2026年六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)培優(yōu)講義：工程問(wèn)題（知識(shí)梳理+例題講解+提升練習(xí)）原卷版+解析

專(zhuān)題06工程問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、基本概念

工程問(wèn)題是研究工作總量、工作效率、工作時(shí)間三者之間關(guān)系的應(yīng)用題。關(guān)鍵要素：

1.工作總量：指一項(xiàng)工程的全部工作量，通常用“1”表示（當(dāng)工作量未知時(shí)），也可根據(jù)實(shí)際情

況用具體數(shù)量（如“120個(gè)零件”“300米路程”等）表示。

2.工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量，公式為“工作效率=工作總量：工作時(shí)間”，通常表示為

“每天完成幾分之幾”或“每小時(shí)完成多少個(gè)

3.工作時(shí)間：完成工作總量所需的時(shí)間，公式為“工作時(shí)間二工作總量：工作效率”。

4.核心關(guān)系：工作總量;工作效率x工作時(shí)間（變形公式：工作效率;工作總量:工作時(shí)間，工作

時(shí)間二工作總量:工作效率）。

二、核心解題方法

1.單位“1”法（基礎(chǔ)方法）

方法要點(diǎn)：當(dāng)工作總量未知時(shí)，設(shè)工作總量為單位“1”，則工作效率=1;工作時(shí)間（如甲單獨(dú)完

成需5天，甲的效率為；）。

示例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天，兩人合作需幾天？

解：設(shè)總量為1,甲效率f，乙效率二，合作效率4合作時(shí)間=12=6（天）。

1015101566

2.假設(shè)具體總量法（進(jìn)階方法）

方法要點(diǎn)：當(dāng)題目涉及多個(gè)工作量或效率時(shí)，可假設(shè)工作總量為各工作時(shí)間的最小公倍數(shù)，將

效率轉(zhuǎn)化為具體數(shù)量，簡(jiǎn)化計(jì)算。

示例：甲3天完成，乙4天完成，假設(shè)總量為12（3和4的最小公倍數(shù)），則甲效率=12=3=4,

乙效率=12+4=3,合作效率=4+3=7,合作時(shí)間=12+7=12/7（天，

3.分階段工程解法（綜合方法）

方法要點(diǎn)：對(duì)于分階段完成的工程（如先合作再單獨(dú)做、中途有人休息等），需分段計(jì)算工作

量，再根據(jù)“各階段工作量之和二總工作量”列方程或算式求解。

示例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成，兩人合作3天后甲離開(kāi)，乙還需

幾天完成？

解：設(shè)總量為1,合作3天完成（白￡）x3=i,剩余工作量=1-衿，乙需器=7.5（天）。

4.效率轉(zhuǎn)換法（復(fù)雜問(wèn)題）

方法要點(diǎn)：當(dāng)題目給出“甲做a天二乙做b天”等效率關(guān)系時(shí)，可轉(zhuǎn)化為效率比（甲效率:乙效率

=b:a）,再按比例分配工作量。

示例：甲6天工作量二乙8天工作量，甲效率:乙效率=8:6=4:3,若乙效率為3,則甲效率為4。

三、常見(jiàn)題型

1.基本工程問(wèn)題：已知工作時(shí)間，求合作時(shí)間；已知效率和時(shí)間，求總量等。

2.合作與分工問(wèn)題：多人合作、中途加入/退出、分工完成不同部分等。

3.周期工程問(wèn)題：按周期循環(huán)工作（如甲工作1天休息1天，乙工作2天休息1天），需先算

周期內(nèi)工作量，再求完整周期數(shù)和剩余工作量。

4.效率變化問(wèn)題：工作過(guò)程中效率提升或降低（如甲先按原效率做，后提速20%）,需分段計(jì)

算效率和時(shí)間。

S例題講解I

一、基礎(chǔ)題（單位法）

例1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需8天完成，乙單獨(dú)做需12天完成。兩人合作，幾天可以完成這

項(xiàng)工程的3/4?

解題步驟：

1.設(shè)工作總量為1,甲效率=1/8,乙效率4。

2.合作效率=冷喉

3.需完成工作量二3/4,合作時(shí)間二（；）-（^）=（》x（=）=￥=3.6（天）。

424455

跟蹤練習(xí)1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成，兩人合作完成全部工程需

要幾天？

答案：6天。解析：合作效率時(shí)間=1弓=6（天）。

101566

例2：修一條路，甲隊(duì)每天修全長(zhǎng)的總乙隊(duì)每天修全長(zhǎng)的弟兩隊(duì)合修5天后，還剩全長(zhǎng)的

幾分之幾？

解題步驟：

1?合作效率哈會(huì)。

2.5天完成工作量=《X5=A。

6012

3.剩余工作量二好吟。

易錯(cuò)點(diǎn)：注意“剩余工作量=總量-己完成量“，避免直接用效率減時(shí)間。

跟蹤練習(xí)2：一項(xiàng)工程，甲每天完成］乙每天完成白，兩人合作3天，完成了這項(xiàng)工程的幾分

O10

之幾？

答案：27/40o解析：合作效率3天完成為3胃。

810404040

二、進(jìn)階題（假設(shè)總量法十分階段工程）

例3：一批零件，甲單獨(dú)做需12小時(shí)，乙單獨(dú)做需15小時(shí)。若甲先做3小時(shí)，余下的由乙單

獨(dú)做，還需幾小時(shí)完成？

解題步驟：

1.假設(shè)零件總量=60（12和15的最小公倍數(shù)），則甲效率=60X2=5（個(gè)/小時(shí)），乙效率=60X5=4

（個(gè)/小時(shí)）。

2.日3小時(shí)完成=5x3=15（個(gè)），剩余=60/5=45（個(gè)）。

3.乙需時(shí)間=45+4=11.25（小時(shí)）。

跟蹤練習(xí)3：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。甲先做5天，剩下的甲乙

合作，還需幾天完成？

答案：9天。解析：設(shè)總量二60,甲效率=3,乙效率=2。甲5天完成15,剩余45,合作效率=5,

時(shí)間=45:5=9（天）。

例4：一項(xiàng)工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作12天完成。甲、

乙、丙單獨(dú)做各需幾天完成？

解題步驟：

1.設(shè)總量=60（6、10、12的最小公倍數(shù)），則：

甲+乙效率=60=6=10,

乙+丙效率=6070=6,

甲+丙效率=60：12=5。

2.三式相加：2（甲+乙+丙）=21—甲+乙+丙=10.5。

3.甲效率=10.5-6=4.5,甲時(shí)間=60+4.5=竺（天）；

3

乙效率=10.5-5=5.5,乙時(shí)間=60:5.5二詈（天）；

丙效率二105-10=0.5,丙時(shí)間=60:0.5=120（天）。

跟蹤練習(xí)4：甲、乙合作8天完成一項(xiàng)工程，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作15天完成。

甲單獨(dú)做需幾天？

答案：蔡天。解析：總量=12（）,甲+乙=15,乙+丙=12,甲+丙=8,甲效率=（15+8-12）;2=費(fèi),

時(shí)間二120q=詈=21.8（天）。

三、挑戰(zhàn)題（周期工程+效率轉(zhuǎn)換）

例5：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天，甲每工作2天休息1天，乙每工作3

天休息1天。兩人合作，從開(kāi)始到完成需多少天？

解題步驟：

1.曰周期二3夭（工作2天，休息1天），周期效率=2x1/10=1/5；

乙周期二4天（工作3天，休息1天），周期效率=3x1/15=1/5。

2.取周期公倍數(shù)12天，甲12天完成：12=3x1/5=4/5；

乙12天完成：12:4x1/5=3/5；

12天共完成45+3/5=7/5>1,說(shuō)明共天內(nèi)已完成。

3.前8天：甲工作6天（8:3=2周期余2天，工作2x2+2=6天），完成6/10=3/5；

乙工作6天（8+4=2周期，工作3x2=6天），完成6/15=2/5；

共完成3/5+2/5=1,剛好完成c

答：需8天。

跟蹤練習(xí)5：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12天，乙單獨(dú)做15天，甲每工作3天休息1天，乙每工作

5天休息2天。兩人合作，完成工程需多少天？

答案：8天。解析：甲周期4天（3工作1休息），效率捻三；乙周期7天（5工作2休息），效

率5/15=1/3。前8天甲工作6天（8-2休息=6）,完成於多乙工作5天

例6：甲、乙兩人加工一批零件，甲單獨(dú)加工需20小時(shí)，乙單獨(dú)加工需30小時(shí)。若甲先加工，

然后乙加入，兩人合作完成，共用15小時(shí)。甲單獨(dú)加工了幾小時(shí)？

解題步驟：

1.設(shè)總量=60,甲效率=3,乙效率=2。設(shè)甲單獨(dú)加工x小時(shí)，則合作(15-x)小時(shí)。

2.日單獨(dú)完成3x,合作完成(3+2)(15-x)=5(15-x)o

3.總量：3x+5(15-x)=60—>3X+75-5X=60T-2X=?15-x=7.5(小時(shí))。

跟蹤練習(xí)6：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做15天，乙單獨(dú)做10天。甲先做若干天，乙再加入，合作5

天完成，甲單獨(dú)做了幾天？

答案：2.5天。解析：設(shè)甲單獨(dú)做x天，總量=30,甲效率=2,乙效率=3。2x+(2+3)

x5=30-*2x+25=30->x=2.5°

「提升練習(xí)】

1.某蓄水池有大小兩個(gè)排水管。單獨(dú)打開(kāi)大排水管，排完水池中的水需11小時(shí)；兩個(gè)排水管

一起打開(kāi)，排完水池中的水需8小時(shí)。己知小排水管每小時(shí)排水7.5立方米，那么大排水管每

小時(shí)排水多少立方米？

2.“不是羽絨服買(mǎi)不起，而是軍大衣更有性?xún)r(jià)比！”今年這個(gè)冬天軍大衣成為了零零后大學(xué)生

們的冬季新寵。甲、乙兩個(gè)車(chē)間合作趕制一批軍大衣，15天可以完成。如果甲車(chē)間單獨(dú)做4

7

天，乙車(chē)間單獨(dú)做3天，可以完成這批軍大衣的一，現(xiàn)在由甲車(chē)間單獨(dú)做需要多少天完成?

3.制造一個(gè)零件，甲需8分鐘，乙需6分鐘，丙需5分鐘。現(xiàn)在有1180個(gè)零件的制造任務(wù)分

配給他們?nèi)耍笤谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)完成，每人應(yīng)該分配到多少個(gè)零件？

4.師徒兩人合作一件工作，要20天完成，如果讓徒弟先做8天，剩下的工作由師傅單獨(dú)做,

還要26天才能完成，師傅單獨(dú)做這件工作需要多少天完成？

5.一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨(dú)做需要36天完成,

那么如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？

6.一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下1勺工作由乙

隊(duì)單獨(dú)做15天完成。問(wèn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？

23

7.一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合干需2—天，需支付工程款2208元；乙、丙兩隊(duì)合干需37天,

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需支付工程款2400元；甲、丙兩隊(duì)合干需25天，需支付工程款2400元。如果要求總工程款

盡量少，應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)?

8.A、笈、C、Q、E五個(gè)人干一項(xiàng)工作，若A、B、。、。四人一起干需要6天完成;

若B、C、D、七四人一起干需要8天完工；若A、E兩人一起干需要12天完工。那么，

若E一人單獨(dú)干需要幾天完工？

9.放滿(mǎn)一個(gè)水池，如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3號(hào)閥門(mén)，則20分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)2,3,

4閥門(mén)，則21分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)1,3,4引閥門(mén)，則28分鐘可以完成；如果同時(shí)

打開(kāi)1，2,4號(hào)閥門(mén)，則30分鐘可以完成。問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3,4號(hào)閥門(mén)，那么多少

分鐘可以完成？

12

io,一個(gè)沒(méi)有蓋的水箱，在其側(cè)面;高和不高的位置各有一個(gè)排水孔，它們排水時(shí)的速度相

33

同且保持不變。現(xiàn)在以一定的速度從上面給水箱注水。如果打開(kāi)4關(guān)閉8,那么35分鐘可將

水箱注滿(mǎn)；如果關(guān)閉A打開(kāi)那么4()分鐘可將水箱注滿(mǎn)。如果兩個(gè)孔都打開(kāi)，那么需要多

少分鐘才能將水箱注滿(mǎn)？

H.一個(gè)水箱，用甲、乙、丙二個(gè)水管往里注水。若只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，

水箱已滿(mǎn)；若只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿(mǎn)。又知，乙管每分鐘注水量是

甲管每分鐘注水量的2倍。則該水箱最多可容納多少?lài)嵥?/p>

12.一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)單獨(dú)工作需要15天完成，由乙隊(duì)單獨(dú)工作需要12天完成，由丙隊(duì)單獨(dú)

工作需要10天完成.現(xiàn)在由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同工作了3天后，剩下的工程由丙隊(duì)單獨(dú)完

成，丙隊(duì)還需要幾天才能完成這項(xiàng)工程？

13.某車(chē)間生產(chǎn)甲、乙兩種零件，生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多12個(gè)，乙種零件全部合格,

4

甲種零件只有不合格，兩種零件合格的一共是42個(gè)，兩種零件各生產(chǎn)了多少個(gè)?

14.甲、乙、丙、丁四人一共做了37()個(gè)零件，如果把甲做的個(gè)數(shù)加1()個(gè)，乙做的個(gè)數(shù)減去

20個(gè)，丙做的個(gè)數(shù)乘2,丁做的個(gè)數(shù)除以2,四人做的零件數(shù)就正好相等，那么乙實(shí)際做了多

少個(gè)？

15.一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了

40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

4

16.王師傅加工一批零件，每小時(shí)加工120個(gè)，當(dāng)加工了全部任務(wù)的二多60個(gè)時(shí)，工作效率

降低，只有原來(lái)的75%,這樣加工完成全部零件，比計(jì)劃的時(shí)間多用了20分鐘，這批零件一

共有多少個(gè)？

17.一件工作，甲單獨(dú)完成需要30小時(shí)，乙單獨(dú)完成，需要20小時(shí)，丙單獨(dú)完成，需要40

小時(shí)，現(xiàn)在這件工作甲乙合作3小時(shí)后，甲因有事離開(kāi)了，又過(guò)3小時(shí)后，丙加入進(jìn)來(lái)，直到

工作完成，完成這件工作共用了多少小時(shí)？

18.一組割草的人要把兩片草地的草割掉，大的草地比個(gè)的大一倍.全體組員先用半天時(shí)間割

大的草地，到下午，他們對(duì)半分開(kāi)，一半仍留在大草地上，到傍晚時(shí)正好把大草地割完；另一

半到小草地去割，到傍晚時(shí)還剩一小塊，這一小塊由I人去割，正好I天割完.問(wèn)這組共有多

少人？

19.甲、乙、丙、丁四人共同生產(chǎn)一批零件，甲生產(chǎn)的占其他三人總數(shù)的，，乙生產(chǎn)的占其

14

他三人生產(chǎn)總數(shù)的丁，丙生產(chǎn)的占其他三人生產(chǎn)總數(shù)的7T.已知丁生產(chǎn)了60個(gè)，求甲、乙、

丙各生產(chǎn)零件多少個(gè)？

20.地卜.水從一個(gè)水池的四壁滲入，每小時(shí)滲入該水池的水量是固定的.當(dāng)這個(gè)水池水滿(mǎn)時(shí),

打開(kāi)A管，8小時(shí)可將水池排空；打開(kāi)B管，10小時(shí)可將水池排空；打開(kāi)C管，12小時(shí)可將

水池排空.如果打開(kāi)A、B兩管4小時(shí)可將水池排空,那么打開(kāi)B、C兩管,將水池排空需要

多少時(shí)間？

專(zhuān)題06工程問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)梳理

一、基本概念

工程問(wèn)題是研究工作總量、工作效率、工作時(shí)間三者之間關(guān)系的應(yīng)用題。關(guān)鍵要素：

1.工作總量：指一項(xiàng)工程的全部工作量，通常用表示（當(dāng)工作量未知時(shí)），也可根據(jù)實(shí)際情

況用具體數(shù)量（如“120個(gè)零件”“300米路程”等）表示。

2.工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量，公式為“工作效率=工作總量：工作時(shí)間”，通常表示為

“每天完成幾分之幾”或"每小時(shí)完成多少個(gè)

3.工作時(shí)間：完成工作總量所需的時(shí)間，公式為“工作時(shí)間=工作總量;工作效率”。

4.核心關(guān)系：工作總量;工作效率x工作時(shí)間（變形公式：工作效率=工作總量:工作時(shí)間，工作

時(shí)間二工作總量：工作效率）O

二、核心解題方法

1.單位“1”法（基礎(chǔ)方法）

方法要點(diǎn)：當(dāng)T作總量未知時(shí)，設(shè)T作總量為單位“1”，則T作效率作時(shí)間（如甲單獨(dú)完

成需5天，甲的效率為力。

示例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天，兩人合作需幾天？

解：設(shè)總量為1,甲效率二,乙效率=白，合作效率=w二g合作時(shí)間二1S二6（天）。

1015101566

2.假設(shè)具體總量法（進(jìn)階方法）

方法要點(diǎn)：當(dāng)題目涉及多個(gè)工作量或效率時(shí)，可假設(shè)工作總量為各工作時(shí)間的最小公倍數(shù)，將

效率轉(zhuǎn)化為具體數(shù)量，簡(jiǎn)化計(jì)算。

示例：甲3天完成，乙4天完成，假設(shè)總量為12（3和4的最小公倍數(shù)），則甲效率=12+3=4,

乙效率=12+4=3,合作效率=4+3=7,合作時(shí)間22K=12/7（天）。

3.分階段工程解法（綜合方法）

方法要點(diǎn)：對(duì)于分階段完成的工程（如先合作再單獨(dú)做、中途有人休息等），需分段計(jì)算工作

量，再根據(jù)“各階段工作量之和二總工作量”列方程或算式求解。

示例：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成，兩人合作3天后甲離開(kāi)，乙還需

幾天完成？

解:設(shè)總量為1,合作3天完成Mx3=l，剩余工作量=1號(hào)乙需1=7.5（天）。

4.效率轉(zhuǎn)換法（復(fù)雜問(wèn)題）

方法要點(diǎn)：當(dāng)題目給出“甲做a天二乙做b天”等效率關(guān)系時(shí),可轉(zhuǎn)化為效率比（甲效率:乙效率

=b:a）,再按比例分配工作量。

示例：甲6天工作量二乙8天工作量，甲效率:乙效率=8:6=4:3,若乙效率為3,則甲效率為4。

三、常見(jiàn)題型

1.基本工程問(wèn)題：已知工作時(shí)間，求合作時(shí)間；己知效率和時(shí)間，求總量等。

2.合作與分工問(wèn)題：多人合作、中途加入/退出、分工完成不同部分等。

3.周期工程問(wèn)題：按周期循環(huán)工作（如甲工作1天休息1天，乙工作2天休息1天），需先算

周期內(nèi)工作量，再求完整周期數(shù)和剩余工作量。

4.效率變化問(wèn)題：工作過(guò)程中效率提升或降低（如甲先按原效率做，后提速20%）,需分段計(jì)

算效率和時(shí)間。

［例題講解1

一、基礎(chǔ)題（單位〃r法）

例1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需8天完成，乙單獨(dú)做需12天完成。兩人合作，幾天可以完成這

項(xiàng)工程的3/4?

解題步驟：

1.設(shè)工作總量為1,甲效率=1/8,乙效率

2.合作效率W+9三。

3.需完成工作量=3/4,合作時(shí)間:4）-￡）=4）x（胃）邛=3.6（天）。

424455

跟蹤練習(xí)1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做10天完成，乙單獨(dú)做15天完成，兩人合作完成全部工程需

要幾天？

答案：6天。解析：合作效率=今9時(shí)間=1弓=6（天）。

101566

例2：修一條路，甲隊(duì)每天修全長(zhǎng)的總乙隊(duì)每天修全長(zhǎng)的弟兩隊(duì)合修5天后，還剩全長(zhǎng)的

幾分之幾？

解題步驟：

1?合作效率哈會(huì)。

2.5天完成工作量=《X5=A。

6012

3.剩余工作量二好吟。

易錯(cuò)點(diǎn)：注意“剩余工作量=總量-己完成量“，避免直接用效率減時(shí)間。

跟蹤練習(xí)2：一項(xiàng)工程，甲每天完成］乙每天完成白，兩人合作3天，完成了這項(xiàng)工程的幾分

O10

之幾？

答案：27/40o解析：合作效率3天完成為3胃。

810404040

二、進(jìn)階題（假設(shè)總量法十分階段工程）

例3：一批零件，甲單獨(dú)做需12小時(shí)，乙單獨(dú)做需15小時(shí)。若甲先做3小時(shí)，余下的由乙單

獨(dú)做，還需幾小時(shí)完成？

解題步驟：

1.假設(shè)零件總量=60（12和15的最小公倍數(shù)），則甲效率=60X2=5（個(gè)/小時(shí)），乙效率=60X5=4

（個(gè)/小時(shí)）。

2.日3小時(shí)完成=5x3=15（個(gè)），剩余=60/5=45（個(gè)）。

3.乙需時(shí)間=45+4=11.25（小時(shí)）。

跟蹤練習(xí)3：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做30天完成。甲先做5天，剩下的甲乙

合作，還需幾天完成？

答案：9天。解析：設(shè)總量二60,甲效率=3,乙效率=2。甲5天完成15,剩余45,合作效率=5,

時(shí)間=45:5=9（天）。

例4：一項(xiàng)工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作12天完成。甲、

乙、丙單獨(dú)做各需幾天完成？

解題步驟：

1.設(shè)總量=60（6、10、12的最小公倍數(shù)），則：

甲+乙效率=60=6=10,

乙+丙效率=6070=6,

甲+丙效率=60：12=5。

2.三式相加：2（甲+乙+丙）=21—甲+乙+丙=10.5。

3.甲效率=10.5-6=4.5,甲時(shí)間=60+4.5=竺（天）；

3

乙效率=10.5-5=5.5,乙時(shí)間=60:5.5二詈（天）；

丙效率二105-10=0.5,丙時(shí)間=60:0.5=120（天）。

跟蹤練習(xí)4：甲、乙合作8天完成一項(xiàng)工程，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作15天完成。

甲單獨(dú)做需幾天？

答案：蔡天。解析：總量=12（）,甲+乙=15,乙+丙=12,甲+丙=8,甲效率=（15+8-12）;2=費(fèi),

時(shí)間二120q=詈=21.8（天）。

三、挑戰(zhàn)題（周期工程+效率轉(zhuǎn)換）

例5：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天，乙單獨(dú)做需15天，甲每工作2天休息1天，乙每工作3

天休息1天。兩人合作，從開(kāi)始到完成需多少天？

解題步驟：

1.曰周期二3夭（工作2天，休息1天），周期效率=2x1/10=1/5；

乙周期二4天（工作3天，休息1天），周期效率=3x1/15=1/5。

2.取周期公倍數(shù)12天，甲12天完成：12=3x1/5=4/5；

乙12天完成：12:4x1/5=3/5；

12天共完成45+3/5=7/5>1,說(shuō)明共天內(nèi)已完成。

3.前8天：甲工作6天（8:3=2周期余2天，工作2x2+2=6天），完成6/10=3/5；

乙工作6天（8+4=2周期，工作3x2=6天），完成6/15=2/5；

共完成3/5+2/5=1,剛好完成c

答：需8天。

跟蹤練習(xí)5：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做12天，乙單獨(dú)做15天，甲每工作3天休息1天，乙每工作

5天休息2天。兩人合作，完成工程需多少天？

答案：8天。解析：甲周期4天（3工作1休息），效率捻三；乙周期7天（5工作2休息），效

率5/15=1/3。前8天甲工作6天（8-2休息=6）,完成於多乙工作5天

例6：甲、乙兩人加工一批零件，甲單獨(dú)加工需20小時(shí)，乙單獨(dú)加工需30小時(shí)。若甲先加工，

然后乙加入，兩人合作完成，共用15小時(shí)。甲單獨(dú)加工了幾小時(shí)？

解題步驟：

1.設(shè)總量=60,甲效率=3,乙效率=2。設(shè)甲單獨(dú)加工x小時(shí)，則合作(15-x)小時(shí)。

2.日單獨(dú)完成3x,合作完成(3+2)(15-x)=5(15-x)o

3.總量：3x+5(15-x)=60—>3X+75-5X=60T-2X=?15-x=7.5(小時(shí))。

跟蹤練習(xí)6：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做15天，乙單獨(dú)做10天。甲先做若干天，乙再加入，合作5

天完成，甲單獨(dú)做了幾天？

答案：2.5天。解析：設(shè)甲單獨(dú)做x天，總量=30,甲效率=2,乙效率=3。2x+(2+3)

x5=30-*2x+25=30->x=2.5°

「提升練習(xí)〕

1.某蓄水池有大小兩個(gè)排水管。單獨(dú)打開(kāi)大排水管，排完水池中的水需11小時(shí)；兩個(gè)排水管

一起打開(kāi)，排完水池中的水需8小時(shí)。己知小排水管每小時(shí)排水7.5立方米，那么大排水管每

小時(shí)排水多少立方米？

【答案】

20立方米

【分析】將水池總水量看作單位“1”，大排水管單獨(dú)排完需11小時(shí)，每小時(shí)排水效率為(■;

兩管一起排完需8小時(shí)，總效率為:。小排水管效率為總效率減去大排水管效率。根據(jù)小排水

O

管實(shí)際排水量7.5立方米/小時(shí)，求出總水量，再計(jì)算大排水管每小時(shí)排水量。

【詳解】1-11=—

1?8

8

11Ji=3

8-H-88-88

3RR

7.54--=7.5x—=220（立方米）

883

220x-i=20（立方米）

答：大排水管每小時(shí)排水20立方米。

2.“不是羽絨服買(mǎi)不起，而是軍大衣更有性?xún)r(jià)比！”今年這個(gè)冬天軍大衣成為了零零后大學(xué)生

們的冬季新寵。甲、乙兩個(gè)車(chē)間合作趕制一批軍大衣，15天可以完成。如果甲車(chē)間單獨(dú)做4

7

天，乙車(chē)間單獨(dú)做3天，可以完成這批軍大衣的一，現(xiàn)在由甲車(chē)間單獨(dú)做需要多少天完成？

【答案】30天

【分析】根據(jù)題意，甲、乙兩個(gè)車(chē)間合作趕制一批軍大衣，15天可以完成，將工作總量看作

單位“「'，所以甲、乙兩個(gè)車(chē)間合作的工作效率是如果甲車(chē)間單獨(dú)做4天，乙車(chē)間單獨(dú)做

3天，此時(shí)相當(dāng)于甲乙兩車(chē)間合作3天，甲車(chē)間單獨(dú)做一天，此時(shí)甲單獨(dú)做一天的工作效率是：

（71、

---x3,甲車(chē)間單獨(dú)做的時(shí)間=好甲車(chē)間的工作效率。據(jù)此解答。

、JV/IJJ

(7

【詳解】1+—x3

（3015

1-6

<3030J

=30（天）

答：甲單獨(dú)做需要30天完成。

3.制造一個(gè)零件，甲需8分鐘，乙需6分鐘，丙需5分鐘。現(xiàn)在有1180個(gè)零件的制造任務(wù)分

配給他們?nèi)耍笤谙嗤瑫r(shí)間內(nèi)完成，每人應(yīng)該分配到多少個(gè)零件?

【答案】甲分配到3()0個(gè)零件；乙分配到40()個(gè)零件；丙分配到480個(gè)零件。

【分析】根據(jù)工作時(shí)間x工作效率=工作總量，加工同樣的零件時(shí)，工作總量一定，工作時(shí)間

和工作效率成反比，根據(jù)時(shí)恒的比，推導(dǎo)出效率的比，再結(jié)合工作時(shí)間一定，工作效率和工作

總量成正比，從而得出三者工作量之比，從而根據(jù)工作量比將總1180個(gè)零件分配下去即可。

【詳解】甲乙丙的時(shí)間比=8：6：5

根據(jù)工作總量一定，工作效率和工作時(shí)間成反比，可得：

甲乙丙的效率比=15：20:24

當(dāng)時(shí)間相同時(shí)，工作效率和工作總量成正比

因此，甲乙丙的工作量比=15：20：24

1180=(15+20+24)=20(個(gè))

甲：20x15=300(個(gè))

乙：20x20=400(個(gè))

丙:20x24=480(個(gè))

答：甲應(yīng)該分配3()()個(gè)，乙分配400個(gè)，丙分配480個(gè)。

4.師徒兩人合作一件工作，要20天完成，如果讓徒弟先做8天，剩下的工作由師傅單獨(dú)做,

還要26天才能完成，師傅單獨(dú)做這件工作需要多少天完成？

【答案】30天

【分析】師徒兩人合作一件工作要20天完成，因此師徒的合作效率為々。如果讓徒弟先做8

20

天，剩下的工作由師傅單獨(dú)做，還要26天才能完成，可以看作師徒合作8天，師博再單獨(dú)工

13

作：26—8=18（天），由此即可求出師傅這18天的工作量為：1一元x8=不，再用師傅的工

作量除以工作時(shí)間即可求出師傅的工作效率，由此即可解決。

【詳解】|1--^X8K（26-8）

（2、

=1——4-18

I5）

=鄉(xiāng)+18

5

30

U—=30（天）

30

答：師傅單獨(dú)做這件工作需要30天完成。

5.一項(xiàng)工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨(dú)做需要36天完成,

那么如果甲、丙合作，完成這項(xiàng)工程需要多少天？

【答案】12天

【分析】丙單獨(dú)做的工作效率是上，乙、丙合作的工作效率是甲、乙合作的工作效率是

3612

先求出乙的工作效率，再計(jì)算甲的工作效率，然后求出甲、丙合作的工作效率之和，再計(jì)

9

算時(shí)間。

【詳解】我們可以有：

甲+乙乙+丙=卷，丙=卷

不難求得，乙的工作效率為因此甲的工作效率為:-工=L,從而甲丙合作的

123o1o9loIo

U—=12（天）

12

答：甲、丙合作12天能完成。

【點(diǎn)睛】本題考查的是工程問(wèn)題，合作的工作效率等于每個(gè)人的工作效率之和。

6.一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20天可以完成，甲隊(duì)做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙

隊(duì)單獨(dú)做15天完成。問(wèn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？

【答案】25天

【分析】甲隊(duì)做了8天后，剩下的工程量甲需要做12天，乙需要做15天，可以求出甲和乙的

工作效率的關(guān)系，然后計(jì)算乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需要的時(shí)間。

【詳解】20-8=12（天）

甲12天工作量等于乙15天工作量；

4

12+15=—

5

44

乙的工作效率為甲的一，乙犯做的時(shí)間為20+\=25（天）

55

答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需25天。

【點(diǎn)睛】本題考查的是工程問(wèn)題，求出甲和乙的工作效率的關(guān)系是求解問(wèn)題的關(guān)鍵。

23

7.一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合干需2—天，需支付工程款2208元：乙、丙兩隊(duì)合干需3—天，

54

需支付工程款2400元；甲、丙兩隊(duì)合干需2號(hào)天，需支付工程款2400元。如果要求總工程款

盡量少，應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)？

【答案】乙隊(duì)

【分析】根據(jù)題目給出的三種情況，可以求出甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)各自的工作效率，以及三個(gè)隊(duì)

各自的費(fèi)用，然后進(jìn)行比較即可。

25

【詳解】甲、乙一天完成工程的1?2==三；

512

34

乙、丙一天完成工程的1?3二=一；

415

甲、丙一天完成工程的1+2二=二；

720

所以，甲的工效為:

57

—_|--------4-2

1220

=r2

1

-4

乙的工效為d=（；丙的工效為W4

甲、乙一天需工程款2208?21=920（元）；

3

乙、丙一天需工程款2400+3：=640（元）；

4

甲、丙一天需工程款2400?2^=840（元）；

所以，甲一天的，程款為：

（920+840-640）+2

=11204-2

=560（元）

乙一天的工程款為920-560=360（元），丙一天的工程款為840-560=280（元）；

單獨(dú)完成整個(gè)工程，甲隊(duì)需工程款560x4=2240（元）；

乙隊(duì)需工程款360x6=2160（元）；

丙隊(duì)需工程款280x10=2800（元）；

答：應(yīng)該選擇乙隊(duì)。

【點(diǎn)睛】本題考查的是工程問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是如何通過(guò)題目給出的三種情況，得到三個(gè)隊(duì)各

自的工作效率及所需費(fèi)用。

8.A、4、C、。、E五個(gè)人干一項(xiàng)工作，若4、B、C、。四人一起干需要6天完成；

若B、C、D、E四人一起干需要8天完工；若A、E兩人一起干需要12天完工。那么，

若E一人單獨(dú)干需要幾天完工？

【答案】48天

【分析】根據(jù)題意，可以求出A、B、C、D的工作效率之和，B、C、D、E的工作效率之和，

A、E的工作效率之和，然后設(shè)法求出E的工作效率，再計(jì)算工作時(shí)間。

【詳解】從題中可以看出，A、B、C、。四人每天完成總量的!，B、C、D、E四人每

6

天完成總量的：，A、E兩人每天完成總量的上；

812

可見(jiàn)，￡的工作效率是：

=——+2

24

1

~48

所以E一人單獨(dú)干需要1+」=48天。

48

答：若E一人單獨(dú)干需要48天完工。

【點(diǎn)睛】本題考查的是工程問(wèn)題，合作情況下的工作效率等于每個(gè)人的工作效率之和。

9.放滿(mǎn)一個(gè)水池，如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3號(hào)閥門(mén)，則20分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)2,3,

4閥門(mén)，則21分鐘可以完成；如果同時(shí)打開(kāi)1,3,4號(hào)閥門(mén)，則28分鐘可以完成；如果同時(shí)

打開(kāi)1,2,4號(hào)閥門(mén)，則30分鐘可以完成。問(wèn)：如果同時(shí)打開(kāi)1,2,3,4號(hào)閥門(mén)，那么多少

分鐘可以完成？

【答案】18分鐘

【分析】1、2、3號(hào)閥門(mén)的效率之和是上；2、3、4號(hào)閥門(mén)的效率之和是1

3、4號(hào)閥

2021

門(mén)的效率之和是《；1、2、4號(hào)閥門(mén)的效率之和是'；據(jù)此可以求出1、2、3、

4號(hào)閥門(mén)的

效率之和，然后再計(jì)算時(shí)間。

【詳解】根據(jù)條件，列表如下（畫(huà)。表示閥門(mén)打開(kāi)，畫(huà)x表示閥門(mén)關(guān)閉）:

1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)工作效率

1

OOOX

20

1

X00O

21

1

OX0O

28

1

OOXO

30

從表中可以看出，每個(gè)閥門(mén)都打開(kāi)了三次，所以這4個(gè)閥門(mén)的工作效率之和為:

(1111)

(2()21283()J

=r3

1

Ti

那么同時(shí)打開(kāi)這4個(gè)閥門(mén)，需要1+±=18（分鐘）

1O

答：18分鐘可以完成。

【點(diǎn)睛】本題考查的是工程問(wèn)題，四個(gè)量任意三個(gè)相加的和再相加，得到的和是四個(gè)量之和的

3倍。

i2

io.一個(gè)沒(méi)有蓋的水箱，在其側(cè)面;高和彳高的位置各有一個(gè)排水孔，它們排水時(shí)的速度相

33

同且保持不變。現(xiàn)在以一定的速度從上面給水箱注水。如果打開(kāi)4關(guān)閉8,那么35分鐘可將

水箱注滿(mǎn)；如果關(guān)閉A打開(kāi)那么40分鐘可將水箱注滿(mǎn)。如果兩個(gè)孔都打開(kāi)，那么需要多

少分鐘才能將水箱注滿(mǎn)？

【答案】55分鐘

【分析】對(duì)比題目給出的兩種情況，求出注水的效率以及排水孔排水的效率，再分階段考慮兩

個(gè)孔都打開(kāi)時(shí)首先要的時(shí)間。

【詳解】根據(jù)題意可知，要注g水箱的水,開(kāi)一個(gè)出水孔比不開(kāi)出水孔要多用40-35=5分鐘；

那么不開(kāi)出水孔時(shí)注滿(mǎn)水箱需35-5=30分鐘；

如果一直開(kāi)一個(gè)出水孔需要40+5=45分鐘；

說(shuō)明每分鐘注水量為一個(gè)孔每分鐘排水量為

303U4390

如果兩個(gè)孔都打開(kāi)，需要：

“1?11/11八

30x-+45x-+-+------x2

333(3()90

=10+15+30

=55(分鐘)

答：需要55分鐘才能將水箱注滿(mǎn)。

【點(diǎn)睛】本題考查的是工程問(wèn)題中的注水問(wèn)題，求出注水效率和排水效率是求解問(wèn)題的關(guān)鍵。

11.一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水。若只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，

水箱已滿(mǎn)：若只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿(mǎn)。又知，乙管每分鐘注水量是

甲管每分鐘注水量的2倍。則該水箱最多可容納多少?lài)嵥?

【答案】54噸

【分析】由于乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍。那么甲管注入18噸水的時(shí)間是

乙管注入36噸水的時(shí)間，甲管注入18噸水的時(shí)間與乙管注入27噸水的時(shí)間比是4：3,也就

是這兩種情況下丙管注水的時(shí)間比為4：3,可以求出當(dāng)甲管注入18噸水時(shí)丙管注水多少?lài)?

甲管的注水量加上丙的注水量，得到總的注水量。

【洋解】甲管注入18噸水的時(shí)間是乙管注入：

18x2=36（噸）

甲管注入18噸水的時(shí)間與乙管注入27噸水的時(shí)間比是：

36:27=4:3

那么在這兩種情況下丙管注水的時(shí)間比為4:3,而且前一種情況比后一種情況多注入

27—18=9噸水；

則甲管注入18噸水時(shí)，丙管注入水：

9-（4-3）x4

=9x4

=36（噸）

18+36=54（噸）

答：該水箱最多可容納54噸水。

【點(diǎn)睛】本題將工程問(wèn)題與比例問(wèn)題相結(jié)合，當(dāng)時(shí)間一定時(shí)，工作總量與工作效率成正比例關(guān)

系。

12.一項(xiàng)工程，由甲隊(duì)單獨(dú)工作需要15天完成，由乙隊(duì)單獨(dú)工作需要12天完成，由丙隊(duì)單獨(dú)

工作需要10天完成.現(xiàn)在由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同工作了3天后，剩下的工程由丙隊(duì)單獨(dú)完

成，丙隊(duì)還需要幾天才能完成這項(xiàng)工程？

【答案】天

【分析】這一項(xiàng)工程看作單位力”，甲隊(duì)單獨(dú)工作需15天完成，甲隊(duì)工作效率應(yīng)是乙隊(duì)

單獨(dú)工作需要12天完成，乙隊(duì)工作效率應(yīng)是上，丙隊(duì)單獨(dú)工作需10天完成，丙隊(duì)工坐效率

12

1119

應(yīng)是歷，現(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)先共同工作3天，可完成這項(xiàng)工程的（百+萬(wàn)）x3=與，還剩下1

一工=三，剩下的由丙隊(duì)去完成，需要的天數(shù)

20202010

【詳解】［1一（2+］）x31^77=5i（天）

11J1.1V/

答：丙隊(duì)還需要工作5^天.

13.某車(chē)間生產(chǎn)甲、乙兩種零件，生產(chǎn)的甲種零件比乙種零件多12個(gè)，乙種零件全部合格，

4

甲種零件只有不合格，兩種零件合格的一共是42個(gè)，兩種零件各生產(chǎn)了多少個(gè)？

【答案】甲種零件30個(gè)，乙種零件18個(gè)

【分析】我們可以根據(jù)“兩種零件合格的一共42個(gè)”建立等式，可列出方程.

【洋解】解：設(shè)生產(chǎn)乙種零件為x個(gè)，則生產(chǎn)甲種零件為x+12個(gè).

4

(x+12)x—+x=42

5

42

x=18

甲種零件個(gè)數(shù)為：18+12=301個(gè))

答:甲種零件生產(chǎn)了3()個(gè)，乙種零件生產(chǎn)了18個(gè).

14.甲、乙、丙、丁四人一共做了37()個(gè)零件，如果把甲做的個(gè)數(shù)加1()個(gè)，乙做的個(gè)數(shù)減去

20個(gè)，丙做的個(gè)數(shù)乘2,丁做的個(gè)數(shù)除以2,四人做的零件數(shù)就正好相等，那么乙實(shí)際做了多

少個(gè)？

【答案】100個(gè)

【分析［此題包含了四個(gè)未知數(shù)，它們之間的關(guān)系是經(jīng)過(guò)加減乘除的運(yùn)算后，四人做的零件個(gè)

數(shù)相等，由此可以設(shè)出零件數(shù)相等時(shí)是x個(gè)，從而可以得出他們實(shí)際所做的零件個(gè)數(shù)：甲為

(x-10)個(gè)，乙為(x+20)個(gè)，丙為(x-2)個(gè)，丁為2x個(gè).根據(jù)等量關(guān)系四人所做的零件

個(gè)數(shù)之和二37(),可以列出方程解決問(wèn)題.

【詳解】解：設(shè)四人做的零件數(shù)相等時(shí)為x個(gè)，那么原來(lái)甲為(x-10)個(gè)，乙為(x+20)個(gè)，

丙為(x-2)個(gè)，丁為2x個(gè).根據(jù)題意列方程：

(x-10)+(x+20)+(X4-2)+2x=370

解得x-80

乙為：80+20=100(個(gè))

答：乙實(shí)際做了100個(gè)零件.

15.一件工作，甲、乙兩人合作3()天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了

4()天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？

【答案】甲：75天乙：50天

【詳解】共做了6天后，原來(lái)，甲做24天，乙做24天，現(xiàn)在，甲做。天，乙做40=（24+16）

天.

這說(shuō)明原來(lái)甲24天做的工作，可由乙做16天來(lái)代替.因此甲的工作效率是乙工作效率的3=2

243

2

乙獨(dú)做需時(shí)間：30+30X-=50（