2026高中數(shù)學(xué)10大導(dǎo)數(shù)：專題32　單變量恒成立端點效應(yīng)非單驗悖(學(xué)生版)

專題32單變量恒成立之端點效應(yīng)非單驗悖

考點一單變量恒成立端點效應(yīng)非單驗悖之含端點

【例題選講】

－

[例1]已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(x∈R)．

(1)當(dāng)a＝－1時，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若x≥0時，f(－x)＋ln(x＋1)≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

11

[例2]已知函數(shù)f(x)＝ex－x2－ax－1，g(x)＝cosx＋x2－1．

22

(1)當(dāng)a＝1時，求證：當(dāng)x≥0時，f(x)≥0；

(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍．

[例3]已知函數(shù)f(x)＝axln(x＋1)＋x＋1(x>－1，a∈R)．

1

(1)若a＝，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

e

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ex恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

【對點訓(xùn)練】

(2017·全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax＋1，求實數(shù)a的取值范圍．

ex

，1→→

2．已知點Px，Q(x，mx＋sinx)(m∈R)，O為坐標(biāo)原點，設(shè)函數(shù)f(x)＝OP·OQ．

(1)當(dāng)m＝－2時，判斷函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時，不等式f(x)≥1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

3．設(shè)函數(shù)f(x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

4．已知函數(shù)f(x)＝xlnx．

1，1

(1)求f(x)在32上的值域；

a

(2)對任意x∈[2，＋∞)，都有f(x－1)≤ax－x2成立，求實數(shù)a的取值范圍．

2

考點二單變量恒成立端點效應(yīng)非單驗悖之不含端點

【例題選講】

[例4]設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2．

1

(1)若a＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)若當(dāng)x＞0時，f(x)＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

[例5](2016·全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)當(dāng)a＝4時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；

(2)若當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f(x)＞0，求a的取值范圍．

sinx

[例6]已知函數(shù)f(x)＝(x≠0)．

x

π

0，

(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間2上的單調(diào)性；

π

0，

(2)若f(x)<a在區(qū)間2上恒成立，求實數(shù)a的最小值．

【對點訓(xùn)練】

5．已知f(x)＝ex－alnx(a∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)當(dāng)a＝－1時，若不等式f(x)＞e＋m(x－1)對任意x∈(1，＋∞)恒成立，求實數(shù)m的取

值范圍．

6．已知函數(shù)f(x)＝lnx(ax＋1－a)(a＞0)．

1

(1)當(dāng)a＝時，設(shè)g(x)＝f(x)－x＋1，討論g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)的單調(diào)性；

2

(2)當(dāng)x＞1時，f(x)＞x－1，求a的取值范圍．

7．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

1－

(2)確定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1x在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立(e＝2.718…為自

x

然對數(shù)的底數(shù))．

8．設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx－ax2＋(b－1)x，g(x)＝ex－ex．

(1)當(dāng)b＝0時，函數(shù)f(x)有兩個極值點，求a的取值范圍；