高中數學基礎練習題-直線與圓的新定義問題（解析版）

2.9專題：直線與因的新定義問題

模塊一：題型分類...................................................2

題型一：阿波羅尼斯閱............................................2

題型二：歐拉線..................................................4

題型三：歐式距離................................................7

題型四：切比雪夫距離...........................................10

題型五：費馬距離...............................................15

題型六：閔可夫斯基距離.........................................18

題型七：曼哈頓距離.............................................21

2.9專題：直線與因的新定義問題

模塊一：題型分類

題型一：阿波羅尼斯圓

1.阿波羅尼斯是古希臘數學家，與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期數學三巨匠.“阿波羅尼斯圓”

是他的代表成果之一：平面內到兩個定點的距離之比為常數MA=1)的點的軌跡是“阿波羅尼斯圓〃.已知曲

線C是平面內到兩個定點(-1,0)和。0)的距離之比等于常數割勺鄧可波羅尼斯圓〃，則下列結論中正確的是

()

A.曲線C關于％軸對稱B.曲線。關于'軸對稱

C.曲線。關于坐標原點對稱D.曲線C經過坐標原點

【答案】A

【分析】由點到直線的距離公式再結合題意可得.

【詳解】設動點P(元,y),曲線C是平面內到兩定點尸i(-l,0),F2(l,0)距離之比等于常數5

所以+1尸+尸=[_1產+)2,顯然也滿足方程，故曲線C關于％軸對稱，

不關于y軸、原點對稱，且不過原點.

故選：A.

2.古希臘數學家阿波羅尼斯(約公元前262?公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代數學的重要成

果，其中有這樣一個結論：平面內與兩點距離的比為常數4。/1)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波

羅尼斯圓，已知點0(0,0),4(3,0),動點P(%y)滿足瞿=；,則點。的軌跡與圓。:(工一1)2+產=1的公切

線的條數為.

【答案】2

【分析】利用阿波羅尼斯圓定義可得點尸的軌跡方程為(％+D2+y2=4,由兩圓圓心距與半徑的關系可

得兩圓相交，可得有2條公切線.

【詳解】由題意設p(%y),

2222

易知|P4|2=41Pol2,即可得(無-3)4-y=4(x+y)f

整理得點戶的軌跡方程為(%+I)2+V=%

其軌跡是以(-1,0)為圓心，以2為半徑的圓，

而圓(x-+儼=1的圓心坐標為(1,0),半徑為1,

可得兩圓的圓心距為2,大于2-1=1,小于2+1=3,

則動點P的軌跡與圓5-D2+y2=1的位置關系是相交.

故公切線的條數為2.

故答案為：2

3.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：平面內到兩個定點4B的距離之

比為定值入(入>0且入中1)的點所形成的圖形是圓，后來，人們把這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅

尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點M(x,y)到兩個定點力(1,0),8(-2,0)的距離之比為2,則多的取值范圍為.

X—1

【答案】I-T41

【分析】首先求點M的軌跡方程，再根據土的幾何意義，轉化為直線與圓有交點，即可求解.

【詳解】由題意可知，緇=2,

整理為(定+3)2+儼=4,

所以點M的軌跡是以(-3,0)為圓心，2為半徑的圓,

七表示圓上的點與定點(1,0)連線的斜率,

X—1

設卜=六，即比無一丁一比=0,如圖可知，直線k%-y-k=0與圓有交點，

則八早詈42,解得：

y/k2+l33

故答案為：［一苧，同

4.公元前3世紀，古希臘數學家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中證明了平面內到兩定點距離之比為常

數k(k>1)的點的軌跡是圓，這個圓被稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標系％Oy中，N(0,0),M(3,0),

動點。滿足需=2,設動點Q的磯跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

出直線/:工+租、+血=0(巾6咫與曲線。交于48兩點，若{-1,0,1},從中任選一個m值，求此時相

應的弦長|AB|.

【答案】(1)。++y2=4

(2)答案見解析

【分析】(])設QO,y)，由距離公式得到產-十整理即可得解；

(2)根據所選m的值確定直線I的方程，再求出圓心到直線的距離，最后由弦長公式計算可得.

【詳解】(1)設Q(Xy),

由需二2,得J(x-3/+儼=2斤

整理得工2+2%+/=3,

即曲線C的方程為(%+I)2+儼=4.

(2)①如果選m=-l,此時直線1的方程為x-y-1=0

而圓C的半徑R=2,圓心(一1,0)到直線，的距離為d==V2,

Vix+(-ir

故弦長伊網=2V/?2-d2=2V2,

②如果選m=0,此時直線1的方程為x=0,

由屋房工4,解味編或｛二、

則直線[與圓C的兩個交點坐標為(0,6),(O,-V3),

故弦長|48|=2V3.

③如果選m=l,此時直線，的方程為x+y+l=0,

可知直線I經過圓心(一1,0),圓C的半徑R=2,

所以弦長|48|=2R=4.

題型二：歐拉線

1.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這

條線稱之為三角形的歐拉線.已知做且。為圓％+、+尸、=內接三

0,2),8(4,2),C(a,-1),44822+￡^0

角形，則△48。的歐拉線方程為.

【答案】y=1/y-1=0

【分析】首先將點的坐標代入圓的方程，即可求出E、F,從而得到圓心坐標即△ABC的外心坐標，再確

定A4BC的重心坐標，即可得解.

【詳解】依題意1+舅方九0,解嘮二；，

所以圓星+尸2-4*一23=0,即(％-2>+(y-1)2=5,故圓心坐標為(2,1),

即44BC的外心坐標為(2,1),又X4BC的重心坐標為(等,1),

又點(2,1)、(等,1)均在直線y=l上，所以△48C的歐拉線方程為y=l.

故答案為：y=1

2.數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》?書中提出；任意三角形的外心、垂心、重心在同一-條

直線.上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△力BC的頂點力(2,0),8(0,4),若其歐拉線的方程為％-y+2=0,

⑴求三角形力3。外心。的坐標：

⑵求頂點。的坐標.

【答案】(1)(-1,1)

(2)(-4,0)

【分析】(1)根據題意可得力8邊的垂直平分線的所在的直線方程為無-2丫+3=0,結合題意聯立方程求

解即可；

(2)設C(m,n),根據題意結合重心坐標公式可得m-n+4=0,由外心可得m?+n2+2m-2n=8,

聯立方程求解即可.

【詳解】(1)由題意可知：邊的中點坐標為(1,2),的8=衿二一2,

0—2

43邊的垂直平分線的所在的直線方程為y-2=1(x-l),即X-2y+3=0,

聯立方程匕二羿2^二0°，解%二

所以△ABC的外心。的坐標為(一1,1).

(2)設C(犯n),則△ABC的重心為(等,等)，

代入歐拉線方程得學一號+2=0,整理得m-n+4=0,

?J。

由(1)可知：△4BC的外心坐標為。(一1,1),

22

可知=\DA\t則J(?n+1)2+(n—1尸=V(2+I)+(0-I)=V10,

2

整理得m?+n+2m-2n=8t

m

聯立方程[24[(產：a，解得｛-4或產=卜

Im"+nz4-2m-2n=8(n=0(n=4

當7n=0,兀=4時，點B,C重合，舍去，

所以頂點C的坐標是(一4,0).

3.瑞士著名數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后

人稱為三角形的"歐拉線〃.在平面直角坐標系中，△力8c滿足力C=8C,頂點4(-1,0)、8(1,2),且其“歐拉

線"與圓M：(x+5)2+y2=r2(r>0)相切.

⑴求△48c的“歐拉線〃方程；

⑵若圓M與圓支2+Q一。)2=2有公共點.求a的范闈.

【答案】(l)x4-y-1=0

(2)ae［一、5，獷］

【分析】(1)由等腰三角形三線合一知△48C的歐拉線即為A8的垂直平分線，根據與直線48垂直得到斜

率，結合過中點得到所求直線方程；

(2)由直線與圓相切得到圓M的圓心和半徑，由兩圓有公共點得到兩圓的位置關系進而得到關于a的不等

式，解不等式即可得到a的取值范圍.

【佯解】(1)因為AC=BC,所以△ABC是等腰三角形，由三線合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在

邊48的垂直平分線上，

設△48C的歐拉線為2,貝〃過48的中點，且與直線48垂直，

由4(一1,0)、3(1,2)可得：48的中點。(號,等)，即。(0,1),

由%B=1：渭)=3得七=一1，故I的方程為y-1=-*即x+y-1=0；

(2)因為I與圓M；"十弓)2十產=「2相切，故圓心M(-5,0),「=提=3四，

圓/+(y-a)2=2的圓心坐標為(0,a),半徑廠1=叵,

則要想圓M與圓無2+(、-。)2=2有公共點，則兩圓外切、相交或內切，

只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，

即|3魚一魚|WJ(—5)2+a2工+魚,故2魚工A/25+出W4企,解得a€［一夕，問.

4.平面幾何中有一個著名的定理：△4BC的三條高線的垂足、三邊中點及三個頂點與垂心連線段的中點

共圓，該圓稱為△ABC的九點圓或歐拉圓，若力(-2,1),8(4,1).△力BC的垂心為G(3,3),則AABC的九點

圓的標準方程為.

【答案】(，-2)2+(”§2=詈

【分析】根據中點坐標公式求出。，瓦F三點坐標，再由待定系數法求出圓的一般方程，化為標準方程即可.

【詳解】由4(一2,1),5(4,1),G(3,3),可得4B中點為。(1,1),4G中點為E6,2),BG中點為F6,2),

設44BC的九點圓方程為好+y2+Dx+Ey+F=0,

l+l+D+E+F=0

；+4+押+2E+F=0,

—+4+-D+2F+F=0

(42

解得O=-4,E=-F=瞿，

416

口n2.2,17101人

即x"+y"-4%——y+—=0,

416

化笥可得圓的標準方程為(％-2)2+(y-^)2=詈.

故答案為：(無一27+(y-卷)=

題型三：歐式距離

1.函數/(x)=\lx2+2.V+5+Jx2-6x+10的最小值是.

【答案】5

【解析】因為/(x)=\/x2+2x+5+\lx2-6x+10

=^(x+l)2+(0-2)2+^(x-3)2+(0-1)'>

設N(-l,2),8(3,1),P(x,0),則f(力表示點尸(x,0)到點”(T,2),8(3,1)兩點的距離之和，即陽|+|明,

點。是X軸上的點，則點A關于X軸的對稱點為H(-1,-2),則PH二『H|,

所以|F+1「同=|+1P邳之|H8={(3+1丫+(1+2)2=5,所以/(x)的最小值是5.

故答案為：5

2.f(x)=J/+2x+2+VX2-4X+8的最小值為.

【答案】3A

[解析]\jx2+2x+2=[(x+l)2+1=^[x-(-l)J4(0-52?

&_4X+8=加-2丫+4=J(r-2)2+(0+2)2,

如圖,設點％(x,0),C(2,-2),要求/(x)的最小值，即求|X8|+|4C|的最小值.

由于|/8|+?C閆8C|,當,B,。三點共線時，等號成立，

且g=J(-l-2『+(l+2)=3近,故/(》)的最小值為3VL

3D=Jf+j2+J(x+])+/+42,1丫+5+4)2+荷+|：2+爐,其中一l?x?2,-4<y<0,則

二元函數/(xj)的最小值為

【答案】7

【解析】v-l<x<2,-4<^<0,二如,力在由直線x=-l、x=2、八-4、y=0圍成的矩形區域內(含

邊界)，如圖所示:

因為/(》/)=ylx2+y2+yj(x+l)2+y2+J(2_"+(y+4)2+信+(2+.”『

2222

=護+y+J(x+l『+r+^(X-2)+(^+4)+{x+(y+2y

所以二元函數/(x,y)表示動點Px,y)到定點0(0,0),A-1,0),C(0,-2),C(2,-4)距離的和,

在矩形48C。邊界及內部任取點P,連接尸O,PA,P。,PC,AC,

于是有|尸。+|尸。閆。0,當且僅當點P在線段。。上時取等號，

|p/|+|pq之HC，當且僅當點尸在線段力。上時取等號，

于是f(x,y)=\PO\+|/切+|/切+\PC\>\OQ\+|JC|=2+X/32+42=7,

當且僅當點P是線段。。與/c的交點時取等號，

,_44444

又陽c=西刁=一”所以直線4C為y=-§(x+l)，即曠=-二-鼠

Z.XX=0

顯然直線"：)?=%:與V軸的交點為0,-=在線段。。上，即當J4時，/(x,y)的最小值為7.

33V3Jy=~3

故答案為；7.

4.函數/(x)=J(x—1八9+7(X-5)2+4的最小值為.

【答案】向

【解析】/卜)=小_])+9+j+4=J(1)2+(0—3)2_J(x-5)2+(0-2)2,

根據兩點距離公式的幾何意義得，函數/(“表示「(乂0)到點41,3),以5,2)距離之和,

如到所示，作出點A關于x軸的對稱點4(1,-3),

連接力乃，交工軸于點4,連接P4P伉44彳民44，

可得附+閥=|尸41+1尸8|，山4|十山8|=山41+山切，

又由|尸蜀+|尸8閆匕4|+由河=|44=7(1-5)2+(-3-2)2=向,

當且僅當點尸與片重合時，等號成立，

所以儼4|+戶8|=戶4|+謬,、由，即函數/(x)的最小值為疝

4

故答案為：而

5.求函數/(x)=^(X-1)2+9-J(x-5『+4的最大值.

【解析】J(x-+9表示力(9。)、*1,3)的距離，

J(x—5)2+4表示力(五,0)、“5,2)的距離，所以=MG，

因為1491T4C|?忸C|,

所以/(x)a=忸[=,(1-5)2+(3-2)2=布?

6.求函數/(x)="if+9+J(.5)2+4的最小值.

【解析】由題意，函數/(〉)=J(x-1)2+9+J(7)2+4

-+(0-3)2+^(x-5)2+(0-2)2>

根據兩點距離公式的幾何意義得，函數〃力表示P(x,O)到點*,3),8(5,2)距離之和,

如國所示，作出點A關于x的對稱點4。,-3),

連接力/，交x軸于點4,連接P4PB,P4，[A,

可得|尸力|+歸卻=\PA\+\PB\>\AyB\=J(l-5『+(-3-2>=而,

當且僅當點P與q重合時，等號成立，

所以|H|十|p卻2而，即函數/(x)的最小值為屈.

題型四：切比雪夫距離

L我們知道距離是衡量兩點之間的遠近程度的?個概念.數學中根據不同定義有好多種距離.平面I.,歐幾里

得距離是彳(內，必)與8(/，%)兩點間的直線距離，即dAB="%一2『+(為_兄)2.切比雪夫距離是力(內,乂)

與秋占,無)兩點中橫坐標差的絕對值和縱坐標差的絕對值中的最大值，即48二^^(｛歸-印，|)'「刃｝.已知

P是直線/：2x+y-15=0上的動點，當尸與O(O為坐標原點)兩點之間的歐幾里得距離最小時，其切比

雪夫距離為.

【答案】6

【解析】因為點尸是直線/：2x+y-15=0上的動點，要使|OP|最小，則。尸_L/,此時勺=-2,

2x+y-15=0

所以女尸。=工，由方程組，1,解得％=6,y=3,

2y=-x

[2

所以，P,O兩點之間的切比雪夫距離為6.

故答案為：6.

2.在平面直角坐標系中，定義〃(4,門)=11^｛歸72|，|必一為|｝為兩力/(*，乂)、鳥區，為)的“切比雪夫距

離”.若點尸到點(2014,2015)的切比雪夫距離為2,則點尸的軌跡長度之和為.

【答案】16

【解析】由前文知點尸的軌跡是邊長為4的正方形，則軌跡長度之和為16.

3.在平面直角坐標系中淀義"(48)=1儂｛卜|-工2|力|-》2|｝為兩點/(占,弘)、8(/,外)的“切比雪夫距離〃，

又設點尸及/上任意一點。，稱必心。)的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離”記作d(PJ)，給出下列四個

命題：

①對任意三點4民C,都有d(C,4)+d(C,B)2d(48)；

②已知點P(3/)和直線/:2x-p-l=0,則"(P,/)=1；

③到原點的“切比雪夫距出〃等干1的點的軌跡是正方形：

其中真命題的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】①對任意三點A、B、C,若它們共線，設小外，%)、B(X2,%)，C(x3,必)，如圖，結合三

角形的相似可得d(CM),d(C,B),d(A,B)為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則形C,/)+d(C,8)”(48)；

若“，C或A,。對調，可得d(U4)*d(CA)N"(48)；

若A,B,C不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，如圖，

由矩形CMNK或矩形8MNK,"(C,4)+/(C,8)")；

則對任意的三點A,B,C,都有d(G/)+d(CI)2d(48),故①正確;

②設點。是直線y=2x7上一點，且0(d),

可得d(P,0)=wx{|x-3|,|2-2x|),

由x-3|N|2—2x|,解得—IWxwg,即有"(P，O)=|x-3|,

5?4

當x時，取得最小值工；

JJ

由x—3|?2—2x],解得.小或即有"（尸,0）=|2x-2|,

4

"（P，。）的范圍是（3,+8）,無最值；

4

綜上可得，P,。兩點的“切比雪夫距離”的最小值為故②正確；

③由題，到原點O的“切比雪夫距離〃的距離為1的點?（"，）滿足4（0,P）=max{NJW=l,即上巴“'或

㈤=L

顯然點尸的軌跡為正方形，故③正確；

故選：D

4.在平面直角坐標系中,定義d（4B）=max{|X]-X2\i\yl-y21}為兩點直再,必）、

外超，％）的“切比雪夫距離”，又設點。及/上任意一點。，稱“巴。）的最小值為點?到

直線/的“切比雪夫距離”,記作由PJ）.給出下列=個命題:

①，對任意三點A、B、C,都有d（CM）+"C,A）2d（44）；

②已知點?（3,1）和直線/:2x-y-l=0,則"（尸,/）=不

③定點耳（一。,0）、660），動點P（X4）滿足|d（P，E）-小尸，用I=2a（2c>2a>0）,

則點。的軌跡與直線y=z（女為常數）有且僅有2個公共點；

其中真命題的個數是

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】設力（4,為），8（.%，H,）,C（XC，”.），由題意可得：

d（C,⑷+d（C,B）=max{|%-電]乂一3}+ma*%-名I%-詡

>|x^-xc|+|xfl-xc|>\xA-x^t

同理可得:d（C,4）+d（C,8"M-%|,則:

d（C,4）+d（C,8）Nmax{t-x/,"-%|}=d（48）,

命題①成立；

設點2是直線產Zvi上一點，且Q（x,2x-1）,可得d（P，O）=max{k-3|,|2-2x|},

由工一3|2|2-2此解得-14x4；,即有d（P,0）=|x-3|,當z=g時取得最小值，

由x—3|<|2—2x|,解得或xvT,即有d(P,Q)=|2x-2|,

4只。)的范圍是(3,內)11(*母卜($+8),無最小值.

4

綜上可得，尸,Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為.

說法②正確.

定點爪-C,O)、F2(c,o)f動點尸(”)滿足X(P，G)-"(P,g)|=2a(2c>2a>0),則:

|max{|x+c|,|y||-max{k_<4?|}卜2*

顯然上述方程所表示的曲線關于原點對稱，故不妨設M0,戶0,

x+c\>yx=a

⑴當時,有卜+c|-k-c||=2a得:

x-c\^y0<y<a-c

x+c\<y

⑵當時,有0=2〃，此時無解;

x-c\<y

x+c[>y

⑶當時,^x+c-y=2a,a<x；

x-c\<y

則點P的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.

結合圖象可知，點尸的軌跡與直線y=A(A為常數)有且僅有2個公共點，命題③正確.

綜上可得命題①②③均正確，真命題的個數是3.

本題選擇D選項.

工在平面直角坐標系中，定義d(43)=max{|x-工2|,|乂-%|}為兩點,B(x2,y2)的“切比雪夫距

離”.又設點P及/上任意一點0，稱d(P,Q)的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離〃，記作d(P,

/).給出下列四個命題：①對任意三點4B,C,都有d(CM)+c/(C,8)2d(43)；②已知點?(3,1)

和直線/：2x-y-l=0,則d(P,/)=g；③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形.其中正

確的序號為.

【答案】①②③

【解析】其中①③的討論見后文.

②設點°是直線y=2x—l上一點，且。（x,2x-1）,則"（2,。）=11^｛|.?3|,|2-2劉｝?由|1-3固2-2*|,

解得一1—1,即有d（尸,0）小一3|,當x=g時，取得最小值g;由|戈-3|<|2-2x|,解得X*或x<-l,

即有d（P，O）=|2x-2|,此時"（P,。）的范圍是信,內］,無最值.故P,。兩點的“切比雪夫距亮〃的最小值

釁

綜上，①②③正確.

6.在平面直角坐標系中，稱d（P，Q）為點尸、。兩點間的距離，若"（P,。）滿足下列三個性質：（1）

非負性：d（P,。"。；（2）對稱性：d（P，O）=d（0P）；（3）三角不等式：+d記，A）Nd（66）.設

點玖石加、鳥小，％）、6（”），則下列能夠作為距離公式的有?

①?（A，6）=J（X|-X2y+（凹一為『；

②4"）=歸-/|+|必-%|；

③"（片，鳥）=max｛%-々|，|必-必1｝；

④M4,鳥）=min巧-引，|必一刃｝.

【答案】①②③

【解析】①、②顯然能夠作為距離公式；而③易證得滿足非負性及對稱性，下證③也滿足三角不等式.

d（E,B）+"（8,A）=max｛|M-xJ,|M-K|｝+max｛k-xJ,|K-M|｝，|$-xJ+k-&|,由絕對值不等式

性質得歸一引+|々-七|之一七|,

同理可得d（再切+d（匕用N|凹一刃,

則"（E，E）+"（鳥，A）Nmax｛卜73|，|必一閭｝="（々，6）.

對于④,設點10,2）、凰1,3）、42,3）,則d（1，「）=d（必用）=0,d（A，R）=l,不滿足三角不等式.

綜上可知：能夠作為距離公式的有①②③.

7.在平面直角坐標系中,定義4（46）=max｛|*7」|必-為|｝為兩點4*”乂）、B（x2,y2）的“切比雪夫距離”,

又設點P及直線/上任一點Q,稱"（尸，。）的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離”，記作d（P,l）.

（1）求證:對任意三點A、B、C,都有d（4C）+d（C,8）Nd（，4,8）；

（2）已知點尸（3,1）和直線/:2x-y-l=0,求d（PJ）；

（3）定點。（,％,%），動點P（x,y）滿足d（CP）=，（/>0）,請求出點「所在的曲線所圍成圖形的面積.

【解析】(1)證明:設力(X],乂),6(七,為)，0(花，必)，則

J(AC)+^(C,B)=max{|x1-x3|,|jl-^|}+max{|x3-x2|,|y3-^2|}>|x1-x3|+|x3-x2|>|x1-x2|,同理可得

4(40+義。,8)2帆一必|，

所以d(4C)+d(C,B)Nmax{|x-％|，|必-必|}="(45),

(2)設0(x,2x-l)為直線/：2x-j-1=0上一點，貝(]</(尸,。)=1皿乂{卜一3|,|2-2丫|},

由x-3以2-24解得即有或P,0)=|~3|,當戈=。時，取得最小值々

j33

由'一3|<|2-2丈解得x*或、<一1,即有力尸,0)=|2x-2|,

44

?巴。)的范圍是(3,+8)11(],+8)=(],+00),無最大值，

綜上可得，2。兩點的最小值為

4

所以d(PJ)=§;

(3)設軌跡上動點為P(x,y),則d(C,P)=max{kfJ,卜-刃}=r,

,一卬=「或卜一"尸為I

等價于"一"I引xf廣]|尸九|=，

所以點P(x,y)的軌跡是以為中心，邊長為2r的正方形,

所以點。所在的曲線所圍成圖形的面積為4產

題型五：費馬距離

1.以三角形邊BC,CA,48為邊向形外作正三角形4cH,CAB',ABC,則BB'，CC'三線共點,

該點稱為"AC的正等角中心.當“4。的每個內角都小于120面，正等角中心點。滿足以下性質：

(1)ZAPB=AAPC=ABPC=120°；(2)正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點(也即費

馬點).由以上性質得J性+⑶一])2+J》2+J+[)2+2>+J*的最小值為

【答案】2+6

【解析】根據題意，在平面直角坐標系中，令點40J),-1),C(2,0),

則，一+(3一1)2+Jx2+(y+])2+J(x—2)2+y2表示坐標系中一點(X,y)到點A、6、C的距離之和，

因為A4AC是等腰三角形，AC=BC,

所以C'點在工軸負半軸上，所以CC與％軸重合,

令以4BC的費馬點為P(a,b),則P在CV上，貝!)6=0,

因為A48C是銳角三角形，由性質(1)得4PC=120。，

所以/4PO=60。，所以二石，所以〃=走，

?3

/.P(y,0)到A、B、C的距離分別為友=心=孚，PC=2-y,

所以-2+(y—1)2++(y+])2+-2)2+/的最小值，

即為費馬點尸到點A、B、C的距離之和，貝！J4+尸8+2。=2+6.

故答案為：2+6.

2.點M是SABC內部或邊界上的點,若M到A48c三個頂點距離之和最小，則稱點M是MBC的費馬點(該

問題是十七世紀法國數學家費馬提出).若4(0,2),8(7,0),C(l,0)時，點“0是乙4改?的費馬點，且已

知M。在V軸上，則|4%|+忸%|+仁%|的大小等于.

【答案】2+6

【解析】先證明：若P到A48C三個頂點距離之和最小，貝UN4PB=N4尸C=N8PC=120。

如圖將A48P繞點B逆時針旋轉60。得到MDE,則bBDEgAABP,

BD=BP/PBD=60°,所以A8D0是等邊三角形，BP=DP,

P4+PB+PC=ED+DP+PC,當瓦Q,P,C四點共線時取得最小值,

此時=12(f,

同理可得CBPC=乙4尸C=120°

所以命題得證.

點是A4BC的費馬點，且己就M。在N軸上,

N/%8=N4%C=N8%C=12(?,

4M0=NOM)C=6O。，

所以忸A/0|=\CM0\=苧,|OMj=2一5

所以|力河。|+忸Mj+|C%|=2+6.

故答案為：2+百

3.以三角形邊4。，CA,43為邊向形外作正三角形BC/f,CAB',ABC1,則力H,BB',CC'三線共點,

該點稱為』8c的正等角中心.當“8C的每個內角都小于120,時，正等角中心點。滿足以下性質：

(1)2PB=ZAPC=NBPC=120°；

(2)正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點(也即費馬點).

由以上性質求yjx2+(^-1)2+\Jx2+(y+\)2+^(x-2)1+y2的最小值.

【解析】根據題意，在平面直角坐標系中，令點40/)，-1),C(2,0),

則科+3—1)2+折+(y+1)?+“x-2)+/表示坐標系中一點GJ)到點A、B、C的距離之和，因為

VAC是等腰三角形，AC=BC,

所以C'點在x軸負半軸上，所以CC'與x軸重合，

令“5C的費馬點為PQ/),則P在CC上,則6=0,

因為是銳角三角形，由性質(1)得乙4?。=120。，所以/力2。=60。，

所以，=百，所以〃=3，

。3

:.P(半，。)到A、B、C的距離分別為*心=芋，?。=2-半，

所以1F+O—?+Jx?+O+1)2+J(x-2)2+y2的最小值，即為費馬點尸到點A、B、C的距離之和，則

PA+PB+PC=2+S

Vi

C\^cA/P^CX

4.費馬點是指三角形內到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內角均小120。時，費馬點與三

個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120。.根據以上性質，

己知4—2,0),B(2,0),C(0,4),P為內一點，記/(P)=|P/|+|R?|+|Pq,則/(尸)的最小值為()

A.2x/3B.4+2有

C.4+GD.2+6

【答案】B

【解析】設5。，。)為坐標原點，由4-2,0),8(2,0),C(0,4),

知4C|=|8。|=26，且“8c為銳角三角形

因此，費馬點M在線段OC上，設"(0,〃),如圖，

A

AOBx

h=\081tan30。=孚，

則為頂角是120。的等腰三角形，故,

所以/'(尸)2/(M)=|"3+|河4+|A/q=4/24-4-h=4+lT.3,

則/(p)的最小值為4+2省.

故選：B

題型六：閔可夫斯基距離

1.(多選)閔可夫斯基距離又稱為劉氏距離，是兩組數據間距離的定義.設兩組數據分別為力=(《,%，…，/)

1

和8=(4也，…也)，這兩組數據間的閔氏距離定義為乙,其中夕表示階數?下列命題

中為真命題的是()

A.若4=(1,2,3,4),8=(0,3,4,5),則“⑴二4

B.若力=（4,4+1）,B=（b-\,b）,其中a,BwK,則%8（1）=力3（2）

C.若4=(a，b),8=(c,d),其中a,h,c,deR,則“(1)N〃(2)

D.若力=B=(b,b-1),其中“，heR,則〃,(2)的最小值為叁

8

【答案】ACD

【解析】對于A：^(1)=|1-0|+|2-3|+|3-4|+|4-5|=4,故A正確.

對于B：dAB(\)=2\a-b+\\t〃(2)=&|a-b+|,故B錯誤.

對于C：dAB(\)=\a-c\+\b+d\fd.(2)=J("c)，(b-d);不妨設|。_。|=時，\b-d\=Nt因為

MNO,NNO,所以2MNZ0,所以序+32+2,，歷隆小+川，所以(A7+N>N1/+解，所以

M+N”MW，故c正確.

對于D：構造函數/(X)=/,g(x)=x1,則右8(2)的最小值即兩曲線動點間的最小距離，設直線V—X+小

與曲線/(x)Z相切，則由；：：：：〃,得/一…〃=0,由/=1+4〃?=0,得機=-；,所以切線方程為

1

V=X——

4

所以兩曲線動點間的最小距離為人43及，故D正確.

上一8

故選：ACD

2.閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數據間距離的定義.設兩組數據分別為/=(6,生,…4)和

4=(4也,…也)，這兩組數據間的閔氏距離定義為其中夕表示階數.現有下列四

L*-i.

個命題：

①若A=(1,2,3,4),5=(0,3,4,5),則dAB(\)=4；

②若力=3。+1)*=3—1力)，其中a,beR,則dMa)=d”(2)；

③若力=(a,b),8=(c,d),其中a,b,c,dwR,則洋8⑴之力式2)：

④若力=(d/),8=(b,/)—l),其中a/eR,則血&(2)的最小值為速.

8

其中所有真命題的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】c

【解析】對于①：48(1)=|1-。1+|2-3|+|3-4|+|4-514,故①正確.

對于②：〃(l)=2|"b+l|,%(2)=&|"b+l|,故②錯誤.

對于③：^(1)=\a-c\+\h-d|,<lfi(2)=y](a-cj+(b-dj,不妨設|。一。bM,g—"|=N，

(M+7V)2>(VM2+^2)2,且均為非負數，所以M+N2+,2故③正確.

對于④：構造函數/(x)=x2,g(x)=x-l,則"”(2)=小西一警丫+(乂一必『，4式2)的最小值即兩曲線動

、[y=x2

點間的最小距離，設/(幻=、2與直線g(X)=X-l平行的切線方程為尸X+3聯立.L得：

2

x-x-b=0f令A=l+4b=0得，b=-；,所以切線方程為》=》-!：以》)=工一1與了=工+!之間的距離

444

d_I_3及，所以最小值為逆，故④正確.

故選C.

3.在直角坐標系xOy中，已知點力(不,必)，8(乙,必)，記。(42)=佃-引"+|必-乃「)，其中〃為正整數,

稱外(48)為點A,8間的M距離.下列說法正確的是().

A.若4(O,/l)=l,則點A的軌跡是正方形

B.若4(48)=4(48),則A與3重合

C.&(48)4血2(4,8)

D.^(48)24(48)

【答案】A

【解析】由4(。〃)=1得心|+瓦卜1,所以點A的軌跡是以。為中心的正方形，故力正確；

記加=|石-引，〃=帆一必|，則加20,n>0,

若4(43)=4(44),貝心?+〃=〃/+/,顯然有機=0,〃=1滿足此等式，可取點5(1,2),顯然

A與8不重合，故8錯誤；

取點力(0』)，叫4(4〃)=g，4(4〃)=；，貝1」電(4與=容

此時4(45)＞應4(48),故C錯誤，也可得0錯誤.

故選：A.

題型七：曼哈頓距離

1.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點力(打,力),

BQ2/2)的“曼哈頓距離"為d(48)=|石一次1+M-力1，已知動點N在圓+y2=16上，定點M(4,5),

則N兩點的"曼哈頓距離"的最大值為.

【答案】9+4魚

【分析】由題意設N(4cos6,4sine),0w[0,2ir),結合距離新定義以及輔助角公式即可得解.

【詳解】由題意，不妨設N(4cos6,4sin。),。6[0,2n),

則M,N兩點的“曼哈頓距離〃為d(M,N)=|4-4cos0|+|5-4sin0|=9-4(sin04-cos0)=9-

4岳in(6+J

所以d(M,N)=9-4氏in(0+習W9+4應當且僅當sin十=-1等號成立，

即當且僅當，+：=*+2H,&EZ,即”史，

I0G[0,2n)4

綜上所述，M,N兩點的"曼哈頓距離”的最大值為9+4魚.

故答案為：9+4V2.

2.十九世紀著名德國猶太人數學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點?(西,乂)，。(8，必)的曼哈頓距離為

。1：0,0)=N-司+仇-閭.我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫"好點〃，已知三角形"BC

的三個頂點坐標為力(2,4),3(8,2),C(12,10),則~18c的"好點〃的坐標為()

A.(2,4)B.(6,8)C.(0,0)D.(5,1)

【答案】B

【解析】對于A,設尸(2,4),

貝!]。(尸,力)=|2-2|+|4-4|=0,O(P,8)=|2_8|+14-2|=8H0,

所以點(2,4)不是“BC的"好點”；

對于B,設尸(6,8),

貝|JO(P,/1)=|6一2|+|8-4|=8,O(P,4)=|6-8|+|8-2|=8,

DlP,C)=|6-12|+|8-10|=8,

所以。(P,4)=Z)(P,8)=Z)(P,C),

所以點(6,8)是J8C的“好點”：

對于C,設尸(0,0),

則。(2,4)=|0-2|+|0-4|=6,。(尸,8)=|0-8|+|0-2|二1006,

所以點(0,0)不是的"好點〃；

對于D,設尸(5,1),

則Q(P,4)=|5-2|+|1-4|=6,D(P,5)=|5-8|+|1-2|=4H6,

所以點(5,1)不是“BC的〃好點

故選：B.

3.〃曼哈頓距離〃是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創詞匯，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點

川外，必)，川再,乃)的曼哈頓距離"44)=|占-即+|凹-必|，則下列結論正確的是()

A.若點尸(2,4),0(—2,1),則。)=6

B.若點M(TO),N(1,0),則在x軸上存在點?，使得d(P,M)十d(P,N)=l

C.若點M(2,l)，點P在直線x-2嚴6=0上，則d(P,M)的最小值是5

D.若點M在圓/+/=4上，點N在直線2x-y+8=0上，則d(M,N)的值可能是4

【答案】D

【解析】A選項，d(P,0)=|2-(-2)|+|4-1|=7,A錯誤；

B選項，設。(加⑼，貝!!d(尸,M)+d(尸,')=|陽+1|+同一1|之帆+1—(〃?-1)|=2,

當且僅當時，等號成立，

故在x軸上不存在點P,使得d(RM)+d(尸,N)=l,B錯誤；

C選項，點尸在直線x-2,y+6=0上，設尸(2)，0-6,%),

9-3)，0，%<1

則"(P,")=|2%-6