小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第七單元《長方形和正方形》期末復(fù)習(xí)知識(shí)清單

小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第七單元《長方形和正方形》期末復(fù)習(xí)知識(shí)清單一、核心概念建構(gòu)：四邊形、周長與特征辨析（一）四邊形的定義與特征【基礎(chǔ)】▲1、本質(zhì)定義：由四條直的邊圍成的封閉圖形叫做四邊形。這里有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：第一，邊必須是“直的”；第二，圖形必須是“封閉”的，即首尾相連。這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不能稱為四邊形。【高頻考點(diǎn)】2、基本特征：四邊形都有4條直的邊和4個(gè)角。這是判斷一個(gè)圖形是否為四邊形的標(biāo)準(zhǔn)。需要注意的是，這里的角可以是直角、銳角或鈍角，但邊一定是直的。3、易錯(cuò)點(diǎn)警示：（1）沒有“封閉”的圖形（如開口的折線）不是四邊形。（2）邊是“彎曲”的圖形，即使有四個(gè)角，也不是四邊形。（3）立體圖形的某個(gè)面雖然形狀是四邊形，但我們討論的是平面圖形，要加以區(qū)分。（二）長方形與正方形的特征【重要】★★★1、長方形的特征：長方形是特殊的四邊形。它的對邊相等，也就是說，兩條長邊長度相等，兩條短邊（寬）長度相等。同時(shí)，長方形的四個(gè)角都是直角。【高頻考點(diǎn)】（1）名稱界定：通常，我們把長方形較長的邊叫做“長”，較短的邊叫做“寬”。當(dāng)長方形長和寬相等時(shí)，它就變成了正方形。2、正方形的特征：正方形是四邊形，也是特殊的長方形。它的四條邊都相等，即每條邊的長度都一樣。同時(shí)，正方形的四個(gè)角也都是直角。【高頻考點(diǎn)】（1）名稱界定：正方形的每條邊都叫做“邊長”。3、兩者關(guān)系圖解【難點(diǎn)】：（1）相同點(diǎn)：都有4條直的邊，都有4個(gè)直角。（2）不同點(diǎn)：長方形只要求對邊相等；正方形要求四條邊都相等。因此，正方形是長和寬相等的特殊長方形，我們可以說正方形具備長方形的所有特征。4、解題技巧：在判斷題中，如果說“對邊相等的圖形是長方形”，這是錯(cuò)誤的，因?yàn)檎叫魏鸵话愕钠叫兴倪呅我矊呄嗟龋鄙倭恕八膫€(gè)角都是直角”的條件。同樣，“四條邊相等的四邊形是正方形”也是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗鄙倭恕八膫€(gè)角都是直角”的條件，比如菱形（在小學(xué)階段未學(xué)，但可作為反例）。（三）周長的本質(zhì)理解【基礎(chǔ)】▲1、核心概念：封閉圖形一周的長度，是它的周長。【高頻考點(diǎn)】（1）關(guān)鍵點(diǎn)一：必須是“封閉圖形”。不封閉的圖形無法測量周長。（2）關(guān)鍵點(diǎn)二：指的是“一周”的長度，即沿著圖形邊線從起點(diǎn)出發(fā)，不重復(fù)、不遺漏地走回起點(diǎn)。它與圖形內(nèi)部的大小（面積）無關(guān)。2、測量方法：（1）規(guī)則圖形（如直邊圖形）：可以用直尺直接測量每條邊的長度，再相加。（2）不規(guī)則圖形（如樹葉、圓形）：可以用“繩測法”，即用一根無彈性的繩子繞圖形一周，做好標(biāo)記，然后將繩子拉直，測量繩子的長度，這就是“化曲為直”的思想。【難點(diǎn)】3、易錯(cuò)警示：計(jì)算周長時(shí)，要看清楚圖形是否規(guī)則，不要遺漏邊，也不要重復(fù)計(jì)算內(nèi)部的線。二、核心公式推導(dǎo)與計(jì)算【重中之重】★★★★★（一）長方形周長公式【必考】1、基本公式：長方形的周長=(長+寬)×2。（1）推導(dǎo)過程：長方形有四條邊，對邊相等。周長等于兩條長加上兩條寬。所以，周長=長+寬+長+寬=(長+寬)×2。這種方法最簡便，是首選公式。【解題步驟】2、輔助公式：長方形的周長=長×2+寬×2。（1）適用場景：當(dāng)需要分步計(jì)算，或者題目信息更便于先求兩倍的長和寬時(shí)使用。3、公式逆運(yùn)用（知周長求長或?qū)挘倦y點(diǎn)】：（1）求長：長方形的長=周長÷2寬。（2）求寬：長方形的寬=周長÷2長。（3）推導(dǎo)原理：因?yàn)?長+寬)=周長÷2，所以知道了周長的一半和其中一條邊，就能求出另一條邊。（二）正方形周長公式【必考】1、基本公式：正方形的周長=邊長×4。（1）推導(dǎo)過程：正方形的四條邊都相等，所以周長就是把四個(gè)邊長加起來，即邊長×4。【解題步驟】2、公式逆運(yùn)用（知周長求邊長）：（1）求邊長：正方形的邊長=周長÷4。（2）這是解決圖形拼接、鐵絲圍成正方形等問題的基礎(chǔ)。（三）公式應(yīng)用與解題規(guī)范【解答要點(diǎn)】1、步驟：審題（找出已知條件，如長、寬、邊長）→選擇正確公式→代入數(shù)據(jù)計(jì)算（注意單位統(tǒng)一）→寫出答案（標(biāo)注單位）。2、單位陷阱：題目中可能給出的長度單位不一致（如米和分米、厘米和分米），計(jì)算周長前必須先統(tǒng)一單位。【易錯(cuò)點(diǎn)】三、考點(diǎn)題型精析與解題策略（一）考點(diǎn)一：圖形特征判斷題1、考查方式：給出一些圖形，要求判斷是否為四邊形、長方形或正方形；或給出文字描述判斷正誤。2、解題步驟：（1）判斷四邊形：看邊是否直、是否4條、是否封閉。（2）判斷長方形：在四邊形基礎(chǔ)上，看角是否都是直角，對邊是否相等。（3）判斷正方形：在長方形基礎(chǔ)上，看四條邊是否都相等。3、典型例題：有4根5厘米，3根3厘米，2根1厘米長的小棒，從中任選4根首尾相接搭四邊形，可以搭多少種不同的長方形（包含正方形）？【解析】根據(jù)長方形對邊相等、正方形四邊相等的特征，需要選兩對長度分別相等的小棒。可以是：4根5cm（正方形）；2根5cm和2根3cm；2根5cm和2根1cm；2根3cm和2根1cm。共4種。（二）考點(diǎn)二：周長的認(rèn)識(shí)與計(jì)算（不規(guī)則圖形）【熱點(diǎn)】1、考查方式：給出一個(gè)由若干個(gè)小正方形拼成的組合圖形，要求計(jì)算周長；或比較不同圖形的周長大小。2、解題方法：平移法。【難點(diǎn)】★★★（1）原理：將組合圖形中凹陷或凸出的線段，通過平移，補(bǔ)成一個(gè)規(guī)則的長方形或正方形，原圖形的周長等于新規(guī)則圖形的周長。（2）技巧：觀察圖形，將階梯狀的邊進(jìn)行平移，看是否能恰好補(bǔ)成長方形的長和寬。3、易錯(cuò)點(diǎn)：平移時(shí)不能遺漏線段，也不能想當(dāng)然地平移。一定要確保平移后的圖形與原圖形周長相等。例如，“凹”字形和“凸”字形的周長，往往可以通過平移轉(zhuǎn)化為長方形，但要注意是否有內(nèi)部凹陷的邊需要特殊處理。（三）考點(diǎn)三：長方形和正方形周長公式的直接應(yīng)用【高頻考點(diǎn)】1、考查方式：直接給出長方形的長、寬，或正方形的邊長，求周長；或給出周長和一邊，求另一邊。2、典型例題：一個(gè)長方形的寬是3厘米，長是寬的3倍，這個(gè)長方形的周長是多少？【解析】先求長：3×3=9厘米；再求周長：(9+3)×2=24厘米。3、典型例題：一個(gè)長方形的周長和一個(gè)正方形的周長相等，長方形的長是24厘米，寬是14厘米。正方形的邊長是多少厘米？【解析】先求長方形周長：(24+14)×2=76厘米（即正方形周長）；再求正方形邊長：76÷4=19厘米。（四）考點(diǎn)四：“靠墻圍籬笆”問題【熱點(diǎn)】★★★1、問題情境：用籬笆圍一塊長方形菜地，一邊靠墻（或兩面靠墻），求所需籬笆的最短長度。2、解題策略：（1）一面靠墻：此時(shí)籬笆只圍三邊。要使籬笆最短，應(yīng)讓“長邊”靠墻。籬笆長=長+寬×2。【解答要點(diǎn)】（2）如果讓“寬邊”靠墻，籬笆長=長×2+寬，這種情況通常更長。（3）兩面靠墻（墻角）：此時(shí)籬笆只圍兩邊。籬笆長=長+寬。3、典型例題：一塊長方形菜地，長12米，寬9米，如果一面靠墻，要在菜地周圍圍上籬笆，籬笆至少要多少米？【解析】要想最短，讓長12米靠墻，則籬笆長=12+9×2=30米。（五）考點(diǎn)五：“剪最大正方形”問題【重要】★★★1、問題情境：在一張長方形紙上剪一個(gè)最大的正方形。2、核心規(guī)律：剪下的最大正方形的邊長等于原來長方形的寬。【高頻考點(diǎn)】（1）原理：正方形的所有邊相等，在長方形中能剪出的最大正方形的邊長不能超過長方形較短的邊（即寬）。3、拓展題型：剪下最大正方形后，求剩余部分圖形的周長。（1）解題步驟：第一步，確定最大正方形的邊長（即原長方形的寬）。第二步，確定剩余部分的長和寬。剩余部分是一個(gè)新的長方形，它的長是原長方形的長減去寬，它的寬就是原長方形的寬。第三步，根據(jù)新長方形的長和寬計(jì)算周長。【易錯(cuò)點(diǎn)】4、典型例題：一張長30厘米，寬21厘米的長方形彩紙，最多可以剪多少個(gè)邊長是5厘米的正方形紙片？【解析】長可以剪：30÷5=6個(gè)；寬可以剪：21÷5=4個(gè)……1厘米（余數(shù)舍去）。所以總數(shù)為：6×4=24個(gè)。（六）考點(diǎn)六：“圖形的拼組”與周長變化【難點(diǎn)】★★★1、問題情境：用若干個(gè)相同的小正方形（或長方形）拼成一個(gè)大長方形（或正方形），求拼成圖形的周長。2、核心規(guī)律：（1）拼接次數(shù)：每拼一次，就會(huì)減少2條邊（即拼接處重合，不再計(jì)入周長）。因此，拼成圖形的周長小于所有小圖形周長之和。【重要】（2）最值規(guī)律：用多個(gè)相同的小正方形拼長方形，當(dāng)拼成的圖形長和寬越接近（即越接近正方形）時(shí)，周長越短。【熱點(diǎn)】3、典型例題：用6個(gè)邊長是2厘米的正方形紙片拼成一個(gè)周長最小的長方形，求拼成的長方形的長、寬和周長。【解析】6=1×6或2×3。兩種拼法：長12cm寬2cm（周長28cm）；長6cm寬4cm（周長20cm）。第二種拼法長寬更接近，周長更短。所以長6厘米，寬4厘米，周長20厘米。（七）考點(diǎn)七：“鐵絲圍圖形”問題（等周長變形）1、問題情境：一根鐵絲先用它圍成一個(gè)長方形（或正方形），再改圍成另一種圖形，求新圖形的邊長。2、核心規(guī)律：鐵絲的長度不變，即圖形的周長不變。【重要】3、解題策略：先根據(jù)原圖形求出鐵絲長度（即原圖形周長），再根據(jù)新圖形特征和周長公式，求所需邊長。【解題步驟】四、易錯(cuò)點(diǎn)與高分技巧【必備】（一）概念混淆易錯(cuò)點(diǎn)1、周長和面積混淆：周長的單位是長度單位（米、分米、厘米），面積單位是平方單位。解題時(shí)單位書寫要正確。2、四邊形判定不全：只看到四條邊，忽略了“封閉”或“邊直”的條件。3、特殊與一般關(guān)系不清：認(rèn)為“四條邊相等的圖形就是正方形”，忽略了角必須是直角。（二）計(jì)算與應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)1、公式使用錯(cuò)誤：求長方形的周長忘了乘以2，或者只加了一條長和一條寬。2、單位不統(tǒng)一：直接計(jì)算，如8分米和56厘米直接相加。3、靠墻問題考慮不周：沒有分析哪種靠墻方式最省籬笆，默認(rèn)就用長邊靠墻，但有時(shí)題目要求的是“至少”，必須比較兩種情況。4、拼接問題中，錯(cuò)誤地將小圖形周長直接相加作為大圖形周長。5、剪最大正方形后，求剩余部分周長時(shí)，誤把剩余部分當(dāng)成原長方形，或者找錯(cuò)了剩余部分的長和寬。（三）高分技巧與思維拓展1、畫圖法：遇到復(fù)雜的圖形題（如拼組、靠墻、剪裁），不要憑空想象，立刻在草稿紙上畫出示意圖，標(biāo)注已知數(shù)據(jù)，問題往往迎刃而解。【解題秘訣】2、逆推法：已知周長求邊長或長寬，要熟練運(yùn)用公式的變形。3、觀察法：對于不規(guī)則圖形，先觀察能否通過平移轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形。4、驗(yàn)證法：計(jì)算完后，檢查答案是否符合實(shí)際，如周長應(yīng)為正數(shù)，邊長不能為負(fù)數(shù)或小于零等。五、常見題型與考查方式預(yù)測（一）填空題1、直接考查公式：一個(gè)長方形的長是8厘米，寬是5厘米，它的周長是（）厘米。2、考查特征理解：一個(gè)長方形的長是10厘米，寬是4厘米，它的（）邊相等，它有（）個(gè)直角。3、考查單位換算與計(jì)算：一根鐵絲長2米，圍成一個(gè)邊長是4分米的正方形，還剩（）分米。4、考查拼組規(guī)律：用兩個(gè)邊長是3厘米的小正方形拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長是（）厘米，寬是（）厘米，周長是（）厘米。（二）判斷題1、四邊形都有四條直的邊和四個(gè)直角。（×）2、對邊相等的四邊形一定是長方形。（×）3、正方形的周長是它邊長的4倍。（√）4、一個(gè)長方形的周長是24厘米，如果它寬是5厘米，那么長就是7厘米。（√）（三）選擇題1、下面圖形中，周長最短的是（）（給出幾個(gè)由小方格拼成的不同圖形）。2、一塊長方形菜地，長8米，寬5米，如果一面靠墻，至少需要（）米籬笆。A.18米B.21米C.26米3、在一張長12厘米，寬8厘米的紙上剪一個(gè)最大的正方形，這個(gè)正方形的周長是（）厘米。A.48厘米B.32厘