高考數學：第三章 一元函數的導數及其應用（測）（提高卷）

第三章一元函數的導數及其應用（提高卷）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.）

1.（2022?廣東?深圳中學高二期中）已知函數/（幻=/+]g滿足lim邑二^=3,則曲線），=/（幻在點

A-I

（l，f（D）處的切線方程為（）

A.3x-y-2=0B.3x-y-4=0

C.4x-2y-3=0D.4x-2y-5=0

【答案】A

由lim⑴=3可知,/（1）=3,而/'（x）=2or+L所以2a+l=3,解得a=l,即/（x）=/+lnx,

x-1x

所以/（1）=1，因此曲線尸/"）在點（1J⑴）處的切線方程為y-l=3"-l）,即3x一k2=0.

故選:A.

2.（2022?四川省成都市新都一中高二期中（理））函數/（力=/+（4+2）工+31在區間[1,2]上不單調，

則實數。的取值范圍為（）

A.（-4,-2）B.[-4,-2]C.（2,4）D.[2,4]

【答案】A

/x）=2x+4+2+g=2f+（"2）K『（2]?L2）

XXX

令則x=4或X=-1（舍），

因為/（“在區間[1,2]上不單調，故-界（1,2）即-4＜a＜-2,

故選：A.

3.（2022?北京市第十二中學高二階段練習）定義：如果函數/㈤在口，吐上存在內，七（〃＜用＜工＜3滿足

ra）=一""）,/"，）=一""），則稱函數是小"上的“雙中值函數”，已知函數

/（上）=21--是區間[o,間上"雙中值函數〃，則實數機的取值范圍是（）

【答案】c

所以/(M7(0)=網=W=2〃?J〃?,

/(x)=2?-/是［0,W］上“雙中值函數〃,故

IH-0Hl

r（x）=6<-2r=2//r-/n在（4〃）上有兩個不同的實數根，令g（x）=6/-2x—24+〃?，對稱軸為x=\,

A=4-4x6x+〃。>0

8（。）>0]1

則滿足.g（M>0解得：~\<tn<~2

1

m>—

6

故選：C

4.（2022?陜西?西北工業大學附屬中學模擬預測（文））已知函數/（x）=Tln2-V,則不等式

，（3T2）>〃2X—5）的解集為（）

A.（T2）B.（-2,2）

C.,-2）=（2,y）D.（e,T）U（2,+oo）

【答案】D

f（x）的定義域為（-?>.+<?），

因為f（x）=-ln2-3x2<0,所以f（X）在（-00,+<?）上單調遞減,

所以不等式/（3-?。?gt;/（24-5）等價于3—f〈2x—5,解得x<-4或x>2,

所以不等式/（3-9）>/（2%-5）的解集為（HO,T）U（2,+?））.

故選：D

5.（2022?河南洛陽?高二階段練習（理））若曲線），=lnx與曲線：）=/一2有公切線，則實數4的最大值

為（）

A.-+-ln2B.---In2C.-+-ln2D.---In2

82822222

【答案】C

1

設在曲線y=lnx上的切點為區/n$）,則切線斜率為（h】x）||=一,

Al

在曲線產/_攵上的切點為"2』；_幻，切線斜率為（f—6J=2w，

所以切線方程分別為yTnXi=-（x-xl）>y-x^+k=2x2（x-占），

1,

gyv=—x+lnx,-1y=2x2x-x/-k,

xi

l=2x.

有三一2,整理得&=皿2占-七2+1，

2

InX,-1=-x2-k

設f(x)=ln2x_x2+l(x>0),則/(X)=--2A-=^^,

XX

令r(x)>o=ovxv￥，令廣(])<0=%>乎，

故函數/（外在（0.孝）上單調遞增，在（號,+8）上單調遞減,

故選：C.

6.（2022?廣西河池?高二階段練習（理））一般地，對于一元三次函數/（力，若/（毛）=0,則（如/（%）））

為三次函數f（x）的對稱中心,已知函數/。?）=父+加+1圖象的對稱中心的橫坐標為0（%＞。），且“力

有三個零點，則實數”的取值范圍是（）

A.B.(f0)C.(-1,0)D.

【答案】A

由函數=f+底+1求導得：r（x）=3d+2ar,則廣（x）=6x+2a,

由f〃（不））=6玉+2a=。解得與二一三＞0,則有a＜0,

r（x）=3x（x+y）,當％vo或x＞號時，r（x）＞o,當o＜x＜號時,r（x）＜o,

則f（x）在（-8，。），（-#+8）上單調遞增，在（。，-引上單調遞減，

因此，當x=0時，“X）取得極大值"0）=1,當工=-胃時，取得極小值/（-￥）=誓+1，

因函數/（“有三個零點，即函數y=〃x）的圖象與X軸有三個公共點，由三次函數圖象與性質知,

/(0)>0

于是得g+1＜0,解得遺，

272

綜上得：述，

2

實數〃的取值范圍是-9,一q.

\Z

故選：A.

e2x＞—p2^

7.（2022?河南安陽?模擬預測（文））已知內＞々＞。，若不等式--------＞〃足…恒成立，則機的取值范

圍為（）

A.（-?,2）B.（-oo,2]C.（-8,0）D.（-?,0]

【答案】B

解：因為％＞七＞0,不等式唬[1＞〃西+必恒成立，等價于-鏟』-〃7（內-芻）＞0恒成立，

令/=.氣一%＞。，則不等式轉化為e，-e-'-制＞0恒成立，

令"，）=c'—「—〃》（/＞0）,則/（）=9+。-'一相，顯然當且僅當e'=eL即/=0時

取等號，

所以當〃Y2時/（/）＞。，即/⑺在（0,+⑹上單調遞增，所以/。）＞/（。）=0,符合題意；

當加＞2時，令g（/）=/'（f）=e'+e"z,則g'（f）=e'_e'＞0,

故J（。在（0,y）上單調遞增,所以存在《）＜0,48）滿足廣（幻=。，且當0＜/＜。時/⑺＜。，當/時

”）＞。，

所以/⑺在（0（）上單調遞減，此時/。）＜/（。）=。,與題意矛盾，綜上可得〃?W（YO,2]；

故迄B

8.（2022?內蒙古?赤峰紅旗中學松山分校高二期中）若關于x的不等式a（l—x）＞e，（2x-l）（其中。之-1）,

有且只有兩個整數解，則實數。的取值范圍是（）

53__5__2__A

A.C.4,-3?D.「五'一旅

【答案】D

由不等式a(1-x)>e'(2x-l)(a>-\),令/(x)=e、(2x-l),g(x)=a(l-x),

r(x)=e'(2x+l),當xv-］時，/V)<o,當時，r(x)>0,

ii/i\21

即函數/(X)在(-8,-彳)上單調遞減，在(-不+00)上單調遞增，/W=/-T=-7，且當時，恒

22min/y2

有f(x)<。，

函數g*)=a(17),表示恒過定點(M)),斜率為-"的直線,

在同一坐標系內作出函數y=/(x)的圖象和直線y=。(1-X),如圖,

因不等式a(lr)>e*(2x-l)()有且只有兩個整數解,觀察圖象知，-1和。是不等式g(x)>/3解集

中的兩個整數,

C、3

—(T)即.Za>—Qc

于是得|?解得一丁<44一丁丁

3a<--2e3e-

35

所以實數〃的取值范圍是(一丁

故選:D

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.)

9.(2022?山東淄博?高二期中)(多選)已知函數則下列結論正確的是()

e

A.函數/(“存在三個不同的零點

B.函數/(“既存在極大值又存在極小值

C.若xwQ+oo)時,/(x)gx=L,則f的最小值為2

e

D.當Y<A<0時，方程/'(力二2有且只有兩個實根

【答案】BD

r(x)=m令人力=0,解得x=T或x=2,

e

當工<-1或x>2時，r(x)<0,故函數/(“在(TO,-1),(2,+動上單調遞減，當—l<x<2時，/(力>0,

故函數在(T2)上單調遞增，

且函數/(X)有極小值〃T)=-e,有極大值〃2)==，當X趨近負無窮大時，趨近正無窮大，當工趨

e-

故選：BD.

10.(2022?廣東?模擬預測)已知=若不等式在(],內)上恒成立,

'72UnxJ\x-\J

則”的值可以為()

A.-72B.-1C.1D.y/2

【答案】AD

設y=/一1-lnx(x>1),則)/=1一，>0,

X

所以y=-Inx在(1,”)上單調遞增，所以xT-lncO,

所以lnx<x-l,xw(l,+oo),/.0<lnx<x-l,

11八

..---->------->0.

Inxx-\

又,(*)>，(士)在。'討)上恒成立，

所以/(X)在(1,+00)上單調遞增，

所以/'(X)=(/-1)e'T-X之0對心e(1,+00)恒成立，即/一1之三恒成立.

e

令g(x)=』，g'(x)=^z?'.當X>1時，g'(x)vO,故g(x)<g(l)=l,

ee

2

-e-a解得a>41^a<-42，

所以〃的值可以為-及，血，

故選:AD.

11.(2022?遼寧?遼師大附中高二階段練習)我們常用以下方法求形如的函數的導數：先兩邊同

取自然對數得：l”，=g(Mn/(x),再兩邊同時求導得到：--Inf(x)+f(x),于是得

yfW

到“'=/(必叫g'a)ln/*)+g(x>￡3?八x)],運用此方法能使函數),=/單調遞增的區間可以是()

A.(%4)B.(1,3)C.(-,e)D.(-,1)

ee

【答案】CD

11(\1>11-Inv

由題意可得函數、,=/的導數為)/=尸lnx+—二》——(x>0),

令六盛?上墳>0,即l—lnx>0,解得0<xve,即函數的單調增區間為(0,e)，

x~

由此可得到選項中的CQ符合題意，

故選：CD

12.(2022?江蘇?南京市天印高級中學模擬預測)已知函數/*)=一二1"<，g(x)=k.x-k,&cR,

ln.r+.r-l,x>1

則下列結論正確的是()

A.〃力在(0,2)上單調遞增

B.當*=：時，方程〃x)=g(x)有且只有2個不同實根

C./(X)的值域為卜1,”)

D.若對于任意的xeR,都有(x-D(/a)-g(x))?0成立,則壯[2,中功

【答案】BD

X1

對于A,當x<l時，/*)=----;=-----;

x-1x-\

|r4-1

當了之1時，f(x)=\nx+x-\JXx')=-+\=——>0,此時/3)遞增，

故可作出函數的圖象如圖示:

由此可知,/(X)在(0,1),。,”)上單調遞增,故A錯誤；

11x

對于B,當時，^(x)=-(x-l),當x<］時，f(x)=一——,

44x-1

令--\=解得x=—l,即〃x)=g(x)此時有一解；

X—14

當工=1時，/⑴=lnl+l—0,g⑴=0,故x=l是〃x)=g(x)的?個解；

3313

當了>1時，令/z(x)=/(x)-g(x)=lnx+-x—一,〃(外=一+—>0,

44x4

即力(工)>/貝)=0,即/(x)>g(x),此時〃x)=g(x)無解;

故綜合上述，當〃=(時，方程/(x)=g(x)有且只有2個不同實根，B正確;

由函數/(力的圖象可知，其值域為R,故C錯誤；

對于D,對于任意的xeR,都有a-D(〃x)-g(x))W0成立,

則當x<l時，f(x)-g(x)N0,即一一---H+八0恒成立,

X—1

即占B令心)=-消1'")=品，

當X<-1時，/(幻>0,當一1<XV1時，〃(x)<0.

故"“)由=〃(-)=：，故

當工=1時,(xf(f(*)-g(X))W0恒成立,

當人>1時,/(AT)—g(K)W0,即加欠十人一1—心十430十亙成立,

令v(x)=\nx+x-\-kx+k,M(x)=—+1-A:=,注意至ljWD=0

xx

當141時,v(x)=lnx+(l-^)(x-l)>0,不合題意；

當1<攵<2時，令Mx)J(i)x=0,x=—>1,

xk-\

當lev,時，Mx)J+(i">(),

k-1x

故v(x)>l，(l)=。，不符合題意

當/N2時，x=—e(O,l],此時Mx)=1+"一幻'<0,(x>1),

女一1x

故以幻=Inx+(1-&)&-1)遞減，則可工)<i<l)=0,

即Inx+x-l-H+V<0恒成立,

綜合上述，可知當AN2時，對于任意的xeR,都有(xf(/")-g(x))?0成立，

故D正確，

故選:BD

三、填空題：(本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.

)

13.(2022?四川省成都市新都一中高二期中(文))已知/(力=。'-履對任意不相等的正數和々都有

2恒成立,則實數&的取值范圍為_____.

%一工2

【答案】

由百工％,不妨設內<為,

由/(7)-"出)>2可得/(A-,)-/(X,)<2x,-2占，

%一%

根據單調性的定義可得F(x)=/(A)-2x=ex-kx-2xS.(。，心)為增函數，

所以尸'(“)=，一&-2之。在(0,4電恒成立，

所以&KF—2在(0,+8)恒成立，

所以女〈一1,

故答案為：

14.(2022?河北衡水?高三階段練習)已知函數/J)的導函數為/'(幻，定義域為(。，+◎,且滿足

VU)-/(x)<0,貝IJ不等式2/(〃L2022)>(利-2022)/(2)恒成立時機的取值范圍為.

【答案】(2022,2024)

由題意,函數/(力的定義域為3+8)，

因為M"“)一/")<0,可得[△斗二/叫,")<。,

XJX"

設F(x)=U°,可得/(x)<0,所以函數P(X)在(0,y)上單調遞減，

x

又由2/5?—2022)>("L2022)/(2),所以〃—2022>0,且八〃二管>華,

in-20222

則0<〃7—2022<2,解得2022<m<2024,即，〃的取值范圍為(2022,2024).

故答案為：(2022,2024).

15.(2022?天津?崇化中學高二期中)已知函數，3=ln(x2+i),g(x)=(￡|-。，VX,G[-L3],G[0,2],

使不等式/G)Ng(x2)成立，則〃的取值范圍是.

【答案】

4

因為對1,3],叫?0,2],使不等式/?(8)〃(&)成立，所以/(?—g(”m，

當―時,=由/(幻<0,得一1X0,由r(x)>0,得0vx?3,

廠+1

所以/(0在[-1,0)上單調遞減，在(0,3]上單調遞增，

所以八此.=/(。)=。，

因為g(%)在。2]上單調遞減，所以g(x)mm=g(2)=；-。，

所以ON、，np?>-.

44

故答案為：a-~7-

4

16.(2022?廣東?深圳市光明區高級中學模擬預測)已知函數/(x)=e'+alnx-d-x(a>0),(e為自然對

數的底數，e=2.71828當a=2時，函數”力在點(J0))處的切線方程為；若〃“對

對江?1,+8))成立，則實數。的最大值為.

【答案】y=(e-l)x-le

由題意當4=2時，f(x)=ex+2\nx—x1—x,f\x)—e'---lx—1,

X

則.?l)=e-2,/()=e-l,

所以函數/")在點P。,/。))處的切線方程為[Te-2)=(e-1),即

y=(e-l)x-I.

因為/(x)>o,即9+〃111工一工"720，則111/7*21116*-9,

令"z(/)=lnf-f,r>1,=在(1,+co)上恒成立，

故"?)在(1,轉)上單調遞減，故得alnxKx,即夫，

i己。(工)=匕(4>1),則,

1n.1inx

當時，^'(x)<0,9(x)單調遞減,當xe(c,+oo)時，(p\x)>0,*(X)單調遞增，故°(力的最小值

是夕(e)=e,故a<e,即實數〃的最大值是e.

故答案為：y=(e-l)x-l；e.

四、解答題(本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.)

17.(2022?山西太原?三模(文))已知函數/(x)=e-e，

⑴若X(x)=〃x)-丘-M丘R)在x=-l時取得極小值，求實數k的值；

⑵若過點(《勿可以作出函數的兩條切線，求證：。<。</(〃)

【答案】⑴出=1⑵證明見解析

⑴解：g'(x)=e?c，-&

二/(-1)=—=0,

k=\

當1=1時,令g'(x)=e?e，-1=0,得％=-1

二晨%)在(-0-1)單調遞減，在(-1,內)單調遞增，

所以展外在X=-1時取得極小值，

k=\

(2)證明：設切點為(x°,eM),

「?切線為=e"(x-/),

又切線過點(。，力，

1+l

/.b-e^=e^(a-x0)

/.6^+'(^-?-1)+/>=0,(?)

設力(x)=e'“(x-a_l)+Z>

則力'3=。川(犬-4)

.?J(x)在(YOM)單詞遞減，在(a3)單調遞增.

?「過點(〃/)可作f0)的兩條切線.

「?方程(*)有兩解

[%)<0

??9

b>0

由Ma)=e"L(_l)+〃vO,得〃<e'

二()</?<e""，即。

18.(2022?江西?南城縣第二中學高二階段練習(理))已知函數、f(x)=a?+云2+6x+c,當人?=-1時，f(x)

的極小值為-5,當x=2時，/(”有極大值.

⑴求函數/(”；

(2)存在e4L3］,使得f(%)一2/成立，求實數「的取值范圍.

33

【答案】⑴/("=一1+5/+6.1-耳;⑵

⑴丁f'(-^)=3ar2+2l)x+6,

由r(T)=/'(2)=0,得3〃一加+6=0且12〃+劭+6=0,解得°=一1,b=3,

又“-1)=-5,/.c=-p

經槍驗a=T，8=］時，/("=-丁+；/+6》-、滿足題意，

=+—x2+6x--；

-Vf22

(2)存在毛e［l,3］,使得〃與后--2/,等價于/但神式/菖小

,//'(.r)=-3x2+3x+6=-3(x-2)(x+l),

當了旦1,2)時-，r(x)>0.當xw(2,3］時，r(x)<o,

f(x)在(2,3］上遞減，在［1,2)上遞增，

又"1)=5,"3)=3,

f(x)在1,3］上的最小值為"3)=3,

/2-2/>3?解得Y-1或34,，

所以1的取值范圍是(Y>，-W［3,內).

19.(2022,山東師范大學附中高三期中)設函數/(x)=L-x+〃lnx

X

⑴當a=3時,求/*)的單調區間；

⑵任意正實數牛七，當*+0=2時，試判斷/(N)+/(&)與-;(。-2『的大小關系并證明

【答案】⑴增I乂間為(主咨，檸叵)減區間為0,主黃)|昔叵,內、

(2)/(大)+/(々)之彳("2)2,證明見解析

X+i

⑴”=3時，f(x)=--x+3\nxfx>0,f(x)=-'~^

1X

令小)>0得￥一<苧；令人力<。得0<%<￥或

故f(x)的單增區間為三-，=-，單減區間為S二^一

LL]2

2

⑵結論：/(^I)+/(X2)^-1(?-2),證明如下:

/(再)+/(玉)=---內+aInX]+----x2+aInx2

\x\7\X2

劣+々

-(xj+x2)+alnx]x2=———2+aInxxx2

中2

設，=內七，rhx，士均為正數且工/4笑三)=1得0々41

]§：g(t)=^-2+a\nt[O<t<\),則=+/=

①當心2時，由Ov/Wl得〃一2Ko即g'(/)<0

故g(r)單調遞減,從而g(r)Ng(l)=O

而__2)2K0,此時/(X)+/(電)之一；(4一2)2成立

乙a

②當〃>2時，g")在(0,；)上單調遞減，在信上單調遞增

故g(/)的最小值為g([2

=a-2+aln-

此時只需證。一2+。11122—_L(〃—2)2,化簡后即證InZ+'a—iNO

a2a2

設力(4)=1」+；〃一I,>2),=；2>0

21

故單調遞增，從而有〃(〃)>力(2)=0,即證]n,+i。-12。

綜上：不等式得證.

20.(2022?青海?大通回族土族自治縣教學研究室三模(理))已知函數/*)=or+lnx+l.

⑴若f(x)在(0，E)上僅有一個零點，求實數。的取值范圍；

⑵若對任意的X>0，/(%)工雙2、恒成立，求實數4的取值范圍.

【答案】(l)aNO或a=T(2)(f,2]

(1)解：/'(x)=，+a,x>0,

x

當〃20時，(。)>0恒成立，所以Ax)在(0,e)上單調遞增.

又)=t/e_a_,-?-14-l=4/(e_a_,-l)<0,/(l)=?+I>0,

所以此時/“)在(0,+8)上僅有一個零點，符合題意;

當"0時，令((x)>0,解得0<x<-L；令八幻<。，解得x>-L,

aa

所以/(<)在(0,J)上單調遞增，所以/。)在卜:+8)上單調遞減.

要使/(X)在(0,+8)上僅有一個零點，則必有人用=0,解得d.

綜上，當。？0或〃=-1時，/(幻在(。,內)上僅有一個零點.

⑵因為f(X)=at+In%+1,所以對仃.意的A>0,f(x)<xc2x恒成立，

等價于a<e?'-1J1史在(0,位)上恒成立.

X

令〃仆)=e2x-電必令>0),則只需。wm(x)而n即可，

x

2x2e2'+Inx

則"(X)=

~~P-

再令g(x)=2,v2e2x+Inx(x>0),則g\x)=4(x2+x)e2r+：>()，

所以g(x)在(0,y)上單調遞增.

因為g[!]=*-21n2<0,/?(l)=2e2>0,所以g(x)有唯一的零點小，且:<1,

84

所以當。<彳</時，m(x)<0,當x>x()時，陽(x)>0,

所以網制在(0,題)上單調遞減，在(％),y)上單調遞增.

因為2玉污“。+In為=°，所以2%)+In(2%)=In(-In%))+(-In%)),

設S(x)=x+Inx(x>0),則S\x)=l+->0,

x

所以函數53)在(0,-KO)上單調遞增.

因為S(2%)=S(—m$),所以2演=-ln.%,即e%=-!-.

xo

lnX+1

所以〃Kx)>w(x0)=e*-°=-―--=2,

'7七/玉與

則有a42.

所以實數a的取值范圍為(一*2].

21.(2022?陜西?西安市閻良區關山中學高二期中(理))已知函數

⑴證明：函數/(x)的圖象與直線y=x只有一個公共點.

(2)證明：對任意的〃2+|+^+-+^l>ln(/:+l).

【答案】(1)證明見解析⑵證明見解析

⑴要證函數/(x)的圖象與直線)'=x只有一個交點，只需證方程/(司=%只有一個根,

即證ln0+l)=x只有一個根,即1]](工+1)-/一%=0只有一個根.

x+l

令g(x)=ln(x+l)一丁一工，XG(-1,-B3O),則，3=_!——21=E2X+3)

x+\x+1

???當xe(-l,O)時,g'(x)>0；當匯e(0,+oo)時,g'(x)〈O；

.?.g(x)在(TO)上單調遞增，在(0,+s)上單調遞減，.?.g(“g=g⑼=0.

???g(x)KO恒成立，當且僅當x=0時，g(x)=O,.??方程g(x)=O只有一個根,

即函數/(力的圖象與直線)'="只有?個公共點.

(2)由(1)知：g(力=111("1)-f-三0恒成立,

即心(犬+1)4/+工恒成立(在x=o時等號成立).

./Li1,n+\n+\

neN”,一，即rlnIn-----v「一

nnnnn-

ln2<4,ln^<4,.

II2222332

"234n+1n+\

,已啟+◎..?+】“竺!:+三+，+.?.+?,In—x—x—x---x---<--2+LJ+

I23n1*2232/(123n49n

ln(/?+l)<2+—+—4----+,HP2+—+—+?■?+>In(?+1).

')49n-149n2'"

22.(2022?山東威海?三模)已知函數/(x)=21nx7+q.

X

(1)當時，求/(幻的單調區間；

4

⑵若"X)有兩個極值點不公，且再<占，從下面兩個結論中選一個證明.

①,(當)￡/(再)</_2

x2-xtJa

2

(2)/(x2)<—?+21112-2.

fl(1

【答案】⑴八外的單增區間為3，；;單減區間為0,-卜8)

(2)證明見解析

、2,a-x2+2x-a,八、

⑴f")=一一1一一-=----；-----(x>0),

XXX

當〃二3