2026年中考數學二輪復習：二次函數的圖象與性質（學案）

二次函數的圖象與性質

考點精講

構建知識體系

概念］—y=a/+A/+c(a,b,c是常數.“0；

實際問題［二次函數］一開口方向

一(圖象與性質｝—--對稱性

一頂點坐標一最值

J增減性

-----般式

與一元二次

二次函數的實際應用解析式—頂點式一圖象的平移

方程的關系J交點式

I

考點梳理

1.二次函數的圖象與性質

表達式y-axL+bx+c{a,b,c是常數，存0)

a。>0a<0

>一

圖象(草圖)救

⑴對稱軸為直線k①______

對稱軸(2)利用x=三上求解(其中為，x2為關于對稱軸對稱的兩點的橫

坐標)

頂點(1)頂點坐標為②__________

坐標(2)將一般式配方化為頂點式產g-4+k,則頂點坐標為③

在對稱軸左側，即當X<-?在對稱軸左側，即當時，

2a2a

增減性

時，y隨x的增大而減小；在y隨x的增大而增大；在對稱軸

對稱軸右側即當時，右側，即當x>-/時，)，隨X的

2a

y隨x的增大而增大增大而減小

當x二?5時，丁取最小值

IX

最值當尸-小寸，y取最大值竺一

4ac-b2

4Q

2.二次函數的圖象與系數a,h,c的關系

a>0開口④______

a的正負

a<0開口⑤_____

/?=()對稱軸為y軸

a,h的值a,b同號對稱軸在y軸⑥______

a,b開p對稱軸在y軸⑦______

c=0拋物線過原點

c的正負c>0拋物線與)，軸交于⑧—半軸

c<0拋物線與y軸交于⑨—半軸

b2-4ac=0與x軸有唯一的交點(頂點)

b--4ac的值hr-4ac>0與x軸有⑩________交點

h2-4ac<0與工軸沒有父點

3.二次函數表達式的三種形式

(1)一般式：=ax1+hx+c(a,h，。為常數，。羊0)

(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數,a/0),其中頂點坐標為(〃,k)

(3)交點式：y=a{x-x))(x-x2)(?#0,a,x\,x2為常數，其中即，x2為拋物線與x

軸交點的橫坐標)

4.二次函數圖象的平移

化為

(1)將y=or2+版+c-?y=a[x-/?)2+k

⑵平移規律

平移前的解析式移動方向(加>0)平移后的解析式簡記

向左平移m個單位y=a[x-力+m)2+k左"+”

向右平移m個單位y=a(x-八-+k右"-”

y=a(x-It)2+k

向上平移m個單位y=a(x-/i)2+4+上“+”

向下平移"2個單位y=-A)2+X-下“

5.二次函數與一元二次方程的關系

與"軸二次函數y二辦2+法十。的圖象與x軸交點的橫坐標是一元二次方

交點坐

標的確定程加+"+”0的解

(1)二次函數的圖象與X軸有兩個交點=方程加+bx+c=o有?

的實數根-4ac>0；

與A-軸交點個⑵二次函數的圖象與"由有且只有一個交點o方程江+公+c=0

數的判斷有兩個相等的實數根=爐-4"?_____0；

(3)二次函數的圖象與x軸沒有交點=方程以2+"+。=。?___實

數根-4ac<0

練考點

1.已知二次函數y=2(x-2)2+5.

⑴二次函數圖象的對稱軸為直線；頂點坐標為；

⑵二次函數的圖象經過點(3,月),(5,竺),則yY2.(域”或“V”)

2.已知函數)，=f-4x+3.

⑴函數圖象的開口向—,與y軸的交點坐標為；

⑵函數的圖象與x軸有一個交點，交點的坐標為.

3.⑴已知拋物線y=%2+笈+c過點(0/)和(1,0)，則拋物線的解析式為；

⑵已知二次函數的圖象經過點(1,0),(3,0)和(2,3),則這個二次函數的解析式

為.

4.已知拋物線y"-2x-3.

⑴將此二次函數的圖象先向上平移3個單位長度，得到的二次函數G的解析式

為再向右平移1個單位長度得到的二次函數的解析式為；

⑵若將拋物線經過平移后得到拋物線了二爐,則平移的方式是.

5.已知拋物線y=x2+x-2則一元二次方程/十工-2=0與x軸有個交

點,該一元二次方程的解為.

高頻考點

考點1二次函數的圖象與性質

例1已知二次函數y=/-2%-3,根據要求回答下列問題.

(1)該二次函數表達式化為頂點式為;

⑵核心設問該二次函數有最值(填“大”或“小”),其最值為;

⑶核心設問當-3<^0時，)，的最大值為,最小值為；

(4)當-1<￥<2時,y的最大值為,最小值為；

⑸若點4(5,12)為二次函數圖象上的點，則點4關于對稱軸對稱的點的坐標

為；

⑹核心設問若點4-2,6)，8(2,竺)，C(5,y3)在該二次函數圖象上，則,，

”，》的大小關系為；(用“<”連接)[2024廣東8題考查]

⑺若(45)，(〃2,冷堤拋物線上不同的兩點，且丁2二6-5,則m的值為.

變式1對于拋物線y=3(x-2產-1,下列說法正確的是()

A.)，隨工的增大而減小

B.當x=2時，y有最大值-1

C.若點A(3,y),3(1,h)都在拋物線y=3(x-2)2-1上，則y]>y2

D.經過第一、二、四象限

考點2二次函數的圖象與系數。，匕，c的關系

例2如圖，拋物線y=加+公+c,其對稱軸為直線x=1.根據圖象,分析并判

斷下列結論，用“>”“鏟'<或“二"填空.

例2題圖

(l)a0,h0,c0；

(2)Z?2-4ac0；

(3)2。+b0；

(4)6f+/7+c0；

(5)4〃-2b+c0；

(6)c-a0；

⑺2c-3b0；

(g)a+bm(am+力)(/療0).

方法解讀

1.根據從-4ac的符號觀察與x軸的交點個數:

⑴與x軸有兩個交點一/-4ac>0；

⑵與x軸有一個交點一序-4ac=0；

⑶與x軸沒有交點一。2-4ac<0.

2.二次函數圖象與特殊代數式之間的關系

⑴如遇見2a+b,2a-b類的式子，可利用對稱軸與±1比較求解；

(2)如遇見a+b+cta-b+c類的式子，可利用x=±l,求出y的大小求解；

⑶如遇見。，c或〃，。關系的式子，可利用對稱軸(如：2〃+〃)與x等于某個值時

y的式子(如a+b+c)聯立求解；

(4)如遇見5+4<從形式的式子，先因式分解，再利用x等于某兩個值的式子聯

立求解.

例3已知a+b=0(tz#0)>0則二次函數y=ax2+bx+c的圖象可能是()

考點3二次函數解析式的確定(含平移)

例4如圖，拋物線y=加+fer+c與x軸相交于點4-1,0),B(點A在點B

左側)，與丁軸相交于點C(0,-3).

⑴若拋物線的對稱軸為直線尸2,求該拋物線的解析式；

⑵若拋物線向左平移3個單位后，經過坐標原點，求該拋物線的解析式；

⑶核心設問若A0:8。=1:2,求該拋物線的解析式；

（4）若直線），=2x+m經過點B,C,求該拋物線的解析式.

變式3已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y=-+%相同，且

它的頂點坐標為（-1,6）,則這條拋物線的解析式為.

考點4二次函數與一元二次方程、不等式的關系

例5已知拋物線y二/+云+。（。邦）的部分圖象如圖所示廁關于x的一元二次

方程ax1+bx+c=-1有個實數根.

例5題圖

變式4已知，拋物線尸以2+以十式〃<0,厚0）經過點（-2,0）,（3,0）,則方

程CX2+法+Q=0的解為.

真題及變式

命題點1二次函數的圖象與性質

1.若點,刃），（2,乃）都在二次函數尸X2的圖象上，則（）

A.刈>竺>JiB.y2>yi>y3

C.)'i>為>"D.乃>)"

2.如圖,拋物線y=+。經過正方形0A3C的三個頂點A,8,C,點8在y

軸上，則ac的值為（）

4

B

0\x

第2題圖

A.-1B.-2C.-3D.-4

變式

2.1變思維——將利用對稱性變為利用正方形的邊角關系

如圖，在正方形A8CD中，點3,。的坐標分別是（-1,-2）,（1,2）,點C

在拋物線產-#+云的圖象上，則b的值是（）

變式2.1題圖

命題點2二次函數圖象與系數。，/7,c的關系

3.如圖，拋物線y=ax1+bx+c的對稱軸是直線x=1.下歹U結論：@ahc>0；@b2

-4〃c、>0；③8。+c<0；④5。+8+2c>0,正確的有()

A.4個B.3個

變式

3.1變條件——與表格結合

已知二次函數產加+區+c的），與x的部分對應值如下表：

X-4-3-115

y0595-27

下列結論：①abc>0；②關于x的一元二次方程cur+bx+c=9有兩個相等的實

數根；③當-4<x<1時，y的取值范圍為0<y<5；④若點（加，y\）,（-"L2,

”）均在二次函數圖象上，則y二竺；⑤滿足以2+3+1）x+CY2的X的取值范

圍是x<-2或x>3.其中正確結論的序號為.

命題點3二次函數圖象的平移

4.把函數y=（x-1戶+2的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析

式為（）

A.j?=x2+2B.y=(x-I)2+1

C.y=(x-2)2+2D.v=(x-I)2+3

5.把拋物線)，二及+1向左平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到

的拋物線的解析式為.

變式

5.1變條件——將拋物線平移變為坐標軸平移

拋物線的函數表達式為y=(x-1>+2,若將《軸向上平移2個單位長度，將y軸

向左平移3個單位長度，則該拋物線在新的平面直角坐標系中的函數表達式為

()

A.y=(x+2/+4B.y=(x+2)2

C.y=(x-4)2+4D.y=(x-4)2

考點精講

①②(-《,竺三上)③(",外④向上

⑤向下⑥左側⑦右側⑧正⑨負⑩兩個

?兩個不相等?=?無

練考點

l.(l)x=2,(2,5)；(2)<

2.⑴上，(0,3)；(2)兩，(1,0)和(3,0)

3.⑴產f-2x+l；

(2)產-3(x-1)(%-3)

4.(l)y=x2-2x,y=/M+3；

⑵先向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度(答案不唯一)

5.兩；x產-2zX2=1

高頻考點

例1(l)j=(x-1)2-4；

⑵小，-4；

⑶12,-3；

(4)0,-4；

⑸(-3,⑵；

(6?2<巾<心；

⑺-1或3.

變式1D【解析】??拋物線y=3(x?2)2-1=3/-⑵+11,a=3>0,對稱軸

為直線x=2?.當x<2時，y隨尢的增大而減小；當x>2時，y隨x的增大而增

大，故A選項錯誤,不符合題意廠.?拋物線開口向上，，當工二2時,)，取最小值

為-1,故B選項錯誤，不符合題意；由題意得拋物線上的點離對稱軸越近函數

值越小，?.拋物線的對稱軸是直線x=2,|3-2|=|1-2|,.?.)—一，故C

選項錯誤，不符合題意；,.?當犬<2時，)，隨x的增大而減小，且當x=0時，y=

11,???當x<0時，y>11,故圖象不經過第三象限,故D選項正確,符合題意.

例2⑴>,<,<；

(2)>；(3)=；(4)<；(5)>；

(6)<；【解析】由圖象可知，a>0,c<0,c-a<0.

⑺<；【解析〉.?對稱軸為直線,.?.」=1,.?.〃二將戶?1代入二

2a2

次函數解析式得y=a-b+c<0,--Z?+c<0,2c-3b<0.

(8)<【解析】將九二1代入二次函數解析式得+b+將X=〃2代入得y二

卬九2+bm+c,當相=1時，。+/7+c=am2+bin+c,即。+b=m(am+〃)；當〃用1

時,.「當x=1時y取得最小值，.二a+b+c<anr+bm+c,BPa+Z?<m[am+b),

綜上所述,a+b<m{am+b).

例3C【解析】,+〃=(),..。=-b，.二對稱軸為直線x二-7-=7-=|，二ac

2a2a2

>o,，C同號，，選項C符合題意.

例4解：⑴?.拋物線的對稱軸為直線-白=2,

2a

.,./?=-4a,

=ax2bx+c=ax1-4ax+c,

將A(-1,0),C(0,-3)代入y=ax1-4ax+c中，

a+4a+c=0

(c--3

解得,,

(c=-3

.?二咤，

.?拋物線的解析式為y=￥-也-3；

(2)由題意，拋物線經過點(3,0),

??,該拋物線與x軸交于A,8兩點，且點A的坐標為(-1,0),

???可設拋物線的解析式為y=o(x+l)(x-3),

將點C(0,?3)代入，得?3二?3。，

解得a-\,

「?拋物線的解析式為y=(x+1)(%-3)=x2-2x-3；

(3),?點4的坐標為(-1,0),

.t.AO=1,

：AO:BO=1:2,

1.BO=2,

.,點B的坐標為(2,()),

將4-1,0),僅2,0),C(0，-3)分別代入廣爾+法+c、中，

a-b+c=0

得＜4Q+2b+c=0,

、c=-3

3

a=-2

解得＜

b=--2,

、c=_3

.?拋物線的解析式為y=#-|x-3；

(4)將C(0,-3)代入y=2r+'中，

得“二-3,

???直線BC的解析式為y=2x?3,

令2x-3=0,解得x~\!

.?點B的坐標為(|,0),

將4-1,0),次|,0),C(0,-3)分別代入廣公+法+c中,

Q-b+c=0

得＜2。+九+。=0,

42

、c=-3

a=2

b~l,

{c--3

.?該拋物線的解析式為)，=2f-x-3.

變式3)，=-2(x+1產+6【解析】??拋物線的頂點坐標為(-1,6),.?拋物線解

析式可設為y=+I)?+6,,.拋物線>,=a(x+1尸+6的形狀、開口方向均與拋物

線)，=-2?+9x相同,/.?=-2，.二這條拋物線的解析式為y=-2(x+I)2+6.

例5兩【解析】???二次函數的頂點在第二象限，且開口向下，.?拋物線產"2

+bx+c與直線y=-1有兩個不同的交點，.二關于x的一元二次方程ax2+bx+c

=-1有兩個實數根.

變式4%)=；【解析】??拋物線y=〃f+bx+c經過點(-2,0),(3,

0)，，對稱軸為直線x二；,即-白=9,,"二■a?：'a~-尻將點(-2,0)代入廣

ox2+bx+c中，得4。-2/?+c=0,-4Z?-2〃+c=0,：.c-6b，.t6bx2+bx-b=0,

即6r+x-1=0,解得即=-;,x2=；.

真題及變式

1.A【解析】?.?二次函數的解析式為)，-2,.?該二次函數的圖象開口向上,對

稱軸為)，軸,在對稱軸右側，y隨X的增大而增大,,.-2>1>0zJ3>)2>>'I.

2.B【解析】如解圖,連接AC交y軸于點。，當尸0時，尸c,即08=c,

???四邊形OABC,,AC=OB=2AD=20D=c,ACA.OB/.A(-=

z222

r2

ax—+c,解得ac--2.

4

第2題解圖

變式2.1D【解析】如解圖,過點C作"NLt軸，作于點M,DN

，仞V于點N,,.四邊形ABCQ是正方形，」.NBC。=90。，BC=DC,「.NBCM+N

DCN=9Q°=/BCM+4cBM，:ZDCN=4cBM,.2BMC=4CND=90。，].△CBM

^△OCMAAS)，:,CN=BM,ON二CM,設C(4,份，?.點B,D的坐標分別是(-1,

(a+1=2-h(a=2

-2),(1,2),??《，解得…-I),,.點。在拋物線y

[a-l=b+2S-T

=--x2+hx的圖象上，-l=--x4+2h,：.h=-.

222

變式2.1題解圖

3.B【解析】①?.拋物線開口向下且交y軸于正半軸，.“<(),c>0,又?.拋物

線的對稱軸為/=-白=I,=-2a>Q,：.abc<0,故①錯誤；②由拋物線與x

乙(X

軸有兩個交點，得〃-4〃c>0,故②正確；③由題圖知，當x二?2時，二次函

數y=4a-2b+c<0,又由①知b--2a./.y=4a-2b+c=Sa+c<0,故③正確；

④+/?+2c=(4〃+