26.1 二次函數的概念 課件 2026-2027學年人教版九年級數學上冊

第二十六章二次函數2026人教版·九年級上冊26.1二次函數的概念學習目標1.理解二次函數的定義，熟記二次函數一般形式及自變量取值要求；能準確判斷一個函數是否為二次函數，精準區分各項系數；能根據實際問題列出簡單的二次函數解析式.2.經歷從實際問題中提煉函數關系式、歸納二次函數特征的全過程，提升抽象概括、數學建模和類比推理能力，掌握研究新函數的基本方法.3.感受二次函數與生活的緊密聯系，體會數學的實用性和邏輯性，培養主動探究、合作交流的學習習慣，增強用函數思想解決實際問題的意識.章前引言函數是描述現實世界中變量關系和變化規律的數學模型，我們已經學習過利用一次函數表示一個變量隨另一個變量均勻變化的關系，下面再來看一些變量之間的更為復雜的關系。x20－x面積計算：

y=x(20-x)整理得：y=-x2+20x(0<x<20)①不同于一次函數的新函數用長為40m的細繩圍成一個矩形區域，矩形區域的面積y（單位：m2）會隨矩形一邊長x（單位：m）的變化而變化，y與x之間有什么關系？（1）矩形的面積與邊長y與x之間關系式

水珠從噴頭噴出后，其運動軌跡呈現出完美的拋物線形狀，這正是本章學習的二次函數在現實世界中最直觀、最優美的體現。

從噴頭噴出的水珠，在空中經過的路線是一條曲線。在這條曲線的各個位置上，水珠的豎直高度y與它距離噴頭的水平距離x之間有什么關系？函數是描述現實世界中變量關系和變化規律的數學模型，我們已經學習過利用一次函數表示一個變量隨另一個變量均勻變化的關系，下面再來看一些變量之間的更為復雜的關系。（2）噴泉水珠的豎直高度y與它距離噴頭的水平距離x章前引言1.什么是函數？3.什么叫做一次函數？4.什么叫做正比例函數？2.函數有哪些表示方法？一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，我們就說x是自變量，y是x的函數.形如y=kx+b(k、b為常數，k≠0)形如y=kx(k≠0)b=0知識回顧1.解析法2.列表法3.圖象法你能列出下列變量之間的函數關系式嗎？2.正方形的邊長為x，面積y與邊長x的關系式；3.某商品進價為20元，售價為x元，每日銷量為(100-x)件，每日利潤y與售價x的關系式.1.一個矩形的長為10cm，寬為xcm，矩形面積y（cm2）與寬x的關系式；y=10xy=x2利潤=（售價－進價）×數量y=（x－20）（100-x）=-x2+120x-2000導入新課探究新知問題1

n

支球隊參加比賽，每兩隊之間進行1場比賽.比賽的場次數m與球隊數

n有什么關系？【分析】每支球隊與其他_____支球隊各比賽一場.n-1②探究新知問題2：某種產品現在的年產量是20t，計劃今后兩年增加產量.如果每年都比上一年的產量增加x倍，那么兩年后這種產品的年產量y（單位：t）將由x的值確定，y與x之間的關系應怎樣表示？【分析】一年后的產量：20(1+x)t兩年后的產量：20(1+x)(1+x)ty=20(1+x)2y=20x2+40x+20③探究新知思考觀察函數①②③，它們有什么共同點？y=-x2+20x①②y=20x2+40x+20③共同點:(1)含有自變量的代數式是整式；(2)化簡后自變量的最高次數是2；(3)二次項系數不為0.新知小結一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)的函數，叫作二次函數.其中x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.x2abcx新知小結二次函數的一般形式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)二次函數的特殊形式：當b=0，c=0時，

y=ax2(a≠0)當c=0時，

y=ax2+bx(a≠0)當b=0時，

y=ax2+c(a≠0)一次項系數、常數項可以為0.1.下列函數是二次函數的是()A.y＝x2＋1B.x2y＝1C.y＝2x3－2(x－1)2D.y＝x－0.5A即時即練2.關于函數y=(500?10x)(40+x)，下列說法不正確的是()A.y是x的二次函數 B.二次項系數是?10C.一次項是100

D.常數項是20000C新知小結判斷一個函數是否為二次函數的步驟：（1）將函數解析式右邊整理為含自變量的代數式，左邊是函數（因變量）的形式；（2）判斷右邊含自變量的代數式是否是整式；（3）判斷自變量的最高次數是否是2；（4）判斷二次項系數是否不等于0.例題分析例

(1)一個圓柱的高等于底面半徑，寫出它的表面積S

關于半徑r的函數解析式.解：(1)圓柱表面積是其底面積與側面積的和，所以S=2πr2+2πr·r，即S=4πr2例題分析

(2)一種產品某年的銷售量為8萬件，由于其他新產品的出現，后兩年的年銷售量有所下降，年平均下降率是

x

，寫出兩年后產品的年銷售量

y

(單位：萬件)關于

x的函數解析式.解：(2)一年后產品的年銷售量為8(1－x)萬件，兩年后的年銷售量為8(1－x)(1－x)萬件，所以y=8(1－x)2即

y=8x2－16x＋8.即時即練3.

一臺機器原價60萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價格為y萬元，那么y與x之間的函數解析式為（

A

）A.

y＝60(1－x)2B.

y＝60(1－x)C.

y＝60－x2D.

y＝60(1＋x)2A4.

在半徑為4cm的圓中，挖出一個半徑為xcm的圓，剩下的圓環面積為ycm2，則y與x的函數關系式為（

D

）A.

y＝πx2－4B.y＝π(2－x)2C.

y＝－(x2＋4)

D.y＝－πx2＋16πD課堂小結二次函數的概念定義一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)的函數，叫作二次函數系數

其中x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項一般形式y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常數)特殊形式y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c(a≠0，a，b，c是常數)課堂練習1.寫出下列二次函數的二次項系數、一次項系數和常數項：(1)y=8x2-16x+8;(2)y=x2;

(3)(4)y=2(x-1)2-5.二次項系數:一次項系數:常數項:二次項系數:一次項系數:常數項:二次項系數:一次項系數:常數項:二次項系數:一次項系數:常數項:8-16810050=2x2-4x-32-4-3【選自教材P31練習第1題】30mxm20mxm2.如圖，矩形綠地的兩邊長各增加

xm，擴充后的綠地面積為ym2.寫出y關于x的函數解析式.解：y=(30+x)(20+x)即y=

x2+50x+600.課堂練習【選自教材P31練習第2題】3.提出一個問題，使其中變量之間的關系可以用一個二次函數來表示.課堂練習【選自教材P31練習第3題】已知一個直角三角形的兩條直角邊的和為20cm.設這個直角三角形的面積為Scm2,其中一條直角邊長為xcm,寫出S(cm2)與x(cm)之間的函數表達式及自變量x的取值范圍.x20-x解：由題意可得S(cm2)與x(cm)之間的函數表達式為自變量x的取值范圍是0<x<20.4.

在下列4個不同的情境中，兩個變量所滿足的函數關系是二次函數關系的有(

B

)①設正方形的邊長為x，面積為y，則y與x的函數關系；②在彈性范圍