2025-2026學年人教A版高中數學選擇性必修第三冊單元測試：第七章 隨機變量及其分布

第七章隨機變量及其分布

（范圍：第七章時間：120分鐘分值：150分）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的

選項中，只有一項符合題目要求.

1.下表是離散型隨機變量X的分布列，則常數。的值是（）

X3459

a11

P+a

2626

A-6B-12

C.3D.9

2.甲、乙兩顆衛星同時獨立地監測臺風.在同一時刻，甲、乙兩顆衛星準

確預報臺風的概率分別為0.8和0.75,則在同一時刻至少有一顆衛星準確預報的

概率為（）

A.0.95B.0.6

C.0.05D.0.4

3.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的

同學愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學生中隨機調查一名同學，若該同學愛好

滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.6

C.0.5D.0.4

4.已知隨機變量X?06,，，則。（2X+1）等于（）

A.6B.4

C.3D.9

5.同時擲紅、藍兩枚質地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數之和

為5"，事件B表示“紅色骰子的點數是偶數”，事件C表示“兩枚骰子的點數

相同”，事件。表示“至少一枚骰子的點數是奇數”.給出下列說法：①A與C

互斥;②8與。對立;③A與。相互獨立;④B與C相互獨立.其中正確的是（）

A.B.①④

C.②③D.②④

6.若隨機變量〃的概率分布列如下：

-2-10I23

P().1().20.2().3().1().1

則當尸(〃<x)=OS時，實數丫的取值范圍是()

A.xWlB.KW2

C.K2D.K<2

7.設某醫院倉庫中有10盒同樣規格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2

盒分別是甲廠、乙廠、丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產的該種X光片的次

品率分別為心七焉.現從這10盒中任取1盒，再從這盒中任取1張X光片,

則取得的X光片是次品的概率為()

A.0.08B.0.1

C.0.15D.0.2

8.某次排球比賽的規則是5局3勝制(無平局)，甲隊與乙隊進行比賽，甲

隊在每局比賽中獲勝的概率都為早前兩局中乙隊以2：0領先，則最后乙隊獲勝

的概率是()

48

-

9B.

A.27

-19-40

r—D—

J2781

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選

錯的得。分.

9.設隨機變量X?M4，片)且P(XVl)=g,P(X>2)=p,貝ij()

A.正態曲線關于直線x=l對稱

B.P(XVO)=P(X>1)

C.o=

D.P(0<X<1)=~/?

10.節日期間，某種鮮花進貨價是每束2.5元，銷售價是每束5元；節日賣

不出去的鮮花以每束1.6元處理.根據前五年的銷售情況預測，節日期間這種鮮

花的需求量X的分布列如表所示，則()

X200300400500

P0.200.350.300.15

A.P(X>400)=0.45

B.E(X)=340

C.Q(X)=754

D.進這種鮮花500束，利潤的均值為706元

11.有3臺車床加工同一型號的零件，第1,2,3臺車床加工零件的次品率分

別為6%,5%,4%,加工出來的零件混放在起.已知第1,2,3臺車床加工的零件

數的比為5：6：9,現任取一個零件，記事件A尸”零件為第i臺車床加工”(，

=1,2,3),事件8="零件為次品“，則()

A.尸(4)=0.25B.P(用42)=(

C.P(B)=0.048D.P(Ai|8)=專

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設尸(川8)=。(仇4)=*P(A)=|,則尸(3)等于.

13.袋中有除顏色外其余均相同的4個紅球、3個黑球，從袋中任取4個球，

取到1個紅球得1分，取到1個黑球得3分，設得分為隨機變量X,則P(XW6)

14.在等差數列｛%｝中,04=2,-=-4,現從｛為｝的前10項中隨機取數,每

次取出一個數，取后放回，連續取數3次.假設每次取數互不影響，那么在這3

次取數中，取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概率為.(用數字作答)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.(13分)在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.從這

10件產品中任取3件.求:

(1)取出的3件產品中一等品件數X的分布列；

(2)取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率.

16.(15分)一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有5個路口，假設

他在各個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是去

(1)設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數，求X的分布列、期望、方差；

(2)設Y為這名學生在首次遇到紅燈前經過的路口數，求丫的分布列；

(3)求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率.

17.(15分)(2024.北京卷)某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況,

從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情

況，獲得數據如下表：

索賠次數01234

保單份數800100603010

假設：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8

萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.

假設不同保單的索賠次數相互獨立，用頻率估計概率.

(1)估計一份保單索賠次數不少于2的概率.

(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.

①記X為一份保單的毛利潤，估計X的數學期望E(X)；

②如果無索賠的保單的保費減少4%,有索賠的保單的保費增加20%,試比

較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與①中E(X)估計值的大小.(結

論不要求證明)

18.(17分)(2024?新課標全國II卷)某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩

名隊員組成.比賽具體規則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3

次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績為0分；若至少投中一次，則該隊進入第

二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中

得0分，該隊的比賽成績為第二階段的得分總和.

某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p,乙每次投中的

概率為4，各次投中與否相互獨立.

(1)若〃=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不

少丁5分的概率.

(2)假設0<p<q.

①為使得甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率最大，應該由誰參加第一

階段比賽？

②為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段

比賽?

19.(17分)投擲四枚不同的硬幣A,B,C,D,假定A,B兩枚正面向上為概

率均為:，另兩枚C,D為非均勻硬幣，正面向上的概率均為。把這四

枚硬幣各投擲一次，設X表示正面向上的枚數.

(1)若A,B出現一枚正面向上、一枚反面向上與C,D出現兩枚正面向上的

概率相等，求。的值；

(2)求X的分布列及數學期望(用a表示).

第七章隨機變量及其分布

(范圍：第七章時間：120分鐘分值：150分)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的

選項中，只有一項符合題目要求.

1.C解析：由題意可得\=1,解得

2.A解析：(方法一)在同一時刻至少有一顆衛星準確預報可分為：①甲準

確預報，乙沒有準確預報；②甲沒有準確預報，乙準確預報；③甲準確預報，乙

準確預報.這三個事件彼此互斥，故至少有一顆衛星準確預報的概率為0.8X(l

-0.75)+(l-0.8)X0.75+0.8X0.75=0.95.

(方法二)“在同一時刻至少有一顆衛星準確預報”的對立事件是“在同一

時刻兩顆衛星都沒有準確預報”，故至少有一顆衛星準確預報的概率為1—(1—

0.8)X(l-0.75)=0.95.

3.A解析：記“該同學愛好滑雪”為事件A,“該同學愛好滑冰”為事件

B,

則P(A)=0.5,P(A8)=0.5+0.6—0.7=0.4,

所以P(8|A)=g^=^4=0.8.故選A.

i\/\)UQ

4.A解析：因為Z)(2X+1)=4￡>(X),Q(X)=6X：X(1—；)=*所以O(2X

+l)=4x|=6.

5.B解析：①因為兩枚骰子的點數相同，所以兩枚骰子的點數之和不能

為5,

所以A與?；コ猓虼刷僬f法正確；

②當紅色骰子的點數是偶數，藍色骰子的點數是奇數時，8與。同時發生，

因此這兩個事件可以同時發生，所以②說法不正確；

4I0341

③P(A)=石=g,P(O)=1一石=干尸(4。)=正=§,

顯然P(A)P(Q)W尸(AO),所以A與。不相互獨立，所以③說法不正確;

④p(a=,P(Q=1,p(-0=W==,

顯然P(8)P(C)=P(BC),所以8與。相互獨立，所以④說法正確.

故選B.

6.C解析：因為6(〃Wl)=0.1+0.2+0.2+0.3=0.8,P(〃W2)=0.1+0.2+

0.2+03+0.1=0.9,分以當1<XW2時，尸(〃<x)=0.8.故選C.

7.A解析：設事件Ai,A2,A3分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙

廠、丙廠生產的，8表示取得的X光片為次品，

532

P(4)=正，/42)=正，尸(A?)=俞，

尸(3|A尸十，P(B|A2)==P(B|A3)=4.

由全概率公式，得P(B)=P(4)P(B|AI)+P(A2)?P(B|A2)+P(A3)P(劇43)=沿擊

3121

+詔*百+而*布=°08?故選A.

8.C解析：最后乙隊獲勝含3種情況：(1)第三局乙勝；(2)第三局甲勝，

第四局乙勝；(3)第三局和第四局都是甲勝，第五局乙勝.故最后乙隊獲勝妁概

率〃=；+權：+傳/x：=懸故選C.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選

錯的得。分.

9.AD解析：由正態曲線的對稱性及戶(XV1)=；,知〃=1,即正態曲線

關于直線x=l對稱，于是P(XV0)=P(X>2),所以P(OVXV1)=P(XV1)-P(X

<())=P(X<1)—P(x>2)=^—/A

1().BD解析：P(X>400)=P(X=500)=().15.因為E(X)=200X().2()+

300X().35+400X0.30+500X0.15=340,所以D(X)=(200—340)2X0.20+(30()

-340)2X0.35+(400-340)2X0.30+(500—340)2X0.15=9400.

若進這種鮮花500束，則利潤的均值為340X(5-2.5)-(500-340)X(2.5-

1.6）=706（元）.故選BD.

11.ACD解析:A,B選項，事件4="零件為第，臺車床加工“(i=l,2,3),

事件3="零件為次品”，

516399

則尸(4)=5+6+9=不0(-2)=5+6+9=記P(A3)=5+6+9=20,

尸(8|4)=6%,P(B|/h)=5%,P(B|A3)=4%,故A正確，B錯誤；

C選項，尸(B)=P(A由)+P(4B)+P(A3B)

139

=尸(4)P(8|4)+P(A2)P(B\A2)+P(A3)P(8|A3)=^乂6%+行乂5%+百乂4%=

0.048,故C正確：

D選項，尸(4⑻=喘=胭儒出=寤=上故D正確.故選ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.1解析：因為P(8|A)=§票\

所以P(AB)=P(B\A\P(A)=^X^:=yf

JJvJ

\_

上、，…―(AB)61

所以P(B)=P(A|B)=1=7

2

13.H解析：P(XW6)=P(X=4)+P(X=6)

ci+cteii3

=-C?-=35-

14.解析：由44=2,47=—4可得等差教列｛〃〃｝的通項公式為如=10—

2〃(〃￡N*).｛〃〃｝的前10項分別為8,6,420,-2,-4,-6,-8,一10.由題意

2

知3次取數相當于3次獨立重復試臉，在每次試臉中取得正數的概率為卓取得

負數的概率為在3次取數中，取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概.率為

3電x(9=￡

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.

解：(1)由題意知X的所有可能取值為0』,2,3,且X服從參數為N=10,M

=3,〃=3的超幾何分布,

CWk

因此P(X=k尸

C?oU=0,l,2,3).

C9D357

所以「。=。)=而=保=五,

"XI)Go12040,

P(X_2)_&-12Q-40*

cte9i

股=3)=包=而

故X的分布列為

X0123

72171

P

244040120

(2)設“取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數”為事件A,“，治好取

出1件一等品和2件三等品”為事件Ai,“恰好取出2件一等品”為事件A2,

“恰好取出3件一等品”為事件4.

由于事件Al,Al,人3彼此互斥，且八=八1+八2+八3,

C\C\37I

而P(4)=Co=布，P(A2)=P(X=2)=m，P(A3)=P(X=3)=y2Q,

所以取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率P(A)=P(4)+

37131

P(4)+P(43)=而+而+兩=兩,

16.

解：(1)由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,4,5,且服從二項分布5(5,R

則

P(X=O)=3X(9)X停卜票

-80

P(X=i)=CiX243

P(X=2)=C?xg)2x(|)3=黑,

尸(X=3)=CgX(}X|}=翁

P(X=4)=C4義(；)義0=瑞,

p（X=5）=CgX配鈔=擊

由此得X的分布列為

X012345

328()8()401()1

rn

243243243243243243

5

-

=

3D(X)5XTX0.

。。7

（2）由于y為這名學生在首次遇到紅燈前經過的路口數，顯然丫是隨機變量,

其取值為0/23,4,5,且

p(y=o)=|,

l2

p(y=i)=Xx3-=9,

P(Y=2)=

p(y=3)=(1)44.

尸（'=4）=停）4提,

P(Y=5)=：1)=>

由此得丫的分布列為

Y012345

1481632

P

3278?243243

（3）設“這名學生在途中至少遇到一次紅燈”為事件A,

32211

則P(A)=1—P(X=0)=1—訴=詬.

17.

解：(1)(方法一：正面計算)記“隨機抽取一份保單，索賠次數不少于2”為

事件4

由索賠次數不少于2知，索賠次數為2,3,4,

“，…60+30+101001

所以P(A)=-[()()()=-^=—

(方法二：反面計算)記“隨機抽取一份保單，索賠次數不少于2”為事件A,

800+1001

則P(A)=11000=W

(2)①由題意知X的所有可能取值為0.4,-0.4,-1.2,-2.0,-2.6,

則P(X=0.4)—?QQQ=0.8,

P(X=-0.4)=]000=。/,

P(X=-1.2)=]0([0=0.06,

30

P(X=-2.O)=Y^O=O.O3,

P(X=-2.6)=]000=0°1,

故E(X)=0.4X0.8-0.4X0.1-1.2X0.06-2.0X0.03-2.6X0.01=0.122.

②如果無索賠的保單的保鞭減少4%,有索賠的保單的保鞭增加20%,這種

情況下一份保單毛利澗的數學期望估計值比①中E(X)估計值大.

18.

解：(1)甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，

乙第二階段也至少投中1次，

所以比賽成績不少于5分的概率為

P=(l-0.63)X(l-0.53)=0.686.

(2)①若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率

為人=[1一(1一p)M；

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績為15分的概率為P

乙=[1一(1一/3”

所以P甲一P乙=/一(夕一〃鄉)3—〃,+(〃一〃夕了

=(q-p)("+pq+F)+(p-q)Kp-