平行四邊形的判定 第一課時 課后練習-2025-2026學年湘教版《數學》八年級下冊

第一章四邊形

1.2.2平行四邊形的判定⑴

笆）必做題

1.下列條件中，不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

A.ZA=ZC,/B=/DB.AB//CD,AB=CD

C.AB=CD,AD//BCD.AB//CD,AD//BC

2.如圖，點A是直線/外一點，在/上取兩點8、C,分別以小。為圓心，BC、人8長為半徑畫弧,

兩弧交于點。，連結4仄AD.CD,則四邊形48C。是平行四邊形.其依據是（）

t/

A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

B.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

C兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

3.如圖所示，在口4BCO中，E,尸分別在BC,AO上，若想使四邊形AR7E為平行四邊形，須添加

一個條件，這個條件可以是（）

@AF=CF^@AE=CFx③/BAE二/FCD：@ZBEA=ZFCE.

A.①或②B.②或③C.③或④D.①或③或④

4.已知，如圖，AB11CD,AB=CD,點、E、尸在BD上.乙BAE=cDCF,連接力尸,EC.

求證：(I)AE=fC：

(2)四邊形AECP是平行四邊形.

R

5.在四邊形ABC。中，ADWBC.連結對角線AC,B。交于點E,且AE=CE.

(1)求證：四邊形A8CD是平行四邊形.

(2)若4CJ_3C,已知A8=5,AO4,求3。的長.

6.如圖，在A/RC中，〃是人R上一點連接C兄過點A作/D||FC.用是AC的中點,連接FE并延

長，交4。于點。，連CD.

(1)求證四邊形A/CD是平行四邊形.

(2)若8c=4&，BF=1,Z.DCB=135°,請直接寫出尸。的長度.

苴)選做題

選做題:

7.如圖，梯形48co中，AB//CD,A8=24cm,DC=10cm,點P和。同時從。、B出發，P由。向

C運動，速度為每秒1cm,點Q由8向A運動,速度為每秒3cm,試求幾秒后，尸、Q和梯形A8CO

的兩個頂點所形成的四邊形是平行四邊形？

2

8.如圖，在平面直角坐標系中，ABII0C,71(0,-4),C(c,0),并且a,滿足c=序口巨+

713^+10.一動點P從點力出發，在線段45上以每秒2個單位長度的速度向點B運動，動點Q從點

。出發在線段。。上以每秒1個單位長度的速度向點。運動，點P,Q分別從點兒。同時出發，當點P運

動到點8時，點Q隨之停止運動，設運動時間為(秒).

(1)求氏C兩點的坐標；

(2)當為何值時，PQIIDC；

(3)點。為線段OC的中點，直接寫出為何值時，aOPD是等腰三角形.

參考答案

1.c

???四邊形A8CQ是平行四邊形，正確，故本選項錯誤；

B、*：AB//CD,AB=CD,

???四邊形A8CQ是平行四邊形，正確，故本選項錯誤；

C、根據A4=CO,AQ〃8C可能得出四邊形是等腰梯形，不一定推出四邊形A8CQ是平行四邊形，錯

誤，故本選項正確；

。、\*AB=CDfAD//BC,

???四邊形A8C。是平行四邊形，正確，故本選項錯誤：

故選C.

2.A

【解析】由題意，以3C、AB為半徑畫弧，故AD=BC,CD=AB,故其為平行四邊形的依據是兩組對

邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

故答案為：4

3.C

【解析】解：???四邊形A8CQ是平行四邊形，

J.AB//CD,AB=CDt/B二/D,AD//BC,AD=BC,

如果NBAE=NFCD,

貝SAB噂△￡>FCCASA）

:?BE=DF,

：,AD-DF=BC-BE,

即AF=CE,

*：AF//CEf

???四邊形AFCE是平行四邊形；（③符合題意）

如果/BEA=/FCE,

則4E〃。凡

4

???四邊形4FCE是平行四邊形：(④符合題意)

故答案為：C

4.(1)證明：-AB||CD,

:.乙B=Z.D.

在COF中，

乙8=Z.D

AB=CD

Z.BAE=乙DCF

???△4BEwZkCDFG4SA).

??.AE=CF.

(2)解：由(1)t^ABECDF

：.AE=CF,Z,AEB=乙CFD,

180°-z/IEF=180O-zCFD,

HPz/lEF=乙CFE.

AEIICF.

-AE=CF,

二四邊形AEd?是平行四邊形.

【分析】(1)根據二直線平行，內錯角相等得/8=/。，然后利用“ASA”證明ZMBE絲△0"，即可

求證；

(2)由全等三角形的性質得4￡=CF,NAEB=NCFD,然后根據鄰補角及等角得補角相等可得

N4后產=NCF￡由內錯角相等，兩直線平行得4￡〃C￡最后根據平行四邊形的判定定理“一組對邊平

行且相等得四邊形是平行四邊形''即可求解.

5.(I)解：???在四邊形力BCD中，力。IIBC,

：,^DAC=^ACB,乙BDA=cDBC,

，在△4E0和△CE8中，

Z.DAC=乙ACB

Z.BDA=Z.DBC>

AE=CE

：.^AEDCEB{AAS),

：.AD=BC,

\*AD||BC,

???四邊形48CD是平行四邊形；

5

(2)解；VAC1BC,

=90°,

'：AB=5,AC=4,

???在R￡△力8C中，BC2=V/4B2-AC2=V52-42=3?

,?,在四邊形48co中，AD||BC,

：.Z.DAC=Z.ACB,Z.BDA=乙DBC,

???在△4￡。和乙CE5中,

(Z.DAC=Z.ACB

I/LBDA=乙DBC，

(AE=CE

：.^AED三△CE8(力力S),

：.AD=BC,

*：AD||BC,

???四邊形/BCD是平行四邊形；

：

,CE=-2AC,2BE=-BD,

：.CE=2,

，在R￡△BCE中，BE=y/BC2+CE2=V32+22=g,

；?BD=2BE=2g.

【分析】(I)根據平行線的性質得到N/MC=乙ACB,乙BDA=乙DBC,進而根據三角形全等的判定

與性質證明△AE。=△CE8QMS)得到4。=BC,從而根據平行四邊形的判定即可求解；

(2)先根據垂直的N4CB=90。,進而根據勾股定理求出8C2,從而證明△/1ED三△CE8(44S)得至必0=

BC,再根據平行四邊形的判定與性質得到BE=：BD,從而根據勾股定理求出8E即可得

Z4

到BD.

6.(1)證明：???￡是AC的中點，

：-AE=CE.

AD||FC,：,Z-DAE=LVCE.

(Z.AED=Z-CEF,

在△ZZ4E和AFCE中，AE=CE,

LOAE=Z-FCE,

：,l^DAE三△FCKG4S4),

：.AD=CF,???四邊形A尸C。是平行四邊形.

(2)5

【解析】(2)???四邊形AFCZ)是平行四邊形，

6

/.ZB+ZDCB=I8O°,

VZDCB=135°,

:.N5=45。,

過點廣作FH_L8C于點〃，如圖所示:

ZBFH=45°=ZB,

:.BH=FH,

在Rt^B/77中，BF=\,BFP+F^BF2,

A2^=1,

:,BH=FH巫,

2

：.CH=BC-BH=4V2一包=鳴

22

在RtACFH中,FC=F*CU,

?.?”|囹+（苧）、5,

故答案為：5.

【分析】（I）先利用“ASA”證出△DAE-△FCE,可得AD=CF,再結合4。IIFC,即可證出四邊形

AR7Q是平行四邊形；

（2）過點F作FHLBC于點H,利用勾股定理求出8，="/=電，利用線段的和差求出

2

CH=BC-BH=4&一4=斗，最后利用勾股定理求出FC的長即可.

7.解：①以PQAO構成四邊形

設x秒成為平行四邊形

根據題意得：

x=24-3x

,\x=6

???當運動6s時成為平行四邊形；

②以PQBC構成四邊形

設），秒成為平行四邊形

7

根據題意得；

10-y=3y

.*.>=2.5

???當運動2.5s時也成為平行四邊形.

③四邊形南QC、四邊形PQQB其實也可能成為平行四邊形，其中，POQ8是錯誤的，四邊形附QC

成為平行四邊形時是7秒.

故答案為6秒、2.5秒、7秒

【分析】根據題意P，Q和梯形A8CO的兩個頂點構成平行四邊形，分兩種情況討論：①可以構成

四邊形PQI。；②可以構成四邊形PQ8C兩種.

8.(1)解：vc=Va-13+V13-a4-10.

工鬲"I?]:解得°=13.

<13-a>0.

c=10.-AB||OC,21(0,-4),.-./?=-4.

故3(13,-4),C(10,0)；

(2)解：由題意得：AP=2t,QO=t,則：PB=13-2t,QC=10-t.

vPQIIBC,AB||OC,

四邊形PQCB是平行四邊形，APB=QC.

13-2t=10-t.解得t=3.

???當為3s時，PQIIBC.

(3)解：當為2或Is或4s或4時，ZiOPC是等腰三角形

【解析】解：(3)當為1或1s或4s或1時，△。尸。是等腰三角形.

提示：???點。為線段。C的中點，=5.

當OP=OD=5時，AOPD是等腰三角形，

?.Q=4,RP=3=2-=宏

當DP=OD=5時，△OPD是等腰三角