高中數學選擇性必修2全書知識點

第四章數列

一、基本概念

1、數列：按照一定次序排列的一列數.

2、數列的項：數列中的每一個數.

3、數列分類：有窮數列：項數有限的數列.

無窮數列：項數無限的數列.

遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列.

遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列.-％<0

常數列：各項相等的數列.

擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一-項，有些項小于它的前一項的

數列.

4、數列的通項公式：表示數列｛q｝的第〃項與序號〃之間的關系的公式.

5、數列的遞推公式：表示任一項凡與它的前一項（或前幾項）間的關系的公式.

二.等差數列與等比數列性質的比較

等差數列性質等比數列性質

a"a『d(nNl)；>2)^-=q(n>l),-^-=q(n>2)

1、定義

anan-i

當=弓+(力一1Vn-l

2^通項a,=acq

公式n-m

a=a+(〃-m)d(〃，meA'*)

nma.=amq

(4十4)〃

q=l,Sn=na,;

2

3、前n項和i,s=a?-qn)=w

n(n-\)

n+drn?i

sn=ai21-q1-q

a、A、b成等差數列。人=世：Ah

a、A、b成等比數列<=>—=—

2aA

an是其前k項an.k與后k項an+k的等差中項，（不等價于A?二ab,只能n）;

4、中項

a,k+a,1k

即：a="~a是其前k項a.與后k項a的

n2nnkn+k

等比中項，即：a：=an.k-an+k

若m+n=p+q,則圓+4=%+若m+n=p+q,則〃-zi=q-n特別地,若

5、下標和公式

特別地，若m+n=2p,則以+a=2apm+n=2p,則Q/〃“二Q：

等差數列的第k項與倒數第k項的和等于首等比數列的第k項與倒數第k項的積等

尾兩項的和，即：于首尾兩項的積，即：

6、首尾項性質

a+a?=ai+*=…=a+*T）dn（^2。

（口J為等差數列,若叫n,p成等差數列,則｛a）｝為等比數歹U,若m,r,p成等差數列，則

成等差數列a“as，成等比數列

（兩個等差數列的和仍是等差數列）（兩個等比數列的積仍是等比數列）

等差數列｛〃“｝,｛》〃｝的公差分別為d,e,則數等比數列｛4“｝,｛0〃｝的公比分別為p,q,

歹仍為等差數列，公差為"+e則數列｛Q,jO〃｝仍為等比數列，公差為

pq

取出等差數列的所有奇（偶）數項，組成的取出等比數列的所有奇（偶）數項，組成的新

新數列仍為等差數列，且公差為2d

數列仍為等比數列，且公比為

無此性質；

若am=n,an=m(mwn),則am+n=0

若S=n,S=m(m+n),則S=-Cm+n)

7、結論mnWJ+n無此性質；

無此性質；

若=95)，則Si=°

￡”，Sim-S，S3m-S，…成等差數列，

m2mSm，S2m-Sm，一$2/…成等差數

公差為〃歹U,公比為d”

當項數為偶數2〃時，§偶一s奇二〃〃當項數為偶數2〃時，S偶二^S奇

當項數為奇數2〃一1時，

S奇_CLn

S偶。向S奇十9s偶

當項數為奇數2〃-1時，S奇-S偶二〃中

品”-產（2〃1）。中，="i

S偶〃1

①定義法：-^-=q

%

①定義法：%—a-=d(〃22)

②等差中項概念；q4+2=4川2(《產0)

②等差中項概念；2atl=*+a”.](n>2)

n

③函數法：an=cq｛c,q均為不為。的

③函數法：勺=pn+虱,國為常數)關于n的

8、等差(等比)

常數，〃GN+),則數列｛q｝是等比數列.

數列的判斷方一次函數c數列⑸)是首項為p+q,公差為p

法

(工0)的等差數列；④數列匕"的前n項和形如

④數列hn｝的前n項和形如s=助2+加S“二A/—4(Aq均為不等于。的常

(小〃為常數)，那么數列｛a0｝是等差數列，數且，/#1),則數列｛4｝是公比不為1的

等比數列.

9、共性非零常數列既是等差數列又是等比數列

第五章一元函數的導數及其應用

一、導數的概念

1.函數的平均變化率：

定義：一般地，已知函數y=/(x),X是其定義域內不同的兩點，記以=%-%,

Ay=M-No=f(x\)-/(x0)=/Uo+Ar)-/(/)，則當Ar工。時，商-LLhil=電稱

AxAx

作函數y=/(A)在區間入，玉+Ax](或[xn+Av,xu])的平均變化率.

注：這里以，山可為正值，也可為負值.但AxwO,少可以為0.

2.函數的瞬時變化率、函數的導數：

瞬時變化率：設函數y=f(x)在與附近有定義，當自變量在.i=x0附近改變量為以時，函

數值相應的改變△,，=/(%+Ar)-/3°).如果當最趨近于0時，平均變化率

包=/(%)+小)-/(小)趨近于一個常數/(也就是說平均變化率與某個常數/的差的絕對值

ArAr

越來越小，可以小于任意小的正數)，那么常數/稱為函數/。)在點小的瞬時變化率.

函數的導數：“當?趨近于零時，/“)+△")一,"小)趨近于常數/”可以用符號“T”記

Ar

作：

“當—0時，/(W/(/)-/,,,或記作“Iim/(.v0+Av)-/(x())=/"，符號“+”

ATAI

讀作“趨近于”.函數在飛的瞬時變化率，通常稱為/（幻在x=x。處的導數，并記作了'（%）.

這時又稱〃幻在X二七處是可導的.于是上述變化過程，可以記作“當加：fO時,

MAv

3.可導與導函數：

定義：如果/（外在開區間3,6）內每一點都是可導的,則稱/"）在區間（。，〃）可導.這樣,

對開區間（a,〃）內每個值x,都對應一個確定的導數/'（x）.于是，在區間（a,〃）內，/'（x）

構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數），=/（幻的導函數.記為了'（X）或了（或月'）.

注：導函數通常簡稱為導數.如果不特別指明求某一點的導數，那么求導數指的就是求導函

數.

二、導數的幾何意義

L導數的幾何意義；

意義：設函數），=/（x）。勺圖象如圖所示.4A為過點A（.%,/（x。））與

8（%+?,/（與+-））的一條割線.由此割線的斜率是

包=/（』+囚）-）（不）,可知曲線割線的斜率就是函數的平均變化率.當

Ax

點8沿曲線趨近于點A時，割線繞點4轉動，它的最終位置為直線

AD，這條直線AD叫做此曲線過點A的切線，即lim/（』+?）7（玉）=切線的斜率.由

—＞。Ax

導數意義可知，曲線y=/（x）過點（不，/（%））的切線的斜率等于廣（小）.

2.求曲線的切線方程

方法：若曲線），=/3）在點尸（天,兒）及其附近有意義，給橫坐標與一個增量力，相應的縱

坐標也有一個增量二y=/'（.%+AX）-/（小），對應的點。（天+.-..r,%+“）.則PQ為曲線

y=f（x）的割線.當川-0時Q—P,如果割線PQ趨近于一確定的直線，則這條確定的

直線即為曲線的切線.當然，此時割線PQ的斜率爐就趨近于切線的斜率.切線的方程為

）」為=—￥一%）.

三.導數的運算

1、初等函數的導數公式表

y=f(x)yf=f'W

y=cy=o

y=xn(wGNJ)，'=4』，〃為正整數

y=x"(a>0,ah0,aeQ))，'=ax"T,a為有理數

y=a'(a>0,awl)yr=axIna

y=log,,x(a>0,aw1,x>0)

xlna

y=sinxyr=cosx

y=cosxy'=-sinx

注：Ina=10gt.a,稱為a的自然對數，其底為e,e是一個和冗一樣重要的無理數

6=2.7182818284??注怠(e")'=e*.

2、導數的四則運算法則

(1).函數和(或差)的求導法則

設f(x),g(x)是可導的,則(f(x)土g(x))'=/'(x)±g'(x),即，兩個函數的和(或差)的導

數，等于這兩個函數的導數和(或差).

(2).函數積的求導法則

設/(幻，g。)是可導的,則［f(x)g(x)］'=f'a)g(x)+fa)g'a),即，兩個函數的積的導數，

等于第一個函數的導數乘上第二個函數，加上第一個函數的乘上第二個函數的導數.

綜上所述：［cy*)］'=cra),即，常數與函數之積的導數，等r常數乘以函數的導數.

(3).函數的商的求導法則

設/⑴，g。)是可導的，g@)工()，則I"2］=ga)r(x)1「a)g’。).特別是當〃工)三1

時，有［」一］=_挈2.

_g(x)_|g~(x)

3、復合函數的求導法則

法則：一般地，對于兩個函數)，=/(〃)和〃=g(x),如果道過變量〃，y可以表示成x的函數。

那么稱這個函數為函數)，=/(“)和〃=g(x)的復合函數，記作y=/(g(x))。復合函數

y=的導數和函數y=f（u）,〃=g（x）的導數間的關系為yx'=yj（注：yj表示y

對x的導數，然’表示），對〃的導數

四.利用導數研究函數的單調性

1.單調性

【定理】設函數、=/*）在m,句上連續，在（〃,方）內可導.

（1）如果在（出占）內尸（力＞0,那么函數），=/（x）在s.加上單調增加；

（2）如果在（出力內力（力＜0,那么函數y=/（x）在4句上單調減少.

【解讀】設函數在某區間內可導，尸（?20=＞/*）在該區間上單調遞增：/'（x）K0n/（x）

在該區間上單調遞減.反之，若/（x）在某個區間上單調遞增，則在該區間上有/'（X）20恒

成立（但不恒等于0）；若/"）在某個區間上單調遞減，則在該區間上有小@）工0恒成立（但

不恒等于0）.

2.求可導函數單調區間

（1）確定函數的/（幻的定義區間；

（2）求/'（幻，令尸（?=0,解此方程，求出它在定義區間內的一切實根；

（3）把函數的無定義點的橫坐標和上面的各實數根按由小到大的順序排列起來，然

后用這些點把函數/（x）的定義區間分成若干個小區間；

（4）確定/（%）在各個區間內的符號，根據/（%）的符號判定函數/（%）在每個相應小區間內

的增減性.

五.利用導數研究函數的極值與最值

1.函數的極值

定義：函數/⑴在點兒附近有定義，如果對/附近的所有點都有/（x）＜""）?則稱“灰）是

函數的一個極大值，記作加大例寸（”J如果對X。附近的所有點都有/（“）＞/（毛），則稱/“。）

是函數的一個極小值，記作y松小侑可、*。）.極大值與極小值統稱為極值，稱/為極值點.

2.求函數的極值的三個基本步驟

（1）求導數/'（X）；

（2）求方程/。）二。的所有實數根；

（3）檢驗了'（X）在方程/口）=0的根左右的符號，如果是左正右負（左負右正），則/（x）在

這個根處取得極大（小）值.

3.求函數最值

（1）求函數/（刈在區間（4〃）上的極值；

（2）將極值與區間端點函數值/（〃）,/（〃）比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個

就是最小值

綜合測評

一、單項選擇題（本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.記5〃為等比數列｛斯｝的前〃項和.若5'2=2&=6,貝IJ58=（）

A.22B.24C.28D.30

2.曲線），=xlnx在點（e,e）處的切線方程為（）

A.y=2x-eB.y=-Zv-e

Cj,=2v+eD.y=-x-l

3.在等差數列（斯）中,4（43+44+45）+336+舞+。14+〃16）=36,那么該數列的前14項和為（）

A.20B.21C.42D.84

4.設等比數列｛斯｝的前〃項和為S”,且滿足0+外=%6=953.若歷產k）g2。”,則數列｛6｝的前10項

和是（）

A.-35B.-25C.25D.35

5.中國明代商人程大位對書法和數學頗感興趣，他于60歲時完成杰作《直指算法統宗》.該書

第五卷有問題云:“今有白米一百八十石，令三人從上互和減半分之，只云甲多丙米三十六石，問:

各該若干?”大致意思是:“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，他們分得的米數構成

等差數列，只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少石米?”則甲應該分得（）

A.78石B.76石C.75石D.74石

6.已知函數4x）=f.ar-xln若大幻在區間[1,+8）上單調遞增,則實數a的取值范圍是

（）

A.（-oo,l）B.（-oc,l]

C.（I,+oo）D.[l,+8）

7」河南南陽期末]對于函數尸sin[0.汨,下列說法正確的是（）

A.函數人v）有唯一的極大值點

B.函數./U）有唯一的極小值點

c.函數yu）有最大值沒有最小值

D.函數凡丫）有最小值沒有最大值

8.已知7U）為定義在RI：的可導函數為其導函數，且八。＜八力恒成立,e是自然對數的底數,

則（）

AQ022)〈第2023)

B.eA2022)<A2023)

C.噴2022)/2023)

D.M2022)2*2023)

二、多項選擇題(本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目

要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9.函數y=/(x)的導函數的圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A.(-1,3)為函數)=兀6的單調遞增區間

B.(3,5)為函數y=/(x)的單調遞減區間

C.函數y=/H)在x=0處取得極大值

D.函數y=/(x)在x=5處取得極小值

10.等差數列｛”“｝是遞增數列，滿足6=3外,前〃項和為5”,下列選項正確的是()

A.公差d>0

C.當n=5時,S〃最小

D.當S?>0時用的最小值為8

U.［重慶長壽校級期末］已知數列｛小｝中必=2,%+1=(y/an-I-2+1)2-2,則關于數歹U｛4”｝的說法正

確的是()

A.s=5

B.數列｛斯｝為遞增數列

2

C.an=n+2n-l

D.數列｛舟^的前〃項和小于3

12.已知e是自然對數的底數，則下列不等關系中不正確論是()

A.ln2>-2B.ln3<-3

ee

Cc』tn啖nDn.贏In3<,-3

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.若函數J(x)=a\nx+bx2在點(II))處的切線方程為y=4x-3,則

a=,b=.

14.［天津津南期末］隨著雙減政策的落地，小明決定利用寫完作業后的時間進行了一次“閱讀

經典”的活動，閱讀書籍共1200頁.他第一天只讀了10頁之后采取了積極措施,從第二天起每

一天閱讀的量都比前一天多10頁.在這次“閱讀經典”活動中，小明一共進行的天數

為.

15.在數列｛?1｝中，已知0=2,0環產2而］?1(〃22,〃￡N'記數列｛〃”｝的前n項之積為若Tn=2

023,貝lj〃的值為.

16.［北京豐臺期末］已知函數_/U)=alnxG-l-SSR)存在兩個極值點,533〈也),給出下列四

個結論：

①函數./U)有零點;

②4的取值范圍是(g+8)；

③工2>1；

@/(X2)>0.

其中所有正確結論的序號是.

四、解答題(本題共6小題洪70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)過函數產")=/圖象上兩點尸(1,1)和Q(1+&/+△)，)作曲線的割線.

⑴求出當AiO.l時割線的斜率；

⑵求y守U)=V在x=xo處的瞬時變化率.

18.(12分)［浙江杭州校級期末］等差數列｛斯｝的前n項和為S”,已知恁=-23=-24,求:

⑴數列伍“｝的通項公式；

⑵數列｛%｝的前〃項和S〃的最小值.

19.(12分)設a￡R,函數</U)=m(2a+l)^+(672+?)x

⑴若函數g(x)二手(#0)為奇函數,求實數〃的值；

⑵若函數7U)在x=2處取得極小值，求實數。的值.

20.(12分)［山東青島嶗山期末］某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，圖中(1),(2),(3),(4)為她們刺

繡中最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮,按同樣

的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第〃個圖形包含人〃)個小正方形.

(1)(2)(3)(4)

⑴求.人6)的值;

(2)求出/〃)的表達式;

(3)求證:當〃22時，焉+意+念T+…+就T<|

21.(12分)已知數列｛〃“｝滿足ai=\,an+i=2a?+l.

(1)證明數列伍”+1｝是等比數歹ij,并求數列｛〃“｝的通項公式;

(2)令歷尸3〃仇+1),求數列｛九｝的前n項和Tn.

22.(12分)已知函數/)=(舟2)廣

(I)若。￡。+8),討論兒r)在((),〃)上的單調性；

(2)若函數g(x)守在HZ上的最大值小于專求實數/〃的取值范圍.

綜合測評

1.D設等比數列｛%｝的公比為％首項為加

則q*\、

所以S2=^Y^=2,S4=^^=6,

l?q1-q

所以詈7=1+/=3,

解得/=2,魯=?2,

所以SR=^Y^=-2X(1-24)=30.

i-q

故選D.

2.Ay'=lnx+1,則曲線在點(e,e)處的切線斜率為Ine+l=2,

所以切線方程為y-e=2(x-e),

即y=2x-e,

故選A.

3.B由4(俏+〃4+。5)+3(痣+。3+勿4+。16)=36,得12a4+12。1產36,

即04+^11=3,

則數列｛出)的前14項和為14(。1"14)=73+即)=21.

4.C設等比數列｛斯｝的公比為夕.由題意知好I,

巾卜i(l+q3)=3,

則得(/)=得⑴朽，

_1

解得ai=49

0=2,

所以a〃=：x2〃/二2"-3,

4

所以bn=n-3,

所以數列｛兒｝的前10項后八。=擔券應=5x(-2+7)=25.

故選C.

5.A今有白米一百八十石，甲、乙、丙三個人來分，設他們分得的米數構成等差數列｛〃“｝,

只知道甲比丙多分三十六石，

因此公差d=與個=當=18,

3-1L

Oyn

則前3項和S3=3^+^X(-18)=180,

解得。尸78.

所以甲應該分得78石.

6.B因為/COmd-ar-xInx(a￡R),定義域為(0,+8),

所以f(x)=2x-a-\nx-1,

依題意人天)20在區間［1,+◎上恒成立，

即2x-a-\njv-120在區間［1,+8)上恒成立，

所以a^2r-lnx-1在區間［1,+8)上恒成立，

令g(x)=2x-lnx-1/￡［1,+功，

則g'(x)=21=竽＞O,g(x)在區間［1,+8)上單調遞增，

所以g(“l)在X=\處取得最小值，

即g(x)min=g(l)=2xl?ln1-1=1,

所以aWl.

故選B.

7.A??\/U)=sin[OR,

?\f(x)=cosx+l-e',令h(x)=f(x),

則/f(x)=-sinx-ev<0在區間(0,兀)上恒成立，

則八x)=cosx+1-e'在區間(0,兀)上單調遞減，

而八0)=1>0/(兀尸-ekO,

???存在的￡(0.兀),使得當x￡(O,xo)時『(x)>(MU)單調遞增，當工W(xo,2時/(幻<0次用單調遞

減，

又?0)=-1而0=*<-1,

則的數/(X)有啡一的極大值點，且的數/(X)有最大值和最小值.

故選A.

8.B令舊(X)二"，

則尸(X)二例區，

ex

因為人幻<八幻，

所以FV)>0,

故函數尸(x)在R上單調遞增，

所以“(2023)>F(2022),

為/(2023)f(2022)

a又e20237e2022?

即42022)勺(2023).

9.ABD由題圖可知，當x<-\或3<x<5時當x>5或-l<x<3時/(幻>0,

所以函數)，可(工)的單調遞減區間為(-00,-1),(3,5),單調遞增區間為(-1,3),(5,+8),

所以函數y=7U)在x=-1,A=5處取得極小值，在x=3處取得極大值，故選項C錯誤,ABD正

確.

10.ABD因為｛斯｝是等差數列必7二3心,所以0+64=3(的+4〃)，

解得t/i=-3d,

又由等差數列｛小｝是遞增數列，可知d>0,

則?i<0,

故A,B正確.

m10d2,(d)d)7dd(7)249d

因為尸/+\

S,ZaiL)/〃LL〃=L5L■—o

由可知，當n=3或n=4時$最小，故C錯誤，

令S”多多>0,

解得〃<0或〃>7,又〃WN：

故當S”>0時,〃的最小值為8,故D正確.

故選ABD.

11.BCD由冊+kQan+2+1六2,

2

得an+\+2=(yjan+2+1),

即J%i+i+2=+2+1,

又a\=2,y/a1+2=2,

所以｛Jan+2｝是以2為首項,1為公差的等差數列,

所以+2=2+(〃-1)x1=〃+1,

2

即an=n+2n-\,

所以612=7,

故A錯誤,C正確.

由。“二(〃+1尸-2,可知｛斯｝為遞增數列，故B正確.

1_]_]_1(1___1_)

2

an+ln+2nn(n+2)2nn+2'

所以數列1—的前〃項和為:(++J—：+…77+)二；("〈一

Lan+lJ232435n-1n+lnn+222

-4)二:一；(」7+4)<*故D正確.

n+ln+242n+ln+24

故選BCD.

I2.ACD構造函數,")=lnx^(.r>O)/(A)=i-i=詈,所以在區間(0,e)上單調遞

增;在區間(e,+8)上/a)v(VW單調遞減，所以yu)maxje)=ln。1=0,故y(x)WO,當且僅當

x=e時等號成立.即Inx-±WO,lnxW：當且僅當x=e時等號成立.所以In2<-,ln兀<2,AC選

ceee

項錯誤Jn3<|.B選項正確.構造函數四)=師工>0)以'(幻二臂，所以在區間(0回

上,g'(x)>O,g(x)單調遞增:在區間(c,+8)上,g'(x)<O,g(x)單調遞減，所以g(3)>g(7t),苧>竽=

OH

]史>-,D選項錯誤.故選ACD.

Innn

13.21由題得八幻三十2區，

又川)="(1)=4,

即/尸*+28x1=4,

所以a=2yb=\.

14.15由題意可得“閱讀經典''活動小明每天的讀書頁數為等差數列,

設該等差數列為｛為｝,

由題意可得首項0=10,公差d=10、

則通項公式卬=。1+(〃-1)d=10+10(/?-1)=1On,

所以數列的前〃項和5產出等=里W產i=5/+5〃，

設〃天讀完，則57+5〃=1200,

即7+〃-240=0,〃WZ,

解得n=15或〃=?16(舍去),

所以n=15.

15.2022由a〃a〃.|=2〃”.rl(〃22,〃￡N")及〃尸2,得生二之的二士出二盤…，猜想an=—

234n

經檢驗。〃=---符合題意.

n

數列｛小｝的前〃項之積為7；=：x|xgx…x彳=〃+1.

???當Tn=2023時,〃的值為2022.

2

16.①④顯然川)=0,①正確;函數的定義域為(0,+oo)/(x)=^-2(x-1)=+a(x＞0),

由于兒t)存在兩個極值點，則2V有兩個不相等的正根，所以《巴＞0,

1/=4+8a＞0,

解得尚＜。＜0,②錯誤;

令ra)=o,

得-2A2+2X+?=0,

-2+“+8a171+2a-2-14+8al+x^I+2a

解得X]=

^4-2-'

又《＜a＜0,

則0vxi＜；,；＜*vl,③錯誤；

由前面分析可知，函數7U)在(0田),(X2,4-00)上單調遞減，在(汨K2)上單調遞增,

所以人及)刁0)=0,④正確.

17.解(1)當Ax=0.l時,l+&v=l.l,

故1+Ay=l.P=1.331,

1.331-1

故kpQ==3.31.

1.1-1

⑵普=的+*=兇坦吟ZU以+3X°N+3)2.

則瞬時變化率八&)=如0祟

=lun^3xo+3xr)Ax+(Ax)2l=3%o-

18.解⑴由已知嘀比工A

解得｛建”’

所以an=a\+(n-1)d=2n-12.

兀(n-1).(11)’121

(2)S,,=nai+——d=ir-1bi=vn--r

/T,

當〃=5或6時5有最小值?30.

19.解⑴由已知，得f(x)=r-(2a+\)x+a2+a,

g(x)=^-=x+^—^--2a-1.訐0.

XX

???g。)二手。￥。)為奇函數，

?\Vx和,g(-x)+g(x)=O,

即2.1=0,

???〃=1?

(2成x)的定義域為R/(X)=X2-(2?+1)x+c』+a=(x-4)[x-(a+1)].

當x變化時/avu)的變化情況如下表：