一定是直角三角形嗎-【暑假預(yù)習(xí)】新八年級數(shù)學(xué)（北師大版）

第八講一定是直角三角形嗎

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會用勾股定理逆定理判定三角形是不是直角三角形.

2.理解勾股數(shù)的概念，并能準(zhǔn)確判斷一組數(shù)是不是勾股數(shù)

【基礎(chǔ)知識】

1.如果三角形的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

2.滿足條件a?+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，常見的數(shù)組有3、4、5：5、12、13；8、

15、17等等.這些數(shù)組的倍數(shù)仍然是勾股數(shù)組.

【考點剖析】

考點一：勾股數(shù)

例1.（1）下列各組數(shù)據(jù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.3,4,5B.I,2,3

C.8,9,10D.5,6,9

【答案】A

【詳解】

解：A、32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，放是勾股數(shù)；

B.12+22^3\不能構(gòu)成三角形，故不是勾股數(shù)：

C、+10\不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)：

D、52+62^92,不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù).

故選：A.

（2）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.12,8,5B.0.3,（）.4,0.5C.9,12,15D.

6810

【答案】C

【詳解】

解：A、82+52?122,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項錯誤；

B、0.3，0.4,0.5,不是整數(shù)，故此選項錯誤；

C、92+122=152,能構(gòu)成直角三角形，是整數(shù)，故此選項正確；

D、不是整數(shù)，故此選項錯誤；

6810

故選：C.

考點二：直角三角形的判定

例2.（1）下列條件中，能判斷8c是直角三角形的有（）

?ZA+ZB=ZC；②Z4-N8=NC；③ZA:NB:NC=2:5:3；

@ZA=2ZB=3ZC；⑤N4」N5」NC；⑥A6:AC:3c=3:4:5.

23

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】A

【詳解】解：①ZA+/3=NC,

???ZA+ZB^-ZC=2ZC=180°.

AZC=90°,即△A8C為直角三角形；

②ZA-/8=NC,

.??NA=N3+NC,

???ZA+NB+NC=24=180%

???NA=90。，即A44C為直角三角形；

⑤ZA:N3:NC=2:5:3,

ZB=180°x---=90°,即LABC為直角.三角形；

2+5+3

@ZA=2ZB=3ZC,

，可以假設(shè)NA=6A,NB=3k,NC=2k,

???62+34+22=180°,

國］。

11)

1080

°>90。，即AABC是鈍角三角形;

，ZA=~TT

⑤ZA」N8=』NC,

23

設(shè)/A=x,ZB=2x,ZC=3x,貝ijx+2x+3.r=180。，

解得尸30°,故NC=h=90。，即△ABC是直角三角形；

⑥AB:AC:5C=3:4:5,

設(shè)A8=3x,AC=4x,BC=5x,則（3x）2+（4x）2=（5x）2,即是直角三角形,

故選：A.

（2）如圖，根據(jù)下列條件，不能判斷△AM是直角三角形的是（）

A

A.ZD=20°,ZB=70°B.A3=5,A。=12,3。=13

C.AC=BC=DCD.N8=3NO,N84O=8N。

【答案】D

【詳解】

解：A、ZD=20°,ZB=70°,

貝1」/區(qū)4。=180。-20。?70。=90。，則aAB。是直角三角形；

B、AB=5,AD=\2,BD=\3,滿足AB?+AO?=80?，

則△ABO是直角三角形；

C、AC=BC=CD,則NB=/C4B,ND=/CAD,

：.ZBAD=ZCAB+ZCAD=—(ZB+ZCAB+ZD+ZCAD)=90。，則△48。是直角三角形；

2

D、ZB=3ZD,ZBAD=8ZD,

貝ij3ZD+8ZD+ZD=180°,

解得：Z￡>=15°,則NMD=8ND=120。，則AABD不是直角三角形；

故選D.

考點三：勾股定理逆定理的應(yīng)用

例3.古埃及人曾用下面的方法得到直角：如圖他們用13個等距的結(jié)把一根繩子分成等長

的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結(jié)和第13個結(jié)，兩個助手分別握住第4個結(jié)和第

8個結(jié)，拉緊繩子，就會得到一個直角三角形，其直角在第4個結(jié)處.

圖1圖2

（1）你能說說其中的道理嗎？

（2）仿照上面的方法，你能否只用繩子，設(shè)計一種不同于（1）的直角三角形（在圖2中,

只需網(wǎng)1出示意圖.）

【答案】（I）見解析；［2）見解析

【詳解】解：（I）設(shè)相鄰兩個結(jié)點的距離為■則此圖1口△A4c的三邊長分別為3x、4x、

5x?

（3x）2+（4x）2=（5x）2,

???以3x、4.x>5x為邊長的三角形是直角三角形，即AABC是直角三角形，其中ZC=90°；

（2）V62+82=102?

???如圖所示,△。所即為所求（答案不唯一,正確即可得分）.

例4.如圖，在心△ABC中，NACB=90。，AB=13,AC=12,點。為△A3C外一點，連接

BD,CD,測得C/X4,80=3,求四邊形48OC的面積.

【答案】36.

【詳解】

解：在向AABr中，NACB=90°,AC=\2,AB=13,

/.BC^AB'AC2=132-l22=25,

：,BC=5,

VC￡>=4,80=3,

:.CgRgBC2,

是直角三角形，且ND=90。，

S&DBC=—BDXDC=—x3x4=6；

22

由（1）知在心AABC中，N8CA=90°,AC=12,BC=5,

/.SAABC=~BCxAC=-x5x12=30.

22

:.S四邊形八3CD=SA4，C+SAO8C=30+6=36.

【真題演練】

1.在下列由線段m江c的長為三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.。=4,b=5,c=6B.a=12,b=5,c=13

C.a=6,〃=8,c=10D.a=7,人=24,c=25

【答案】A

【詳解】

A、42+52^62?所以該三角形不是直角三角形，故該選項符合題意；

B.122+52=132,所以該三角形是直角三角形，故該選項不符合題意；

C、62+82=102.所以該三角形是直角三角形，故該選項不符合題意；

D、72+2不=252,所以該三角形是直角三角形，故該選項不符合題意.

故選A.

2.以下列各組數(shù)據(jù)為邊長作三角形，其中能組成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.4,6,8C.8,24,25D.6,12,13

【答案】A

【詳解】

解：432+42=52,能組成直角三角形；

B、4MV82,不能組成直角三角形；

C、82+24V252,不能組成直角三角形；

D、62+122,132,不能組成直角三角形.

故選：A.

3.下列條件中，使△AAC不是直角三角形的是（）

A.a=3,Z?=4,c=5B.a2+Z?2=c2

C.a:b:c=2:2:3D.ZA:ZB:ZC=1:2:3

【答案】C

【詳解】

A、???3?+42=52，???△ABC是直角三角形;

B、???。2+從=/,...△A6c是直角三角形;

C、設(shè)a=b=2x,c=3x,

222

a+b=(2x)2+(2x)2=8/,/_(3X)=9/,

?*-a2+Z?2,

???△48C不是直角三角形；

D、設(shè)NA=x,則NB=2x,ZC=3x,

VZA+ZB+ZC=18OC.

，x+2x+3x=180°，

解得x=3()°,

???NC=3x=90。，

???△AAC是直角三角形；

故選：C.

4.若AABC的三邊為下列四組數(shù)據(jù)，則能判斷△人臺。是直角三角形的是()

A.1、2、2B.2、3、4C.6、7、8D.6、8、10

【答案】D

【詳解】

解：?.?12+22=5^22,

.?.△A6C不是直角三角形，故A不符合題意；

?/22+32=13^42,

「.△ABC小是直角三角形，故4不符合題意；

?.?62+72=85工82,

.?.△A區(qū)C不是直角三角形，故C不符合題意；

62+82=100=102,

「.△A8C是直角三角形，放。符合題意；

故選：D.

5.以下列三個數(shù)為邊長的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是()

A.1,2,3B.2,3,4C.6,8,10D.9,16,25

【答案】C

【詳解】

解：???『+22=5工32,故4錯誤;

222

v2+3=4+9=13^4,故2錯誤;

V62+82=36+64=100=102,故。正確；

92+16?=81+256=337w252,故。錯誤；

故選：C.

6.已知△ABC的三邊長分別為a,b,c,且這三邊長滿足(a—3)2+JE+|C-5|=0,

則aABC最長邊上的高人()

12

A.3B.4C.5D.—

5

【答案】D

三角形的面積公式列方程即可求解.

【詳解】

解：V(r/-3)2+\]b-4-1<?-5|=0,

a—3=0.〃—4=0,c—5=0>

解得：。=3,〃=4,c=5.

則a1+b2-(?>

故這個三角形的形狀是直角三角形，

根據(jù)題意得：-ab=-ch

22

BP—x3x4=—x5/?,

22

解得：/?=￡.

J

故選：D.

7.已知a,b,c是^ABC的三條邊，滿足下列條件的aABC中，不是直角三角形的是()

A.b2=c2-a2B.ZA：ZB：ZC=3：4：5C.ZC=ZA-ZBD.a：b：c=5：

12：13

【答案】B

【詳解】

解：A、Vb2=c2-a2,

c2=b2+a2,

???△ABC是直角三角形

故本選項不符合題意；

B、VZA+ZB+ZC=180°,ZA：ZB：ZC=3：4：5,

???最大角NC=?xl8()o=75。，此三角形不是直角三角形，本選項符合題意：

C、VZC=ZA-ZB,

/.ZC+ZB=ZA,

AZA=90°,

???△ABC是直角三角形，

故本選項不符合題意；

D、Va：b：c=12：13：5,

:.a2+c2=b2,

???△ABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選:B.

8.AABC中NA，DB,NC的對邊分別是〃，b,c,下列說法錯誤的是()

A.如果NC-N8=NA,則AABC是直角三角形

B.如果02二/一后，則是直角三角形，且NC=90。

C.如果4:N3:NC=5:2:3,則AA8C是直角三角形

D.如果(c+G(c-。)=〃，則AA3c是直角三角形

【答案】B

【詳解】

A選項：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求出NC為90度，故A正確；

B選項：解得應(yīng)為NB=90度，故B錯誤；

C選項：設(shè)三角分別為5丸，3x,2九，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得三外角分別為：

90度，36.度，54度，則AA8C是直角三角形，故C正確；

D選項：化簡后有，=〃+〃.根據(jù)勾股定理.則AABC是直角二角形，故D正確：

故選B.

9.如圖，一塊四邊形的土地，其中NB4D=90。，A6=4m，BC=13m,CD=12m,

(1)試說明BOJ.AC；

(2)求這塊土地的面積.

【答案】(I)證明見解析；(2)36).

【詳解】

(1)如圖，在RsARD中，ZBAD=90°,AR=4m.AD=3m.由勾股定理得：RD=5m.

VBC=l3m,CD=l2m,BD=5m.

.\BD2+DC2=BC2,

Z.ZBDC=90°,

即BD±BC；

（2）如圖，四邊形ABCD的面積是

SAABD+SABDC=—X3X4H—x5x12=36nr.

22

10.如圖是一塊四邊形菜地，Rt^ABC?AB=4m,8c=3m,CD=\2m,DA=\3m,求

這塊菜地的面積.

【詳解】

如圖，連接AC,

因為Z48C=90°，AB=4,8c=3,

所以AG=42+32,AC=5

因為AG+CQZtSZ+izzqG%4^=132=169

所以AG+CD2=AO2,

所以ZACO=90。，

3x45x12

所以菜地的面積為——+——=6+30=36（，"）.

22

【過關(guān)檢測】

1.下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.3,4,5B.6,8,10C.5,5,6D.5,12,13

【答案】C

【詳解】

解.：A、32+42=52,符合勾股定理的逆定理，故錯誤；

B、62+82=102,符合勾股定理的逆定理，故錯誤;

C、52+52,62,不符合勾股定理的逆定理，故正確；

D、52+122=132,符合勾股定理的逆定理，故錯誤.

故選：C.

2.已知IAABC中，a、b、c分別是NA、NB、NC的對邊，下列條件不能判斷aABC是直角三

角形的是（）

A.ZA=ZC-ZBB.a：b：c=25：7：24

1,11

C.9=lr9-c?D.=-,/?=-,c=-

345

【答案】D

【詳解】

解：A.由NA=NC-NB且NA+NB+NC=180。，可求得/C=90。，故AABC是直角三角形，

A選項不符合題意：

B.設(shè)a=25,b=7,c=24,此時/+〃=25?=°?,故^ABC是直角三角形，B選項不符合題

意；

C.由條件可得到/二〃2一。2,滿足勾股定理的逆定理，故AABC是直角三角形，C選項不

符合題意；

（\V（125

D.此時"+〃=_!_+1=￡工o2,故^ABC不是直角三角形，符合題意.

⑶⑷144

故答案選D.

3.適合下列條件的^ABC中，直角三角形的個數(shù)為（）

(1)a=b,ZA=45°(2)ZA=32°,ZB=58°(3)a=5,b=12,c=13(4)a=32,b=42,c=52

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】

解：(1),:a=b,

，NA=NB.

VNA=45。，

???NA=NB=45°,ZC=90°,

???△ABC是直角三角形：

(2)VZA=32°,ZB=58°,

/.ZC=180°-32°-58°=90%

???△ABC是直角三角形；

(3)a=5,b=\2,c=13,

.?.東+為鼻

???ZC=90°,

???△ABC是直角三角形.

(4)Va=32,b=42,c=52,

:.a2+b2^c2,

，不能判定△人8C是直角三角形.

???直角三角形的個數(shù)有3個，

故選：C.

4.下列說法中正確的是()

A.已知a,b,c是三角形的三邊，則〃+/=c2

B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方

C.在中，ZC=90\所以AB?+AC?=臺。？

D.在RfAABC中，ZC=90\所以AC?+=4臺？

【答案】D

【詳解】

A.在直角三角形中，兩個直角邊為a,b,斜邊為c,則才有/+。2=。2,排除.

B.在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，排除.

C.在RfAA5c中,NC=90°,則斜邊為AB,ttWAC2+BC2=AB1,排除.

D.在RfAABC中，NC=90’,則斜邊為AB,故有AC?+3C?=AB?,正確

5.已知三角形的三邊長為6,8,10,則這個三角形最長邊上的高為()

A.2.4B.4.8C.9.6D.10

【答案】B

【詳解】

解：???62+82=102,

???這個三角形是直角三角形，

，邊長為10的邊上的高為6X8引0=4.8.

故選：B.

二、填空題

6.若三角形三邊長分別為15,12,9,則這個三角形最長邊上的高是—.

【答案】—

【詳解】

因為92+122=152,所以此三角形是直角三角形，

設(shè)最長邊上的高為〃，

11or

所以該三角形的面積為一x9xl2=-xl5x/?,解得力=一.

225

故答案為義.

7.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，點A3,C在小正方形的格點上,

連接則NA5C=。.

【答案】45

【詳解】

解：如圖，連接AC

由勾股定理得：

AB2=12+32=10,AC2=12+32=10,BC2=22+42=20,

/.AB=AC,AB1+AC2=BC2,

「.△ABC為等腰直角三角形，NB4C=90。，

:.ZABC=45°9

故答案為：45。，

8.三角形的三邊a,b,c滿足(a—b)2=c2—2ab,則這個三角形是.

【答案】直角三角形.

【詳解】

解：???(a-b)2=c2-2ab,

/.a2-2ab+b2=c2-2ab,

:.a2+b2=c2.

1?△ABC是直角三角形.

故答案為：直角三角形.

9.閱讀下列一段文字：在直角坐標(biāo)系中，已知兩點的坐標(biāo)是M(xi,yi),N(X2,yi)),

M,N兩點之間的距離可以用公式MN=J(二一々I+(%一%)?計算?解答下列問題：

(1)若點P(2,4),Q(?3,?8),求P,Q兩點間的距離；

(2)若點A(1,2),B(4,-2),點O是坐標(biāo)原點，判斷AAOB是