基本不等式及其應用（復習講義）-2027年高考數學一輪復習解析版

A知?識?解?構<

A知識點1基本不等式核心公式

1.1核心原型（算術-幾何均值不等式）

若a>0,b>0,則"+”之,當且僅當a=b時取等號。

2

?一正：a,b全為正數（負數不能直接套原式）；

?二定：求和最值則乘積為定值：求積最值則和為定值：

?三相等：等號可取（a=b在定義域內有解，取不到則改月函數單調性）。

1.2拓展重要不等式（無條件/放寬條件）

1./+/22（活,出〃￡凡a=b取等（全體實數可用，無上數限制）；

2.cib<（-）*2（積W和平方四分之一，常用放縮）；

2

3.同號：-+->2（ab>0）；abvO時@。

baba

1.3四項均值不等式鏈

對于正數a、b,有：

2

11

-+-

〃

〃

其中：

?~r~i:調和平均數（HM）

—+-

ab

?4ab：兒何平均數（GM）

?生心：算術平均數（AM）

2

?y：平方平均數（QM）

當且僅當歸b時?，所有等號同時成立。

自主檢測已知a>力>0,且Q+Z）=1,則下列不等式不一定成立的是（）

A.Ve<eaB.<7C.Va+Vb<V2D.sina<cosb

a-bb

【答案】B

【分析】利用指數函數、正余弦函數單調性推理判斷AD；舉例說明判斷B：利用基本不等式準理判斷C.

【詳解】由>b>0,a+b=1,得

Q2

對于A,Ve=ez<ea?A正確;

對于B,取Q=J,b=j則」7=4>：=3B錯誤；

88a-b3b

對于C,yfa+Vb=Ja+b+2>[ab<>J1+a+b=y[2,C正確：

對卜D,顯然0VbV2V：JVQV1VJ則cosb>cos：=sin三Asina,D正確.

262363

A知識點2兩大最值模型

1.積定求和最小：ab=k（定值，a,b>0）=>?+/?>2\[k,a=b取最小；

2.和定求積最大：a+b=k（定值，a,b>（））ab<—，a=b取最大。

4

核心操作：無定值時，需要通過拆項、配系數等方法湊出定值，這是基本不等式應用的關鍵。

自主檢測|（2026?江蘇蘇錫常鎮?:模）已知Q>0,則（。/+*?關于工的展開式中各項系數之和的最小值

為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】D

【分析】代入系數和公式，以及基本不等式求解.

【詳解】令》=1,則展開式中各項系數和為（a+3、因為Q>0,所以（Q+5）4^24=16,

當G=L即a=1時等號成立，期以展開式的各項系數之和的最小值為16.

a

A知識點3經典題型：“1的代換”

己知ma+nb=l（a,b>0）,求^+幺類最值：整體乘1,展開后配湊均值。

xy

例；a>0,b>0,a+b=l,求I=（I）（a1b）=3Il工312g。

ahabah

自主檢測已知正實數小〃滿足2a+：=1,則b+；的最小值為______

--------b2a

【答案】4

【詳解】v2a4-^=1,

b

i+5=G+—（2Q+3=2ab+熹+2，

va>0,/?>0,

?，?2ab>0,

?**Z)+-?=2ab+——+2>2i2ab,——+2=4,

2a2ab，2ab

當且僅當即2ab=l,結合2Q+；=1得b=2,a=：時等號成立，

2abb4

.?"+；的最小值為4.

2a

A知識點4易錯拓展：含負數、不能取等的處理

1.x<0：令t=-x>0,變形后用不等式；^x+—(x<0)=>-(-x+—)<-2

x-x

2.定義域限制無法@=快放棄基本不等式，用對勾函數單調性。

自主檢測|已知Q>b>0,且Q+匕=1,則下列不等式不：室成立的是()

A.—>-B.—<-C.y/a+Vb<\[2D.-+->4

a-baa-bbab

【答案】B

【詳解】選項A,因為a>b>0,所以a>a—h>0.所以」7>上成立.

a-ba

選項B,若b>Q-b>0,則一不成立.

a-bb

選項C,因為(VH+VF)2=Q+b+2y/ab,并且1=a+b>2y/ab(aHh,等號取不到)，所以0<Vab<

因此Q+b+2>Jab<2,y/a+>Jb<企成立.

選項D,;+;=(;+;)x(a+Z)i=2+(^+^)>4,等號在Q=b時成立，但是Q>b>0,所以等號無法

取到，因此乙+9>4.

ab

A題?型?破?譯?

A題型1基本不等式條件正誤判斷

忸回已知x>0,那么以下關于式子/+1的分析判斷正確的選項是()

2

(1)X+-X>2代；

(2)上式當且僅當/=空此=1時，等號成立；

X

(3)所以當％=1時，)+:取得最小值2

X

A.以上全正確B.(1)借C.(2)錯D.(3)錯

【答案】D

【分析】根據基本不等式及求最值的條件，逐一分析判斷，即可求解.

【詳解】根據條件，由基本不等式可知，(1)(2)均正確，

對于（3）,由基本不等式知，求最小值，則需滿足“一正二定三相等”的原則，

求和的最小值，需要乘積為定值，而不為定值，所以（3）錯，

故選：D.

忸J1-2］已知正實數小人滿足。+力=1,貝IJ（）

A.ab<-B.a2+h2<-C.-4--<4D.y/a+\/b>\/2

42ab

【答案】A

【分析】用力”的代換和基本小等式判斷即可.

【詳解】由“，〃為正實數且a+力=1.

根據基本不等式QbW（手丫=%當且僅當Q=b=：時等號成立，故A正確；

Q2+/N”竺當且僅當Q=b時等號成立，故B錯誤；

11=^=2->4,當且僅當a二b二;時等號成立，故C錯誤；

a+babab2

根據算術平均值小于等于平方平均值不等式，得學工用=?,

當且僅當a=b=［時等號成立，EPVa+Vb<VI,故D錯誤.

方法技巧不等式性質的快速判斷

1.特殊值秒殺法：優先代入負數、0、邊界值（如a=b、x=0）快速排除錯誤選項；

2.三條件逐項核驗法：按"一正T二定今三相等”順序逐一驗證，缺一不可；

3.性質區分法：明確/+2。〃（全體實數）與"而（僅正數）的適用范圍，

2

易錯分析忽略前提條件

1.忽略“一正”條件，直接對負數使用基本不等式；

2.忽略“二定”條件，無定值時強行求最值：

3.忽略“三相等"條件，等號取不到時仍用不等式結果；

4.混淆兩個基本不等式的適用范圍，導致判斷錯誤。

函而i既匚11（多選題5一巨如菽藪見瀛任a+b=2］而「5

A.?6<1B.6+亞工2C.a2+h2<2D.卜三1

【答案】AB

【分析】結合已知條件，利用基本不等式對各選項逐一變形驗證即可.

【詳解】選項A.由基本不等式子之病，則12病，平方得加￡1,當且僅當a=b=l時等號成立，A

正確.

選項B.對仿+VF平方得（6+Vb）2=a+b+2y/ab=2+2\［ab,由A知VHS<1,

因此（VH+Vb）2<24-2x1=4,因為VH4-Vb>0,開方得V04-Vb<2,

當且僅當Q=b=l時等號成立，B正確.

選項C.a2+爐=（0+力）2-2必=4—2ab,由abW1,所以4-2abN4-2x1=2,BPa24-b2>2,C

錯誤.

選項D±+；==彳，因此abWl,所以工+；=j22,D錯誤.

ababababab

【變式訓練1-2]（多選題）若6。=2,6匕=3,則下列判斷正確的是（）

A.a+b=1B.ab<-C.a2+b2<-D.b<-

422

【答案】AB

【詳解】對于選項A,因為6。=2,6"=3,所以Q+b=log62+log63=log66=1,故A正確；

對于選項B,由a+匕=1工2改可得（又QHb,等號不成立），所以abvL故B正確：

44

對于選項C,由a?+川=（。+by-2ab=1-2ab,由ab<可得a?+/?2>l-2x-=-,所以a?+b2>

442

p故c錯誤：

對卜選項D,因為3>46,所以b=log63>log6,6=log662=：,故D錯誤.

【變式訓練1-3]（多選題）若a>0,匕>0,a+b=l,則（）

A.ab<-B.y/a+\/b<1C.a+In/?<0D,ca+b<2

4

【答案】AC

【分析】利用給定條件結合基本不等式判斷A,C：利用構造函數，求導，利用單調性進行判斷B,D.

【詳解】對于A項，因a>0,b>0,且a+b=l,則有血工（學/1

當且僅當a=b=中寸取"=”，A止確；

對于B項，因a>0,b>0,]].a+b=1,則（迎+C）2=a+b+=1+W1+2J=2,

得、0+VFw遮，則B錯誤；

對于C項，因a>0,d>0,且Q+b=l,則a=l-b,

得G+\nb=1—b+\nb,0<b<1,

設/（》）=1—x+1nx,0<x<1,

得/。）=_i+：=?>o,得函數/（%）在（0,1）上單調遞增，

得/（%）</（I）=0,得1-x+Inx<0,

即1—b+lnbVO,得a+InbV0,故C正確；

對于D項，ea+b—2=ea+l—a—2=ea—a—l,0<a<l.

令g（x）=ex-x-1,0<x<1,

得/（x）=ex-1>0,得函數g（x）在（0,1）上單調遞增，

得9（x）>9（。）=。，得eX—x—l>0,即故D項錯誤?

【變式訓練1-4](多選題)已知a>b>0,c>0,則下列不等式成立的是()

A1/1Db+c、b

A.-a<-bB.——a+c>-a

C.ca>cbD.(a+?4

【答案】ABD

【分析】利用作差法來比較大小可判斷AB,利用指數函數單調性可判斷C,利用基本不等式可判斷D.

【詳解】因為Q>b>0,所以工一9=二<0,即1故A王確；

ababab

因為a>b>0,c>0,所以空一2=竺手華生=穌>(),

a+ca(a+c)a(a+c)a

即空〉e,故B正確；

a+ca

因為c>0,不能確定指數函數y=c*是增函數，即ca>c>不一定成立，故C錯誤；

因為a>0,c>0,所以(a+-)?(-+c)=2+QC+—>2+2Icic,一=4,

\c/\a/ac、ac

當且僅當ac=1時取等號，即(a+3.C+c)N4,故D正確；

故選：ABD

A題型2配湊定值求最值(拆項、配系數)

|例2-11已知工>0,y>0,且3x+y+xy=9,則3x+y的最小值為()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】直接由基本不等式的變形不等式好式(學了可得關于3%+y的一元二次不等式，進而可得最小值.

【詳解】因為％>0,y>0,且3x+y+xy=9,

由基本不等式得9=3x+y+^-3x-y<3x+y+|，當且僅當3%=y時等號成立，

即(3x+y)2+12(3%+y)-108>0,得[(3%+y)-6][(3x4-y)+18]>0,因為%>0,y>0,所以3x+y>

6.

由3%=y代入3x+y+xy=9,解得％=l,y=3,

因此當％=l,y=3,3%+y的最小值為6.

例2-21新考法j~|(2026.河北滄州二中?預測(一))已知實數皿鹿滿足巾2+九2=87八一"，則等粵的最

----------------------V8m-12

大值為.

【答案】V3

【分析】設點P(m,r0,由已知等式可得到點P在以點(4,0)為圓心.2為半徑的I員I上，將等縹整理為井方+

V8m-12vm2+n2

看到和的平方和為1,故設各q=cos仇則=sin仇結合圖形得到￡8<

vm2+n2Vm2+n2vm2+n2vm2+n2Vm2+n26

g利用正弦函數的圖像和性質得到所求的取值范圍.

6

【詳解】由m2+n2=8m—12,可得（m—4/+彥=%

設點P（m,n），則點P在以點M（4,0）為圓心，2為半徑的圓上,

3斤卜1m+V?n_m+bn_m叵n

「V8m-12y/m2+n2y/m2+n24m2+n2*

根據幾何意義設7"=cos。，則74=sine,

過點。作圓M的切線，與圓M交于點P,

此時sin4PoM乙POM=

MO426

故-三

oo

所以售里^=cos。+V3sin0=2sin（0+

v8m—12\6z

因為一乙二。三二所以一乙+=&。+=&2+三，即0W。+乙工三

666666663

所以0三$訪（8+2）工,，所以0工25口1（8+￡）工'75'

故最大值為VI

方法技巧

拆頂法（湊和為定值）：

k

適用：x+-----型;

x-m

攵Ak

操作：x+-----=(x-ni)H-------+w,此時(x-m)------=k為定值。

x-mx-ntx-in

配系數法（湊積為定值）：

適用：x（k-mx）型;

操作：x(k-nix)=—?mx(k-nix),此時mx+(k-mx)=k為定值。

m

分離常數法:

2

適用：—型;

x-\

操作：將分子配成分母的倍數+常數，轉化為整式+分式形式。

易錯分析

1.拆項時漏加常數項，導致結果偏小；

2.配系數時漏乘倒數，導致結果擴大或縮小；

3.等號條件不在定義域內，未改用函數單調性:

4.混淆和定與積定的應用場景，湊錯定值類型。

【變式訓練2-1?變載體】（多選題）已知離散型隨機變量f的分布列如表所示.其中Q>0,b>0.且E（f）=0.3,

則下列說法正確的是（）

-1012

b

P0.2Ca

2

【答案】ACD

【分析】由分布列期望的計算公式，可得Q+b=；,再結合基本不等式，逐項判斷即可.

【詳解】由期望的計算公式可得EG）=-0.2+Q+b=0.3,得Q+b=g.

對于A：因Q>0,b>0,則a匕&七竺=￡,當且僅當a=b=即寸，等號成立，故A正確；

對于B：由a+b=g可得M+力2=（a+b）2—2ab=：-2ab,又由A可知，ab<

故G?+川=：-2ab之J,當且僅當a=b=；時，等號成立，故B錯誤；

484

對于C：因Q+b=則￡+￡=2x（+》（Q+b）=2x（5+：+3N2x（5+4）=18,

當且僅當竺=三，即。=；k=:時，等號成立，故C正確；

ab36

對于D：令4-a=%,1-b=y,則Q=4—=1-y,則*-+==，"口+J+2.―5,

JJ4-c1-bxyxy

則又因為Q+b=j故％+y=5-（a+b）=I，

故？+；—5=-《+》（％+30—5=念（17+子+》-52打（17+8）—5=也

當且僅當坨=3即a=j=白時，等號成立，故D正確.

xy51u

【變式訓練2-2?】已知》>0,y>0,且％+2y-2xy=0,則x+2y的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】先將％+2y—2%y=0變形得：+最=1,然后用力”的代換與％+2y相乘，化簡整理后再利用基本

不等式即可求出最小俏.

【詳解】由x+2y-2xy=0,得+郎=1,

所以x+2y=(x+2y)G+5=2+§+/N2+2j^=4，

當且僅當?=或時，即％=2y時等號成立，將其代入％+2y-2孫=0,解得x=2,y=l,

所以x+2y的最小值是4.

【變式訓練2-3](多選題)已知正實數％y滿足：x+2y=1,下列說法正確的是()

A.0<y<jB.xy<^

C.-+->4+2\/2D.x24-4y2<

xy'2

【答案】AB

【詳解】對于A選項，因為x,y是正實數，所以％=1-2y>0,則y<

又因為y>0,所以Ovyvg,

故A選項正確.

對于B選項，根據基本不等式，x+2y>2jx-2y=2y/2xy,

已知％+2y=l,代入得IN2j旃，

兩邊平方得1>8xy,即xy<

等號成立當且僅當x=2y,結合x+2y=l,解得x=%丁=%

故B選項正確.

對干C選項，-+-=(x+2y)f-+-)=1+-+—+2,

xy\xy/yx

則因為％y均為正實數，所以由基本不等式得土+型Z2p二型二2/，

yxylyx

所以“+—>3+2^2>

xy

故C選項錯誤.

對于選項D,x2+4y2=(%4-2y產—4xy=1-4xy

由選項B知xyW；,所以一

82

因此，x24-4y2=1-4xy>1—11

2

即一+4y>p故D選項錯誤.

【變式訓練2-4】已知正實數a,滿足Qb+Q+b=8,則好的最大值是.

【答案】4

【詳解】因為a,b為正實數，由基本不等式可得a+bN2a石，當且僅當a=b時等號成立；

正實數a,b滿足Qb+a+b=8,得Q+b=8—ab,代入上述不等式可得：8-ab>2y/ab,

令t=由a/>0得t>0,不等式轉化為：8-t2>23整理得12+2t-8<0,即(t+4)(￡-2)<0,

因為t>0,所以t+4>0,因此t-2WO,即tW2,故病工2,

得0<abW4,當且僅當Q=8=2時等號成立，因此a匕的最大值為4.

A題型3"1的代換”求最值

圓」引(陜西省鎮安中學2026屆高三模擬)已知函數/'(%)=5/+%,正數a/滿足/?(a)+f(b-l)=O,

則工+，的最小值為()

ab

A.2B.5C.8D.9

【答案】D

【詳解】因為函數"%)=5如+%的定義域為R,/(-X)=5(-x)3-x=-(5x3+x)=-/(x),所以/W是

奇函數；

乂/(Q)+/(d-l)=0,所以/'(a)=-f(b-1)=/(I-b)t

又/'(x)=15/+i>o,所以fQ)在R上單調遞增，所以a=l-b,即a+b=l；

又均為正數，所以}+3=(X)(a+b)=T+等+5Z2斤亨+5=9,

當且僅當2時，即Q=；,匕=；時等號成立，

ab33

故」+：的最小值為9,故D正確.

ab

例3-21已知實數-4,y>0,且滿足“4X2+1—2%)(Jy2+2y+2-y-l)=l,則一即勺最小值

為()

A.5B.3+20C.3+4aD.9

【答案】B

[詳解】因為(>/4%2+1-2x)(Jy2+2y+2-y-1)=1,所以

“432+1—2x)”4X2+1+2x)(^Jy2+2y+2-y-1)(Jy：+2y+2+y+1)

=“4%2+1+2x)(Jy2+2y+2+y+])

得(>/4%2+i+2x)(Jy2+2y+24-y+1)=1,即(J(2x)2+1+2%)Q(y++1+(y+l))=1

構造函數/'(。=五7言+1./?()=舟+l>0恒成立，所以/Xt)單調遞增.

因為/⑷?/(-0=(Vt7TT+ocVF7TT-1)=i,

因此原等式可寫為f(2%)/(y+l)=l=f(2x)-f{-2x)

由/(t)單調遞增可知f(y+1)=f(-2x),ftfcy4-1=-2x,即2%+y=-l,

即2(%+l)+y=1

因為x>一1,y>0,所以2(x+1)>0,

所以左+>島+3〔2(%+1)+力=*+爐+322舟雪+3=2&+3

當且僅當±二22，即y=在(％+1)時等號成立，此時“-乎/二/一1均滿足%的條

X"Tkyn

件，因此最小值為3+2企.

方法技巧求代數式范圍的規范步驟

標準解題模板：

1.變形定值：將ma+nb=k化為+汕=1:

k

2.整體乘1：所求代數式乘以

k

3.展開配湊：展開得到”整式+可均值分式”；

4.用基本不等式求最值，驗證等號條件。

變形技巧：若已知一+—=1,直接將px+qy乘以(一十一)即可。

xyxy

易錯分析范圍擴大問題

1.乘錯“1”的形式，未使用已知的定值條件；

2.展開時乘法分配律應用錯誤，導致系數錯誤；

3.聯立方程求解等號條件時計算錯誤；

4.多次使用基本不等式，未保證所有等號同時成立。

【變式訓練3-1】(湖南株洲市第二中學2026屈高三全真模擬)已知m,nW(0,+8『2m+n"=1,則

mn

的取值范圍是()

A.(0,+8)B.[V2+l,+oo)C.K+oo)D.[2遮+1,+8)

【答案】D

【分析】利用已知條件2m+ri=l對所求表達式變形，結合基本不等式求最小值，即可得取值范圍.

【詳解】Vm,n6(0,4-co),2m+n=1

../+人二+工=二+2+122匕至+1=2或+1,

7Knmnmnymn

當且僅當n=即m=l—n=—1時等號成立.

T+:的取值范圍是[2迎+1,4-00).

【變式訓練3-2】已知%>0,40且％+丫=1,則：+即勺最小值為()

A.5B.6C.7D.9

【答案】D

【分析】采用的代換構造基本不等式適用形式，求解目標式的最小值.

【詳解】-+-=(-+-)(x+y)=l+-+-+4=5+^+->5+2=5+4=9,

xyvxyxyyjxy

當且僅當滬岸即y=2%,結合x+y=l解得當且僅當％=}y=：時取等號，

因此2+士的最小值為9.

Xy

【變式訓練3-3】已知，y均為正數,且x+2y=4,則/押最小值為

【答案】2

【來源】上海交通大學附屬中學2026屆高三第二學期考前自測數學試題

【詳解】因為％+2y=4,所以：+微=1.

|+j=(|+^)xl=(|+^)x0+^)=l+^4-^>l+2J|x^=2,當且僅當％=2,y=1時等號成立.

A題型4特殊情況處理(含負數、等號取不到)

|例4-1|已知函數f(x)=x+-tx<0在定義域內有最大值，則實數。的取值范圍是()

—X+Q,X>0

A.[6,4-oo)B.(-oo,-6]C.(-co,3]D.[3,4-co)

【答案】B

【詳解】當x<0時，x+(=—[(—%)+5]W—6,

當且僅當一％=2,即％=-3時，等號成立.

-X

由對勾函數的性質可得，/(%)在(-8,-3]上單調遞增，在[一3,0)上單調遞減.

當x>0時,函數f(%)=-x+Q單調遞減，fix')<a.

函數/'(%)在定義域內有最大值，則。工-6,即實數a的取值范圍是(-8,-6].

例4a(多選題)下列不等式正碓的是()

A.V6-V3<V5-V2B.sin2%+$的最小值是4

sinx

2

C.若ovaVI,則:+匕24D.0<10g2(-x4-4x)<2

【答案】AC

【分析】根據前-必=占，V5-V2=7=^=,結合不等式的性質可判斷A；根據對勾函數的單調性及

正弦函數的值域可判斷B；利用基本不等式可判斷C；利用對數函數的單調性可判斷D.

【詳解】對于A：瓜-陋=高，相-五=日式

因為%+代>花+魚，所以‘三帝丁V忑:友即乃一BV西一女，故A正確；

對于B：0<t=sin2x<1,y=￡+g在(0,1]上單調遞減，

所以當t=l時，t+g取得最小值為5,故B錯誤；

對于C:因為0VQV1,所以一1<一。<0,所以0V1-QV1,

所以T+±=G+士)[。+(1一。)]=1+?+±+1?2+2=%

當且僅當匕=，-，即時等號成立，所以工+二-工4,故C正確；

al-a2a1-a

對于D：-x2+4x>0,U[Jx2-4x<0,x(x-4)<0?解得0Vx<4,

即n=—x2+4x=—(x—2)2+4,當0<%V4時，0VmW4.

2

又因為y=log2?n為增函數，所以Iog2/n=log2(-x+4x)<log24=2,故D錯誤.

故選：AC.

方法技巧

1.含負數的處理：換元轉化為正數，注意不等號方向改變；

2.等號取不到的處理：改用對勾函數單調性或導數求最值。

易錯分析

1.負數直接使用基本不等式，未改變不等號方向：

2.等號取不到時仍用基本不等式的結果；

3.對勾函數的單調性記反，導致最值求錯；

4.換元后未重新確定新變顯?的定義域。

【變式訓練4-1?變載體】(重慶市七校聯盟2026屆高三考前聯合診斷)已知數列｛的｝滿足斯+】=$，％=1，

數列｛b｝滿足瓦=1，%一b_1=26之2)，則數列｛殳詈｝的最小值為.

【答案】胃

4

【分析】先對口工的遞推式取倒數構造等差數列求上，再用累加法求｛4J的通項，最后轉化為對勾函數求正

an

整數范圍內的最小值.

【詳解】因為冊+1=/、，%=1，顯然與00，

對遞推式兩邊取倒數得：-=^1=2+-,即二一一工二2,neN\

Qn+1ananfln+l

所以數列｛^｝是首項為2=1，公差為2的等差數列，

因此j=1+2(n-1)=2n—lfnGN*.

又因為瓦=1,n>2時兒—b_!=—=2n—1,即%-b；T=2n-1

nan1

由累加法得:(b2—瓦)+(b3—b2)+…+(bn-bn-i)=3+5+???+(2n—1)?

bn-b1=3+5+…+(2n—1),%=1+3+5+…+(2n—1)=?

驗證n=l時，瓦=l?=1符合上式，故%=n2,neN*.

n+13.13〃…*

令d—----=n4—,nGN,

n------n

因為函數、=%+/在(0,g)上單調遞減，在(g,+8)上單調遞增，3</瓦<4.

所以數列3｝在｛123｝上單調遞減,在｛4,5,6,…｝上單調遞增，

因此當1工幾工3時數列｛。｝取得最小值。3=?，當"24時，數列｛.｝取得最小值。4=?，且

3434

因此，當n=4時數列｛%｝取得最小值

【變式訓練4-2?變考法】已知直線上％-1=0與圓。:/+y2=1相切于點7,A是圓。上一動點，點P滿足P。1

OA,且以P為圓心，PA為半徑的圓恰與，相切，則當cos4P7。取最小值時，點尸的坐標可以為.

【答案】(-1,&)或(-1,-V5)

【分析】設P(%y),根據條件，列出等式，可得點P的軌跡方程，再設PQoJo)，根據三角函數的定義，可

得cos4P70的表達式，化簡整理，結合基本不等式，即可得答案.

【詳解】設P(X,y)，則無工0,直線，：無=1與圓0：/+y2=1相切于點丁，則7(IQ),

由以P為圓心，P力為半徑的圓恰與I相切，

可得反—1|=\PA\=十OP)=qX?十y［十1,

化簡可得y2=-2x,且％H0.

再設P(%,yo),則羽=-2x0(x0<0),

則6的。=皆|1-Xol|l-￡ol

2

Ja°_i)2+M^X-D-2X1+一

00°X。

由千對勾函數y=x+：a<0)在丫G(一8,-1)上單調遞增，在Xe(一1,0)上單調遞減，

所以當&=一1時，&+三有最大值-2,則cos乙PT。取得最小值，

x0

此時p(—l,⑨或p(—l,-⑨.

【變式訓練4-3?變考法】己知實數居y滿足陽-2y\+\y-x\=\2x-y|且y*0,則聶藍扁的最大值是

【答案喔

［分析］根據絕對值的性質分析可知(3x-2y)(y-x)>0,可解;I5的范圍，再將該急不轉化為關于:的

式子，再結合基本不等式，即可得解.

【詳解】由|3x-2y|+|y-無|=|2x-y|=|(3%-2y)+(y-%)|可知，(3x-2y)(y-x)>0,不等式兩

邊時乘以忘得(字—2)(1一夕20,解得岸濤1.令"：，即：W￡W1.

'以9/+3xy+4y2—費/一年.2辰+3-15,

當且僅當9"會即"廣軻，等號成立，

故的最大值是上

9x2+3xy+4y215

I?題型5基本不等式實際應用

例"1］如圖，某社區要建一座八邊形的休閑場所，它的主體平面圖是由兩個相同的矩形A8CO和EFGH構

成的面積為200m2的十字形地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為4200元/n?；在四個相同的

矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為210元/m?；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造

價為80元/nF.設總造價為S（單位：元），則當總造價S最小時，AO的長度為（）

A.2>/T0mB.V10mC.10mD.10>/2m

【答案】B

【分析】設^。二:^^以^二^^^根據十字形地域的面積，得出匕y的關系式，進而求出各個圖形的面積，將

各個區域造價相加，求得總造價，結合基本不等式，即可求得總造價最小值和取最小值時4。的長.

【詳解】設4。=xm,DQ=ym,

則產+4%、=200,所以y=2°：：'",

2

所以S=4200/+210-4xy+80-2y=38000+4000/+122222,

因為％>0,y>0,即空叱>0且x>0,解得0<xV10jL

,4x

所以S=38000+4000/400000<%<如企

+X2

故S=38000+4000x2+”竽>38000+2UoOOx2?=118000

X27X2

當且僅當4000/="等，即％=舊時，等號成立，

X2

所以當x時，該休閑場所的總造價最小，最小值為118000元.

故選：B

而習1471年米勒向諾德爾教授提出了一個有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根豎直的懸桿呈現最

長？我們把地球表面視為平面跖懸桿視為直線/上兩點A,8間的連線，則上述問題可以轉化為以下的數

學問題：如圖1所示，直線/垂直于平面a,直線/上有兩點A,3位于平面a的同側，求平面二一點。，使

得，力C8最大.建立如圖2所示的平面直角坐標系.若A,B兩點的坐標分別為（0,8）,（0,4）,點。的坐標為

(c,0),則當乙4cB最大時，C的值為()

【答案】D

【分析】根據兩角差的正切公式，結合基本不等式進行求解即可.

4

【詳解】由題意得知N/1CB是銳角，Kz/ICF=Z,OCA-/.OCB,而tan乙。C4二月,tanzOCS=一，

CC

所以tan乙4cB=tan(z.OCA-Z.OCB)=

而c+軍Z2V32=8vLtanz/lCB=4/40

c短工赤二7

當且僅當。="，即C=4立時，等號成立,

C

所以當c=4立時，tanN4c8=—,此時乙4cB最大,

4

故選：D

方法技巧

建模解題四步走：

I.設變量：根據題意設出合適的變量(通常設長、寬、產量為X)：

2.列關系式：建立目標函數和變量的取值范圍；

3.求最值：利用基本不等式求最值，驗證等號條件；

4.作答：將數學結果轉化為實際問題的答案。

易錯分析

1.忽略實際意義對變量的限制(如長度為正、墻長限制)；

2.目標函數建立錯誤，導致成本、利潤計算錯誤；

3.等號條件不符合實際，未改用函數單調性；

4.單位不統一，導致計算結果錯誤。

【變式訓練5-1】已知正三棱錐的各頂點都在體積為36冗的球面上，正三棱錐體積最大時，該正三棱錐的高

為.

【答案】4

【分析】根據錐體與外接球的性質，結合棱錐的體積公式以及基本不等式的三維形式進行求解即可.

【詳解】根據題意可得，正三棱錐的外接球的半徑R=3,

設正三棱錐的底面邊長為2V3a.高為九，

則正三角形的外接圓的半徑為2Q,所以(2a)2+(h—R)2=R2,

即4a2+(九一3尸=9，所以4a2=9-(h-3)2=h(6-h),he(0,6),

又正三棱錐體積為

11廣、W廣.?,V3

-x-x(2V3a)2x—x/i=V3az/i=—x4azh=—/i(6-/i)h

D乙乙**

3

=^(12-2/l).h.h<^x(i^^)=8V3,

當且僅當12—2h=h即h=4時，等號成立，

所以當正三棱錐體積最大時，該正三棱錐的高為4.

故答案為4

【變式訓練5-2】某夏令營在△/IBC區域內活動，三個內角滿足2sin4+sin8=3sinC.

(1)求cosC的最小值；

(2)夏令營活動組織者要求在4點集合，設小明從8點出發準時到達4點的概率為p,小紅從C點H發準時到達

4點的概率為q,兩人是否準時到達力點互不影響，已知兩人中有且僅有一人準時到達力點的概率為0.52,至

少有一人準時到達/點的概率為0.76,求|p-q|的值.

【答案】(I吟二

(2)0.2

【分析】(1)先設三邊，利用正弦定理把角條件轉成邊的關系.再代入余弦定理表示出cosC,最后用基

本不等式求最小值。

(2)按獨立事件的概率公式列方程組，先求出p+q和pq,再由(p-(/y=(p+q)2-4pq,求出|p-q\.

【詳解】(1)設△ABC的內角48,C的對邊分別為a,b,c.

由2sin力+sinB=3sinC,根據正弦定理，得2a+b=3c,即c=以上，

由余弦定理，得cosC==點管+第-京

因為(+膽所以cosCN陪，

ba9

當個=藝，即b=半Q時，上式等號成立，

ba4

此時，b<a,于是b<cva,b+c-Q=q-％>0,

因此，cosC的最小值為普馬

(2)設事件M=”小明準時到達A點”，事件N