浙教版初升高一數學暑假預習練習題：函數的單調性與最值（原卷版+解析）

函數的單調性與最值

一、函數的單調性

1.增函數、減函數的概念

一般地，設函數/（X）的定義域為A,區間。工A：

如果對于。內的任意兩個自變量的值x/、xz,當時，都有那么就說了⑷在區間。上

是增函數；

如果對于。內的任意兩個自變量的值笛、M,當HVM時，都有/（箝）＞/a）,那么就說/（3在區間。上

是減函數.

2.單調性與單調區間

（1）單調區間的定義

如果函數JQ）在區間。上是增函數或減函數，那么就說函數f（x）在區間。上具有單調性，D稱為函數/G）

的單調區間.函數的單調性是函數在某個區間上的性質.

①單調區間與定義域的關系—單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；

②單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；

③不能隨意合并兩個單調區間；

④有的函數不具有單調性.

⑵已知解析式，如何判斷一個函數在所給區間上的單調性？

3.函數的最大（小）俏

一般地，設函數y=/（x）的定義域為/,如果存在實數M滿足：

①對于任意的都有/（x）WM（或/（x）NM）；

②存在與￡/,使得=那么，我們稱M是函數），=/a）的最大值（或最小值）.

①最值首先是一個函數值，即存在一個自變量工°,使/（左）等于最值；

②對于定義域內的任意元素x,都有（或/（x）N/（%）），“任意”兩字不可??；

③使函數/（x）取得最值的自變量的值有時可能不止?個：

④函數/（x）在其定義域（某個區間）內的最大值的幾何意義是圖象上最高點的縱坐標：最小值的幾何意義

是圖象上最低點的縱坐標.

4.證明函數單調性的步驟

（1）取值.設如超是/（X）定義域內一個區間上的任意兩個量，且不＜/；

（2）變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；

（3）定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；

⑷得出結論.

5.函數單調性的判斷方法

（1）定義法；

⑵圖象法；

⑶對于更合函數），=/［g（x）］,若/=g（大）在區間（a,與上是單調函數，則y=/Q）在區間

（g（〃），gS））或者（g?,g（a））上是單調函數；若f=g（x）與y=/（7）單調性相同（同時為增或同時為

減），則y=/［g（x）］為增函數；若r=g（x）與），=/'（1）單調性相反，則＞=/［g（x）］為減函數.

一、基本初等困數的單調性

1.正比例函數g=Aw（上裝0）

當七〉（）時，函數y=Ax在定義域R是增函數；當時，函數y="在定義域R是減函數.

2.一次函數y=M+，）（上0）

當七＞0時，函數），=履+〃在定義域R是增函數；當女＜0時，函數y=丘+〃在定義域R是減函數.

3.反比例函數y=&GWO）

＜2/

k

當上＞0時，函數y=—的單調遞減區間是（Y,0）,（0,y）,不存在單調增區間；

.1

當攵＜0時，函數y=&的單調遞增區間是（-8,0）,（0,-8）,不存在單調減區間.

X

4.二次函數g=Qt2+辰+c（Q于0）

若口＞0,在區間（-8,-2］,函數是減函數；在區間［-2,+00）,函數是增函數；

2a2a

若水0,在區間（-8,-2］，函數是增函數；在區間［-2,+0O）,函數是減函數.

2a2a

三、一些常見結論

⑴若/⑶是增函數，則-/（X）為減函數；若是減函數，則-/（?為增函數；

⑵若/（X）和以X）均為增（或減）函數，則在/（X）和ga）的公共定義域上/（%）+雙幻為增（或減）函數;

⑶若/(x)>0且/(x)為增函數.則函數J76為增函數，」一為減函數；若/(x)>0且/(x)為減函

數，則函數J7B為減函數，—為增函數.

fM

例I:函數的單調性

已知：函數f(x)=x+L,討論f(x)的單調性.

X

【解答】見解析

【脩析】設?、。2是定義域上的任意實數，且?V/2,則

/(的)-/但)=⑻+三1一a+=

\d，2.

=（?-X2）+50

（皿—①2）+

X}X-2

1

=（11一的）1一

（XiX—l

=（曲—X2）2

\工1七2

①當Ci<g<-1時，Ci一±2<0，1<XIX2>

ST>o,故㈤-乃）?僅心一°<0,即/（為）-/（的）<0,

X\X2\X\X2/

:，的<的時有f（的）v/（①2）,

二"力二￡+1在區間(-8,-1)上是增函數.

-1

②當-IV電V①2Vo時，

...工i—》2<0,0<XiX2<1?

VO<<1,

XiX2

故.”7]>0,即f(.a^(&)>0

:.￡1<g時有/Ql)>f(X-2),

???“I)=2在區間(-1,0)上時減函數，

X

I1

同理：函數/(%)=)+上在區間(0,1)是減函數，函數/(力=￡++在區間(1,+8)是增函數.

??/

例2：求函數的單調區間

判斷下列函數的單調區間；

(1)2/=——3團+2；(2)y=|x-1|+y/(x—2)2

【解答】(1)“力在(-8,-,］上遞減,在國上遞增，在|0,3上遞減,在修,+8)上遞增;

*?

(2)/(/)在(-8,1］上遞減，在［2,+oo)上遞增.

【解析】(1)由圖象對稱性，畫出草圖

W

-2</101\_/2

???/(N)在(-0C,-得上遞減，在-弓,。上遞增，在0,算上遞減，在看,+oo)上遞增.

\乙..4..乙/

2+3QVI)

{2c—3(N>2)

???/(1)在(-8,1］上遞增，在［2,+oc)上遞增.

例3：單調性的應用

已知函數/(此是定義域為R的單調增函數.

(1)比較/(/+2)與/(2a)的大小；

(2)若/(。2)>/(〃+6),求實數。的取值范圍.

【解答】(1)/(。2+2)>/(2a)；(2)。>3或。<一2.

【解析】(1)因為a?+2—2Q=(Q—1)2+1>0,所以小+2>2。，由己知，/(力是單調增函數，所以

/(a2+2)>/(2a).

(2)因為/(c)是單調增函數，且/(a?)>/(°+6),所以a2〉。+6,解得。>3或。<-2.

鞏固練習

一、選擇題

I.定義在R上函數/(k)滿足/Q+1)=」/(%),且當屆［0,1)時,/(x)=i-|2i-1|.則使得/Q)

在回，+8)上恒成立的小的最小值是()

A7c9「13c15

A-2B-2C-TD'T

2.已知函數/(x)=?『(f+G9),且滿足/(I-A)=/(1+X),則/(x)的最大值是()

A.-2B.-1C.0D.1

3.函數/(，)=Q>2)的最小值是()

x—2.

A.3B.4C.5D.6

4.已知函數/(x)=ax+\+\2x2+ax-1|(r/GR)的最小值為0,則。=()

A.-i-B.-1C.±1D.士］

5.已知函數/(x)滿足/(%+1)=1+，2/(z)—尸(力(￡￡R),則f(l)4/(2020)的最大值是()

A.2-^/2B.2C.2+A/2D.4

二、填空題

6.已知a+b=100,b>0,則」+目的最小值為_____________.

|?lb

7.已知實數小b滿足人>0,同+6=1,則DMIM+半的最小值為.

/uJLJau

8.函數g="-8c+20+、/—+1的最小值為.

9.已知陽WR,函數/(x)=尺■〃力+用在［通，，司的最大值是5，則〃?的取值范圍是.

10.若函數/(力=2+巳一。在區間(0,2)上為減函數，則滿足條件的〃的集合是—.

X

II.已知4>0,函數f(x)="小-〃|-3|在區間［-1,1］上的最大值是2,貝1」4=.

三、解答題

12.一次函數f(x)是R上的增函數，J\f(%)]=4x+3,gQ)=f⑸。+)(m>°),

(1)求f(x)；

(2)對任意K，x2E[\,3],恒有|g(%,)-g(x2)區24,求實數機的取值范圍.

13.已知函數/(x)=f+法+c的圖象經過坐標原點，且y=/(x+l)為偶函數.

(1)求函數/(x)的解析式；

(2)求證：對于任意的x￡[0,4],總有2.4勺(x)W2x；

(3)記函數y=[f(x)-2x?詞在區間[0,4]的最大值為G(機)，求G(〃?)的最小值.

14.已知函數/數)=|5--\x+m\(TM>0)的最大值為8.

(1)求〃？的值；

(2)若實數。滿足/(a-1)+”◎)>0,求。的取值范圍.

15.已知函數/(/)=，1+N+，1—￡.

(1)求函數/(x)的定義域和值域；

(2)F{x)=ay/\-x2+0+x+y/1-x(其中a為參數)，求尸(x)的最大值g(a).

16.某山村為響應習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的號召，積極進行生態文明建設，投資

64萬元新建一處農業生態園.建成投入運營后，第一年需支出各項費用11萬元，以后每年支中費用增加2

萬元.從第一年起，每年收入都為36萬元.設/(〃)表示前〃年的純利潤總和(/(〃)=前八年的總收入

-前〃年的總支出費用-投資額)

(1)求了(〃)的表達式，計算前多少年的純利潤總和最大，并求出最大值；

(2)計算前多少年的年平均純利潤最大，并求出最大值.

17.設函數/(x)=『+|x-a|(x€R,。為實數).

(1)若/(外為偶函數，求實數〃的值；

(2)設求函數/(外的最小值(用。表示).

18.設函數f(x)=\x-lbAGR.

(1)求不等式/(x)-1)的解集；

(2)已知關于x的不等式/(工)g(x+l)?卜-。|的解集為M,若求實數。的取值范圍.

0T_o

9已知函數/⑴=E.

(1)判斷函數/(x)在區間［0,-8)上的單調性，并用定義證明其結論;

(2)求函數/(x)在區間［2,9］上的最大值與最小值.

4

20.己知函數/(力=￡+二

X

(1)用函數單調性的定義證明f(x)在區間［2,+8)上為增函數

(2)解不等式：f(.?-2r+4)Wf(7)

函數的單調性與最值

一、函數的單調性

1.增函數、減函數的概念

一般地，設函數/(X)的定義域為A,區間。口4

如果對于力內的任意兩個自變量的值工八檢，當時，都有/3)V/a),那么就說/(x)在區間。上

是增函數；

如果對于。內的任意兩個自變量的值M、M,當笛〈此時，都有/(汨)>/&),那么就說/但在區間。上

是減函數.

2.單調性與單調區間

(1)單調區間的定義

如果函數/(x)在區間。上是增函數或減函數，那么就說函數/(力在區間。上具有單調性，。稱為函數/G)

的單調區間.函數的單調性是函數在某個區間上的性質.

①單調區間與定義域的關系--單調區間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；

②單調性是通過函數值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數性質的；

③不能隨意合并兩個單調區間；

④有的函數不具有單調性.

(2)已知解析式，如何判斷一個函數在所給區間上的單調性？

3.函數的最大(小)值

一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,如果存在實數M滿足：

①對于任意的XE/,都有(或f(x)NM)；

②存在與￡/,使得=那么，我們稱"是函數)，=/(x)的最大值(或最小值).

①最值首先是一個函數值，即存七一個自變量與，使/(小)等于最值；

②對于定義域內的任意元素x,都有/0)?/(/)(或/(x)2/(%))，“任意”兩字不可省；

③使函數/(x)取得最值的自變量的值有時可能不止一個；

④函數/(x)在其定義域(某個區間)內的最大值的幾何意義是圖象上最高點的縱坐標：最小值的幾何意義

是圖象上最低點的縱坐標.

4.證明函數單調性的步驟

（D取值.設打工2是一。）定義域內一個區間上的任意兩個量，且王＜工2；

（2）變形.作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形：

（3）定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；

（4）得出結論.

5.函數單調性的判斷方法

（1）定義法；

⑵圖象法；

⑶對于復合函數y=/［g（x）］,若，=g（x）在區間（。，。）上是單調函數，則y=在區間

（4〃），晨份）或者（g?,g（a））上是單調函數；若f=g（x）與單調性相同（同時為增或同時為

減），則y=/［g（x）］為增函數：若f=g（x）與y=單調性相反，則尸/［履切為減函數.

二、基本初等函數的單調性

1.正比例函數沙=岫（上手0）

當幺＞0時，函數），=依在定義域R是增函數；當K0時，函數）="在定義域R是減函數.

2.一次函數V=既+/上羊0）

當七＞0時，函數），=依+〃在定義域R是增函數；當代0時，函數＞=丘+〃在定義域R是減函數.

3.反比例函數g=&（上子0）

X

當k＞0時，函數y=K的單調遞減區間是（70,0）,（0,依），不存在單調增區間；

X

當上＜0時，函數y=A的單調遞增區間是（-20）,（0,一），不存在單調減區間.

4.二次函數g=Q,2+紅+c（0力0）

若?！?,在區間（-8,-2］,函數是減函數：在區間［__L,+oo）,函數是增函數；

2a2a

若水0,在區間（-8,-2］,函數是增函數：在區間［-2,+00）,函數是減函數.

2a2a

三、一些常見結論

⑴若/"）是增函數，則一/5）為減函數；若/（X）是減函數，則一"X）為增函數;

⑵若/（X）和g（x）均為增（或減）函數，則在/（%）和g（x）的公共定義域上/（x）+g（x）為增（或減）函

數;

⑶若/（x）>（）且/*）為增函數，則函數J標為增函數，卷為減函數：若/。）>（）且/（X）為減

函數，則函數為減函數，7缶為增函數.

例I：函數的單調性

已知：函數/（x）=x+,，討論f（x）的單調性.

X

【解答】見解析

【解析】設為、G2是定義域上的任意實數，且"V12,則

/(如)一/(g)=電+V-

21

=Ql-X2)+(［一})

的一

=(的-42)+

X}X2

=(…GW

I1電一1

=（的-如）

(1途2.

①當21<二2<-1時，Xl-X2<Of1<21初，

.力打一1故■一動.（專1）（。,

>0,即/（向）一/但）<0,

?XiX2

：?的V12時有/31)<f(X2)，

.?.『（N）=c+工在區間（-8,-1）上是增函數.

X

②當-1〈為Vc2Vo時，

「.￡1—￡2<0，0<<1?

:0V22V1，

X\Xo

故.（心才,—1）>0,即/（不）^（用）>0

\xlx2/

:.①1<。2時有/（11）>/（電），

.?."/）=2+工在區間（-1,0）上時減函數，

X

同理：函數/(1)=2+［在區間(0,1)是減函數，函數/(力=，+1在區間(1,+oo)是增函數.

XX

例2：求函數的單調區間

判斷下列函數的單調區間；

(1)y=x2—3\x\+2；(2)◎=|c—1|+，(,一2)2

【解答】(1)/㈤在(-8,-。上遞減,在層上遞增，在［。，■上遞減,在停,+oo)上遞增;

(2)/(力在(-oo,l］上遞減，在［2,+oo)上遞增.

【解析】(】)由圖象對稱性，畫出草圖

;

⑺在(-00,-■!上遞減，在-■!，()上遞增，在0,1上遞減，在冬+oo)上遞增.

-2x+3(x<1)

{2c—3(①>2)

???/3)在(-8,1］上遞增，在［2,+oc)上遞增.

例3：單調性的應用

已知函數/(X)是定義域為R的單調增函數.

(1)比較/(/+2)與/(2幻的大小；

(2)若+求實數。的取值范圍.

【解答】(1)/(a2+2)>/(2a)；(2)i>3或。<-2.

【解析】(1)因為。2+2—2a=(a-l)2+l>0,所以小+2>2%由己知，/①)是單調增函數，所以

/(a2+2)>/(2a).

(2)因為/(z)是單調增函數，且/(/)>/(a+6),所以。2>。+6,解得a>3或。V-2.

鞏固練習

一、選擇題

I.定義在R上函數/(%)滿足/&+D=；/(冷，且當.詫［0,I)時,/(x)=l-|2x-1|.則使得/Q)

在的，+°°)上恒成立的機的最小值是()

【解答】D

【解析】??36[0,1)時，f(x)=1?|2x?1|[0,1]；

.*.A+le[l,2)時，.伯[0,1),f(x+1)=(x)=-|x-/忙[0，3]，

x+2G[2,3)時，x+l€[l,2),f(x+2)=(x+l)=]-|-^x-；|G[0?-j]>

x+3G[3,4)時，x+2e[2,3),f(x+3)=[/(x+2)=*-\^x-J?

]]1131

令/(x+3)=g-l^x-衛1=m=1=彳或者x=4；

故工+3=學或x+3=竽，

15

所以〃，的最小值為加=?，故選。.

4

2.已知函數/a)=-A2(/+奴+力)，且滿足/(I-X)=f(l+x),則/⑺的最大值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】C

【解析】v/(1-x)=/(l+x),

，函數/(x)=-x2(f+ar+〃)的圖象關于宜線x=I對稱，

???將函數y=/(x)的圖象向左平移1個單位，得函數y=/(x+l)的圖象關于x=0對稱，

可得/(x+1)=-(x+1)2[(x+1)2+a(x+1)+b]=-x4-(a+4)x3-(6+3a+b)x2-(4+3〃+2方)x+l+a+力

是偶函數，

設g(x)=f(x+1)=-x4-(。+4)-C6+3a+b)x2-(4+3a+2Z>)x+\+a+b,

*：g(-x)=g(x)，

4—解之得a=-4

6=4

因此，f(x)=-x2(x2-4x+4)=-丁+4/-4f,

求導數，得/(x)=-4,?+lZr-8x,

令了(x)=0,得k=0,X2=l，工3=2,

當xW(-8,o)時，f(x)>0：當(0,1)時，/(x)<0；

當尤(1,2)時，f(x)>0；當屬(2,+8)時，/(x)<0,

?寸(外在區間(-8,())、(1,2)上是增函數，在區間(0,1)、(2,+8)上是減函數,

.V(.r)在x=O和x=2處有極值點/(0)=0,/(2)=0,

/./(x)”3=0.故選C.

丁2—2T-4-*4

3.函數/(力=^―名產G>2)的最小值是()

X—2.

A.3B.4C.5D.6

【解答】D

2

+二、rixX—2x+Ax(x—2)4-44(Q\,4

【解析】/(力=——a=一—2=+口=(L2)+口+2,

VA>2,.*.A-2>0,

，小)=(廠2)+與+2N2,(L2)?告+2=6,當且僅當x-2=

即1=4時，等號成立，

???函數/(x)的最小值為6,故選。.

4.已知函數/(x)=ax+\+\2x2+ax-l|(t/GR)的最小值為0,Ma=()

1

A.2B.-1C.±1D.

【解答】C

g(￡)+〃(/)=or+1g⑴=a:24-ax

【解析】設

gQ)一九(①)=2/+皈-1’h(x)=1—rr

2gQ),gQ)2g)

則J(x)=g(x)+h(x)+|g(x)-h(x)|=

2h(x),g(x)<h(x)

由于g(x)=x(x+a)的圖象恒過(0,0),(-a,0),h(x)的圖象為開口向下,

且過(-1,0),(1,0)的拋物線，

且『(X)的最小值為0,結合圖象可得?。=1或?“=-1,即有。=±1,故選C.

5.已知函數“工)滿足/(z+1)=1+，2/(z)一尸(力(￡￡役),則/(1)4/(2020)的最大值是()

A.2-^/2B.2C.2+^/2D.4

【解答】C

[解析]由/(N+1)=1+，2/包)一/(①)(2￡氏)，

得？/'(X)-/(X)20，得o</(x)W2,

平方得f(x+1)=1+2y/2f(x')—/2(x)+2f(x)-f(x)?①

/.2/(x+l)=2+2,2/(力一/(力②

②-①得？/'(x+1)~f(x+1)=2+2,2/⑺一產(力-[l+2y2/(3；)-/2(x)+2f(x)-f(x)]=1-\2f

(A)-f(x)j,

即4、a+l)-f(x+l)+2fCx)-f(x)=1,③

設g(x)=2f(x)-f(x),

則③等價為ga+l)+g(x)=1,

即g(x+2)+g(x+1)=g(x+1)+g(x)=1,

(x+2)=g(x),

則g(0)=g(2)=g(4)=',,=g(2020),g(1)=g(3)=g(5)=3=g(2021),

則g(1)+g(2020)=g⑴+g(0)=1,

A2/(1)-/(1)+2f(2020)-f(2020)=1,

即2|7(1)+f(2020)]-[f(1)+F(2020)1=1

即2[/1⑴V(2020)]-{[/<!)+f(2020)]2-2f(1)/(2020)]}=1

22

2f(1)/(2020)=l+[/(l)4/(2020)]-2[/(1)47(2020)]W2X[⑴+/(2020)=l|y(i)+f

(2020)]2,

設4/(2020),

則不等式等價為1+--2/忘《產，

整理得t2?4/+2W0,

得2々2+―

即2—6勺⑴4/(2020)W2+6,

則/(1)4/(2020)的最大值為2+故選C.

二、填空題

6.已知〃+〃=100,b>(),則J-+4的最小值為

㈤b

【解答】忐

【解析】顯然

1,|a|1,?擊(a+冷,a

①當〃>0時,向+寸=&+]=-a—+1

W+(1(L+I)-lUo=W

當且僅當《即。=罌，〃=鬻時等號成立;

b=10a1111

志(a+")?

②當4Vo時，—+增=3+/=-a

|a|b-aI)T

=J_+21b+』=&_

100\-100ab)-100十，/-100ab~100,

當且僅當卜丁二；°°,即。一限吐曙時等號成立.

6=-10ft99

綜上，告+乎的最小值為黑.

|a|01(J(J

7.已知實數小〃滿足力>0,\a\+b=\,則9M:十怨義的最小值為.

【解答】2021

【解析】?；b>0,\a\+b=I,

。+12019=al2019

…2019悶+b=2019|o|十2019同+b

_a,(1,2019)=a(12019\(八

一2019|a|\2019|a|b)~2019|a|12019b)'V|a|)

=2019|a|+2019+2019+201/+|a|+0--2019+2019+2019+2=2021

當且僅當zo,“二弊回’即仁一感,仁瑞時等號成立，

則扃+竿的最小值為202L

8.函數y=y/x2-8x-\-2()+x1+1的最小值為.

【解答】5

【解析】由題意，可知

y=—8/+20+2+]

=小-4)2+22+療手尸

=，/-4)2+(0-2)20)2+(0—1)2.

則上式可看作X軸上一點P(x,0)到兩定點M(4,2)、N(0,I)的距離之和.

由題意，求函數)，的最小值，即為點P到兩定點M、N的距離之和的最小值，如下圖所示,

根據圖，作點N(0,1)關于x軸的對稱點N'(0,-1).

很明顯，當點M、P、N三點共線時，函數)，取得最小值，

此時最小值即為皿M|=V(4-0)2+(2+1)2=5.

9.己知〃?WR,函數/(x)=*■〃力+用在怎]的最大值是5,則〃?的取值范圍是

【解答】mJ

乙

【解析】由題意，可知

不等式*-m|+〃?W5在上恒成立，

/.|A2-,川W5-m,

，5-〃?20,即〃1W5,

絕對值不等式轉化為/〃?-"W5-in,

整理,得2「?5W》W5,

.?/+5(@]+5_7

?——12-2'

7

??町《5?

10.若函數/(力=，+區一a在區間(0,2)上為減函數，則滿足條件的。的集合是一

X

【解答】{4}

【解析】①。＜0時;g(o)=z+9—a在(0,2)上是增函數，

X

X趨向0時，g(x)趨向-8；X趨向2時，g(x)趨向2—弓＞0,

???/(%)在(0,2)上沒有單調性，不合題意：

②a=0時，/G)=因在(0,2)上為增函數，不合題意：

③a＞0時，gQ)=。+色一a在(0,y/a,)上是減函數，在(y/a,+°°)上是增函數,

時，g(X)取得最小值2，^—a,

解2，1一。20得，0V〃W4,顯然“V4和q>4時，都不滿足f(外在(0,2)上是減函數，只有〃=4

時滿足了(x)在(0,2)上是減函數，

，滿足條件的”的集合是{4}.

11.已知4>0,函數f(x)="小?。|-3|在區間［-1,1］上的最大值是2,則。=.

【解答】a=3或號

【解析】40,函數/(x)=*+僅-。|-3|在區間［-1,1］上的最大值是2,

可得/(0)W2,即|a-3|W2,解得1W°W5,

即有/(x)=*-x+〃-3|,-iCtCl,

由/(x)的最大值在頂點或端點處取得，

即『(-1)=2,即1|=2,解得。=3或-1(舍去)；

/(I)=2,即|a-3|=2,解得a=5或a=l；

11Q弓21

f(歹)=2,即—1|=2,解得或丁(舍去).

當口=1時，/(x)=|?-x-2|,

當工=《時，f(x)=4>2,不符題意；

當〃=5時，f(x)=|.r-x+2\,顯然當x=?l時，取得最大值4,不符題意；

當4=3時，f(x)=|.r-x\,顯然當x=-l時，取得最大值2,符合題意；

當〃=［時，/?)=H-x-］|，/(I)=［，/(-1)=］，/'(/)=2,符合題意.

綜上，a=3或弓.

三、解答題

12.i次函數,f(x)是R上的增函數，fif(x)］=4x+3,g(e)=/(］)。+包^―(rn>0).

(1)求f(x)；

(2)對任意即,X211，3］,恒有|g(XI)-g(x2)|W24,求實數，〃的取值范圍.

【解答】(l)/(x)=2r+l；(2)，隹(0,1］

【解析】(1)???一次函數/(x)是R上的增函數，

.?.設/(x)=ax+b(a>0),

則A/O］=a(ar+h)+b=a2x+ab+b=4x+3,

a2=4a=2

,解得

ab+6=3b=l

：.f(x)=2x+l；

(2)對任意xi，也曰1，3],恒有|g(xi)-g(x2)|W24,等價于g(A-)在[1,3]上的最大值與最小值之差

MW24,

由(1)知g(x)=f(x)(x+—5)=2r2+4/7i￥+z,

g(A)的對稱軸為X=-，〃V0且開口向上，

：.g(x)在[1,3]上單調遞增，

47幾—147Tz-]

；?g(x)mat=g(3)=12切+18+—2—，g(x)min=g(1)=4〃?+2+—年—

:?M=g(3)-g(1)=8w+16<24,解得加Wl,

綜上可知，加6(0,11.

13.已知函數/(%)=『+加+c的圖象經過坐標原點，且)，=/("1)為偶函數.

(1)求函數/(#的解析式；

(2)求證：對于任意的法[0,4],總有2x-4Wf(%)W2x；

(3)記函數y=[Mx)在區間[0,4]的最大值為G(M,求G(〃?)的最小值.

【解答】(1)f(A-)=f-2x；(2)見解析；(3)2

【解析】(1)由題意，得/(0)=0,即c=0,

1

?寸(％)=x+bxf/(x+1)=AT+(2+b)x+b+1,

是偶函數，???-結2=0解得人=-2

.*./(x)=f-2x\

(2)對于任意的.隹[0,4],總有2t-4W/(x)W2K等價于對于任意的.隹[0,4],總有-4可(工)-2A<0；

令g(x)=x^-2x-2x=x2-4x=(x-2)2-4,則當xW[O,4],g(x)e[-4,0]

即對于任意的.隹[0,4J,總有4C/(x)2A<0,得證；

(3)y=\f(x)-lx-m\=|(.r-2)2-4-m\

當〃W-4時，結合(II),因為對于任意的尤[0,4],總有-4W/(x)-2rW0,

則此時(x-2)2-4-77/^0,即有y=(x-2)2-4-/H,故當x=0或4時，y取最大值，即G(〃?)=-〃?；

當?4VmV?2時，如圖，

由圖，可得此時在x=0或4時，y取最大值，即G(w)=-〃?；

當〃?2-2時，如圖,

由圖，可得此時當x=2時y取最大值，即G(〃?)=|-4-/川,

-m,m<-2

綜上G(w)i|-4—m\^m2-2

當用V-2時，G(W>2,

當成2?2時，G(/?)22,

故G故)的最小值為2.

14.已知函數fCr)=|5-jr|-k+w|<m>0)的最大值為8.

(1)求，〃的值;

(2)若實數。滿足/(。-1)+fla)>0,求。的取值范圍.

3

【解答】(1)m=3；⑵a<\

zn+5/S-m

-2x—m+5,-VcS5.

{-m—5,x>5

可得f可)〃皿=/〃+5=8,即m=3;

8/W-3

(2)由(I)知，f(x)=\一2E+2：-3V

-8,rr>5

當“W-3時,不等式/(“-1)廿’(〃)>0化為8+8>0,顯然成立；

當“-1W?3且?3V〃W5,即-3V.W-2時，

不等式/(?-l)V(a)>0可化為8-2?+2>0,解得aV5,

???-3ViW-2；

當-3Va-lV〃W5,即?2VaW5時，

3

不等式/(fl-1)+f(a)>0可化為-2(a?1)+2?2a+2>0,解得a<5,

..-2<a<;

當-3V〃-1W5且〃>5,即5VaW6時，

不等式/(a-1)+J(a)>U可化為-2(a-I)+2-8>0,解得-2,無解；

當〃-l>5,即a>6時，不等式化為-8-8>0,無解.

綜上，aV,.

15.已知函數/(i)="l+c+，l—t.

(1)求函數/a)的定義域和值域；

(2)F(x')=a，l—1?++r+y/1—x(其中a為參數)，求F(x)的最大值g(a).

【解答】(1)定義域為L1，1］，值域為［—,2］；(2)見解析

【解析】(1)由得-IWXWI.所以函數/Ct)定義域為［-1,1］.

又/Q)=2+2，1^￡［2,4］,由/(x)20得值域為［6,2］.

(2)因為歹Q)=a\/l—x2++/+y/1—x=弓[f2(1)—2]+/Q),

令%=/Q)=+c+€[y/2,2],則y/1—x2=)產一1,

F(0=m(￡)=a(?2_i

+￡=5a￡?+￡—a、te[A/2,2].

①當a=0時，加(r)=t,所以g(?)=2.

②當aWO時，

由題意知g(〃)記為函數小。)=Ja尸+，一。"￡［口,2］的最大值.￡=-1是拋物線的對稱軸.

/CL-

當a>0時，m(￡)=］。產+￡一］在［6，2］單調遞增，g(a)=m(2)=4+2.

當〃V0時，

①￡=一16(0,72］,即噂，則g(Q)=皿(口)=代；

a/

②￡=一工€(A/2,2),即一殍VaV-則g(?)=〃？(--)=-〃一(；

(I乙乙(I乙Q

@t=--G［2,+°°),即-<WaVO,則g(a)=m(2)=a+2,

(l乙

z

a+2,a2—-

綜上有：g(a)=<-。一一殍VaV-J.

乙IL乙N

16.某山村為響應習近平總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”的號召，積極進行生態文明建設，投資

64萬元新建一處農業生態園.建成投入運營后，第一年需支出各項費用11萬元，以后每年支出費用增加2

萬元.從第一年起，每年收入都為36萬元.設/(〃)表示前〃年的純利潤總和(/(〃)=前〃年的總收入

■前〃年的總支出費用■投資額)

(1)求了(〃)的表達式，計算前多少年的純利潤總和最大，并求出最大值；

(2)計算前多少年的年平均純利潤最大，并求出最大值.

【解答】(1)最大值為105萬元；(2)前8年的年平均純利潤最大，且最大值為1()萬元

【解析】(1)由題意，每年的支出費用組成首項為11,公差為2的等差數列，

故前〃年的總支出費用為11。+”0X2=n2+10n,

(n)=36/i-(n2+l0n)-64=-n2+26n-64,nGN*.

又『(〃)=-(n-13)2+105,

，〃=13時，/(〃)取得最大值105,

即前13年的純利潤總和最大，且最大值為105萬元.

(2)由(1)知，前〃年的年平均純利潤為小?=-〃'+26〃一=一行+里)+26,

Vn+—^2A/n?—=1G,當且僅當口=更，即〃=8時等號成立，

nVnn

《-16+26=10,

n

即前8年的年平均純利潤最大，且最大值為10萬元.

17.設函數/G)=f+|x?a|(X6R,。為實數).

(1)若/(x)為偶函數，求實數。的值；

(2)設。＞〈，求函數/(%)的最小值(用〃表示).

【解答】(1)。=0；⑵z