2026高中數學10大導數：專題24　極值點偏移之和(x1＋x2)型不等式的證明學生版

專題24極值點偏移之和(x1＋x2)型不等式的證明

【例題選講】

1－x

[例1](2013湖南)已知函數f(x)＝ex．

1＋x2

(1)求f(x)的單調區間；

(2)證明：當f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)時，x1＋x2＜0．

[例2](2016全國I)已知函數f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有兩個零點．

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，求證：x1＋x2<2．

1

[例3]已知函數f(x)＝x2＋(1－a)x－alnx，a∈R．

2

(1)若f(x)存在極值點1，求a的值；

(2)若f(x)存在兩個不同的零點x1，x2，求證：x1＋x2>2．

[例4]已知函數f(x)＝x－1＋aex．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1＋x2>4．

1

[例5]已知函數f(x)exx2ax（a∈R）．

2

(1)若函數fx在R上是增函數，求實數a的取值范圍；

1xx

(2)如果函數gxf(x)(a)x2恰有兩個不同的極值點x,x，證明：12ln2a．

2122

m1

[例6]已知函數f(x)＝＋lnx－1(m∈R)的兩個零點為x1，x2(x1＜x2)．

x2

(1)求實數m的取值范圍；

112

(2)求證：＋＞．

x1x2e

【對點訓練】

1．已知函數f(x)＝ex－ax－1(a為常數)，曲線y＝f(x)在與y軸的交點A處的切線斜率為－1．

(1)求a的值及函數y＝f(x)的單調區間；

(3)若x1＜ln2，x2＞ln2，且f(x1)＝f(x2)，試證明：x1＋x2＜2ln2．

2．已知函數f(x)＝lnx－ax2，其中a∈R．

(1)若函數f(x)有兩個零點，求a的取值范圍；

1

(2)若函數f(x)有極大值為－，且方程f(x)＝m的兩個根為x1，x2，且x1<x2，求證：x1＋x2>4a．

2

t

3．已知函數f(x)＝lnx＋－s(s，t∈R)．

x

(1)討論f(x)的單調性及最值；

(2)當t＝2時，若函數f(x)恰有兩個零點x1，x2(0<x1<x2)，求證：x1＋x2>4．

1

4．已知f(x)＝x2－a2lnx，a>0．

2

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，證明：x1＋x2>2a．

5．已知函數f(x)＝alnx－x2＋(2a－1)x(a∈R)有兩個不同的零點．

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1＋x2>2a．

6．已知函數f(x)＝x－aex＋b(a>0，b∈R)．

(1)求f(x)的最大值；

(2)若函數f(x)有兩個不同的零點x1，x2，證明：x1＋x2<－2lna．

a

7．設函數f(x)e2x(x1)ex(aR)．

2

1

(1)當a時，求g(x)f(x)e1x的單調區間(f(x)是f(x)的導數）；

e

(2)若f(x)有兩個極值點x1、x2(x1x2)，證明：x12x23．

8．已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)若曲線y＝f(x)與直線x－y－1＝0相切，求實數a的值；

11

(2)若函數f(x)有兩個零點x1，x2，證明：＋＞2．

lnx1lnx2

9．已知函數f(x)lnx，g(x)x2ax(a0)．

(1)討論函數h(x)f(x)g(x)的極值點；

g(x)1

(2)若x，x(xx)是方程f(x)0的兩個不同的正實根，證明：x2x24a．

1212x3x12

1

10．已知函數f(x)＝a－－lnx(a∈R)．

x

(1)若a＝2，求函數f(