2027金版教程一輪復習數學基礎版第7章第3節 等比數列

第七章數列第三節

等比數列課標解讀考向預測1.通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義．2.探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系．3.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．4.體會等比數列與指數函數的關系.預計2027年高考會從以下兩個角度來考查：(1)等比數列及其前n項和的基本運算與性質，可能與等差數列綜合出題，難度較小；(2)等比數列的綜合應用，可能與函數、方程、不等式結合考查，難度中檔.必備知識強基礎考點探究提素養課時作業目錄必備知識強基礎1．等比數列的有關概念(1)等比數列的定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于_______常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)．數學語言表達式：＝____(n≥2，q為非零常數)．同一個q(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項．此時G2＝_____．提醒：(1)“G2＝ab”是“a，G，b成等比數列”的必要不充分條件．(2)只有當兩個數同號時，這兩個數才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數．(3)等比數列的奇數項符號相同，偶數項符號相同．aba1qn－13．等比數列的性質已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和．(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有akal＝______．(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為______．(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為______．amanqmqn×題組一走出誤區——判一判(1)三個數a，b，c成等比數列的充要條件是b2＝ac.(

)(2)如果數列{an}為等比數列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數列．(

)(3)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數)的數列{an}為等比數列．(

)(4)如果數列{an}為等比數列，則數列{lnan}是等差數列．(

)×××題組二回歸教材——練一練(1)(人教A選擇性必修第二冊4.3.2練習T3改編)等比數列{an}中，a1＋a4＝0，a2＝－2，記Sn為{an}的前n項和，則S4＝(

)A．－8 B．－5C．－4 D．0解析：設等比數列{an}的公比為q，則a1＋a4＝a1＋a1q3＝0，因為a1≠0，則q＝－1，又a2＝－2，故a1＝2，a3＝2，a4＝－2，則S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝0.故選D.(3)(人教A選擇性必修第二冊4.3.1練習T2改編)在等比數列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5＝(

)A．5 B．±5C．4 D．±4(4)(人教A選擇性必修第二冊4.3.2練習T4改編)已知三個數成等比數列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數為__________________．1，3，9或9，3，1考點探究提素養等比數列基本量運算的思想方法方程思想等比數列的基本量為首項a1和公比q，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等比數列中包含a1，q，n，an，Sn五個量，可“知三求二”整體思想當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，q表示，尋求兩者間的聯系，整體代換即可求解分類討論思想若題目中公比q未知，則運用等比數列前n項和公式時，要分q＝1和q≠1兩種情況進行討論3．等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝t·2n－1－1(t為常數)，則t＝________．2利用等比數列項的性質的解題策略4.公比不為1的等比數列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，若a2am＝4，則m的值為(

)A．8 B．9C．10 D．11解析：∵公比不為1的等比數列{an}滿足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4，又a2am＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故選B.5．(2026·北京海淀模擬)若{an}是無窮數列，則“{an}為等比數列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若{an}為等比數列，則anan＋3＝an＋1·an＋2(n∈N*)；若anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)，則{an}可以是全部為0的常數列，此時{an}不是等比數列．故“{an}為等比數列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的充分不必要條件．故選A.考向2等比數列前n項和的性質(1)(2026·湖北武漢調考)記等比數列{an}的前n項和為Sn，若S8＝8，S12＝26，則S4＝(

)A．1B．2 C．3 D．4(2)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數項的和比偶數項的和大80，則公比q＝________．2利用等比數列前n項和的性質的解題策略策略一利用等比數列連續n項的片段和性質解決與前n項和有關的問題策略二利用項的個數的“奇偶”性質解決與公比有關的問題7．(2026·四川成都七中模擬)若等比數列{an}共有奇數項，其首項為1，偶數項和為170，奇數項和為341，則這個數列的公比為______，項數為_____．29(2)已知Sn是正項等比數列{an}的前n項和，S10＝20，則S30－2S20＋S10的最小值為________．-5等比數列前n項和(積)最值問題的解題策略策略一考慮公比與首項的符號對最值的影響策略二利用二次函數的單調性求最值策略三利用基本不等式求最值9．在各項都為正數的等比數列{an}中，已知0<a1<1，其前n項積為Tn，且T12＝T6，則Tn取得最小值時，n的值是________．9考點三等比數列的判定與證明已知Sn為等比數列{an}的前n項和，a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常數λ，使得數列{Sn＋λ}是等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．等比數列的判定與證明的方法(1)在解答題中證明一個數列為等比數列時，一般用定義法與等比中項法，在選填題中還可以用通項公式法和前n項和公式法來判定一個數列是否是等比數列．(2)如果要判定一個數列不是等比數列，則只需判定存在連續的三項不成等比數列即可．(3)判定一個數列是等比數列時，要注意各項不為0.(4)在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證．課時作業基礎題(占比60%)中檔題(占比30%)拔高題(占比10%)題號12345678910難度★★★★★★★★★★★考點等比數列基本量的運算等比中項；等差中項等比數列前n項和公式中qn的系數與常數項的關系等比數列項的性質等比數列基本量的運算等比數列前n項和的性質等比數列項的性質等比數列基本量的運算等比數列的判定與證明等比數列基本量的運算題號1112131415161718難度★★★★★★★★★★★★★★★★考點等比數列基本量的運算；an與Sn符號的判斷；含絕對值的數列的單調性的判斷等比數列基本量的運算等比數列前n項和的應用等比數列的性質及其應用；等比數列基本量的運算等比數列的判定與證明；等比數列基本量的運算等比數列的判定與證明等比數列前n項和(積)的最值問題等比數列的判定與證明；與等比數列有關的能成立問題一、單項選擇題1．在等比數列{an}中，a1＝1，a2a3＝8，則a7＝(

)A．8 B．16C．32 D．64解析：設等比數列{an}的公比為q，因為a2a3＝8，a1＝1，所以q3＝8，解得q＝2，所以a7＝a1q6＝26＝64.故選D.11．(2026·江西贛州摸底)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，a3＝18，S3＝26，則(

)A．an>0 B．Sn>0C．數列{|an|}為單調數列 D．數列{|Sn|}為單調數列2三、填空題12．(2025·新課標Ⅰ卷，13)若一個等比數列的各項均為正數，且前4項的和等于4，前8項的和等于68，則這個數列的公比等于________．13．(2026·寧夏銀川模擬)有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個