陜西省西安市重點高中2025-2026學年高一年級下冊4月測評考試 數學（含解析）

2025-2026學年高一下學期4月質量檢測數學試卷

一、單選題

1.己知平面向量互=（祇2）,5=（4,8）,若［〃幾則實數優=（）

A.1B.-1C.-4D.4

分滿足k+耳二及，則

2.若單位向量入()

A.2B.百c.及D.1

AC=

3.在V48C中，2AB,cosB=!,則sinC=()

2

R6c73

A1-iD.

?33~T

4.在VABC中，角的對邊分別為。也%若a=2G，c=2,A=60。，則角C等于（）

A.30°B.60°

C.30。或60。D.60。或120°

5.如圖，某建筑物的高度4c=3（X）m,一架無人機。上的儀器觀測到建筑物頂部C的仰角為15。，地面某

處A的俯角為45。，且/班。=60。，則此無人機距離地面的高度P。為（）

C.300mD.200V2m

M為單位向量，它們的夾角為,，則向量力在向量M上的投影向量為（）.

6.已知同=4,

A.一己B.-2^C.。D.2。

7.在V48C中,ADLAB,BD=DC.\M5\=2,則而?而的值為（）

A.2B.4C.6D.8

8.如圖，在AA8C中，/BAC=g而=29，P為CO上一點，且滿足4戶=；,若AA8C的面

積為26，則府|的最小值為

c

C.3D.G

二、多選題

9.下列各組向量中，能作為它們所在平面內所有向量的基底的是()

A.=(-2,2),e2=(5,1)B.ei=(3,5),^2=(-6,-10)

C.[=(2,-3)總=(3,3)D.~ex=(0,2),^=(0,0)

10.在V/WC中，點。是AS邊上的四等分點，且A￡>—3￡>",4c邊上存在點E滿足而-2函(2>0),直

線C。和直線電交于點尸，若定聲(〃>0),則()

—1—3—

A.CD=-CA+-CBB.沏=4

44

I64

C.—+一的最小值為8D,

2〃CDCA3

11.已知向量4=(1,-2),^=(-1,1),?=(2,3),則下列說法正確的是()

7

A.\a+c\=y/i0B.4在/；上的投影向量為

C.b與乙?夾角的余弦值為叵D.若a與B+垂直，則實數義二3

264

三、填空題

12.設a和萬是兩個不共線的向量，若須=2G+必顧=a一25,且三點共線，則實數&的值等于

13.在VAAC中，角人，B,C的對邊分別為a,b,c,己知a=7,〃=4,c-而，則VABC的面積為.

14.在銳角VA8C中，B=\AB-AC\=2f則器花的取值范圍為

四、解答題

15.如圖，在平行四邊形4BC。中，點E,F,G分別在邊A3,AD,BC上,且滿足4七=:4&AF=^-AD,

JJ

2

BG=—BC,設麗=3，AD=b-

(1)用2，石表示麗，EG；

⑵若ERLEG,ABEG=2ab^求角A的值.

-----1

16.已知向量m=(cosx,sinx),7=(cosx,Gcosx),%eR,設函數/(x)=ni-n+—

2

⑴求函數,f(x)的單調遞增區間;

(2)設“，〃，。分別為VABC的內角A,B,C的對邊，若〃A)=2,b+c=2叵,VA8C的面積為g求

”的值.

17.己知向量4=(0,2)出=(1,相)，且力與坂的夾角為

4

⑴求卜+2同；

(2)若4—與。+6的夾角為銳角，求實數2的取值范圍.

18.在VABC中,角AB,V的對邊分別為〃也c,滿足。2+從-"=。2.

(I)求角。的大小；

⑵若a+b=8,求VABC周長的最小值；

⑶若VA8C是銳角三角形，且C=25/5,求VABC面積S的取值范圍.

19.如圖，平行四邊形A8CO中，E為的中點，ED與AC交于點R.

⑴用向量方法證明：AR=；AC；

(2*偏闔而皿AC=6,求前召的值.

參考答案

1.A

【詳解】因為a=(“7,2),B=(4,8),且所以8〃Z=2X4,解得/”=1.

故選：A.

2.C

【詳解】由題意，問=R|=I,

因為"+3=收，所以藍+27小片=2,

則1+275+1=2,即7B=0,

所以a—b=Ja-2a-b+b=>J\-0+1=>/2.

3.D

【詳解】因為cos8=!，且0<8<兀，所以sin8=J1-cos?B='.

22

AQ\r

又因為VA8C中，AC=2AB,由正弦定理得丹：二￡；,

sinCsinn

所以sinC=—sinB=—.

24

4.A

【詳解】由正弦定理一，.「,代入己知條件。=26，c=2,A=60，

sinAsinC

可得.八csinA2xsin60"x?1,

sinC=------=----；=—=---告一=—

a2V32V32

由三角形”大邊對大角”的性質，a>c=C<4=60°,

因此C=30.

5.B

4U二BC二300二cm.

【詳解】由題意，在RtZiABC中，ZBAC=6(r,BC=300,所以一疝6()。一耳一

2

在JCQ中，/4。。=45。+15。=60。，ZQAC=180°-45°-60°=75°,

所以ZACQ=180°-75°-60°=45°,

由正弦定理，陰=得=4。=^^=^^=2。。丘

sin450sin60°sin60°，3

T

又△APQ為等腰直角三角形，所以打2=的./45。=200拒x券=200.

故選項B正確.

6.B

【詳解】由題意可得向量d在向量。上的投影向量為

@=一2@?

因為*=；W+B,XBZ)=DC?

所以/=而+45=而+(而—48)=2而一4笈，

又ADSAB,所以而?麗=0，且|A￡i|=2,

所以痔汨=僅存-通師=AD~-ABAD=|珂=x2=.

8.D

［詳解［AP=AC+CP=AC+kCD=AC+k［AD-AC)=~AC+k\^AB

=-AB+(l-k)AC=mAC+-ABf得至lj|一&=〃?,竺=，,所以機=,，結合

3''2324

MAC的面積為2不，得到;|尼卜|祠.等=26,得至1」|雨?屣=8,所以

囤=出網+(研+(?國網=,+高研+前N6,故選D.

9.AC

【詳解】選項A,設4=義晟(4為實數),則(一2,2)=〃5,1)=(54/1),

52=-2___

即，，，則幾無解，所以q,e,不共線，

2=2?

則不,I能作為它們所在平面內所有向量的基底，故A正確;

選項B,因為(-6,-10)=-2(3,5),則之=一在,即WW共線,

所以4.不能作為它們所在平面內所有向量的基底，故B不正確;

選項C,設9=在為實數),則(2,—3)=43,3)=(3432),

[34=2

即4Ja，則義無解，所以44不共線，

|3z=-3■

則4,e；能作為它們所在平面內所有向量的基底，故C正確；

選項D,4=(。，。)是零向量，與*共線，

所以￡晟不能作為它們所在平面內所有向量的基底，故D不正確.

10.ABC

【詳解】對于A,CD=CA-^AD=CA+-Ali=cA+-(CB-CA\=-CA-￥-CB,故A正確.

44、744

對于B,因為西=4屈，所以直=丁1刀，CE=-^-CAt

由兒三點共線可得，BE=—BA+-^-BC.

I+A1+2

因為定=〃/，所以k=六成，DF=-^-DC,

由D,￡C三點共線可得，=^BD+^BC=.

1+〃1+〃4(1+〃)1+〃

而喬〃詼，所以有.丁匚=，整理得沏=4,故B正確.

I+Z1+〃1+Z4(1+〃)

1641H-

對于C,因為之〃=4,則—?—=—F16/12,1—162=8,

2//2V2

當且僅當1=162,即為=!時取等號，故C正確.

/.4

對干D,因為行?麗

CF-EA_//A_X/.14

所以9?瓦—1+41+2-1+A/z+A+xz9

44I

當且僅當幾=?即2=2時取等號.而故D錯誤.

ZVJQ

11.AC

【詳解】對A,a+?=（3,l）,則m+可=J3?+12=M，故A正確;

々?Bq-1-223j*

對B,G在5上的投影向量為砰b=丁方=一5人故B借誤;

be-2+3V26

對C5與。夾角的余弦值為麗二而一屋於+3「一,故C正確;

對D,B+衣=(-1,1)+〃2,3)=(2,-1,34+1),若/與日+我垂直,

Mlx(22-l)-2x(32+l)=0,解得2=-1，故D錯誤.

12.-4

【詳解】因A民。三點共線，故花〃麗.

VAB=2ci卜必B力=3—C*=d=；儂一4埒,

：.k=-4.

故答案為：-4

13.7G

【詳解】由余弦定理可得，cosC-H=49+16-37」

lab2x7x42

因為C?O,7i),所以sin，=#,

故VABC的面積為L〃sinC='x7x4x—=76.

222

14.聞

【詳解】解：以B為原點，射所在直線為x軸建立坐標系,建立平面直角坐標系，如圖所示:

\AB-AC\=\CB\=2,

所以C（G，1）,

設點A（x,O）,

因為VA8C是銳角三角形,

llI,4-57rr乃7T

所以A+C=~^~,且；<Av彳，

過點C作COLv軸與點。，過點C作C/_L4C,交x軸于點產，

則A在線段。/上(不與D、"重合)，

所以〈竽，

A?二(T,O),AC=(43-xt1),

貝I]ABAC=-x(yf3-x)=x2-&=(x-冷了一(,

由二次函數的性質知，x=G時，X2->/3X=O,

X=R^時，=

3J

uuuuuu4

所以AN?AC的取值范圍是(0，7.

J

故答案為：(0,1).

,1Ir--2-2.K

15.(1)EF=-b一一a,EG=—b+—a；(2)—.

33333

【解析】(I)以Z，五為基底，進行向量加減運算，即得結果；

(2)以Z,/；為基底，結合EALEG進行數最積運算斤二問2,再利用而.函=235,得cosA的關系式,

即解得角A.

【詳解】(1)由平面向量的線性運算可知前="-人心;45-!府="-與，

3333

______2__2___22

EG=EB+BG=-AB+-AD=-b+-a.

3333

(2)由題意，因為ERLEG,所以而?西=；(方一3)半6+￡)=寮萬一個0+￡)

而質亭-孫|(5+力施甸(叫=期制=0,解得聯忖一

所以八8.E3=4.2(〃+〃)=2同5cosA+2M=2|a||/?|cosA,則可化簡上式為2+2co$A=2cosA,解得

cos4=；,又A￡(O")，故A=?.

16.(1)&兀一三,"兀+2,k&Z

_36

⑵0=6?1

【詳解】(1)<〃z=(cosx,sinx),力=(cosx,石cosx),

/.f(x)=mn+^=cos2x+Gsinxeosx+g

14-COS2x5/3._11c

-------------+——sin2x+—=—cos2x+—sin2x+l

22222

(r711

=sinI2x+—6j+1

licit--<2x+—<2A：7i4--,kwZ,

262

解得&兀—<x<Znn—,AwZ,

36

.n.7T

\/（x）的單調遞增區間是K7t——K7t+—,&eZ

3t6

?c瓦)1

（2）由（1）知：〃x）=sinI2x——6j+1

?:/(A)=2,

sin(24+己)+1=2,即sin(2A吟

,/0<A<n,

.\0<2A<2TI,

.n令AN13兀

..-<2A+—<——,

666

c,兀兀

2A+—=—

62

",

?.?△AM?的面積為g

/.-/><?sinA=-be=-,解得歷=2,

242

,//?+<?=2>/2>

由余弦定理得/=b~+c2-2bccosA

=b~+c--2^=(h+cy-2bc-2yl3=S-4-2y/3=4-2yf3

/.a=2\/5=6-1?

綜上所述，結論是：?=75-i.

17.(1)275;

3

⑵F-1)U(T/).

【詳解】(1)由向量4=(0、2),6=(1,〃?)，得|M|=2111=，〃/+1，且萬歷=2〃7，

由日與5的夾角為：，得85。出〉=二1；=:=冬，解得〃?=i,則6=(1/),

4\a\\b\2V/M2+12

于是不+25=(0,2)+2(1,1)=(2,4),所以|白+4|=在==2石.

(2)由(1)知向量5=(1/)，

則4—21=(0,2)—4(1,1)=(-42—乃，/+5=(0,2)+(1,1)=(1,3),

由正4與4+5的夾角為銳角，得（G-4）,（萬+方）>0且與4+6不共線,

3(2-2)-2>0,解得％<|且義工―1,

1,(2—工一4,3

3

所以實數4的取值范圍為

18.（l）y

⑵12

⑶|：2瓜3伺

【詳解】（1）因為/所以標"2人■刈

由余弦定理可得cosC="*"一二=也=」

2ab2ab2

因為。€（0,兀），所以C=g；

(2)因為/+/=(a+〃)2—2a〃=64—2a〃，

所以/=〃2+b2-ab=M-3ab，

由基本不等式可知8=a+2，正，當且僅當”=〃=4時等號成立,

所以W16,c?N16即c24,

所以當a=〃=c=4時，V48C周長有最小值為12；

(3)由正弦定理可得號=工=$,所以。=4sinA,/?=4sinA,

sinAsinBsinC

因為A+4+C=7t,所以4=---A,

3

則=16sinAsin--Aj=16sinAsin2-兀cosA-cos—271si.nA

、3J\33

=16sincosA+—sinA=8\/3sinAcos>4+8