2026年高考數學壓軸強化訓練：數列求和的（3大核心壓軸題型）學生版+解析

壓軸10數列求和的3大核心題型

近幾年總考，數列求和常出現在解答題的第（2）問，主要考查通過分組轉化、錯位相減、裂項相消等方

法求數列的和，難度中檔.

A時型01分組轉化法求和的常見類型

技法指導

分組轉化法求和的常見類型

2

分

的幻土小人，?:為專?JL4等比

組

的

求

”力奇代-

和

增4一1公川為偈依，出“人月多星.

包

I*比?列_______________

1.（2025?山東濰坊二模）在公差不為零的等差數列｛4｝中，％=1,且如知丹成等比數列，數列｛〃｝的前〃

項和S.滿足，=24-2.

⑴求數列｛〃0｝和也｝的通項公式；

⑵及數列｛qj的前〃項和，，若不等式（十〃2-〃＞睡2（1-4）對任意〃wN“恒成立，求實數。的

取值范圍.

2.12025?湖北黃岡?二模）記5”為數列｛〃”｝的前〃項和，已知％=1,%=2當〃之2時，5向+2S”」=3S”

⑴求數列｛〃“｝的通項公式；

（2）若數列也｝滿足4=3也廣％-&（婕N）求數列低｝的前〃項和7；.

A題型02裂項相消法求和

技法指導

裂項相消法求和的步驟

累加.?,鐘G列裝編后的各4幅加

樣中冏可以消去的嗔相員抵消?杼物余的需M

血.彳物加,得的材“4和

3.【基礎型】已知數列｛q｝滿足q=l,且4（1一24”）=4“（1+2可）.

（1）證明：數列一是等差數列；（2）求｛q｝的通項公式；

⑶設勿=。,4”，數列也｝的前〃項和為，，證明：Tn<^.

4.【根式型】記工,，分別為數列｛〃,,｝.｛勿｝的前〃項和，已知91=12?！?42+4,且〃=

⑴求也｝的通項公式；

（2）證明：2Tn>42-\.

5.【指數型】已知數列｛叫滿足。=2,%=24-1.

Q—1

⑴求｛q｝的通項公式；（2）設“=」一，求數列也｝的前〃項和人

anan^\

6.記S“為數列｛4｝的前〃項和，已知32=4%-3〃.

⑴求明;（2）設勿=尸，求數列也｝的前〃項和

anan^l

A題型03錯位相減法求和

技法指導

利用錯位相減法求和的基本流程

錯住力*I電7,心?4（入”.?-?|

K>??力

1.12024?全國甲卷T17）已知等比數列｛%｝的前〃項和為S“，且2S”=3ae-3.

⑴求｛q｝的通項公式；

（2）求數列｛，｝的前〃項和.

2.（2025?重慶三模）已知S”為數列｛4｝的前〃項和，目滿足S,,+〃=2M，

⑴求證:數列m+i｝是等比數列;

2"11

⑵若"，=廣「記T為數列｛。｝的前〃項和，求滿足不等式的〃的最大值.

3.12024全國甲卷數學（理））記S。為數列｛qj的前〃項和，且4s“=3勺+4.

⑴求｛q｝的通項公式；

（2）設。=（7尸時,,求數列優(yōu)｝的前n項和為7；.

4.已知各項都是正數的數列也｝,其前〃項和為工，6=1,且S“-#；=乜士華二D.

⑴求｛〃”｝的通項公式；⑵若瓦=辰+用二，求證：T+T++Z-=3-

D\4%

5.12025?山東臨沂二模）已知正項數列｛q｝的前〃項和為3,對任意〃cN.，點（"JogW"）在過原點且與直

線.x+）』2=。垂直的直線上.數列出｝的前〃項和為7；,且吟=”?！?

⑴求數列｛4｝的通項公式；

（2）證明：數列的｝是等差數列；

（3）若"，求數列｛q｝的前〃項和.

6.（2026?浙江寧波?二模）已知數列小｝中，4=0,2%-a,r=2〃+3.

⑴令2=4-2〃+1,求證：數列｛4｝是等比數列；

⑵求數列｛凡｝的前〃項和S..

7.記S”為數列｛4,｝的前〃項和，已知3s“=4%-3”.

⑴求見;（2）設2=力,求數列也｝的前〃項和丁.

ananU

CC1

8.（2026?河北保定?一模）已知數列｛凡｝的前〃項和為邑，且％=1,V—、=不

〃+1n2

⑴求3

(2)若以=(T)”——，求數列也｝的前〃項和.

9.(2026?陜西榆根模擬預測)已知等差數列｛叫的前.〃項和為臬，且為=9,y=30.

⑴求｛叫的通項公式；

⑵求數列的前〃項和；

(3)證明:耳+耳+5++廠1

10.(2025?江西宜春?模擬預測)已知數列｛〃”｝滿足。L；，%二|，%+2+3q=4,%.

⑴證明：數列｛%「4｝為等比數列;

⑵求｛%｝的通項公式；

(3)記2=24+1,數列/一的前〃項和為，，證明：

IA4+J168

11.(2026?河南開封?模擬預測)已知函數/(x)=2'+2x.

⑴若數列為=/(〃)，求數列｛&｝的前〃項和S“；

⑵已知函數/'(X)在x=〃(〃wN*)處的切線為直線/“，直線(在)，軸上的截距為4，求數列低｝的前〃項和

12.(2()25?天津二模)已知等差數列｛4｝和等比數列也｝滿足：，4=e=1,b",4+6=18,帥=81.

⑴求數列｛4｝和也｝的通項公式；

⑵求數列?的前n項和S”；

⑶已知1=祟數列｛%｝的前〃項和r.，若對任意正整數〃，不等式恒成立，求實數2的取值范圍.

?42

壓軸10數列求和的3大核心題型

近幾年高考，數列求和常出現在解答題的第（2）問，主要考查通過分組轉化、錯位相減、裂項相消等方

法求數列的和，難度中檔.

A題型01分組轉化法求和的常見類型

技法指導

分組轉化法求和的常見類型

“幻土.｛q為等星式號比做出介

維

A力奇京

*

［等比?狗________________

1.（2025?山東濰坊二模）在公差不為零的等差數列｛4｝中，4=1,且％用，出成等比數列，數列｛〃｝的前〃

項和，滿足S“二2”-2.

⑴求數列卜川和他｝的通項公式；

⑵設數列｛&｝的前〃項和。，若不等式<+/-〃>log?（1-〃）對任意〃wN*恒成立，求實數。的

取值范圍.

,、f￡,〃=1

【思維導引】（1）設公差為d/0一列方程求出d—求出｛4｝的通項公式—根據：c、。一作

3”一，一］,〃之2

差得數列也｝為等比數列f也｝的通項公式

（2）或=2"-（2〃-1）一分組求和法求出，一令/（〃）=2e-〃-2—利用作差法判斷.（〃）的單調性—求

出『（〃Lf解。的對數不等式f0的取值范圍?

【解析】（1）設等差數列｛《,｝的公差為d*（），4=1,且4嗎外成等比數列，

（l+2df=l+12d,解得4=2或d=（）（含去），

所以4=1+2（〃-1）二2〃-1.

.?數列也｝的前〃項和工=2"-2.

當〃=］時，b、=2br2,Z?)=2

當〃N2時,bn=Sn-Sa.,=2bn-2Z?n.,,/.b?=2bn_.,

即數列｛〃｝是首項為2,公比為2的等比數列，???仇=2”.

(2)由(1)可得c”="—q,=2"—(2〃—l),

【技巧】若數列｛以｝的通項公式為以=飆±力〃，且｛“〃｝,｛九｝為等差或等比數列，可采用分組求和法求數列｛以｝

的前〃項和.

2(1-2")〃(1+2〃一1)、

T=」----L_------------L=2""-2―/

"1-22

.?.7；+〃2一〃=2日一〃一2.

令f(〃)=2"+i—〃一2,.?./(/i+l)-/(/j)=2n+2-(?+l)-2H+,+/i=2a+,-l>0,

???J'(n)單調遞增，/(〃)而。=/(I)=1.

/.Iog2(l-?)<1,:.0<i-a<2,

【易錯提醒】只考慮數列求和對實數。的要求，忽視對數函數的要求

(法二)令〃工)=2川一X—2,/'(x)=2v+,ln2-l

因工之1,.?./(4)單調遞增，.?./(〃)2=八1)=1

2.12025?湖北黃岡?二模)記S“為數列｛q｝的前〃項和，己知q=l,%=2當〃之2時，Se+2$恒=3s..

(I)求數列｛qj的通項公式；

(2)若數列出｝滿足a=3也川=4-4(&eN)求數列出｝的前〃項和，.

【解】⑴由題意得，當〃N2時，有S〃LS.=2(S「S.T)，即

因為4=2%,所以4+尸2an對任意weN*都成立

故數列｛q｝是首項為1,公比為2的等比數列，從而％=2"」.

(2)由4+|=4+4(&cN)可得%-%=&T(〃N2),

則a=4+92-()+(4-力2)+?+(%-4-2)+(2-%)

=b+a,+a2++*+%

=3+2°+)++2"-3+2”2

I_Qrt-l

=3+———=2叫2

1-2

當〃=1時，4=3符合上式，故〃=2"，2.

所以騫=偽+4++加+2

=(20+2)+(2|+2)++(2"2+2)+(2”|+2)

=(20+2'++2n~2+2n~l)+2n

\-2n

=^-=^+2n=r+2n-\.

1-2

A題型02裂項相消法求和

技法指導

裂項相消法求和的步驟

誦；■:■整版一的道反.樣通反「或通”之也A]

-*-

叫丁粹般時裝&后的各《格加

系中不示彳去的*相互工水萬山余的京津

(S<)“州布,得刑奴。的由“油油

3.【基礎型】已知數列｛%｝滿足。尸1,且q,(l—2q用)=a,用(1+2為).

(1)證明：數列,十是等差數列；(2)求應｝的通項公式;

(3)設數列也｝的前〃項和為7；,證明：7；,<1.

【詳解】(1)證明：因為q=L4,(1-〃+)=4用(1+〃)，所以為一一=也一，

則色衛(wèi)曰=4,即二_-J_=4,所以是以，=1為首項，4為公差的等差數列.

a“+iana”J4

(2)由(1)矢口」"=1十4(〃-1)=4〃-3,所以々

44〃-3

,I1(I1'

(3)證明：因為川=三;一~4/二,1\=：匕~7?

(4〃-3)(4〃+1)414〃-34〃+1,

T111

所以1=卅2+〃必+?+%%產育+荻++(4”3)(4一+1)

=lxfi_l+l_l++_!---------!_]=lx'i__-1=—^―,因為_^_<2L=_L,所以]<_1

415594〃-34n+l；414n+l)4〃+14/:+14/14”4

4.【根式型】記S“，分別為數列｛%｝,｛〃｝的前〃項和，已知9s,=12勺-4向+4,且」=2阮+振

⑴求｛《,｝的通項公式；

(2)證明：27；,>72-1.

【詳解】(I)因為9s.=12勺一4""+4①，

當〃=1時，9s|=9q=124-4?+4,解得4=4.

當“N2時，9S〃T=124T-4"+4②,

由①一②得%=12a“-12%「3x4",即勺=4am+4"，所以會=患十上

所以數列伊｝是首項為今=:1，公差為I的等差數列，則$=l+（〃-l）xl=〃，所以%=加4".

⑵由⑴可知2〃4。+］（〃+1）4r2（6;內）4（內一所），

從而（?=g-1）+（百-0）++（J〃+1—y［n）］=；（J〃+1-1），

因為“eN”,J/?+1年4用遞增,則2毒=J〃+1—12>/1+1—1=1.

5.【指數型】已知數列｛%｝滿足。=2,。向=2q—1.

Q-J

⑴求也｝的通項公式；（2）設也=,求數歹ij｛"｝的前〃項和，.

anan￥\

【詳解】⑴由。川=2牝一1,變形可得。7一1=2（4-1）

因為4-1=27=1,所以數列｛々,-1｝是以I為首項、2為公比的等比數列，

故%—1=1X2"T=2M,即4=2日+1.

（2）因為"二巴二L由（1）知凡=2小+1,〃”討=2"+1

所以〃一2一（2、卜（2F）,?___匚

"（2n-,+l）（2n+l）（2n-,+l）（2w+l）2w-'+l2”+1

故刀,=b]+〃,+,,?+/?=f—T---------j-[+｛—j---------7-]+?,?+J--------------=-----------

n*-"（2°+12'+lJ（）+122+lJUZ,-,+12”+U22"+l

6.記S“為數列｛《,｝的前〃項和，已知3s.=4/一3〃.

⑴求。“；（2）設求數列也｝的前〃項和小

anan+l

【詳解】（1）令〃=1時，35,=46.-3,即得4=3,

“22時，3S”=4%-3〃①，35?..=4??.,

由①-②得，凡=4%+3,

乂由4+l=4（a,i+l），乂「4=3,4+1=4,所以數列血+1｝是以4為首項，公比為4的等比數歹U，

所以勺+l=4"T（q+l）=4”，q=4”—l；

.4"_\（\1）

口）因為“一（4”—1）（4'川—1）-4"—］—4向一］,,

/if111111Ifl\\

所以「=4+8++_；---------]-----F-;---------j------F+--------------=--------7i.

“12"3U-142-142-145-14"-14n+l-lJ3(34rt+1-lJ

A題型03錯位相減法求和

技法指導

利用錯位相減法求和的基本流程

體一，HA才5尸@也+4也-1也7+心電(1

7Tr__I-----------------------

博q不74公比福、4?…,。-也

卜X.%

g^|林|其?史1

7.12025.新課標1卷T16)設數列｛&｝滿足q=3,^-=-^-41

(")nn+1n(n+1)

(3)證明：｛〃q｝為等差數列；

2m

⑷設/(x)=a[x+a2x+L+amx,求f(-2).

【解題指導】(1)智=懸+而勺化簡f(〃+1)%-叼,=1-｛叫｝為等差數列

(2)求｛q｝的通項公式一＞代入函數并求導一錯位相減求和一導函數表達式一＞((-2)

【解】(1)由題意證明如下，〃wN”，

在數列圖中，4=3,管=含+而%，

???5+1)%=以+1,

即(〃+1)4+1-㈣,=1，

???｛〃〃〃｝是以％=3為首項，1為公差的等差數列.

(2)第一步：根據(1)得到數列｛〃％｝的通項

由題意及(1)得，〃eN"

在數列卜?&｝中，首項為3,公差為I,

2

.*.nau=3+1x(〃-1),即a”=1+—,

第二步：求出函數〃力的導函數r(x)

2m

在f(x)=atx+a2x++a,nx中,

/(X)=3X+2X2++(l+\卜，

/'(x)=3+4x++(〃7+2)R"I

第三步：利用錯位相減法求和

m

.f(x)=3+4x+-+(/n+2)x-'

?,.y(x)=3x+4x'+?-+(〃?+2)

當h工1且x￥0時，

(1-^)//(X)=3+X+X2++—一(利+2)￡"=3+MI)——(加+2)%'”，

1.1

3「(I-/")(加+2)/"

???f'⑴1-J(ifI

【易錯提醒】用錯位相減法求和時，應注意:

⑴等比數列的公比為負數的情形；（2）作差后所得等比數列的項數；（3）最后一項的符號.

第四步；代入工=-2,求/'（—2）

.心-3川一（一2門（m+2）（一2『

,?“㈠-中口一（一2）了H^F

_］產）［1-（-2rlW+2）（W

93

2（-2廣（〃?+2）（-2廣

=］一―I-II

993

_7（3rn+7）（-2）m

99

8.12025?陜西漢中?模擬預測）設正項數列｛〃.｝的前〃項和為5.，且川=4S,「1（〃￡N）%=1.

⑴求數列｛〃“｝的通項公式;

⑵已知”=母，求數列也｝的前〃項和的取值范圍.

【解】（1）由/。向=4S”-1得，%m=4Sz-l,〃N2,

兩式作差得q,4向--4=46,〃22,

因數列M為正項數列，則q川一=4,〃之2,

令〃=1,則4%=45-1,則a2=3,

則數列｛4｝的奇數項是以1為首項，4為公差的等差數列,

故"為奇數時，（=1+（等-1卜4=2〃-1,

數列｛q｝的偶數項是以3為首項，4為公差的等差數列,

故〃為偶數時，q=3+1]—l）x4=2〃—1,

綜上，數歹U｛4｝的通項公式為%=2〃-1（〃eN）；

（2）由（1）可得，"=墨=竽，

135

設數列｛2｝的前〃項和為。，則（=2n-\

2,22232"

1352〃-1

則大北=齊+5?+5?++卞r

兩式作差得，：4=』+』+』+-I---1----2-/-1---1

2"’2〃"

，則（=3-爺

2〃+3r,C1[2/7+5T12〃+5

'則,二為丁-----=--------<1t,

T2n+322/2+3

則數列匕,｝為遞減數列，且仇=g,

則0＜竽弓,故7；唱，3）,

故數列也｝的前〃項和的取值范闈為最3）.

1.12024.全國甲卷T17）已知等比數列｛q｝的前〃項和為S”，且2S,,=3a”,「3.

⑴求｛q｝的通項公式；

⑵求數列⑸｝的前〃項和.

【解】（1）因為25,=3。用-3,故2S,“=3q「3,

所以羽=34川-3%（〃22）即5可=3az故等比數列的公比為夕=g,

5內丫“

故2q=3%-3=3“x§-3=54-3,故6=1,故.

lx1-pY

（2）由等比數列求和公式得s」=3⑶"_3,

"1_22⑴2

3

所以數列｛SJ的前〃項和

…+S2+…+s.\]|卜圖+圖+…+圖j

313人[3）J315<5Y315

-------/、——--n=———n-------

2「⑶24⑶24

一⑴

2.（2025?重慶三模）已知S.為數列｛q｝的前〃項和，且滿足S“+〃=2《，〃wN.

⑴求證:數列｛4+1｝是等比數列;

1Q

⑵若4=丁二一，記。為數列｛4｝的前〃項和，求滿足不等式?；＜三的〃的最大值.

【解】（1）當〃=1時，&+1=26，解得：6=1.

當。之2時,5“=24-〃，

所以a“=S"一S"T=2〃”一〃一23_|+〃-1,即/=24_[+1,

所以4+1=〃_]+2=2（4一|+1）

+1,、

所以廣萬=2,所以數歹￡4+”是以4+1=2為首項，2為公比的等比數列.

（2）由（1）可知數列｛4+1｝是以4+1=2為首項，2為公比的等比數列.

所以凡+1=2”,所以%=2”-1,

2"_2"=1______1

-（2n-l）-（2n+,-l）~F^T-2n+,-l

7；"+H+&+…+2=±-七十七

II

21—j2n+,「一去T

13113

所以時，BP1--所以2川＜15,所以〃的最大值為2.

142—114

3.12024全國甲卷數學（理））記S.為數列｛《,｝的前〃項和，且4st=3%+4.

⑴求｛q｝的通項公式；

（2）設以=（-1嚴叫,求數列也｝的前〃項和為4.

【解】（1）當〃=1時，4sl=44=3。］+4,解得％=4.當〃22時，4sM=3）4+4,所以

45，-45,1=4%=3%-3勺_|即4=-3勺_|,而q=4。0,故q尸0,故一2-=-3,

an-\

???數列｛4｝是以4為首項，-3為公比的等比數列，所以q=4(-3廣.

12-1

(2)bn=(-1尸.〃.4.(-3尸=4/7-3"T,所以7；=々+4+/++bn=4-3°+8-3+12-3++4n-3"故

37；=4-3,+8-32+12-33++4〃-3”所以一27；=4+43+4了++4-3,r-'-4/7-3K

=4+4?^^-4小3”=4+2-3?（3小_1）-4〃?3"=（2-4〃）?3"-2,?.7；,=（2w-l）-3M+1.

4.已知各項都是正數的數列依｝,其前〃項和為S.，％=1,且S“—底二（q+l，'"T）.

<、L,-I11c

⑴求｛凡｝的通項公式；⑵若3=瘋+向］求證：—+—+-,，+—=3.

【詳解】（1）由題意得4S,「4S=*—1,

所以QS-l『=a3又數列｛%｝是各項都是正數的數列，％=1,

所以2后一1=%,4S.=m+l）2,

當〃22時，有4S〃-4s“|=4a?=a；+2%-%-2an-\，

所以2m+%）=。：-吮=（4+%）（4-%），

所以&-勺_1=2,故數列｛4｝是I為首項，2為公差的等差數列，所以4=2〃-1.1

（2）由（I）得〃,=J2〃-1+J2〃+1,

所以;=F-/一萬；=|（，2〃+1-V2/1-1）,

bn-1+J2〃+12

111111

所以'=-7=FH-尸+??H.

44%右+JT5+J5屈+歷

裂項得（石一石）++：（M—標）=:（如一價）=3,證畢.

2222

5.12025?山東臨沂二模）已知正項數列｛q｝的前〃項和為S.,對任意〃cN"點（〃JogMf）在過原點且與直

線.x+y-2=0垂直的直線上.數列出｝的前〃項和為小且

⑴求數列｛《,｝的通項公式；

（2）證明：數列也｝是等差數列；

⑶若c"=誓?求數列卜“｝的前〃項和.

【解】（1）與直線x+丁-2=0垂直的直線斜率為1,過原點且與直線工+）」2二0垂直的直線為y=x,

又因為點(〃,iog34)在直線y=不上，所以1叫巴=，?，所以=3”；

(2)數列低｝的前〃項和為小且。=，，2+”，

當〃N2時，％=(=〃2+〃1)21)=2〃，

當〃=1時，4=7；=『+1=2,符合上式，所以勿=2〃，

又因為瓦+「％=2（〃+1）-2〃=2,

所以數列也｝是等系數列

n+,n>l

⑶因為S―書i-3屋=彳-上3，所以q=2爭〃3%-32=〃/（31、）,

設數列匕｝的前〃項和為紇，

23

Bn=（3'-1）+2（3-1）+3（3-1）++〃（3"7）,

所以紇=31+2x32+3x3、+//x3,,+［（-l）+（-2）+（-3）++（-〃）］,

所以優(yōu)=3-2x32+3x3、十〃〉：3”一山

2

設8=31+2x32+3x3'++〃x3”，

3B=32+2X33+3X34+?+〃X3”"，

所以-24=3+1x32+2x3、+lx3n-?x3n+,，

7

所以坊=(+3向

6.(2026?浙江寧波?二模)已知數列｛〃.｝中，4=。，2az-q=2〃+3.

⑴令勿=?！?2〃+1,求證:數列出｝是等比數列：

⑵求數列幾｝的前〃項和S”.

【解】3)因為％=0，勿=4-2〃+1,所以4=%-2+1二-1,

再由蛆=2(〃+1)+1=%M二2〃二

bnatl-2n+\an-2n+\

因為2%-4=2〃+3,所以％="“+"，代入上式得：空=；,

乙乙4乙

所以數列也｝是以-1為首項，3為公比的等比數列:

1

z(i.y

(2)由(1)可得：bn-an-2zz+1=(-1)x—I=>an=2n-\--I?

3鳴。+3針5仔…+g)M

=2+5+…+伽力固+(升百+.，+()「

=(—)〃_」」2"—七『

2),1⑴

2

7.記S“為數列｛4｝的前〃項和，已知3s.二44-3〃.

⑴求勺；(2)設2=汽比,求數列也｝的前〃項和二.

anait￥\

【詳解】(1)令〃=1時，35,=4c,-3,即得q=3,

〃22時，3s”=4%-3〃①，35W,1=4?M_1-3(/Z-1)(2),

由①■②得，4=4%+3,

又由4+1=4(4I+1),又“廣工q+l=4,所以數列｛《+1｝是以4為首項，公比為4的等比數歹I],

所以4+1=4"7①+1)=4"，勺=4"-1；

4"J(I1、

⑵因為?--3V4rt-l4n+,-l>,

RR入?11111IIfl1A

所火n=i+2+……+n=§[41—J42-1+42—1-4，1+4n+'-\J=3U-4，，+l-lj，

qc1

8.(2026?河北保定?一模)已知數列｛&｝的前〃項和為S”，且q=l,2一義t=

〃+1n2

⑴求S.

,/八”2〃+1,、

⑵若2=(-1)丁丁，求數列低｝的前〃項和.

qq1

【解】(1)因為——且4=1,

/2+1n2

可知數列是以首項為字=1,公差為5的等差數列，

In12

則41+；(〃—)=等，所以S,=當W.

(2)由(1)可知：S”=M竺D,

2

1)

當心2時，則4=S“-Sz

2

且4=1符合上式，所以q=〃

\1、

—+----

可得,"㈠"篙Hf"耦T㈠)"\nn+\J

設數列｛"｝的前〃項和為

所以數列也｝的前〃項和為-1+七11.

71+1

9.（2026?陜西榆林?模擬預測）已知等差數列｛q｝的前〃項和為黑，且生=9,邑=30.

⑴求｛q｝的通項公式；

⑵求數列■：的前〃項和;

11111

(3)證明：77+T+T++丁<”

°1°2102"乙

4+2d=9,

【解】（1）設等差數列｛凡｝的公差為乩由題意可知

4。1+6d=30,

解得4=3,4=3,故凡=4+{n-Y)d=3n.

/-、i-、rc〃(3+3〃)3,,、2

。)由(I)得S“=-------=-n(n+1),所以言=

3〃(〃+l)1（；-馬

112i、n

數列J不}的前〃項和為ITi--+---+

122

⑶由⑵知廠訴,后其中，I8,,2。,

111112cli11、

當心2時，耳+下，+鏟?,+已＜木+%+夢+福+M

111141

1J

S,S23992

111111

綜上所述，—+—+—+—++—<T.

\%Q2cN

a

10.(2025?江西宜春?模擬預測)已知數列｛q｝滿足4=5，a2=-|,+3a”=4%…

(1)證明：數列k%-必｝為等比數列；

(2)求｛《,｝的通項公式；

⑶記2=2例+1,數列*的前八項和為S"，證明：^-<SZI<1.

［她用J168

【解】(1)由。2+3凡=4。川，得凡,2-47=34“一34=3(。,』一凡)，

|33I

又《=/，4=5，所以。2-4=5-5=1。。，

所以?一。,產0，產—=3，

a^\~an

即｛&'「6｝是以1為首項，3為公比的等比數列；

(2)由⑴知%+「勺=1x31=3"”,

當〃32時，q=(q_q_J+(qT_q_2)+(q_2_q_3)+_+(a2-q)+q

°11-3""I3'i

=32+33+34HF3+—=-----F—=.

21-322

當〃=1時，％=之;也成立，所以｛凡｝的通項公式為二；

由

3?2得3Tn

)X(=+=+

1

+r_i_____

4-!_)=里__r!t_]

3n-1+1-y+11=412-3+l)

顯然｛Sj是遞增數列，所以S.N4=j

lo

因為a'i所以S”<Jx；=:,所以白

3+1