中考數學復習：二次函數壓軸題-角度問題

專題01角度問題

特殊角

【例1】如圖，已知拋物線y=云+c與x軸相交于A(FO),4(1,0),與y軸相交于點C,直線/J_AC,垂足

為C.

(1)求該拋物線的表達式：

(2)若直線/與該拋物線的另一個交點為/),求點。的坐標：

(3)設動點打〃?,〃)在該拋物線上，當NP4C=45。時，求〃？的俏.

綜合與探究

如圖.腦物線），='/一”一3與x軸交于A.△兩點（點A在點△的左側），與），軸交于點C.直線/與拋物線交于

A,力兩點，與），軸交于點E,點。的坐標為（4,-3）.

（1）請直接寫出A,5兩點的坐標及直線/的函數表達式；

（2）若點P是拋物線上的點，點P的橫坐標為砥/〃..0）,過點P作PM_Lx軸，垂足為M.PM與直線/交于點N,

當點N是線段PM的三等分點時，求點P的坐標；

（3）若點Q是），軸上的點，且4。。=45。，求點Q的坐標.

如圖1,拋物線)，=—；/+/?+c與X軸交于點44.0),B(-2,0),與y釉交于點C,線段BC的垂直平分線與對稱

軸/交于點。，與x軸交于點/，與BC交于點E.對稱軸/與K軸交于點〃.

(1)求拋物線的函數表達式及對稱軸；

(2)求點。和點尸的坐標；

(3)如圖2,若點尸是拋物線上位于第一象限的一個動點，當NE/7>=45。時，請求出此時點〃的坐標.

如圖1,拋物線y=%2+H+C交工軸于4,4兩點，其中點4的坐標為(1,0),與)，軸交于點。(0,-3).

(I)求拋物線的函數解析式；

(2)點￡)為)，軸上一點，如果直線班＞與直線BC的夾角為15。，求線段CQ的長度：

(3)如圖2,連接AC,點尸在拋物線上，且滿足NQ48=2NACO,求點p的坐標.

平分角度

【例1】如圖，二次函數-6or-l6a（4wO）的圖象與x軸交于點4,A（A在8左側），與），軸正半軸交于點C,

點。在拋物線上，CD//X軸，且O￡>=AB.

（1）求點A,8的坐標及。的值；

（2）點尸為），軸右側拋物線上一點.

①如圖①，若0P平分N8D,0P交CD于點、E,求點P的坐標；

②如圖②，拋物線上一點戶的橫坐標為2,直線C廳交x軸于點G,過點尸作直線C廠的垂線，垂足為Q,若

ZPCQ=ZBGC,求點。的坐標.

【變式訓練1】如圖1,已知拋物線y=+版+。與x軸交于A、8兩點（點A在點3的左側），與），軸交于點C,

且Q8=2Q4=4.

（1）求該拋物線的函數表達式：

（2）設。是（1）中拋物線上的一個動點，當直線OC平分NACP時，求點尸的坐標；

（3）如圖2,點G是線段AC的中點，動點石從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向終點8運動，動點尸從

點8出發，以每秒血個單位長度的速度向終點C運動，若E、尸兩點同時出發，運動時間為/秒.則當，為何值

時，A￡FG的面積是A/WC的面積的1?

【變式訓練2】如圖.在平面直角坐標系中,直線），=gx-2與x軸交于點人,與），軸交于點C,拋物線

），=?!■/+6+C經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點3.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點。為直線AC下方拋物線上一動點；

①連接CD,是否存在點O,使得AC平分NOCD?若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由.

②在①的條件下，若點P為拋物線上位于AC下方的一個動點，以尸、C、A.。為頂點的四邊形面積記作S,

則S取何值或在什么范圍時，相應的點P有且只有兩個？

【例2】如圖，拋物線），=&-+辰+3與.X軸交于4-3,0）、僅1，0）兩點，與y軸交于點。，點。是拋物線的頂點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是），軸正半軸上的一點，。加=四，點。在對稱軸左側的拋物線上運動，直線OQ交掘物線的對稱軸于

點N,連接MN,當平分NOM）時，求點Q的坐標；

（3）直線AC交對稱軸于點E,。是坐標平面內一點，當APCE與MCD全等時，請直接寫出點。的坐標.

角度相等

【例1】如圖，拋物線y=a—+bx-3(。/0)與x軸交于點A(-1,0)和點A,與y軸交于點C,該拋物線的對稱軸為

3

x=-.

2

(1)求a，b的值；

(2)若點。在拋物線上，且在/軸的下方，作射線秘，當/尸8A=NACO時，求點。坐標：

(3)若點M在拋物線上，點N在對稱軸上，是否存在點8、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，

請直接寫出點M的坐標：若不存在，請說明理由.

【變式訓練1】如圖1,直線=f+1與X軸，y軸分別交于點8,點E,拋物線4：了=+法+。經過點5，

點4(-3,0)和點C(0,-3)，并與直線L交于另一點D.

(I)求拋物線右的解析式；

(2)如圖2,點尸為x軸上一動點，連接AD,AC,CP,當N尸C4=NAD8時，求點尸的坐標；

(3)如圖3,將拋物線右平移，使其頂點是坐標原點O,得到拋物線人,將直線向下平移經過坐標原點O,

交拋物線七于另一點小，點M(-g，0),點N是4上且位于第一象限內一動點，MN交J于Q點、,QR//x軸分

別交O”,QV于S,R,試說明：QS與SR存在一個確定的數量關系.

■＞4

如圖，已知二次函數＞=or+，＞+4的圖象與y軸交于點A,與X軸交于點B(-2,0),點C(8,0),直線y=-§x+4

經過點A,與x軸交于。點.

(1)求該二次函數的表達式；

(2)點E為線段AC上方拋物線上一動點，若AAOE的面積為10,求點石的坐標；

(3)點P為拋物線上一動點，連接AP,將線段”繞點A逆時針旋轉到AP,并使NPAP=4MO,是否存在

點夕使點〃恰好落到坐標軸上？如果存在，請直接寫出此時點P的橫坐標；如果不存在，請說明理由.

【變式訓練2】如圖，二次函數y=Y+法+3的圖象與)，軸交于點A,過點A作工軸的平行線交拋物線于另一點A,

拋物線過點C(1,O),且頂點為。，連接AC、BC、BD、CD.

(1)填空：b=；

(2)點尸是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1,直線PC交直線8D于點Q.若NCQD=ZACB,求點，的坐標；

(3)點石在直線AC上，點E關于