難點6 立體幾何中的截面問題【講】-2025-2026學年期中重難點復習【含答案】

難點6立體幾何中的截面問題【講】

期中重點難點一覽無余

考向1棱柱的截面問堰

芝包"情的菽面弓題

立體難點1多面體的截面問題必備知?只

何

幾考向3校臺的菽面問題考向歸類

的

中典例解耍

面

截生向L圈紗截面日題自考提醒

題

問難點2旋轉體的截面問題考向2圈住的截面問題

考向3球的截面問題

嚙演破期中重點難點融合貫通

突破1多面體的截面問題

【必備知識】

多面體定義組形及表示相關概念特殊情形

直棱柱：側棱垂

有兩個面互

直于底面的樓

相平行，其余

底面：兩個互相柱斜棱柱：側棱

各面都是四互_D'

平廳的面側面：不垂直于底面

.AT於、R

邊形，并且相上::淆己作:棱

其余各面的棱柱

鄰兩個四邊側/葭應

楂柱側棱：相鄰側面正棱柱：底面是

A3、頂點

形的公共邊

柱的公共邊正多邊形的直

都互相平行，

，，，，頂點,側面與底棱柱

由這些面所ABCDEF-A'B'CDEF

面的公共頂點平行六面體：底

圍成的多面

面是平行四邊

體叫做棱柱

形的四棱柱

試卷第1頁，共8頁

有一個面是底面：多邊形面

多邊形，其余側面：有公共頂

正棱錐：底面是

點頂點

各面都是有點的各個三角

則棱/側面

正多邊形，并且

一個公共頂形面

棱錐71日記作:棱頂點與底面中

1/上嘖面

點的三角形，側棱：相鄰側面

AB

心的連線垂直

由這些面所^.S-ABCD的公共邊

于底面的棱錐

圍成的多面頂點：各側面的

體叫做棱錐公共頂點

上底面：原棱錐

用一個平行的截面下底面.：

o

于棱錐底面戶、原棱錐的底面

的平面去截側面：其余各面

棱臺棱錐,底面和側棱：相鄰側面

截面之間的頂點的公共邊

那部分多面臺ABCD-AHCD頂點：側面與上

體叫做棱臺（下）底面的公共

頂點

【考向歸類】

考向一：棱柱的截面問題

【典例1】

1.一平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形稱為正方體的“截面圖形在棱長為1的正

方體力48cA中，E為48的中點，尸為CG的中點，過口,瓦廠三點的截面圖形的

周長為（）

A.^（25+2713+975）B.卻5+49+明

C.-^（25+2713+675）D.《（15+4拒+6司

【備考提醒】

棱柱的截面問題，核心是確定平面與棱柱各面的交線，利用棱柱的平行特性，掌握平行線法

和延長交線法,進而分析截面形狀、計算周長或面積.

試卷第2頁，共8頁

【舉一反三】

（25-26高二上?上海?期末）

2.已知正方體力8。。-4月0。1，棱的中點為E,棱力。的中點為產，棱CG的中點為

G,過反EG作該正方體的截面，則該截面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

（2026?重慶九龍坡?一模）

3.已知正方體力88-4圈G"棱長為1,過點民"的平面截正方體所得截面為菱形時，該

截面的面積為（）

A.巫B.7C.V2D.瓜

24

考向二：棱錐的截面問題

【典例2］（2025?安徽合肥?三模）

4.已知正四棱錐尸-48c。的所有棱長都等于3,點G是△/MC的重心，過點G作平面。，

若平面a〃平面尸8,則平面。截正四棱錐夕-力灰:。的截面面積為（）

A.巫B.C.2GD.2715

48

【備考提醒】

棱錐的截面問題，核心是確定平面與棱錐各面（底面和側面）的交線，由于棱錐的側面交于

頂點，截面通常與側棱相交，形成多邊形，利用頂點和底面，掌握延長交線法和相似比法.

【舉一反三】

5.已知四棱錐S-48c。中，S4_L平面48CO,四邊形/8CO為正方形，SA=AB=6,平

面a過S8,CD,SO的中點，則平面a截四棱錐S-/88所得的截面面積為（）

A.—V6B.紅恒C.976D.125/6

42

（24-25高二下?四川內江?開學考試）

6.一棱長為。的正四面體木塊如下圖所示，點P在平面以C內，過點P將木塊鋸開，且使

截面平行于直線I力和力C,則在木塊表面畫線的總長度為（）

試卷第3頁，共8頁

A.。B.laC.4。D.無法確定

考向三：棱臺的截面問題

【典例3】（23-24高三上?河北廊坊?期末）

7.如圖所示，正四棱臺/4CQ-4片CR中，上底面邊長為3,下底面邊長為6,體積為

竺點七在力。上且滿足。E=2月E,過點七的平面a與平面平行，且與正四棱臺

2

各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周氏為（）

A.772B.872C.3百+4&D.46+4加

【備考提醒】

棱臺的截面問題，核心是確定平面與棱臺各面（兩個底而和側面）的交線，棱臺可看作棱錐

被平行于底面的平面截去頂部后形成的幾何體，因此截面問題常可轉化為棱錐的截面問題,

核心是“補形成棱錐”.將棱臺補成棱錐后，棱錐的截面方法（延長交線法、平行線法）完全

適用，最后將結果限制在棱臺范圍內即可.

【舉一反三】

8.在正四棱臺力8。。—44CQ中，川？=24蜴=4,低棱若尸為8c的中點，

則過8,D,尸三點截面的面積為.

9.在正四棱臺16。。—44CQ中，川？=2/4=4,低棱44=#，若尸為6c的中點，

則過8,D,。三點截面的面積為（）

試卷第4頁，共8頁

15

A.B.4A/6C,56夜

~2D.6

Q突破2旋轉體的截面問題

【必備知識】

1.圓柱

結構特征圖形表示

圓柱用表

以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成

示它的軸

的面所圍成的旋轉體叫做圓柱.旋轉軸叫做圓柱的軸；垂直史軸

的字母表

底面《丁側面

于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊

示，如圖中

旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，:B

的圓柱記

平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線

作圓柱。。

2.圓錐

結構特征圖形表示

言軸

以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉圓錐也用表示它的軸的字

軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉例面；iV-母線母表示，如圖中的圓錐記

體叫做圓錐底面丁作圓錐S。

3.球

結構特征圖形表示

半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的

,

“球常用表示球

M

徑

曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱半

輕

直心的字母來表

心

球

球.半圓的圓心叫做球的球心，連接球心和球面上任意L

示，如圖中的球

一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經過

1可表示為球o

球心的線段叫做球的直徑

【考向歸類】

考向一：圓柱的截面問題

【典例1】

試卷第5頁，共8頁

10.從?個底面半徑和高都是〃的圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的

圓錐，得到如圖所示的幾何體.如果用一個與圓柱下底面距離為/,并且平行于底面的平面

去截這個幾何體，則截面面積為.

【備考提醒】

圓柱的截面問題，核心是確定平面與圓柱面（側面和底面）的交線，核心是“根據截面與軸

的關系判斷形狀”.垂直于軸是圓，平行于軸是矩形，傾斜于軸是橢圓.

【舉一反三】

II.已知圓柱的上，下底面的中心分別為Q，u，過直線的平面截該圓柱所得的截面是

面積為16的正方形，則該圓柱的體積為（）

A.8兀B.1()71C.12兀D.16兀

12.如圖所示的幾何體是由?個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點的圓

錐而得到的幾何體，現用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（）

C.（1）（4）D.（1）（5）

考向二：圓錐的截面問題

【典例2］（2026?浙江臺州?二模）

13.已知一個圓錐的底面半徑為百，高為1,則下列對該圓錐的表述正確的是（）

A.體積為37rB.表面積為2石幾

C.兩條母線的夾角的最大值為方D.過頂點的截面面積的最大值為2

試卷第6頁，共8頁

【備考提醒】

圓錐的截面問題，核心是確定平面與圓錐面（側面和底面）的交線，由于圓錐面是曲面，截

面與側面的交線可以是圓、橢圓、拋物線或雙曲線（統稱圓錐曲線）.

【舉一反三】

（2026?陜西榆林?一模）

14.一個圓錐的高是G，側面積是2兀，則該圓錐軸截面的周長為（）

A.3B.4C.5D.6

（25-26高三上?安徽?期中）

15.已知某圓錐的軸截面是鈍角三角形，記該鈍角三角形的腰長為/,若過該圓錐頂點的平

而截此圓錐所得截面面積的最大值為8,則/=（）

A.3B.4C.5D.6

考向三：球的截面問題

【典例3】（25-26高二上?貴州遵義?期末）

16.在一個水平平面。上放一個半徑為3的球，球面上兩點48滿足04上08,。是球心,

且點A到平面。的距離為5,則點B到平面。距離的最大值為（）

A.yB.3+癡C.3+V5D.5

【備考提醒】

球的截面問題，核心是確定平面與球面的交線.由于球面是中心對稱的曲面，任何平面截球

面得到的交線都是圓，核心是“球心到平面的距離”.只要算出d,截面圓半徑、面積、周長

就全部確定.

【舉一反三】

（25?26高二上?四川內江?月考）

17.球的半徑為10,若它的截面面積是64兀，則球心到截面的距離是（）

A.9B.8C.6D.4

18.己知各棱長都相等的三棱錐內接于一個球，某同學畫出四個過球心的平面截球與三棱錐

所得的圖形，如圖所示，其同學通過討論，有下面一些觀點，與周邊同學議一議，看看這四

位同學的觀點誰的正確（）

試卷第7頁，共8頁

A.以上四個都正確

B.只有（2）（4）正確

C.只有（4）錯

D.只有（1）（2）正確

試卷第8頁，共8頁

1.A

【詳解】延長。/交。。的延長線于點N,連接NE交8c于點G,

延長NE交DA的延長線于點M,連接J即交力4于點〃，連接HE,GF,

如圖所示，可得正方體的截面圖形為五邊形EGP"〃.

由與AC,D,F相似得AH=\,

4

321

所以4〃=彳，△4A”與ACG尸相似得CG=],所以BG=§.

由勾股定理得KG=」?1+4丫=巫，GF

⑴6）6

FR=符'冬HE/皿邛

所以截面圖形的周長為《（25+2萬+9逐）.

/\

/DI---

M匕

2.C

【分析】采用截面擴展法找出截面與各條極的交點,即可得到截面形狀.

【詳解】

,Av"

:>/G

P

延長￡7、交CN>的延長線于點。，延長"E,交C4的延長線于點P,

答案第1頁，共11頁

連接。G,交。A于/,連接PG,交BB、于H,

連接EH.

則五邊形EF/GH即為過E、RG與該正方體的截面.

故選：C.

3.A

【分析】取彳4的中點E,CG的中點尸，得到8瓦）尸為菱形，故有過點的平面裁正

方體所得截面為菱形的截面是菱形BED尸，根據題意求出8%的長度，取。R的中點”，

連接EH,FH,EF,根據勾股定理求出E廠的長度，故菱形尸的面積為;叮?4。1，代入

數值得解.

【詳解】取力4的中點石，CG的中點/，連接￡Q],/）尸，FB，BE,

取的中點G,連接GE,G尸，取的中點“，連接EH,FH,EF,

分別是力小DD、,CG，物的中點，."http://G是正方形，

...EG//HF且EG=HF,*/D￡//HF且D.C,=HF,

.?.EG//〃G且EG=AG，/.EGGA為平行四邊形，;.GCJIED\R.GC\=ED\,

而GCJ/6產且GC1=5/，則BF//ED1,BF=ED、，；.BFD】E為平行四邊形,

.?.8E〃尸乙.?.民用尸㈤四點共面，又BE=BF=叵，，BEDF為菱形,

2

B[u平面BE。尸,

過點伉4的平面截正方體所得截面為菱形的截面是菱形尸，

BD\=6￡//=1,F//=1,則EF=JEH?+FH?=ViTT=&，

故菱形BE?F的面積為LEF.=1x亞x囪=也.

222

故選：A

答案第2頁，共11頁

【分析】過點G依次在平面內作平行線，可得到截面，根據比例確定邊長知截面為等腰梯

形即可求面積.

【詳解】

點G是△尸力。的重心，^|=|,過G作GH//PC交4c于H,并延長交21于M,

過H作EF//CD,過E作EN//PC,如圖四邊形EFMN為截面，

0G_1OH_OG_\

?.?點G是△尸4c的重心,

~PG~2T^C_PG_2?

HC1PMPNMN…，,

-----=—==——=,MN=1EF=3,MF=NE=2,

AC2PAPBAB

四邊形為等腰梯形，故面積為S=（"3）X6=2后.

2

故選：C.

5.A

【分析】順次連接E,F,G,HJ,則平面EFG"/即為過E,F,H的平面。截四棱錐P-ABCD

所得截面，求其面積，可得答案.

【詳解】分別取S3,BC,CD,SO的中點E,F,G,",線段以上靠近S的四等分點

連接EI,EF,FG,GH,HI,

因為EF//SC,EF=-SC,HG//SC,HG=-SC,

22

所以EFHHG、EE="G,四邊形EFGH是平行四邊形，即E,￡G,"四點共面,

答案第3頁，共11頁

設%中點為N，易得HF//BN,EH/BN,故HFHE1,所以E,F,G,HJ五點共面,

則平面￡FG〃/即為平面a,如圖，

在RtaS/lC中，SA=6,AC=6g河彳導SC=dAC?+SA'=J6)+2x6?=6百,

所以EE=HG=3A/J,FG=3應，/E=//7=1.^—1+AB2=-732+62=—,

2H2J22

在等腰三角形"77中，EH=FG=3?，IE=IH,所以高為氈，

22

故所求截面面積為矩形面積與三角形面積之和，S=3&x36+;x3&xgjJ=

224

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：分別取SB,BC,CD,S。的中點E,F,G,H,線段S力上靠

近S的四等分點/作出并證明平面EFGHI即為平面。是解題的關鍵，屬于中檔題.

6.B

【分析】根據線面平行的判定定理，通過構造平行線確定截面，截面周長即為所求.

【詳解】

如圖，在平面"C內過點P作/WN〃4C,分別交口,叱于點M,N,則PM=%V=A#/,

MN=NC.

在平面K48內作ME//J/8交力3于點E,在平面FBC內作MII形交8c于點b,則

ME=MA,NF=NC,

：.MEHNF,ME=NF,故截面為平行四邊形MYFE,

答案第4頁，共11頁

???在木塊表面畫線的總長度為2（MN+ME）=l（VM+MA]=2VA=2a.

故選：B.

7.D

【分析】首先過點4作4"，力。于點“，結合己知得力〃=述，由樓臺體積公式得

2

=半，由勾股定理得力力，2+4〃2=3,再求出/〃的長，最終根據相似三角形

對應邊成比例即可得解.

【詳解】如圖所示，

過點4作4H1AC于點H,因為4G=30AC=6五,

所以47=述，

2

則四棱臺的高為4〃，則四棱臺的體積為;（32+G+3x6）x4〃=竽,

解得4〃=手，所以側棱長為44=JAH2+AJ1=3.

如圖所示：

過。尸_1力。于點/，力G14。于點G,連接力2,

6-33

由對稱性可知DF=AG=—=—,GF=%。=3,

22

39

所以力尸=6-7=7，

22

而DDi=AA[=3t

所以。/二

答案第5頁，共11頁

所以力曰+.=3行，同理。2=力"=3百,

分別在棱DC,DD,上取點N,M,使得DN:NC=DM:A7D,=2:1,

易得ME=NM=g=26,EN=：力。=4&,

所以截面多邊形的周長為4石+4上.

故選：D.

o15

8-T

【分析】取G"的中點0，連接尸。，BR,結合中位線、正四棱臺的性質證截面為

等腰梯形，再根據已知求截面的面枳即司;

【詳解】取G"的中點0，連接尸0，BR,則PQ//B。,PQ=NR,又BDHB\D\,

則產Q//4D,根據止四棱臺的性質得。。=片~,則〃。。產為等股梯形，

即過從D,P三點截面為等腰梯形8。0P.

取8c的中點M,連接MP,

在等腰梯形4GC8中，8G=2,BC=4,BM=2,

則J482—［；（BC—qCjf=亞,DQ=BP=ylBM、PM2=3,

在等腰梯形3D。尸中，尸0=：4R=&，BD=4枝，

則梯形的高為J8P2—；（3。-尸0）=乎，

所以等腰梯形8。。尸的面枳5=\（貶+4&?逑=".

222

故答案為：—

9.A

【分析】取GA的中點2,則尸。〃4鼻,又BD〃BR,則「。〃8。，可得過8,P

答案第6頁，共11頁

三點截面為等腰梯形8。。尸，利用題中數據及正四棱臺的性質計算即可.

【詳解】

取GR的中點。，連接則PQ〃BQ「PQ=；BQ「

又BD〃BQ、,則尸。〃4〃，又根據正四樓臺的性質得。。=以\

則8QQP為等腰梯形，即過8,D,P三點截面為等腰梯形8。0/\

取8c的中點/，連接MP,

在等腰梯形4GC4中，B\C、=2,BC=4、B\B=瓜、BM=2,

則PMMJBIB?-;（BC—BCJ=6，DQ=BP=dBM、PM2=3,

在等腰梯形“。。。中，PQ=；B\D1=6,BD=46

則梯形的高為小尸］；（BD_PQJ=半，

所以等腰梯形8力QP的面積S=；x（&+4五卜孚=￡.

故選：A.

10.冗（后一廠）

【分析】畫出軸截面，設出4。=工，由圖形關系求解即可.

【詳解】題圖中的幾何體的軸截面如圖所示，

所以△408是等腰直角三角形.

答案第7頁，共11頁

又CDH0A,則CZ)=8C.設QO=x,則CD=R-x.

又BC=R-I,故x=/,

所以所求截面面枳S=兀斤-兀『=兀/一/2).

故答案為：”(2一/2)

11.D

【分析】設圓柱的底面半徑為丁母線長為/，根據題意求出，/,進而利用圓柱的體積公式

即可求解.

【詳解】設圓柱的底面半徑為?母線長為/,由題意得：/=2〃，

因為過直線的平面械該圓柱所得的截面是面積為16的正方形，

所以2”=16,即/=2r=4,所以r=2,

所以該圓柱的體積為V=w2/=Jtx2‘x4=16兀，

故選：D.

12.D

【分析】該平面過圓柱上、下底中心時截面圖形為(I),不過上、下底的中心時截面圖形為

(5).

【詳解】當該平面過圓柱上、下底中心時截面圖形為(1)：

當不過上、下底的中心時，截面圖形為(5).

所以只有(1)、(5)正以

故選：D.

13.D

【分析】先算出母線長，結合體積公式、表面積公式計算后可判斷AB的正誤，求出軸截面

的頂角值后可判斷CD的正誤.

【詳解】對于A,圓錐的體積為:x兀x(G『xl=7r,故A錯誤；

對于B,圓錐的母線長為反1=2,

故圓錐的表面枳為兀+7txJJx2=2JJ兀+3兀，故B錯誤；

對于C,設圓錐軸截面頂角為。，則tan2=^=G，

21

答案第8頁，共11頁

而冬為銳角，故3=故故兩條母線的夾角的最大值為弓，故C錯誤；

對于D,