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文檔簡介

專題20單變量含參不等式證明方法之合理消參

【例題選講】

[例1](2018·全國Ⅰ)已知函數f(x)＝aex－lnx－1．

(1)設x＝2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

1

(2)證明：當a≥時，f(x)≥0．

e

[例2]設a為實數，函數f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R．

(1)求f(x)的單調區間與極值；

(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1．

[例3]設函數f(x)＝e2x－alnx．

(1)討論f(x)的導函數f′(x)零點的個數；

2

(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a＋aln．

a

1lnx

[例4]已知函數fxx22axe2，（e為自然對數的底數）．

ex

(1)當ae時，求曲線yfx在點e,fe處的切線方程；

3221

(2)證明：當ae時，不等式x2axlnxex成立．

e

【對點精練】

1．已知函數f(x)＝(x＋b)(ex－a)(b>0)，在(－1，f(－1))處的切線方程為(e－1)x＋ey＋e－1＝0．

(1)求a，b；

(2)若m≤0，證明：f(x)≥mx2＋x．

2．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1．

(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求實數a的取值范圍；

11

(2)求證：當x＞1時，在(1)的條件下，x2＋ax－a＞xlnx＋成立．

22

3．(2017·全國Ⅲ)已知函數f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x．

(1)討論f(x)的單調性；

3

(2)當a<0時，證明f(x)≤－－2．

4a

4．已知函數f(x)＝ex＋m－x3，g(x)＝ln(x＋1)＋2．

(1)若曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線斜率為1，求實數m的值；

(2)當m≥1時，證明：f(x)＞g(x)－x3．

5．已知函數f(x)＝ex＋a－lnx(其中e＝2.71828…，是自然對數的底數)．

(1)當a＝0時，求函數f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；

1

(2)求證：當a>1－時，f(x)>e＋1．

e

6．已知函數f(x)＝ax－lnx．

(1)討論f(x)的單調性；

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