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文檔簡介

專題21雙變量不含參不等式證明方法之換元法

【方法總結】

雙變量不等式的證明是導數綜合題的一個難點，其困難之處是如何消元，構造合適的一元函數．

整體換元法：若兩個變量存在確定的關系，可以利用其中一個變量替換另一個變量，直接消元，將兩

個變量轉化為一個變量．若兩個變量不存在確定的關系，有時可以將兩個變量之間的關系看成一個整體（比

x

如1等策略將兩個變量劃歸為一個變量整體換元，化為一元不等式．

，x1x2，x1x2，x1x2)

x2

[例1]已知函數f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的圖象在點(1，f(1))處的切線與直線x＋3y＝0垂直．

(1)求實數a的值；

mn

(2)求證：當n＞m＞0時，lnn－lnm＞－．

nm

2(x－1)

[例2]已知函數f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．

x＋1

(1)若函數f(x)，g(x)在區間(0，1)上均單調且單調性相反，求實數m的取值范圍；

a－ba＋b

(2)若0＜a＜b，證明：ab＜＜．

lna－lnb2

[例3]已知f(x)lnx,g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)圖像在(1,g(1))處的切線平行于x軸．

(1)確定a與b的關系；

設斜率為的直線與的圖像交于，求證：11．

(2)kf(x)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)k

x2x1

[例4]已知函數f(x)xlnx．

(1)求f(x)的單調區間和極值；

f(x)f(x)xx

設，且，證明：2112．

(2)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))x1x2f()

x2x12

【對點訓練】

a(x－1)

1．已知函數f(x)＝lnx－．

x＋1

(1)若函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，求實數a的取值范圍；

2(m－n)

(2)設m>n>0，求證：lnm－lnn>．

m＋n

1－x

2．已知函數f(x)＝＋lnx在(1，＋∞)上是增函數，且a>0．

ax

(1)求a的取值范圍；

1a＋ba

(2)若b>0，試證明<ln<．

a＋bbb

3．設函數f(x)＝xln(ax)(a>0)．

1

(1)設F(x)＝f(1)x2＋f′(x)，討論函數F(x)的單調性；

2

11

(2)過兩點A(x1，f′(x1))，B(x2，f′(x2))(x1<x2)的直線的斜率為k，求證：<k<．

x2x1

4．已知函數fxlnxaxb，a,bR．

(1)討論fx的單調性；

fxfxxx

當，為兩個不相等的正數，證明：1212．

(2)a0x1,x2

2x1x2

1

5．已知函數f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R．

2

(1)當a＝0時，求函數f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；

5－1

(2)若a＝－2，正實數x1，x2滿足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，證明：x1＋x2≥．

2

－

6．已知函數f(x)＝λlnx－ex(λ∈R)．

(1)若函數f(x)是單調函數，求λ的取值范圍；

1x21x1x2

(2)求證：當0<x1<x2時，ee1．

x1

a

7．已知函數f(x)＝lnx＋

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