2026上海中考數學復習專題13銳角三角函數 （4大考點+13大題型+6大易錯+6大方法）（解析版）

專題13銳角三角函數

（4大考點+13大題型+6大易錯+6大方法+測試）

目錄

01錨?課標要求：指引命題方向，落實核心素養

02理?思維導圖：構建知識體系，呈現結構關系

03盤?知識梳理：兼顧主干細節，夯實基礎框架（4個核心考點）

考點01銳角三角函數

考點02特殊角的三角函數值

考點03解直角三角形：

考點04銳角三角函數的應用

04探?重難題型：深度剖析重點，精準突破難點（13大重難題型）

題型01銳角三角函數的定義題型02特殊角的三角函數值

題型03求角的三角函數值題型04利用三角函數求邊長

題型05銳角三角函數與網格問題題型06銳角三角函數與最值問題

題型07銳角三角函數與翻折問題題型08解直角三角形的相關計算

題型09解直角三角形的應用：俯角仰角問題題型10解直角三角形的應用：方向角問題

題型11解直角三角形的應用：坡度坡角問題題型12銳角三角函數與圓綜合

題型13銳角三角函數綜合問題

05辨?易混易錯：警示常見誤區，辨析細微差別（6個易混易錯點）

易錯點01對銳角三角函數的材料題理解不透而出錯

易錯點02銳角三角函數的尺規作圖找不到正確的思路

易錯點03利用銳角三角函數求解時沒有畫出正確的圖形

易錯點04解三角形時沒有正確的分類談論而出錯

易錯點05銳角三角函數的多結論判斷問題

易錯點06銳角三角函數與幾何綜合的線段計算

06拓?方法技巧：精煉方法技巧，精準突破難點（6大方法技巧）

技巧01：母抱子模型技巧02：背靠背模型技巧03：擁抱模型

技巧04：解非直角三角形或不規則圖形的邊長或面積

技巧05：解直角三角形的新定義問題

技巧06：解直角三角形與幾何綜合問題

07測?實戰演練：鞏固核心考點，強化應試能力（24題）

、

考點01銳角三角函數

在Rt△ABC中，∠C=90°．

（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．

a

即sinA=∠A的對邊除以斜邊=

c

（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．

b

即cosA=∠A的鄰邊除以斜邊=．

c

（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．

a

即tanA=∠A的對邊除以∠A的鄰邊=．

b

（4）三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．

考點02特殊角的三角函數值

（1）30°、45°、60°角的各種三角函數值

（2）應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切

逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記．

（3）特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三

角形中應用較多．

考點03解直角三角形：

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．

（2）解直角三角形要用到的關系

①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B=90°；

②三邊之間的關系：a2b2c2

aba

③邊、角之間的關系：sinA==，cosA=，tanA=，（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）．

ccb

（3）解直角三角形的應用：

通過解直角三角形能解決實際問題中的很多有關測量問．

如：測不易直接測量的物體的高度、測河寬等，關鍵在于構造出直角三角形，通過測量角的度數和測量邊

的長度，計算出所要求的物體的高度或長度．

（4）解直角三角形的一般過程是：

①將實際問題抽象為數學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．

②根據題目已知特點選用適當銳角三角函數或邊角關系去解直角三角形，得到數學問題的答案，再轉化得

到實際問題的答案．

考點04銳角三角函數的應用

1.坡度、坡角問題

（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用i表示，常寫成i=1：m的形式．

（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i=h/l=tanα．

（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的

正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題．

應用領域：①測量領域；②航空領域③航海領域：④工程領域等．

2.俯角、仰角問題：

（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角．

（2）解決此類問題要了解角之間的關系，找到與已知和未知相關聯的直角三角形，當圖形中沒有直角三角

形時，要通過作高或垂線構造直角三角形，另當問題以一個實際問題的形式給出時，要善于讀懂題意，把

實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決．

2.方向角

方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線

OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方

向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西

45°

題型01銳角三角函數的定義

【典例1】（2025·青海玉樹·三模）如圖，在ABC中，若DB=90°，AB3，BC4，則tanA．

4

【答案】

3

【分析】本題考查三角函數的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關鍵．利用正切的定義求解即可．

【詳解】解：∵在ABC中，DB=90°，AB3，BC4，

BC4

∴tanA，

AB3

4

故答案為：．

3

【變式練習】

1．（2026·上海松江·一模）在ABC中，C90，a、b、c分別是A、B、C的對邊，下列結論

正確的是（）

cbba

A．sinAB．cosAC．tanAD．cotA

acab

【答案】B

【分析】本題主要考查了銳角三角函數，直角三角形中，一個銳角的正弦值等于這個銳角所對的直角邊的

長與斜邊長的比值，余弦值等于另一直角邊（不是該銳角的對邊）的長與斜邊長的比值，正切值等于這個

銳角所對的直角邊的長與另一直角邊的長的比值，余切值等于另一直角邊（不是該銳角的對邊）的長與該

銳角所對的直角邊的長的比值，據此可得答案．

【詳解】解：∵在ABC中，C90，a、b、c分別是A、B、C的對邊，

abab

∴sinA，cosA，tanA，cotA，

ccba

故選：B．

2．（24-25九年級上·山東濟南·期中）如圖，ABC中，C90,AC5,BC12，則sinA的值是（）

551212

A．B．C．D．

1213135

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，三角函數，熟練掌握勾股定理，正確計算三角函數是解題的關鍵．根據

BC

C90，AC5，BC12，得AB13，結合sinA解答即可．

AB

【詳解】解：在Rt△ABC中，C90，AC5，BC12，

∴ABAC2BC213，

BC12

∴sinA．

AB13

故選C．

3．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖，在RtABC中，ACB90，AB13，AC12，則cosA．

12

【答案】

13

【分析】本題主要考查了余弦函數的定義，熟練掌握余弦函數的定義是解題的關鍵．根據余弦函數的應以

即可解答．在直角三角形中，余弦為鄰邊比斜邊．

【詳解】解：在RtABC中，

AC12

cosA．

AB13

12

故答案為：．

13

題型02特殊角的三角函數值

1

【典例2】（2024·湖北·一模）計算：32cos45(2024π)0（）1．

2

【答案】323

【分析】本題考查了特殊角三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題的關鍵．

根據絕對值化簡，特殊角三角函數值，零指數冪，負整數指數冪，然后根據實數的運算，即可得答案．

2

【詳解】原式3212323，

2

故答案為：323．

【變式練習】

3

4．（2025·湖南長沙·二模）在ABC中，A、B都是銳角，sinA，tanB3，下列說法正確的是（）

2

A．A30B．B30

C．ABC是等邊三角形D．ABC是直角三角形

【答案】C

【分析】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記30、45、60角的各種三角函數值是解題的關鍵．

根據特殊角的三角函數值分別求出A、B，根據等邊三角形的判定定理判斷即可．

3

【詳解】解：sinA，tanB3，

2

A60，B=60，

∴C180AB60．

ABC是等邊三角形．

故選項C說法正確，符合題意；選項A、B、D說法錯誤，不符合題意．

故選：C．

0

2024

5．（2025·山東青島·模擬預測）計算：4cos3012．

2025

【答案】1

【分析】本題主要考查特殊角的三角函數值、零次冪及二次根式，熟悉相關運算是解題的關鍵．

3

根據cos30,a01代入計算即可．

2

3

【詳解】解：原式41231．

2

故答案為：1．

1

01

6．（2025·陜西西安·一模）計算：312026πtan60

3

1

【答案】

3

【分析】本題考查實數的運算，絕對值，零指數冪和特殊角的三角函數值，掌握相關知識點并正確計算是

解題的關鍵．

先將絕對值，零指數冪，特殊角的三角函數值化簡，再進行計算即可求解．

1

01

【詳解】解：312026πtan60

3

1

3113

3

1

3113

3

1

．

3

題型03求角的三角函數值

【典例3】（2026·上海徐匯·一模）如圖，Rt△ABC中，CAB90，AC3，AB4，AD為斜邊BC上

的中線，則cosCAD的值為．

3

【答案】/0.6

5

【分析】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線定理，等腰三角形的性質及余弦的定義，根據已知條

5

件利用勾股定理求得BC的值，再由直角三角形斜邊中線定理可得ADCDBD，根據等腰三角形的性

2

質得出CADC，進而求得結果．

【詳解】解：∵CAB90，AC3，AB4，

∴BCAC2AB25，

又∵AD為斜邊BC上的中線，

5

∴ADCDBD，

2

∴CADC，

3

∴cosCAD，

5

3

故答案為：．

5

【變式練習】

1

7．（2025·四川南充·二模）如圖，在ABC，ACBC,cosC，則sinB的值為（）

3

2226

A．B．C．D．不能確定

333

【答案】C

【分析】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，通過解直角三角形及勾股定理，求出AD的長是解題的關

11

鍵．設ACBCa，過點A作ADBC于點D，在Rt△ACD中，根據cosC，可得CDa，

33

22223

ADa，BDa，再由勾股定理可得ABa，即可求解．

333

【詳解】解：設ACBCa，

如圖，過點A作ADBC于點D，

1

在Rt△ACD中，ACa，cosC，

3

1

∴CDACcosCa，

3

222

∴ADAC2CD2a，BDBCCDa，

33

23

∴ABAD2BD2a，

3

22

a

AD6

∴sinB3．

AB233

a

3

故選：C．

8．（2025·江西撫州·二模）如圖，將圖1的七巧板，拼成圖2所示的平行四邊形，則tanABC的值為．

1

【答案】/0.5

2

【分析】本題考查了七巧板問題，正方形的判定和性質，三角函數．

在圖1中連接GH，證明四邊形HEFG是正方形，得到HGF90，HGEF，在圖2中可得ADB90，

BIDIAD，根據三角函數計算即可．

【詳解】解：如圖1，連接GH，

由七巧板可知，HEFGEF，HE∥FG，HEF90，

∴四邊形HEFG是平行四邊形，

∵HEF90，

∴平行四邊形HEFG是矩形，

∵FGEF，

∴矩形HEFG是正方形，

∴HGF90，HGEF，

如圖2，連接AB、AD，則ADC90，

∴ADB90，

由七巧板可知，BIDI，

則BIDIAD，

AD1

∴tanABC．

BIDI2

故答案為：1．

2

9．（2025·廣東深圳·模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，ABCDAC90，

1BO6

tanACB，，則tanACD的值為．

2OD5

1

【答案】

3

【分析】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質和判定．設DNm，通過作輔助線，得到

1

△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，ABC∽DAN，進而得出對應邊成比例，再根據tanACB，

2

BO6

，得出對應邊之間關系，先后用m表示AN，MN，DM，BC的長，利用正切函數的定義求解即

OD5

可．

【詳解】解：如圖，過點D作DM∥BC，交CA的延長線于點M，延長BA交DM于點N，

又∵ABCDAC90，

∴BACNAD90，

∵BACBCA90，

∴NADACB，

1ABDN1

∴tanNADtanACB，即，

2BCAN2

設DNm，則AN2m，

∵DM∥BC，

∴△ABC∽△ANM，

ABAN1

∴tanACB，

BCNM2

∴MN4m，則DM5m，

∵DM∥BC，

∴△OBC∽△ODM，

BCOBOC6

∴，

DMODMO5

6

∴BC5m6m，

5

又∵ABCDAC90，NADACB，

∴ABC∽DAN，

ADAN2m1

∴，

ACBC6m3

AD1

∴tanACD，

AC3

1

故答案為：．

3

題型04利用三角函數求邊長

4

【典例4】（2023·浙江寧波·模擬預測）如圖，在ABC中，ADBC，BD=5，CD3，tanBAC，

3

則線段AD的長．?

【答案】263/326

【分析】本題主要考查相似三角形的性質與判定及三角函數，熟練掌握相似三角形的性質與判定及三角函

數是解題的關鍵；過點B作BEAC，垂足為E，交AD于點F，由題意易得AEF∽BEC，BDF∽ADC，

然后可根據相似三角形的性質可進行求解．

【詳解】解：過點B作BEAC，垂足為E，交AD于點F，如圖所示：

4

∵tanBAC，

3

BE4

∴，

AE3

∵CCAD90,CCBE90，

∴CADCBE，

∵ADCBECAEF90，

∴AEF∽BEC，

BEBC4

∴，

AEAF3

∵BD=5，CD3，

∴BC=8，

∴AF6，

∵FDBADC90，

∴BDF∽ADC，

DFBDDF5

∴，即，

DCAD3AD

設DFx，則ADAFDF6x，

x5

∴，整理得：x26x150，

36x

解得：x1263,x2263（不符合題意，舍去），

∴AD263；

故答案為：263．

【變式練習】

10．（2024·海南省直轄縣級單位·二模）如圖ABC是等邊三角形，點D是邊BC的三等分點，連接AD．若

ABC的周長為9，則點D到AC的距離為（）

33

A．3B．C．5D．

22

【答案】A

【分析】本題考查了等邊三角形的性質和正弦的定義，先過點D作DEAC于點E，由題意得到CB3，

ECD60，在RtCED中，利用正弦定義求ED即可．

【詳解】解：過點D作DEAC于點E，

∵ABC是等邊三角形且周長為9，

∴CB3，ECD60，

∵點D是邊BC的三等分點，

∴CD2，

在RtCED中，

ED

sinECD，

CD

3

∴EDCDsin6023，

2

∴點D到AC的距離為3．

故選：A

11．（2025·山西·一模）如圖，在ABC中，AC2AB，AD是ABC的平分線，與中線BE相交于點F．若

4

AF4，cosEAF，則CD的長為．

5

【答案】297

3

【分析】本題主要考查了角平分線的性質、等腰三角形的性質、余弦的定義、勾股定理等知識點，靈活運

用相關知識成為解題的關鍵．

根據中線的定義、角平分線的定義以及等腰三角形的性質可得AFE90,BFEF，再根據余弦的定義可

得AE5，進而可得AB5,AC10,EF3，BE6；如圖：過B作BGAC于G，運用勾股定理可得等

242

面積法和勾股定理可得BG、BC97，再根據等面積法可得DC2BD，即CDBC，據此即可解

53

答．

【詳解】解：∵BE是ABC的中線，

∴AEEC，

∵AC2AB，

1

∴ABACAE，

2

∵AD是ABC的平分線，

∴AFE90,BFEF，

AF444

∵cosEAF，即，解得：AE5，

AE5AE5

∴AB5,AC10,EFAE2AF23，

∴BE6，

如圖：過B作BGAC于G，

11

∵SBEAFAEBG，

ABE22

1124

∴5BG，解得：BG，

225

2

222247

∴AGABBG5，

55

743

∴CGACAG10，

55

22

222443

∴BCCGBG97，

55

∵ABD,ADC的BD,DC邊上的高相等，

SBD

∴ABD，

SADCDC

如圖：過D作DHAB,DIAC，

∵AD是ABC的平分線，

∴DHDI，

1

ABDH

SAB

∴ABD2，

S1AC

ADCACDI

2

BDAB1

∴，即DC2BD，

DCAC2

2297

∴CDBC．

33

故答案為：297．

3

12．（2024·新疆烏魯木齊·三模）如圖，在Rt△ABC中，ABC90，BABC4，點D為BC邊上的中

點．連接AD，過點B作BEAD于點E，延長BE交AC于點F，則EF的長為．

858

【答案】/5

1515

ABAE

【分析】過點D作DMAC于點M，根據cosBAD，DMCMDCsinC2sin452，

ADAB

ABAB1685EFDM1

確定AE，AMACCM32，結合tanDAM，計算即可．

AD255AEAM3

【詳解】過點D作DMAC于點M，

∵ABC90，BABC4，點D為BC邊上的中點，BEAD．

1

∴BDDCBC2，ADAB2BD225，C45，ACAB2BC242；

2

ABAE

∴cosBAD，DMCMDCsinC2sin452，

ADAB

ABAB1685

∴AE，AMACCM32，

AD255

EFDM1

∴tanDAM，

AEAM3

185

∴EFAE，

315

故答案為：85．

15

【點睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，特殊角的三角函數值，三角函數的應用，熟練掌

握勾股定理，特殊角的三角函數，三角函數的應用是解題的關鍵．

題型05銳角三角函數與網格問題

【典例5】（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，在55的正方形網格中，線段AC經過格點A，E，線段AB經

過格點A，B，D，則cosCAB．

【答案】2

2

【分析】本題考查了網格中利用勾股定理求線段長度，結合直角三角形的余弦定義計算角度的余弦值．

根據網格的特征，連接BE構造RtABE，利用勾股定理計算線段AE和AB的長度，再通過RtABE中，求

AE

得cosCAB的值即可．

AB

【詳解】解：連接BE，由題可知，此時BEAC，

在網格中，由勾股定理可得：AE123210，AB224225，

AE102

∴在RtABE中，cosCAB．

AB252

故答案為：2．

2

【變式練習】

13．（2025·甘肅隴南·模擬預測）如圖，ABC的三個頂點都在正方形網格的格點上，則sinA的值為（）

6534561

A．B．C．D．

56361

【答案】D

【分析】本題主要考查了求正弦，勾股定理，

先畫出圖形，再根據勾股定理求出AB，然后根據正弦定義求解.

【詳解】解：標注點D，BD5,AD6，

根據勾股定理，得ABBD2AD261，

BD5561

∴sinA.

AB6161

故選：D.

14．（2026·湖南邵陽·一模）如圖，網格圖中每個小正方形的面積都為1，經過網格點A的一條直線，把網

格圖分成了兩個部分，其中BMN的面積為3，則（1）AN，（2）sinMNB的值為．

62

【答案】26

4

【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質，勾股定理等，掌握以上性質是解題的

關鍵．

1

設NCx，根據相似三角形的判定和性質可求得MD，根據BMN的面積為3，得到SAMDSANC2，

x

1

x4

求得x，解方程得到NC23，根據勾股定理求得AN26，即可求出sinMNB的值．

【詳解】解：如圖，

設NCx，

∵AD∥NB，

∴MADANC，

∵MDAACN90，

∴ANC∽MAD，

ADMD

∴，

NCAC

∵ACAD1，NCx，

1

∴MD，

x

∵BMN的面積為3，網格圖中每個小正方形的面積都為1，

∴SAMDSANC312，

11

即MDADNCAC2，

22

111

x2，

2x2

1

∴x4，

x

解得x123，x223（舍去），

即NC23；

在RtANC中，AN2AC2NC2，

22

故AN12238432626，

AC162

∴sinMNBsinANC．

AN264

62

故答案為：26，．

4

15．（2025·福建龍巖·模擬預測）在網格中，每個單位小正方形的頂點稱為格點．如圖，在44的網格中，

點A、B、C都在格點上，則tanACB的值是．

【答案】2

【分析】解法一：標注正方形ADEF，連結AB．由網格用勾股定理可得

AC2AF2CF225,BC2BE2CE25，AB2AD2BD220，從而得到AC2AB2BC2，則

AB

ABC90，tanACB2．

BC

解法二：標注正方形ADEF，連結AB．由網格可得DEABDBAD90，

AD:BEBD:CE2:1，可得△ADB∽△BEC，則BADCBE，進而可得ABC90，

AB

tanACB2．

BC

【詳解】解：標注正方形ADEF，連接AB．由網格可知：

解法一：

在Rt△ACF中，F90，

AC2AF2CF225．

在RtBCE中，E90，

BC2BE2CE25．

在Rt△ABD中，DB=90°，

AB2AD2BD220．

AC2AB2BC2．

AB

ABC90，tanACB2．

BC

解法二：

在ADB與BEC中，DEABDBAD90，AD:BEBD:CE2:1，

△ADB∽△BEC,

BADCBE．

ABDCBE90，

AB

ABC90，tanACB2．

BC

【點睛】網格中，求格點生成的角的三角函數值問題的通解為：先利用勾股定理求出格點線段長，再用割

補法求出格點三角形的面積，然后作格點生成角的一邊上的高，利用面積法求出格點三角形的高，最后利

用銳角三角函數求得結論．

題型06銳角三角函數與最值問題

【典例6】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，ABC是等腰直角三角形，ABAC，點D在ABC外，

BDC=90，若AD6，則AB的最小值為

【答案】32

【分析】如圖，將ACD繞點A順時針旋轉90，得到ABE，結合四邊形內角和為360得

ABEABD180，則E、B、D三點共線，繼而得到當ABDE時，AB取得最小值，過點A作ABDE

于點B，則AB的最小值為AB的長，然后在Rt△ADB中，根據正弦的定義即可得解．

【詳解】解：如圖，將ACD繞點A順時針旋轉90，得到ABE，

∴△ACD≌△ABE，

∴ACDABE，ADAE，

∵ABC是等腰直角三角形，BDC=90，

∴DBAC+DBDC=90°+90鞍=180，

∴ACDABD360BACBDC360180180，

∴ABEABD180，

∴E、B、D三點共線，

∵EAD90，AEAD，

1

∴AEDADE1809045，

2

∴當ABDE時，AB取得最小值，

過點A作ABDE于點B，則AB的最小值為AB的長，

在Rt△ADB中，AD6，ADB45，

2

∴ABADsinADB6sin45632，

2

∴AB的最小值為32．

故答案為：32．

【點睛】本題考查旋轉的性質，解直角三角形，等邊對等角，四邊形內角和，垂線段最短等知識點，確定AB

的最小值是解題的關鍵．

【變式練習】

16．（2025·廣西·模擬預測）如圖，在RtABC中，ABC90，AB4，BC8，F為AB的中點，E，

P分別為BC，AC上一動點，則EFEP的最小值為．

【答案】125

5

【分析】此題主要考查軸對稱在解決線段和最小的問題．作點F關于BC的對稱點F，過點F作FPAC于

點P，由對稱性質可知EFEF，EFEP的最小值即為FP的值，再根據解直角三角形求出PF故可求解．

【詳解】解：如圖，

作點F關于BC的對稱點F，過點F作FPAC于點P，由對稱性質可

知EFEF，

EFEP的最小值即為FP的值，

AB4，BC8，ABC90，

∴ACAB2BC2428245，

BC825

sinBAC，

AC455

PF25

，

AF5

AFABBF426，

25125

PF6，

55

125

EFEP的最小值為．

5

故答案為：125．

5

17．（24-25九年級上·江蘇宿遷·月考）如圖，在矩形ABCD中，AB6，BC8，F是對角線AC上的動點，

連接BF，將直線BF繞點F順時針旋轉使BFEBCA，且過B作BEEF，連接AE，則AE最小值

為．

72

【答案】

25

【分析】本題考查了矩形的性質，解直角三角形，四點共圓．如圖，過點B作BHAC于點H，連接EH．由

BEFBHF90，推出E，B，F，H四點共圓，證明AHEACD定值，推出點E在射線HE上運

動，當AEEH時，AE的值最小，求出AH·sinAHE，可得結論．

【詳解】解：如圖，過點B作BHAC于點H，連接EH，

∵BEFBHF90，

∴E，B，F，H四點共圓，

∴EHBEFB，

∵BFEBCA，

∴BFEBCAEHB，

∵AHEEHB90，BCAACD90，

∴AHEACD定值，

∴點E在射線HE上運動，

∴當AEEH時，AE的值最小，

∵四邊形ABCD是矩形，AB6，BC8，

∴ABCD6，BCAD8，DD=90°，

∴ACCD2AD2628210，

AD4

∴sinAHEsinACD，

AC5

11

∵S△ABCBACBH，

ACB22

24

∴BH，

5

2

2222418

∴AHABBH6，

55

18472

∴AE的最小值AHsinAHE．

5525

72

故答案為：．

25

【點睛】點睛片段

18．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在ABC中，已知ABAC，BAC45，D為直線BC邊上一動

點，將線段AD繞點A逆時針旋轉45得到AE，連接BE，若BC2，則BE的最小值為．

【答案】2

【分析】連接CE，先證明ACE≌ABDSAS，得到點E在直線CE上運動，過點B作BGCE于點G，

解答即可．

【詳解】解：連接CE，

∵ABAC，BAC45，ADAE，∠DAE45，

1804518045

∴ABCACB67.5，ADEAED67.5，

22

∴BADCAD45CAE，

AB=AC

∵BAD=CAE，

AD=AE

∴ACE≌ABDSAS，

∴CEBD，ABDACE67.5．

故點E在直線CE上運動，BCG45，

過點B作BGCE于點G，

根據垂線段最短，得當點E與點G重合時，BE取得最小值，

∵BC2，

∴BGBEBCsin452，

故答案為：2．

【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，垂線段最短，三角函數的應用，熟練

掌握全等的性質，垂線段最短，三角函數的應用是解題的關鍵．

題型07銳角三角函數與翻折問題

AB2

【典例7】（2025·山東濟南·一模）在矩形ABCD中，，M、N分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD

BC3

沿MN折疊，使點B落在CD邊上的點F處，得到四邊形EFNM，連接DE，若折痕MN210，

3

tanEMD，則DE的長為．

4

【答案】95

5

【分析】本題考查了矩形與折疊的性質，正切值的計算，勾股定理的運用，掌握矩形與折疊的性質，正切

值的計算方法是關鍵．

如圖所示，EF與AD交于點G，過點M作MHBC與點H，EMGDFGFNC，所以

EGDGFC3

，設EG3x,ME4x，DG3y,DF4y，FC3z,NC4z，x,y,z均為正數，所以

MEDFNC4

3x5y

在RtMNH中，MH3x5y,NH,MN210，由勾股定理得到3x5y6（負值舍去），則

3

915159

ABCDEFMH6，ME3,EG,MG，DM6，如圖所示，過點E作EKAD于

4444

9

3

EG·EM91218

點K，則EK4，DKMDMK6，由勾股定理即可求解．

MG15555

4

【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴ABCD,ADBC,ABCADC90，

如圖所示，EF與AD交于點G，過點M作MHBC與點H，

∴四邊形ABHM是矩形，ABMH，AMBH，

∵折疊，

∴AMME,BNNF,ABMEFNFE90，

∵EMGEGMDGFDFG90,EGMDFG，DFGNFCNFCFNC90，

∴EMGDFGFNC，

3

∵tanEMD，

4

EGDGFC3

∴，

MEDFNC4

∴設EG3x,ME4x，DG3y,DF4y，FC3z,NC4z，x,y,z均為正數，

22

∴在RtMEG中，MGEG2ME23x4x5x，

22

在RtDFG中，FGDG2DF23y4y5y，

22

在RtNCF中，NFCF2NC23z4z5z，

∴ABCDMHEF4y3z3x5y，BNNF5z，ADBC9x3y9z，

∴3xy3z，

3x5y

∴HNBNBH5z4x，

3

3x5y

在RtMNH中，MH3x5y,NH,MN210，

3

2

2

22223x5y

∴MNMHNH，即2103x5y，

3

解得，3x5y6（負值舍去），

∴ABCDEFMH6，

AB2

∵，

BC3

∴BC9AD，

∴9z9，則z1，NC4,CF3，

393

∴DF3,y，則DG，x，

444

915159

∴ME3,EG,MG，DM6，

4444

如圖所示，過點E作EKAD于點K，

11

∵SEG·MEMG·EK，

MEG22

9

3

EG·EM9

∴EK4，

MG155

4

EK3

∵tanEMD，

MK4

44912

∴MKEK，

3355

1218

∴DKMDMK6，

55

22

2291895

∴DEEKDK，

555

故答案為：95．

5

【變式練習】

19．（2025·廣東深圳·三模）Rt△ABC中，C90，D是斜邊AB的中點，將ACD沿CD折疊，得ECD，

CF5

DE與CB交于點F，若，則sinA的值為．

FB6

【答案】25

5

【分析】連接EB，AE交CD于M點，根據折疊的性質可知M為AE的中點，AMCD，又因為點D是AB

的中點，可知MD是ABE的中位線，利用中位線的性質，可得：CDF∽BEF，根據相似三角形的性質

CF5

結合，可知CDF與BEF的相似比為5:6，設CD5x，則EB6x