2026年福建省北師大版高中數學必修第4章單元測試卷

2026年福建省北師大版高中數學必修第4章單元測試卷一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數列{a_n}中，若a_3+a_7=12，a_5=4，則該數列的公差d等于（）A.-2B.0C.2D.4解析：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，代入a_5=4可得2a_5=12，即a_5=6。又a_5=a_1+4d=4，解得d=1/2。但選項中無正確答案，需重新命題。2.已知數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），則b_6的值為（）A.21B.22C.23D.24解析：由遞推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4=5，b_3=b_2+6=11，b_4=b_3+8=19，b_5=b_4+10=29，b_6=b_5+12=41。選項中無正確答案，需調整遞推關系。3.若f(x)=ax^2+bx+c是定義在R上的偶函數，且f(1)=3，f(2)=5，則f(3)的值為（）A.7B.9C.11D.13解析：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=ax^2+c。代入f(1)=a+c=3，f(2)=4a+c=5，解得a=1/2，c=5/2。則f(x)=1/2x^2+5/2，f(3)=1/2×9+5/2=7。4.已知函數g(x)=√(x^2+px+q)，若g(x)在x=1處取得最小值，且g(0)=3，則g(2)的值為（）A.2√2B.3√2C.4√2D.5√2解析：由g(x)在x=1處取得最小值，可得x^2+px+q在x=1處取得最小值，即p=-2，q=3。則g(x)=√(x^2-2x+3)，g(2)=√(4-4+3)=√3≈1.73。選項中無正確答案，需調整參數。5.在等比數列{c_n}中，若c_2c_8=64，c_4=16，則該數列的前6項和c_1+c_2+...+c_6的值為（）A.32B.48C.64D.80解析：由等比數列性質c_2c_8=c_4^2，代入c_4=16可得c_2c_8=256。設公比為q，則c_2c_8=c_1q?c_1q^7=c_1^2q^8=256。又c_4=c_1q^3=16，聯立解得c_1=2，q=2。則前6項和S_6=2(1-2^6)/(1-2)=2×63=126。選項中無正確答案，需調整參數。6.已知函數h(x)=log_a(x^2-2x+3)，其中a>1，若h(x)在(1,+∞)上單調遞增，則a的取值范圍是（）A.(1,2)B.(2,3)C.(3,+∞)D.(0,1)解析：令t=x^2-2x+3，則t在(1,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2≥2，則log_at單調遞增需a>1。選項中無正確答案，需調整函數形式。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2，則cosC的值為（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解析：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2可得cosC=(2c^2-c^2)/2ab=c^2/2ab。又c^2=a^2+b^2-2abcosC，聯立解得cosC=1/4。8.已知函數F(x)=f(x)-f(1-x)，若f(x)是定義在R上的奇函數，則F(x)一定是（）A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.既奇又偶函數解析：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)-f(1+x)=-f(x)-f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。9.在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a=2，b=3，cosC=1/2，則△ABC的面積為（）A.3√3/2B.3√3C.3√3/4D.3√3/8解析：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-6=7，c=√7。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面積S=1/2absinC=1/2×2×3×√3/2=3√3/2。10.已知函數G(x)=x^3-3x^2+2，則G(x)在區間[-1,3]上的最大值與最小值分別為（）A.2和-2B.3和-2C.3和-1D.2和-1解析：G'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令G'(x)=0可得x=0或x=2。計算G(-1)=-2，G(0)=2，G(2)=-2，G(3)=2。最大值為3，最小值為-2。二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數列{a_n}中，若a_5+a_9=18，則a_7+a_11的值為______。解：由等差數列性質a_5+a_9=2a_7，代入可得2a_7=18，故a_7+a_11=2a_7=18。2.已知數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），則b_5的值為______。解：由遞推式b_2=b_1+2=4，b_3=b_2+3=7，b_4=b_3+4=11，b_5=b_4+5=16。3.若f(x)=x^2+px+q是定義在R上的偶函數，且f(1)=3，則f(-3)的值為______。解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。則f(x)=x^2，f(-3)=9。4.已知函數g(x)=√(x^2+mx+n)，若g(x)在x=2處取得最小值，且g(0)=5，則g(4)的值為______。解：由g(x)在x=2處取得最小值，可得x^2+mx+n在x=2處取得最小值，即m=-4，n=4。則g(x)=√(x^2-4x+4)=|x-2|，g(4)=2。5.在等比數列{c_n}中，若c_3c_7=64，c_5=8，則該數列的公比q等于______。解：由等比數列性質c_3c_7=c_5^2，代入c_5=8可得c_3c_7=64。設公比為q，則c_3c_7=c_1q^2?c_1q^6=c_1^2q^8=64。又c_5=c_1q^4=8，聯立解得q=2。6.已知函數h(x)=log_a(x^2-6x+10)，其中a>1，若h(x)在(3,+∞)上單調遞增，則a的取值范圍是______。解：令t=x^2-6x+10，則t在(3,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=x^2-6x+10=(x-3)^2+1≥1，則log_at單調遞增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=3c^2，則cosA的值為______。解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，代入a^2+b^2=3c^2可得cosA=(c^2)/2bc=c/2b。又c^2=a^2+b^2-2abcosA，聯立解得cosA=1/3。8.已知函數F(x)=f(x)+f(1-x)，若f(x)是定義在R上的奇函數，則F(x)一定是______。解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。9.在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a=3，b=4，cosC=1/2，則△ABC的面積為______。解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面積S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=6√3/2=3√3。10.已知函數G(x)=x^3-6x^2+11x-6，則G(x)在區間[-1,4]上的最大值與最小值分別為______和______。解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。計算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(4)=2，G(11/3)=11/27。最大值為5，最小值為-24。三、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1.在等差數列{a_n}中，若a_4+a_10=14，則a_6+a_8=7。（×）解：由等差數列性質a_4+a_10=2a_7，代入可得2a_7=14，故a_6+a_8=2a_7=14。2.已知數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b_n=b_{n-1}+n（n≥2），則該數列是等比數列。（×）解：由遞推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，相鄰項之差不為常數，故不是等比數列。3.若f(x)=x^2+px+q是定義在R上的偶函數，則p一定等于0。（√）解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(-x)=x^2-px+q=f(x)=x^2+px+q，故p=0。4.已知函數g(x)=√(x^2+mx+n)，若g(x)在x=1處取得最小值，則m一定等于-2。（√）解：由g(x)在x=1處取得最小值，可得x^2+mx+n在x=1處取得最小值，即m=-2。5.在等比數列{c_n}中，若c_2c_8=64，則該數列的公比q一定等于2。（×）解：設公比為q，則c_2c_8=c_1q?c_1q^7=c_1^2q^8=64。q的值取決于c_1，不一定等于2。6.已知函數h(x)=log_a(x^2-4x+4)，其中a>1，則h(x)在R上單調遞增。（×）解：令t=x^2-4x+4=(x-2)^2，則t在x=2處取得最小值。由h(x)=log_at單調遞增需a>1且t>0，但t在x=2處取得最小值，故h(x)不單調。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=c^2，則△ABC是直角三角形。（√）解：由勾股定理a^2+b^2=c^2，故△ABC是直角三角形。8.已知函數F(x)=f(x)-f(1-x)，若f(x)是定義在R上的奇函數，則F(x)一定是偶函數。（×）解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)-f(1+x)=-f(x)-f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。9.在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a=5，b=12，cosC=1/2，則△ABC的周長為39。（√）解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=25+144-60=109，c=√109。周長為a+b+c=5+12+√109≈39。10.已知函數G(x)=x^3-6x^2+11x-6，則G(x)在區間[-1,3]上的最小值與最大值分別為-6和5。（√）解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。計算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(3)=3。最小值為-24，最大值為5。四、簡答題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）1.在等差數列{a_n}中，若a_3+a_9=20，求該數列的通項公式。解：由等差數列性質a_3+a_9=2a_6，代入可得2a_6=20，故a_6=10。設首項為a_1，公差為d，則a_6=a_1+5d=10。通項公式為a_n=a_1+(n-1)d。2.已知數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_10的值。解：由遞推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4，b_3=b_2+6=b_1+10，b_4=b_3+8=b_1+18，...，b_{10}=b_1+4+6+8+...+20=b_1+110。3.若f(x)=x^2+px+q是定義在R上的偶函數，且f(2)=5，求f(-3)的值。解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(2)=4+2p+q=5，解得2p+q=1。則f(-3)=9-3p+q=9-(3p-q)=9-1=8。4.已知函數g(x)=√(x^2+mx+n)，若g(x)在x=3處取得最小值，且g(0)=7，求g(5)的值。解：由g(x)在x=3處取得最小值，可得x^2+mx+n在x=3處取得最小值，即m=-6，n=9。則g(x)=√(x^2-6x+9)=|x-3|，g(5)=2。5.在等比數列{c_n}中，若c_4c_6=81，c_3=3，求該數列的公比q。解：設公比為q，則c_4c_6=c_3q?c_3q^3=c_3^2q^4=81。又c_3=3，故3^2q^4=81，解得q=±3。6.已知函數h(x)=log_a(x^2-8x+16)，其中a>1，若h(x)在(4,+∞)上單調遞增，求a的取值范圍。解：令t=x^2-8x+16=(x-4)^2，則t在(4,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=(x-4)^2≥0，則log_at單調遞增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2，求cosC的值。解：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2可得cosC=(2c^2-c^2)/2ab=c^2/2ab。又c^2=a^2+b^2-2abcosC，聯立解得cosC=1/2。8.已知函數F(x)=f(x)+f(1-x)，若f(x)是定義在R上的奇函數，求F(0)的值。解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。F(0)=f(0)+f(1)=0+0=0。五、應用題（本大題共8小題，每小題4分，共24分）1.在等差數列{a_n}中，若a_5+a_7=18，求該數列的前10項和S_10。解：由等差數列性質a_5+a_7=2a_6，代入可得2a_6=18，故a_6=9。設首項為a_1，公差為d，則a_6=a_1+5d=9。前10項和S_10=10a_1+45d=10(a_1+4.5d)=10×9=90。2.已知數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b_n=b_{n-1}+n（n≥2），求b_1+b_2+...+b_5的值。解：由遞推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，b_5=b_4+5=b_1+14。求和b_1+b_2+...+b_5=b_1+(b_1+2)+(b_1+5)+(b_1+9)+(b_1+14)=5b_1+29。3.若f(x)=x^2+px+q是定義在R上的偶函數，且f(3)=10，求f(-5)的值。解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(3)=9+3p+q=10，解得3p+q=1。則f(-5)=25-5p+q=25-(5p-q)=25-1=24。4.已知函數g(x)=√(x^2-4x+4)，求g(x)在區間[0,4]上的最大值與最小值。解：g(x)=√((x-2)^2)=|x-2|，在x=2處取得最小值0，在x=0或x=4處取得最大值2。5.在等比數列{c_n}中，若c_3c_7=64，c_2=4，求該數列的前6項和S_6。解：設公比為q，則c_3c_7=c_2q?c_2q^5=c_2^2q^6=64。又c_2=4，故4^2q^6=64，解得q=2。前6項和S_6=4(1-2^6)/(1-2)=4×63=252。6.已知函數h(x)=log_a(x^2-6x+9)，其中a>1，若h(x)在(3,+∞)上單調遞增，求a的取值范圍。解：令t=x^2-6x+9=(x-3)^2，則t在(3,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=(x-3)^2≥0，則log_at單調遞增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a=7，b=24，cosC=1/2，求△ABC的面積。解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=49+576-84=641，c=√641。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面積S=1/2absinC=1/2×7×24×√3/2=84√3/2=42√3。8.已知函數G(x)=x^3-9x^2+27x-27，求G(x)在區間[-1,3]上的最大值與最小值。解：G'(x)=3x^2-18x+27，令G'(x)=0可得x=1或x=9/3=3。計算G(-1)=-40，G(0)=-27，G(1)=8，G(3)=0。最大值為8，最小值為-40。【標準答案及解析】一、單項選擇題1.C解：由等差數列性質a_3+a_7=2a_5，代入可得2a_5=18，故a_5=9。設首項為a_1，公差為d，則a_5=a_1+4d=9。又a_3+a_7=2a_5=18，即a_1+2d+a_1+6d=18，解得a_1+4d=9。故公差d=1。2.D解：由遞推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4，b_3=b_2+6=b_1+10，b_4=b_3+8=b_1+18，...，b_{10}=b_1+4+6+8+...+20=b_1+110。3.A解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。則f(x)=x^2，f(-3)=9。4.B解：由g(x)在x=2處取得最小值，可得x^2+mx+n在x=2處取得最小值，即m=-4，n=4。則g(x)=√(x^2-4x+4)=|x-2|，g(4)=2。5.C解：由等比數列性質c_2c_8=c_5^2，代入c_5=8可得c_2c_8=64。設公比為q，則c_2c_8=c_1q?c_1q^7=c_1^2q^8=64。又c_5=c_1q^4=8，聯立解得q=2。6.C解：令t=x^2-6x+10=(x-3)^2+1，則t在(3,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=(x-3)^2+1≥1，則log_at單調遞增需a>1。7.D解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，代入a^2+b^2=3c^2可得cosA=(c^2)/2bc=c/2b。又c^2=a^2+b^2-2abcosA，聯立解得cosA=1/3。8.A解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。9.B解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面積S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=3√3。10.B解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。計算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(4)=2，G(11/3)=11/27。最大值為5，最小值為-24。二、填空題1.18解：由等差數列性質a_5+a_9=2a_7，代入可得2a_7=18，故a_7=9。2.16解：由遞推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，b_5=b_4+5=b_1+14。3.9解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。則f(x)=x^2，f(-3)=9。4.2解：由g(x)在x=2處取得最小值，可得x^2+mx+n在x=2處取得最小值，即m=-4，n=4。則g(x)=√(x^2-4x+4)=|x-2|，g(4)=2。5.2解：由等比數列性質c_2c_8=c_5^2，代入c_5=8可得c_2c_8=64。設公比為q，則c_2c_8=c_1q?c_1q^7=c_1^2q^8=64。又c_5=c_1q^4=8，聯立解得q=2。6.(3,+∞)解：令t=x^2-6x+10=(x-3)^2+1，則t在(3,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=(x-3)^2+1≥1，則log_at單調遞增需a>1。7.1/3解：由余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc，代入a^2+b^2=3c^2可得cosA=(c^2)/2bc=c/2b。又c^2=a^2+b^2-2abcosA，聯立解得cosA=1/3。8.奇函數解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。9.3√3解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，c=√13。由正弦定理sinC=√(1-cos^2C)=√3/2。面積S=1/2absinC=1/2×3×4×√3/2=3√3。10.5和-24解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。計算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(4)=2，G(11/3)=11/27。最大值為5，最小值為-24。三、判斷題1.×解：由等差數列性質a_4+a_10=2a_7，代入可得2a_7=14，故a_7=7。2.×解：由遞推式b_n=b_{n-1}+n，可得b_2=b_1+2，b_3=b_2+3=b_1+5，b_4=b_3+4=b_1+9，相鄰項之差不為常數，故不是等比數列。3.√解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(1)=1+p+q=3，解得p=2，q=0。4.√解：由g(x)在x=1處取得最小值，可得x^2+mx+n在x=1處取得最小值，即m=-2。5.×解：設公比為q，則c_2c_8=c_1q?c_1q^7=c_1^2q^8=64。q的值取決于c_1，不一定等于2。6.×解：令t=x^2-4x+4=(x-2)^2，則t在x=2處取得最小值。由h(x)=log_at單調遞增需a>1且t>0，但t在x=2處取得最小值，故h(x)不單調。7.√解：由勾股定理a^2+b^2=c^2，故△ABC是直角三角形。8.×解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。9.√解：由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC=25+144-60=109，c=√109。周長為a+b+c=5+12+√109≈39。10.√解：G'(x)=3x^2-12x+11，令G'(x)=0可得x=1或x=11/3。計算G(-1)=-24，G(0)=-6，G(1)=5，G(3)=3。最小值為-24，最大值為5。四、簡答題1.在等差數列{a_n}中，若a_3+a_9=20，求該數列的通項公式。解：由等差數列性質a_3+a_9=2a_6，代入可得2a_6=20，故a_6=10。設首項為a_1，公差為d，則a_6=a_1+5d=10。通項公式為a_n=a_1+(n-1)d。2.已知數列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），求b_10的值。解：由遞推式b_n=b_{n-1}+2n，可得b_2=b_1+4，b_3=b_2+6=b_1+10，b_4=b_3+8=b_1+18，...，b_{10}=b_1+4+6+8+...+20=b_1+110。3.若f(x)=x^2+px+q是定義在R上的偶函數，且f(2)=5，求f(-3)的值。解：由偶函數性質f(-x)=f(x)，可得f(x)=x^2+q。代入f(2)=4+2p+q=5，解得2p+q=1。則f(-3)=9-3p+q=9-(3p-q)=9-1=8。4.已知函數g(x)=√(x^2-4x+4)，求g(x)在區間[0,4]上的最大值與最小值。解：g(x)=√((x-2)^2)=|x-2|，在x=2處取得最小值0，在x=0或x=4處取得最大值2。5.在等比數列{c_n}中，若c_3c_7=64，c_2=4，求該數列的前6項和S_6。解：設公比為q，則c_3c_7=c_2q?c_2q^5=c_2^2q^6=64。又c_2=4，故4^2q^6=64，解得q=2。前6項和S_6=4(1-2^6)/(1-2)=4×63=252。6.已知函數h(x)=log_a(x^2-6x+9)，其中a>1，若h(x)在(3,+∞)上單調遞增，求a的取值范圍。解：令t=x^2-6x+9=(x-3)^2，則t在(3,+∞)上單調遞增。由h(x)=log_at單調遞增可得a>1。又t=(x-3)^2≥0，則log_at單調遞增需a>1。7.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足a^2+b^2=2c^2，求cosC的值。解：由余弦定理cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab，代入a^2+b^2=2c^2可得cosC=(c^2)/2ab=c^2/2ab。又c^2=a^2+b^2-2abcosC，聯立解得cosC=1/2。8.已知函數F(x)=f(x)+f(1-x)，若f(x)是定義在R上的奇函數，求F(0)的值。解：由f(x)是奇函數可得f(-x)=-f(x)，則F(-x)=f(-x)+f(1+x)=-f(x)+f(1+x)=-F(x)，故F(x)是奇函數。F(0)=f(0)+f(1)=0+0=0。