導數(shù)的幾何意義（切線方程）（知識清單+5典例講義+6方法技巧+分層訓練）原卷版-2027屆高考數(shù)學一輪復習

第17講導數(shù)的幾何意義（切線方程）

（知識清單+5典例精講+6方法技巧+分層訓練）

考情導航

近3年考查情況題型分值

定點切線方程:y-f（x0）=/'（&）（》一%）單選題5分

切線斜率求解：k=r（Xo）解答小問4分

切線幾何性質(zhì)求參數(shù)解答小問4分

曲線外點切線多解問題，設切點（%1，/（修））求解填空題5分

切線斜率正負與單調(diào)性疥析多選題6分

法線斜率：%-法）單選題5分

特殊切線：/（與）=。水平切線、切線條數(shù)判斷多選題6分

切線平行垂直：”1二"2、k、,k?=~1填空題5分

切線方程綜合應用（大題基礎問）解答題12分

盤知世清單

【知識點01】導數(shù)的幾何意義

1.核心幾何意義

設函數(shù)y=/（x）在點x0處可導，則導數(shù):（a）的幾何意義為:

尸（右）是曲線y=fM在點PQo,/X%））處的切線斜率。

核心結(jié)論：

1.若廣。o）＞O,切線傾斜角為銳角，函數(shù)在該點遞增；

2.若（（與）＜0,切線傾斜角為鈍角，函數(shù)在該點遞減；

3.若廣（a）=0,切線水平，傾斜角為0。；

4.若導數(shù)不存在，切線可能垂直于％軸（豎直切線）。

2.割線與切線的關系

平均變化率？對應割線斜率;

當△%->(),割線無限逼近切線，割線斜率極限即為切線斜率:

f(x0+Ax)-/(a)=f'M

Ax

【例1】已知/(x)=x2,判斷曲線在x=1和x=-2處切線的增減趨勢。

【知識點02】切線方程與法線方程公式

1.切線方程(高考必考)

曲線y=/(%)在點(%o，f(%o))處：

斜率：k=/\%0)

/

切線方程：y-/(x0)=/(x0)(x-x0)

2.法線方程(切線垂線)

法線與切線垂直，斜率乘積為-1：

法線斜率：上法=一/(/'(a)=0)

法線方程：y-/■(￥())=-就5(x-a)

【例2】求曲線y=X3在點(1,1)處的切線方程。

【知識點03】兩類切線題型核心區(qū)別

1.在曲線上一點的切線(單點唯一切線)

題干特征：“在點(出,%)處的切線”，該點在曲線上，直接代公式求解，切線唯一。

2.過曲線外一點的切線(多條切線)

題干特征：“過點（通,小）的切線”，該點不一定在曲線上，需設切點求解，可能存在多條切線。

解題通用步驟：

1.設切點（孫/■（右））;

2.寫出切線方程y-fg=f'（必）。-/）：

3.將已知外點代入方程，求解修；

4.回代得到對應切線方程。

【例3】求過點（2,0）且與曲線y=%2相切的直線方程。

【知識點04）特殊切線情況

1.水平切線：/（%。）=0,切線方程為'=/（%）

2.豎直切線：r（x。）不存在，切線方程為x=x0

［例4］求曲線y=x2-2x的水平切線方程。

解析：yr=2x-2

令y'=0，得x=1

代入原函數(shù)得y=-l

水平切線方程：y=-l

0b典例精講

【題型一】求曲線切線的斜率（傾斜角）

【例1】（2026?河北邯鄲?一模）“曲線y=ahu-交在x=l處的切線的傾斜角為是“。二2”的（）

a4

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【例2】（2024?福建泉州?模擬預測）如圖是函數(shù)/（x）的部分圖象，記/（X）的導數(shù)為/'（工），則下列選項中值最大

的是（）

A./（3）B.3/（3）C./（-I4）D.r⑻

【例3】過點（"創(chuàng)作曲線/（月=疣、的切線有且只有兩條，切點分別為（xJ（xJ）,（々，/（毛）），?-+-=

X\X2

【變式1】（2025?海南脩州?模擬預測）若直線丁=質(zhì)是函數(shù)y=xlnx+l的圖象的一條切線，則實數(shù)女的值為（）

A.1B.—1C.eD.-

e

【變式2】（2024.河南信陽?三模）動點尸在函數(shù)y=ln（4-x）-lnx的圖像上，以P為切點的切線的傾斜角取值范圍

是（）

、兀[「八兀]「3五、

A.0,-B.（）,---,7t

4」L4][4）

【變式3】（2025?全國?模擬預測）若函數(shù)“力和g（x）的圖象分別分布在某直線的兩側(cè)（函數(shù)圖象與直線沒有公共

點），貝!稱該直線為函數(shù)/"）和g"）的"隔離直線”.已知/（力=-2/，g（x）=f（x>0）,若/"）加g"）在公共定

義域上存在“隔離直線”，則該“隔離直線''的斜率取值范圍為.

【題型二】求在曲線上一點處的切線方程（斜率）

【例4】（2024.全國甲卷?高考真題）設函數(shù)則曲線y=/（x）在點似1）處的切線與兩坐標軸所圍

1X

成的三角形的面積為（）

【例5】（多選）（2026?安徽宿州?一模）設函數(shù)/（幻=/—3/,則（）

A.在x=l處的切線方程為），=-31+1B.x=2是/a）的極大值點

C.當一IWXWI時，-4</（x）<-2D./（2-x）+/（x）=-4

【例6】（2026?云南?模擬預測）曲線y=lnx-2V+2在點（1,0）處的切線方程為.

【變式1］（2026?安徽?模擬預測）函數(shù)/a）=x（2x-l）2的圖象在點（LI）處的切線方程為（）

A.>'=5x-4B.y=4x-3C.y=3x-2D.y=2x-\

【變式2】（2026?安徽阜陽?二模）若函數(shù)/（x）=2'+〃?的圖象在x=（）處的切線過點（1,2）,則〃?=.

【變式3】（2026.山東濰坊?一模）已知函數(shù)〃工）=如、lnx.

⑴若/（"1））="（"。），求曲線），=/（“）在點（1J⑴）處的切線方程；

（2）若/（1）存在極小值，且極小值大于0,求。的取值范圍.

【題型三】求過一點的切線方程

【例7】（2026?新疆烏魯木齊?二模）曲線過坐標原點的切線方程為（）

A.y=B.）'=exC.y=c2xD.y=2ex

【例8】（多選）（2025?陜西西安?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=V+3x+%則滿足過點p./）可作出3條直線與

/（X）圖象相切的充分條件是（）

A.。=1,4<Z?<4.5B./?=()

C.點p在射線y=5x（x>l）上D.點。在曲線），=4/（工>2）上

【例9】過點（。,-1）作曲線/（?）=皿?>0）的切線，則切點坐標為.

【變式1］（2025?河南周口?二模）將曲線y=ln2繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)角。后第一次與），軸相切，則lana=（）

x

9e

A.——R.-C.-?eD.-e

e2

【變式2】（2024.山西呂梁.二模）若曲線=在點P（如為）處的切線過原點則與=.

【變式3］（2025?河南?模擬預測）己知/（X）=（混+1+］..

⑴若a=0

<i）過點P（，〃,0）作曲線）?=/（"的兩條切線，求，〃的取值范圍；

（ii）求不等式貝力2^+3工+2的解集；

（2）若/（力在區(qū)間（-3,-1）內(nèi)存在極小值點，求。的取值范圍.

【題型四】已知切線（斜率）求參數(shù)

【例10】（2025?全國一卷?高考真題）若直線y=2x+5是曲線y=e、+x+a的一條切線，則。=.

【例11】（2026?重慶渝中?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=（x+a）lnx,若曲線y=f（力在點（1J⑴）處的切線與直線

2.r-4y+e2=0?H,則實數(shù)〃的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【例12】（多選）（2024?湖南?二模）下列函數(shù)的圖象與直線y=x+l相切的有（）

A.y=evB.y=Inv

C.y=sin_r+lD.y=V+l

【變式1】（2026?山東青島?二模）己知直線），=x-2與曲線＞，=山+“相切，則〃的值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

【變式2】（2026?山東聊城?模擬預測）已知小〃為正實數(shù)，直線y=2x+a與曲線），=hi（2x+〃）相切，則最

ba

大值為.

【變式3】（2026?江蘇南京?一模）已知函數(shù)/（"二x（3-a）,直線）二人r與曲線y=/（x）相切.

（1）求實數(shù)〃的值；

⑵若x=l是函數(shù)g（x）=/（f）-勿〈X）的極大值點，求實數(shù)〃的取值范圍.

【題型五】兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

【例13]（2024?新課標I卷?高考真題）若曲線y=e'+x在點（0,1）處的切線也是曲線y=ln（x+l）+。的切線，則。=

【例14】（2026?河北?二模）若函數(shù)/G）=e'T的圖象在點處的切線恰好與函數(shù)屋同二一夕工+工一3的

圖象切于點N（w，g（%））,則占—2內(nèi)=（）

A.一人B.-2C.-eD.-3

【例15】（2026.陜西榆林?三模）已知直線丁=工是函數(shù)/（M=（x+"）e'和函數(shù)g（x）=hr+/?圖象的公切線，則

2"4-3/?=.

（:變式1]（2026?陜西商洛?二模）已知直線）-”是函數(shù)/（八）二（人十”戶和函數(shù)g（.i）=lg十。圖象的公切線，貝4

2"+38=（）

A.eB.3C.4D.e2

【變式2】（2026?河北張家口?二模）已知曲線），=皿2力在點傳,0、處的切線也是曲線了二已㈠+公。的切線，貝匹=

【變式3］已知函數(shù)/'（x）=mN+acosx+/a-,其中。之（），bwR.

（1）當。=0時，若了（“存在大于零的極值點，求》的取值范圍.

（2）若存在4（其中工產(chǎn)乙，使得曲線），=/（力在點（Xj（xj）與點（程/（4））處有相同的切

線，求〃的取值范圍.

八方蛀技巧

【解題大招01】定點切線方程速求技巧

適用題型：題干給出“在曲線上該點處的切線”，點在曲線.匕切線唯一。

解題三步法

1.求導得到導函數(shù)尸（無）；

2.代入橫坐標得斜率攵=/（工0）：

3.代入點斜式公式直接寫方程。

核心公式

y-/Qo）=7—a）?

【例1】求曲線y=/+i在點（1,2）處的切線方程。

【解題大招02］過曲線外一點切線求解技巧

題型特征：題干為“過點（&,y°）的切線”，點不在曲線上，存在多條切線，不可直接代點。

解題套路

1.設切點（Xt，/（Xi））；

2.寫出切線方程y—/（%）=/（右）。一.）；

3.將外點代入方程，解出與；

4.回代得到全部切線方程，切勿漏解。

【例2】求過點(3,0)且與曲線y=/相切的直線方程。

【解題大招03】切線平行、垂直快速判定技巧

核心結(jié)論

z

已知直線斜率為ko,曲線切線斜率k=/(x0)

1.平行：k=ko

2.垂直：k-k0=-1

【例3】求曲線y=〃上與直線y=x平行的切線方程。

【解題大招04］法線方程速求技巧

方法口訣：切線斜率取負倒數(shù)，點斜式直接套用。

核心公式

法線斜率：R法=一忌。，(&)工0)

法線方程：y-/(%0)=-

【例4】求曲線y=\nx在點(1,0)處的法線方程。

【解題大招05］特殊切線快速判斷技巧

1.水平切線：令f'Qo)=0，切線方程y=f(X。)

2.豎直切線：尸(%°)不存在，切線方程x=x0

【例5】求y=/一軌的水平切線方程。

【解題大招06】參數(shù)型切線方程解題技巧

方法核心：參數(shù)視為常數(shù)，正常求導，利用切線條件列方程求參數(shù)。

【例6】若曲線y=ax2在％=1處切線方程為y=2%+b,求a,b。

會分層加練

【基礎過關】（共8題）

一、單選題

1.（2026?浙江?三模）下列函數(shù)所表示的曲線中，存在切線與x軸平行的是（）

A./（x）=sinx+xB./（x）=eA+x

C../（x）=Inx+xD.=+x

2.（2026?福建芾田?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=e*,則曲線），=/（“在點㈠」）處的切線方程為（）

A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x+y+2=0

3.（2026?黑龍江齊齊哈爾?二模）/（?=加+五r+c（aw0）在點（OJ（O））處的切線方程是x-y+l=0,則"c=

（）

A.-2B.0C.1D.2

二、多選題

4.（2025?甘肅慶陽?三模）（多選）已知函數(shù)/。）=工，則下列結(jié)論正確的是（）

x+a

A.當。=1時，曲線丁=/。）在點（0"（0））處的切線方程為）

B.當。=1時，曲線），=/*）在點（0J（0））處的切線方程為y=l

c.當4=0時，曲線y=/（x）上不存在斜率為0的切線

D.當。=。時，曲線），=/（?在點（1J⑴）處的切線斜率為o

三、填空題

5.（2026?廣東深圳?二模）若直線，=3'+）是曲線y=2x+hir的一條切線，則人=.

6.（2026?福建福州?模擬預測）曲線y=ln（x+l）在、=（）處的切線的傾斜角為.

四、解答題

7.（2025?遼寧沈陽?模擬預測）已知函數(shù)〃工）=包生吧+2一1,且曲線y=/（x）在點人0,口處的切線與x軸平

1XXI，/

行.

⑴求。，b；

⑵求/（力的極值點個數(shù).

8.（2026?河南許昌?模擬預測）已知函數(shù)6（x）=a（lnx+b）+a（?>0,b,cwR）在x=l處的切線方程為尸工.

（1）求a+/?+c的值；

⑵分析函數(shù)“X）的單調(diào)性.

【拔高選練】（共6題）

一、單選題

1.（2026?重慶沙坪壩?模擬預測）過坐標原點。可作曲線〃x）=x+期iru的切線條數(shù)為（）

A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)條

2.(2026?江西宜春?模擬預測)已知偶函數(shù)/(x)滿足當x>0時，”x)=x+sina—l),貝U的圖象在x=—l處的

切線方程為()

A.2x+y+3=0B.2x-y+l=0C.2x-y-l=0D.2x+y+l=0

二、多選題

3.(2024.江西.模擬預測)已知/'(X)是/(x)的導數(shù)，且/(x)=f則()

A./(-1)=0

B./(x)的圖像在x=T處的斜率為0

C.,f(O)=-I

D.〃x)在［0』上的極小值點為言

三、填空題

4.(2