2026高中數學10大導數：專題15 導數中同構與放縮的應用(學生版)

專題15導數中同構與放縮的應用

同構法是將不同的代數式(或不等式、方程)通過變形，轉化為形式結構相同或者

相近的式子，通過整體思想或換元等將問題轉化的方法，這體現了轉化思想．此方法

常用于求解具有對數、指數等混合式子結構的等式或不等式問題．

當然，用同構法解題，除了要有同構法的思想意識外，對觀察能力，對代數式的

變形能力的要求也是比較高的，

考點一部分同構攜手放縮法（同構放縮需有方，切放同構一起上）

【方法總結】

在學習指對數的運算時，曾經提到過兩個這樣的恒等式：

當＞且時，有logax，當＞且時，有x

(1)a0a≠1xa(2)a0a≠1xlogaa

再結合指數與對數運算法則，可以得到下述結論(其中x＞0)(“ex”三兄弟與“lnx”三姐妹)

(3)xｅxｅxlnx，xlnxln(xｅx)

ｅxｅx

(4)ｅxlnx，xlnxln

xx

xx

(6)ｅlnxx，lnxxln

ｅxｅx

x

再結合常用的切線不等式：ｅxx1，ｅxex，lnxx1，lnx等，可以得到更

ｅ

多的結論

(7)xｅxｅxlnxxlnx1，xlnxln(xｅx)xex1．

xex

xｅxｅxlnxｅ(xlnx)，xlnxln(xｅx)＝xｅx1．

ｅ

ｅxｅxｅx

(8)ｅxlnxxlnx1，xlnxln－１

xxx

ｅxｅxｅx1

ｅxlnxｅ(xlnx)，xlnxln

xxx

xxx

(9)ｅlnxxlnxx1，lnxxln－１

ｅxｅxｅx

xxx

ｅlnxxｅ(lnxx)，lnxxln

ｅxｅxｅx1

【例題選講】

[例1](1)已知f(x)lnxxxｅx1，則函數f(x)的最大值為________．

lnx1

(2)函數f(x)ｅx的最小值是________．

x

x2ｅx2lnx

(3)函數f(x)的最小值是________．

x1

[例2](1)不等式xｅxaxlnx10恒成立，則實數a的最大值是________．

(2)不等式xｅxa(xlnx1)0恒成立，則正數a的取值范圍是________．

(3)不等式xｅxa(xlnx)0恒成立，則正數a的取值范圍是________．

(4)已知函數f(x)xbｅxalnxx1(x1)，其中b＞0，若f(x)0恒成立，則實數

a與b的大小關系是________．

(5)已知函數f(x)aｅxlnx1，若f(x)0恒成立，則實數a的取值范圍是

________．

(6)已知不等式ｅx1kxlnx，對任意的正數x恒成立，則實數k的取值范圍是

________．

(7)已知不等式axxｅaxlnx10，對任意的正數x恒成立，則實數a的取值范

圍是________．

(8)已知函數f(x)xｅxa(xlnx)有兩個零點，則實數a的取值范圍是________．

[例3](2020屆太原二模)已知函數f(x)lnxax1.

(1)若函數f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍；

(2)若f(x)xex恒成立，求實數a的取值范圍．

【對點精練】

1．函數f(x)xｅxxlnx的最小值為________．

xｅxlnx

2．函數f(x)的最小值為________．

x1

3．函數f(x)(lnxx1)ｅxx的最大值是________．

4．已知不等式xｅxa(x1)lnx，對任意正數x恒成立，則實數a的取值范圍是________．

5．已知函數f(x)xｅxｅa(xlnx1)，若f(x)0恒成立，則實數a的取值范圍是

________．

6．已知函數f(x)aｅ2xlnx1，若f(x)0恒成立，則實數a的取值范圍是________．

7．已知a，b分別滿足aeae2,b(lnb1)e3，則ab＝________．

已知是函數2x2的零點，則2x0．

8．x0f(x)xelnx2elnx0________

考點二整體同構攜手脫衣法

【方法總結】

在成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數單調性構造出來的，如

果我們能找到這個函數模型（即不等式兩邊對應的同一個函數），無疑大大加快解決

問題的速度，找到這個函數模型的方法，我們就稱為整體同構法．如，若F(x)≥0能等

價變形為f[g(x)]≥f[h(x)]，然后利用f(x)的單調性，如遞增，再轉化為g(x)≥h(x)，這種方

法我們就可以稱為同構不等式（等號成立時，稱為同構方程），簡稱同構法．

1．地位同等同構（主要針對雙變量，合二為一泰山移）

fx1－fx2

(1)>k(x1<x2)f(x1)－f(x2)<kx1－kx2f(x1)－kx1<f(x2)－kx2y＝f(x)

x1－x2

－kx為增函數；

fx1－fx2kk(x1－x2)kkk

(2)<(x1<x2)f(x1)－f(x2)>＝－f(x1)＋>f(x2)

x1－x2x1x2x1x2x2x1x1

kk

＋y＝f(x)＋為減函數；

x2x

含有地位同等的兩個變x1，x2或p，q等的不等式，進行“塵化塵，土化土”式的整理，

是一種常見變形，如果整理（即同構）后不等式兩邊具有結構的一致性，往往暗示單調性（需

要預先設定兩個變量的大小）

2．指對跨階同構（主要針對單變量，左同右同取對數）

(1)積型：

同左aea(lnb)elnb構造函數f(x)xex

三種同構方式構造函數

aeablnb同右ealneablnbf(x)xlnx

取對構造函數

alnalnbln(lnb)f(x)xlnx

mmmmm

如，2x3lnxmexx2lnx2exx2lnx2exlnｅx，后面的轉化同(1)

x

說明；在對“積型”進行同構時，取對數是最快捷的，同構出的函數，其單調性一

看便知．

(2)商型：

alnbx

ee構造函數e

同左f(x)

alnbx

aa

eb三種同構方式eb構造函數x

同右

af(x)

alnblnelnblnx

取對alnalnbln(lnb)構造函數f(x)xlnx

(3)和差：

alnb構造函數x

兩種同構方式同左eaelnbf(x)ex

eaablnb

aa構造函數

同右elneblnbf(x)xlnx

如；ｅaxaxln(x1)x1ｅaxaxｅln(x1)ln(x1)axln(x1)．

3．無中生有同構（主要針對非上型，湊好形式是關鍵）

同乘(無中生有)

(1)aeaxlnxxaxeaxxlnx，后面的轉化同2(1)；

(2)

1同加(無中生有)

exaln(axa)aexlna(x1)1exlnalnaln(x1)1xexlna+xlna

a

ln(x1)x1ｅln(x1)＋ln(x1)xlnaln(x1)；

lnx

(3)axlogxexlna(xlna)exlnaxlnx，后面的轉化同2(1)．

alna

【例題選講】

例若，則

[4](1)0x1x21

．x2x1．x2x1．x1x2

Aeelnx2lnx1Beelnx2lnx1Cx2ex1e

．x1x2

Dx2ex1e

若，都有成立，則的最大值為

(2)0x1x2ax2lnx1x1lnx2x1x2a()

１

A．B．1C．eD．2e

2

(3)已知f(x)aln(x1)x2，在區間(1,2)內任取兩實數p，q，且p≠q，不等式

f(p1)f(q1)

1恒成立，則實數a的取值范圍為________．

pq

[例5]對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的一個同構函數

kx

(1)log2xk20

m

(2)x2lnxmｅx0

1

(3)a(ｅax1)2(x)lnx

x

(4)xalnxｅxxa(x1)

(5)x2ｅxlnx0

已知不等式x，對任意正數恒成立，則實數的

[例6](1)alogax(a0,a1)xa

取值范圍是________．

(2)已知函數f(x)mln(x1)3x3，若不等式f(x)mx3ex在(0,)上恒成立，

則實數m的取值范圍是()

A．0m3B．m3C．m3

D．m0

(3)對任意x0，不等式2ae2xlnxlna0恒成立，則實數a的最小值為________．

(4)已知函數f(x)ｅxaln(axa)a(a0)，若關于x的不等式f(x)0恒成立，

則實數a的取值范圍是()

A．(0,e2]B．(0,e2)C．[1,e2]D．(1,e2]

1

(5)對任意x0，不等式a(eax1)2(x)lnx恒成立，則實數a的最小值為

x

________．

1

(6)已知不等式xalnxxa對任意的x(1,)恒成立，則實數a的最小值為

ex

()

e

A．eB．C．eD．2e

2

ln(x1)

[例7]已知函數f(x).

x

(1)判斷f(x)在(0,)上的單調性；

(2)若x0，證明：(ex1)ln(x1)x2．

－

[例8](2020·新高考Ⅰ)已知函數f(x)＝aex1－lnx＋lna．

(1)當a＝e時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

【對點精練】

x

1．已知函數f(x)ｅmlnx(mR)，若對任意正數x1，x2，當x1＞x2時，都有

f(x1)f(x2)x1x2

成立，則實數m的取值范圍是________．

ｅx

f(x1)f(x2)

2．已知函數f(x)ax，x(0,)，當x2＞x1時，不等式0恒成立，

xx2x1

則實數a

的取值范圍是()

ee

A．(,e]B．(,e)C．(,)D．(,]

22

1

3．對不等式ｅ2xlnx0進行同構變形，并寫出相應的一個同構函數．

4．對方程ｅx2xlnx0進行同構變形，并寫出相應的一個同構函數．

5．對不等式aln(x1)2(x1)ax2ｅx進行同構變形，并寫出相應的一個同構函數．