gè)交點(diǎn)，

則a的取值范圍是卜1,-3U(-Q)U{一部

故存在aE卜1，一》U(后,2)U{-高，使得關(guān)于x的方程f(舟)=1有唯一解.

【變式6-1]4.(2022秋?廣東東莞?高一校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(%)=慧.

(1)判斷函數(shù)/(%)是否具有奇偶性？并說明理由；

(2)試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：/(%)在(-1,+8)上是增函數(shù)；

(3)求函數(shù)在區(qū)間[1,4]上的值域.

【答案】Q)函數(shù)f(%)不具有奇偶性；理由見解析；

(2)證明見解析；

⑶[.

【分析】(1)通過定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱來判斷奇偶性；

(2)任取xl,x26(-1,+8)，且xl<x2,通過計(jì)算f(xl)-f(x2)的正負(fù)來判斷單調(diào)性；

(3)通過因數(shù)/(外在區(qū)間［1,4］上的單調(diào)性求得最值即可.

【詳解】(1)由已知3+1*0,故x*-1

函數(shù)/(%)定義域?yàn)?-8,-1)U(-l,+oo),

因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

所以函數(shù)f(%)不具有奇偶性；

(2)證明：/(X)=—=2(x+1)-5=2--,

八/x+lX+lX+1

任取xl,x2e(-1,+8),且xl<x2

f(xl)-f(x2)=(2-^_)-(2-^)

__J___5=5a1+1)-5(必+1)

-X2+lXi+11(Xi+l)(X2+l)

=5&T2)

"

(*I+1)(X2+1)，

又由-1<xl<x2,KOX1-X2<0,xl+l>0,x2+l>0,

故f(xl)?f(x2)<0,BPf(xl)<f(x2),

所以f(x)在(?1,+8)是增函數(shù)；

(3)由(2)知,f(x)在［1,4］上單調(diào)遞增,

所以f(x)min=Rl)=-1f(x)max=f(4)=1,

故f(x)在［1,4］上的值域是"，1］.

【變式6-1］5.(2023秋?北京?高一校考期中)已知f(x)=

(1)判斷函數(shù)f(行的奇偶性，并說明理由；

⑵求證：函數(shù)/(外在區(qū)間(1+應(yīng),+8)上單調(diào)遞增.

【答案】(1)/(%)是非奇非偶函數(shù)，證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)f(%)的定義域，即可得出結(jié)論；

(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.

【詳解】(1)解：由X-100,可得函數(shù)八切的定義域?yàn)?一8,1)U(l,+8).

因?yàn)?-8,1)U(1,+8)不關(guān)于原點(diǎn)對稱,

所以函數(shù)f(X)不具有奇偶性，即f(%)是非奇非偶函數(shù).

（2）證明：Vxlx工26（1+或,+8）,且與<x2,

由/⑴==1=/-1+2

=x+l

X-1x-1

可得f（右）-f（*）=[I+1+看）一12+1+云）=（X!-X2）[1-鼠T）

（…*2）[（必-1）（*2-1）-2]

（3-1）（小一1）

因?yàn)檠?>Xj>1+V2,所以丫2—1>—1>A/2,且丫1—x2<0,

（X1-0）【（必一1）02-1）-210

所以/■（無1）一/（x2）=

（*1-1）（七一1）

即八/)>f(&)，亦即函數(shù)/(幻在區(qū)間(1，+8)上單調(diào)遞增.

題型7抽象不等式忽略函數(shù)的定義域

【例題7](2023秋?寧夏銀川?高一寧夏育才中學(xué)校考期中)蹴/■(*)的定義域?yàn)閇-3,4],且在定義域內(nèi)是

增函數(shù)，若f(2m-1)-/(I-m?>0,則m的取值范圍是

【答案】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性逆用解抽象不等式.

【詳解】由/'(2m-1)-/(I-m\>。得f(2m-1)>/(I-m),

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇-3,4],且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，

2m—1>1—m

所以—3<2m—1<4,解得|<m,

—3<1—m<4

所以m的取值范圍是f<m<l，

J乙

故答案為：:〈mW：.

【變式7-1］1.(2021秋?云南昆明?高一昆明八中校考期中)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)椋?2,2］的偶因數(shù)，

且函數(shù)/(、)在區(qū)間［-2,0］上單調(diào)遞增，若/(1一7九)一vo,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.&+8)B.(-8,￡)C.［-1,0D.(-1,0

【答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性和單調(diào)性可知/(幻在［0,2］上單調(diào)遞減；根據(jù)函數(shù)值的大小關(guān)系可得不等式|1-刈>|m|,

又目變量需符合定義域要求，可得不等式組，解不等式組求得結(jié)果.

【詳解】??"(%)是定義在［-2,2］上的偶函數(shù)且在［-2,0］上單調(diào)遞增

???/?(%)在［0,2］上單調(diào)遞減,

由/(1-m)-/(m)<0,

|1-m|>|?n|

則/(I-2m)Vf(m)得：一241一m工2

—2<m<2

解得：-1WmVg

古嫡：C

【變式7-1】2.(2023秋?寧夏銀JI卜高一銀川二中校考期中)已知函數(shù)y=/(%),xe［-2,2］,對任意的飛

x2￡［-2,2］且與H4，總有蛆止3>0,若汽m+1)>f(2m),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

X1-X2

【答案】［一1,1)

【分析】分析可知,函數(shù)/G)是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，根據(jù)/(m+1)>f(2m)可得出關(guān)于實(shí)數(shù)m的不等

式組,由此可解得實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【詳解】對對任意的與、小e［-2,2］且修牛x2,總有駕山>0,

不妨設(shè)X1>%2，則/(%1)—不工2)>0，即f(%1)>不力2)，

所以,函數(shù)/(%)是定義在［-2,2］上的增函數(shù)，

(-2<2m<2

因?yàn)?(m+1)>/(2m),則一2<m+l<2,解得-1<m<1.

(2/71<771+1

因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是

故答案為：［-1,1).

【變式7-1］3.(2022秋?黑龍江佳木斯?高一佳木斯市第二中學(xué)校考期中)已知定義域?yàn)椋?2,2］的函數(shù)/(%)

在［-2,0］上單調(diào)遞增，且/(外+八一x)=0,若/(一1)=-1,則不等式/"(2%-1)<:的解集為.

【答案】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，得到函數(shù)fG)在［-2,2］上單調(diào)遞增,再利用單調(diào)性的定義求解.

【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?2,2］的函數(shù)/(%)在［-2,0］上單調(diào)遞熠，且/(%)+/(-x)=0,

所以函數(shù)f(x)在［-2,2］上為奇函數(shù)，且在［-2,2］上單調(diào)遞增，

又“-1)二一1所以

又不等式f(2X-1)<持價(jià)于/(2x-1)4/(I),

所以一2<2x—1<1,解得一<x<1z

所以不等式f(2x-1)<:的解集為卜：，1］.

故答案為：［—pl］

【變式7-1］4.(2022秋?江蘇南京?高一南京師大附中校考期中)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)閰^(qū)間,

且圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對稱.當(dāng)1<%<3時(shí)JQ)=%+1-1則滿足f(無-1)+/(X)<2的x的取值范

圍是()

A.［-1,1］B.g,+oo］C.［0,1］D.［1,3

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的條件，可得f(2-％)+/(?=2,再與已知聯(lián)立結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式作答.

【詳解】因函數(shù)/(乃的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)中心對稱，則有f(2-幻+/(%)=2,而f(%一1)+f(x)<2,

于是得-1)+f(x)<f(2-x)+f(x),即/(%-1)</(2-x),

又當(dāng)1<x43時(shí)，f(x)=x+l-^,有"%)在(1,3］上單調(diào)避增，則在［一1,1)上單調(diào)避增，

而/(l)=1/因此函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，于是得一1<x—1<2—x<3,解得0<x<|,

所以滿足fa-1)+f(x)W2的X的取值范圍是［03

故選：C

【變式7-1】5(2021秋?四川自貢高一校聯(lián)考期中獵奇函數(shù)/Xx)在定義域上是減函數(shù)若-1<%<0

時(shí),/(x)=r2-2x,

(1)求f(%)的解析式；

(2)求滿足"1一m)+/(I-m2)<o的實(shí)數(shù)m的取值范圍

［答案］Q)fQ)=『￡一；；'；：；

VX—ZX,USX<i

(2)0<n?<1

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)直接求解；

(2)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及單調(diào)雌立不等式組即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?(%)是定義域上的奇函數(shù),

所以對于任意X€(-1,1),則/(T)=-/(X),且/'(0)=0.

iSO<%<1,則一1<rV0,

由已知得/(%)=-/(-X)=一[一(一%)2-2(-x)]=x2-2x,

而/(0)=0滿足上式,

r-r-piz-z、f-%2-2x,-l<x<0

所以/(')=[X2_2X,O<X<1-

(2)由于/(均在定義域上是減函數(shù)，且為奇函數(shù),

所以/(I-m)+/(I-m2)<0,SP/(1-m)<-/(I-