集合及其運(yùn)算（復(fù)習(xí)講義）2027年高考數(shù)學(xué)解析版

A知識(shí)點(diǎn)1集合核心概念

1.關(guān)系

屬于：。且A；不屬于：

2.元素三特性

。確定性：元素是否在集合中可判定

。互異性：集合中元素互不相同

。無(wú)序性：元素順序不影響集合

3.常用數(shù)集

自然數(shù)集N、正整數(shù)集N'或N+、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R

4.表示方法

。列舉法、描述法、Venn圖法

自主檢測(cè)》安徽含,犯后第一中學(xué)2G26屆高三最后一卷）已知集合力={“/W0}（Q€R）,若2c4,則a的

取值范圍是（）

A.（-2,2]B.[-2,2]C.（-2,2）D.[-2,2）

【答案】D

【詳解】若25,則FwOo伊一：）（2+24°,解得”-2或g2,

2+a（2+aH0

所以若2￡4則a的取值范圍為[-2,2）.

A知識(shí)點(diǎn)2集合間關(guān)系

關(guān)系符號(hào)核心含義

A中所有元素都屬

子集AU8

于B

ACB且B中至少

真子集4B

一個(gè)元素CA

相等A=BACB且BCA

不含任何元素，是

空集0

任何集合的子集

?必記結(jié)論?

(1)含n個(gè)元素的集合，子集數(shù)2〃，真子集數(shù)2〃-1。

(2)子集關(guān)系的傳遞性，即Aq氏BqCnAqC.

注意：空集是任何集合的子集,是任何非空集合的直子集。

自主檢測(cè)|(安徽蒙城-中、渦陽(yáng)一中、潁上一中、懷遠(yuǎn)一中、淮南一中五校2026屆年高三下學(xué)期5月學(xué)情

自測(cè))已知集合A={x||x+1|>1],B={x\-2<x<0},貝I]()

A.AQBB.BQAC.ACiB=0D.AUB=R

【答案】D

【詳解】rfl|x+1|Z1,得％+1工1或％+1W-1,解得％NO或工3一2,所以A=(-8,-2]U[0,+8),

所以408,A錯(cuò)；80/1,B錯(cuò)；ACiB={-2}tC錯(cuò)；AUB=R,D對(duì).

A知識(shí)點(diǎn)3集合基本運(yùn)算

運(yùn)算文字語(yǔ)言符號(hào)表示Venn圖

由屬于集合A且屬于集合B的所有元

交集

素組成的集合

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元

并集A\JB

素組成的集合CZ3?

由全集U中不屬于集合A的所有元素

補(bǔ)集

組成的集合,。

自主檢測(cè)|<合肥市第九中學(xué)等校2026屆高一下學(xué)期5月/學(xué)質(zhì)員檢測(cè))已知集合4={%|%2一心+15<Q,xE

/?),B={x\2x<x2,x>0},則{八8=()

A.(2,5]B.[3,4]C.(2,5)D.[3,4)

【答案】D

【詳解】由％2一8%+1540得(％—3)(￥—5)工0,解得3WXW5,故4=[3,5].

X2

對(duì)于集合8={X\2<x,x>0},根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)圖象解不等式得2VxV4,

故B={xI2<x<4}=(2,4).

所以8nB={x|3<x<4}=[3.4）.

A知識(shí)點(diǎn)4核心性質(zhì)與思想

1.ACB=AQAUB

2.AUB=A<=>BCA

3.旗c/A)=A

4.彝AAB)=JU”

5-賴AUB)="n”

測(cè)若全集U={xe/V|-l<x<6),集合4={134,5},B={-1,0,1,2,4},則(1/)nB=()

A.{2)B.{0,2}C.{-1,0)D.{-1,0,2}

【答案】B

【分析】根據(jù)全集與補(bǔ)集、交集的概念計(jì)算即可.

【詳解】全集U={%￡N|-lWz<6},集合4={1,3,4,5},8={-1,0,1,2,4},

即全集U={0,123,4,5},則C『4={0,2},

所以(CU4)CB={0,2}.

A題?型?破?譯?

A題型1元素與集合的關(guān)系

W1-1|（2026年安徽省小范高中皖二匕協(xié)作區(qū)第28屆聯(lián)<試題）已知集合4={%I/—無(wú)一6W0},若a€4,

且G+3€A,則a的取值范圍是（）

A.[-2,3]B.[-3,-1]C.[-2,0]D.[-3,2]

【答案】C

【詳解】因式分解得（無(wú)-3）（x+2）<0；可得一2<x<3,

故集合4=*|-2WxW3}；

因?yàn)镼"且a+3",所以f解得一2MaWO.

所以a的取值范圍是[-2,0].

例1%”慶市2025屆學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研抽測(cè)（第二次）數(shù)學(xué)試題）已知全集U={123,4,5},集合M滿足Q/M=

{1,2,5）,則（）

A.3cMB.2GMC.5GMD.4GM

【答案】D

【分析?】根據(jù)補(bǔ)集可得M={3,4},根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】因?yàn)槿?={1,234,5}.QM={1,2,5},可得M={3,4},

所以3WM,2CM,5CM,4EM.

故選：D.

方法技巧判斷元素與集合關(guān)系

1.直接法：集合元素明確列出時(shí)，直接判斷元素是否在集合內(nèi)。

2.推理法：集合用描述法表示時(shí)，先明確元素滿足的條件，再驗(yàn)證元素是否符合。

3.符號(hào)區(qū)分：￡（屬于）用于元素與集合；c（包含于）用于集合與集合。

易錯(cuò)分析

混淆元素與集合、集合與集合的關(guān)系符號(hào)，如把OGA寫(xiě)成OWA.

【變式訓(xùn)練1-1】已知集合M=||x-4|<5],/V={%|0<Inx<2},則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.3x0eM,x0NB.\/xeN,xeM

任

C.3r0￡NJMD.VxEM,xN

【答案】D

【分析】求出集合4B,由集合間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】M={%I|x-4|<5]={x|-1<x<9],N={xI0<Inx<2}={x|l<x<e2},

對(duì)干A,30EM,0N,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)镹GM,所以VxEMxEM,故B正確；

對(duì)于C,B2ENf2EM,故C正確；

對(duì)于D,2EM,2EN,故D不正確.

故選：D.

【變式訓(xùn)練1-2】已知集合4="既N-1},則正確的是

A.OGAB.{0}G4C.（/）EAD.{0}GA

【答案】D

【分析】由元素與集合以及集合與集合的關(guān)系即可求解.

【詳解】對(duì)A,0WA,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,{0}c/i,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,空集。是任何集合的子集，即0GA,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由于集合{0}是集合A的子集，故D正確.

故選D

【變式訓(xùn)練1?3】已知集合用=卜|-2VxV2},i為虛數(shù)單位，a=\l+i\,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.aeMB.{a}GMC.{a}MD.aCM

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式可得Q=&,即可判斷出結(jié)論.

【詳解】a=-I?+/=應(yīng),乂集合M={]]-2V%<2},

:.aEM.

故選A.

A題型2元素特征

|例2-水河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2026屆高三下學(xué)期臨門(mén)押題實(shí)戰(zhàn)，律（一））已知集合A=[x]x2-14x+40=

0},F={4,a+l,a2+l],若4U8,則實(shí)數(shù)Q的取值集合為（）

A.{9}B.{-3,3}C.{-3,9}D.{-3,3,9}

【答案】C

【詳解】令/一14%+40=0,解得X=4或X=10,所以4={4,10}.

因?yàn)?cB,所以。+1=10或4+1=10,解得a=9或a=-3或a=3.

經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)a=3時(shí)，8={4,4,10}與集合中元素的互異性矛盾.

所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{-3,9}.

您儂（福建南安市成功中學(xué)2026屆高三，二號(hào)前推送試題（?））已知集合M=[3,4,x2},N={4,x+2},

若MCN=N,則％=（）

A.-1或1B.-1或2C.1或2D.-1或1或2

【答案】A

【詳解】由MCN=N,得NGM,又由N={4,%+2},根據(jù)集合元素的互異性，得％+2H4,即3工2,

而集合M={3,4,/},由N￡M,得％+2=3或x+2=%2,所以％=1或%=—1.

故選A.

方法技巧應(yīng)用集合元素的特性解題的要點(diǎn)

I.解題核心：先明確集合元素是什么，再用三特性檢驗(yàn)。

2.求參數(shù)時(shí)：先由確定性列方程求參數(shù)，再用互異性排除重復(fù)元素。

3.無(wú)序性：集合元素順序不影響集合本身。

易錯(cuò)分析

求參數(shù)后忘記檢驗(yàn)互異性，導(dǎo)致出現(xiàn)重復(fù)元素，答案錯(cuò)誤。

【變式訓(xùn)練2?1】（25?26高三下?西藏日喀則某校?模擬）集合4={l,a},B=[0,a2,-a-2}.若A￡B,則實(shí)

數(shù)G=（）

A.0B.2C.3D.-1

【答案】D

【詳解】由知力是8的子集，若a=0,則8中有重復(fù)元素0,不合題意舍去；

若{小；°…則無(wú)解；若{出；

1,則。=-1,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

JQ—2=1i—a—2=a

所以Q=-l

【變式訓(xùn)練2-2】已知集合4={14,a+2},B={l,a2},且ACB=B,則a=（）

A.IB.-1C.2D.-2

【答案】D

【分析】由AC8=B,得BG4進(jìn)而得到關(guān)于a的方程，結(jié)合集合的性質(zhì)求解即可.

【詳解】由力nB=B,得8G4,

所以=1或=4或小=Q+2,解得Q=1或a=2或Q=一2或Q=-1.

當(dāng)a=l時(shí)，A={1,4,3},8={1,1},不符合集合元素的互異性，故舍去.

當(dāng)a=2時(shí)，A={1,4,4},B={1,4},不符合集合元素的互異性，故舍去.

當(dāng)。二一2時(shí)，A={1,4,0},B={1,4},符合題意.

當(dāng)&=一1時(shí)，A=[1,4,1},B={1,1},不符合集合元素的互異性，故舍去.

故a=-2.

【變式訓(xùn)練2-3】（江西宜春中學(xué)等校2026屆高三年級(jí)5月高考大練兵數(shù)學(xué)試題）若集合A=[2.a,a2},B=

{2,4},且8G4則a的值為（）

A.4B.2或4C.-2或4D.±2或4

【答案】C

【詳解】當(dāng)Q=4時(shí)力={2,4,16},滿足Bc4

當(dāng)G?=4時(shí)，因?yàn)閍H2,所以a=—2,

此時(shí)幺={-2,2,4},滿足BG4

I?題型3集合間關(guān)系

畫(huà)耳|（陜西榆林市橫山中學(xué)2026屆高二下學(xué)期考前自測(cè)數(shù)學(xué)試改）設(shè)集合4={1,2,3}.R={2,3,4}.C=

{123,4,5,6},則（）

A.AdB=0B.A\JB=CC.A\JC=CD.ACiC=B

【答案】C

【詳解】由題意4CB={2,3},故A錯(cuò)誤；

因4UB={1,2,3,4}豐{1,234,5,6},故B錯(cuò)誤;

又{UC={1,2,3,4,5,6}=C,故CIE確；

因HCC={123}工{234},故D錯(cuò)誤.

例3-2|（25-26高三下?遼寧大連某校?調(diào)研）已知集合A=Max=l,aER）,B={-1,1},貝eB”是2cB”

的（）

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求出4G8時(shí)，aE1-1,0,1）,結(jié)合充分條件與必要條件判斷即可.

【詳解】Q=0時(shí)，A=0,符合45=B,

a芋0時(shí)，A={，},又4QB,

A-=-=1?解得Q=-l或Q=l,

aa

綜上，Ac名時(shí),aG{-1,0,1},

則“ae8”是2cB”的充分不必要條件.

方法技巧由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題方法

1.連續(xù)數(shù)集：用數(shù)軸標(biāo)范圍，注意端點(diǎn)虛實(shí)。

2.離散數(shù)集：按包含關(guān)系列方程求解。

3.核心轉(zhuǎn)化：

AOB=AoACB

AUB=A=BGA

易錯(cuò)分析易忽略集合為空集

忽略空集：空集是任何集合的子集、非空集合的真子集，含參數(shù)時(shí)必須討論A=0的情況。

【變式訓(xùn)練3?1】（遼寧鐵嶺市開(kāi)原市高級(jí)中學(xué)箸校2026屆高三考前模擬數(shù)學(xué)試題）已知集合4=

[x||<2X<128）,B={a,a+6],BQA,則a的取值范圍是（）

A.[-1,2]B.[-1,1]C.（-1,2）D.（-1,1）

【答案】D

【分析】解不等式求得集合4根據(jù)8G4列不等式求得a的取值范圍.

【詳解】由*2*V128,得2-1V2》<27,解得一1VXV7,所以4=（一1,7）.

由于B={Q,Q+6},8a4,

所以f二<屋17,解得-

l—l<a+6<7

所以a的取值范圍是(一1,1).

【變式訓(xùn)練3-2】(河南湘像名校2026屆高三下學(xué)期5月預(yù)測(cè)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷)已知集合M={x|log2x<3},

N={x|VT+7<2},則()

A.NUMB.MON=(0,3)C.MUN=(-8,3)D.CR/V=[3,+<x>)

【答案】B

【詳解】由題得M=(0,8),N=[-1,3),則MnN=(0,3),MUN=[-1,8),

CR?Z=(-oo,-l)U[3,+oo),所以A,C,D錯(cuò)誤，B正確.

【變式訓(xùn)練3-31(江蘇徐州市2026屆高三模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題)已知集合4={-1,0},B={x\x2ax+b=0),

若4=B,則a匕=()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】B

【分析】由集合相等可得一元二次方程的兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得a=1,匕=0,進(jìn)而可得所求值.

【詳解】已知A=B,A=[-1,0},所以一元二次方程/+a%+b=0的兩個(gè)根就是一1和0.

設(shè)一元二次方程N(yùn)2+QX+匕=0的兩根為工1，X2，則：+x2=-a,XiX2=b,

所以—1+0=—a,—1x0=/?>即a=l,b=0,因此a"=1

A題型4(真)子集的個(gè)數(shù)

例4-1設(shè)全集U={1,2,345},集合4={1,3,5},則Q/1的真子集的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.7

【答案】B

【分析】利用補(bǔ)集的定義求出Q4進(jìn)而求出真子集個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)镼4={2,4},所以Q4的真子集的個(gè)數(shù)為22—1=3.

例4-2|(湖南省衡陽(yáng)市衡陽(yáng)縣2026屈高：學(xué)前學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試題)設(shè)集合4={xEZ\x2<5},B={1,2,3),

則4A8的子集的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】4={-2,—1,0,1,2},8={1,2,3},所以ACB={1,2},所以4nB的子集的個(gè)數(shù)為4.

【變式訓(xùn)練4-1?變載體】已知集合力={(%))"=5也％},B={(x,y)|y=x},則An8的子集個(gè)數(shù)為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】D

【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-sin，借助導(dǎo)數(shù)計(jì)算可得該函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即可得4nB中有且僅有

一個(gè)元素，即可得An8的子集個(gè)數(shù).

【詳解】令/'(%)=%一sin，則f'(x)=1-cosX之0,故/(%)在A上單調(diào)遞增，

X/(0)=0-sinO=0,故/(叉)=x-sinx有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

口叮=sinx圖象與y=x圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

即4nB中有且僅有一個(gè)元素，故An8的子集個(gè)數(shù)為2.

【變式訓(xùn)練4-2】(江西重點(diǎn)中學(xué)嘉星2026屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)已知集合A=(x\l<x2<9},集

合8={xWZ|-27</工27},則集合AA8的真子集個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.15D.16

【答案】C

【詳解】求解集合4由1W/V9得「g|JxG(-3,-l]U[l,3).

IXV9

故4=(-3,-1]U[1,3).

求解集合8,由一27</工27且XEZ,得一3VxM3,整數(shù)解為％=-2,-1,0,1,2,3,故8={—2,—1,0,1,2,3}.

所以4rB={-2,-1,1,2},該集合元素個(gè)數(shù)為4.

因?yàn)閚個(gè)元素的集合真子集個(gè)數(shù)2n-1,代入得真子集個(gè)數(shù)為24-1=15.

【變式訓(xùn)練4?3】(河南省周口市34縣高級(jí)中學(xué)2026屆高三下學(xué)期三月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷)已知集合A=

{-2,-1,0X2},B=(x\^<0],則集合AC8的真子集的個(gè)數(shù)為()

A.8B.7C.4D.3

【答案】D

【分析】求解分式不等式確定集合8,再結(jié)合交集運(yùn)算和真子集計(jì)算公式即可求解..

【詳解】由號(hào)40解得一1<%工1,

即B=[%|^-<0)={%|-1<%<1),

故4nB={0,1},

則集合AAB的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3.

I?題型5集合基本運(yùn)算

例5?1|(2026?四川華簽中學(xué)?模擬;若全集U={xWN|xW7},集合4={134,5,6,7},8={-1,0,1,2,4,5},

則Bn(Cu4)=()

A.{2}B.{-1,0)C.{0,2}D.{-1,0,2)

【答案】C

【詳解】l./={xEN|.rM7}={0,1,23456,7},A={1,3,456,7},所以Q4={0,2}.

B={-1,0,1,2,4,5},所以Bn(CM={0,2}.

方法技巧明確各個(gè)運(yùn)算的幾何意義

1.交：ACIB—既在A又在B

2.并：AUB—在A或在B

3.補(bǔ)：QA-全集中不在A的元素

4.工具：連續(xù)數(shù)集用數(shù)軸，離散數(shù)集直接列舉。

易錯(cuò)分析

1.補(bǔ)集運(yùn)算忘記全集范圍。

2.端點(diǎn)取舍錯(cuò)誤（如今口〈）。

例5?2|(2026?海南僻州?二診)已知集合4={x\x2-3x<0},B={-2,0,4},則S)nB=()

A.{0}B.{-2,4}C.{-2,0}D.{-2,0,4}

【答案】B

【分析】先計(jì)算集合力,然后根據(jù)補(bǔ)集以及交集的概念即可求解.

【詳解】已知集合力=卜|%2一3%工0},解不等式一一3%工0,得0工工工3,因此A="|0Wx03},

所以CR4={x\x<0或%>3},

又因?yàn)?={-2。4},所以(CM)HB={-2,4},故B正確.

【變式訓(xùn)練5-1](2026?河北滄州?質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知全集U=R,集合A=(%||%|>1],則C"=()

A.(-oo,-l]B.[-1,0)C.[-1,1]D.(1,+8)

【答案】C

【詳解】解不等式團(tuán)>1,得%>1或％<-1,即4=(一8,-l)U(l,+8),

所以Cu4=[-1,1].

【變式訓(xùn)練5-212026?天津北辰?二模)已知全集U={xeZ\-3<x<5],A={3,4,5},B={-2.-1,0,1,2,3),

則S)CB=()

A.{-1,04,2}B.{-2,-1,04,2}

C.{-3,—2,—1,0,1}D.{-1,0,1,2,3}

【答案】B

【詳解】U=[xeZ\-3<x<5]={-2,-1,04,2,3,4,5},WiJCy^={-2,-1,0,1,2),

又B={-2,-1,0,1,2,3},,則(5)C8={-2,-1,0,1,2).

【變式訓(xùn)練5-3】(2026?滄州南皮一中?考前預(yù)測(cè))已知全集〃={%￡2?,二77=三},A={ye

N*|y=2x,xGR,x<2},B={34,6},貝1」(5人)nF=()

A.[3,4}B.{4,6}C.{3,5}D.{5,7}

【答案】B

【詳解】因?yàn)?x>0,所以所以U={%€N*|y=e7]=(1,234,5,6,7),

因?yàn)椋?lt;2,所以y=2X<22=4,所以力={yeN*|y=2x,x<2}={1,2,3},

所以QA={456,7},又B={3,4,6},

所以(C0)C8={4,6}

【變式訓(xùn)練5-4】(2026?山東威海?二模)已知集合(/={3,5,。2}/={3,。+4},(：”1={1},則Q=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)以及補(bǔ)集的定義即可求解.

【詳解】已知集合U={3,5,a2],A={3,a+4},Q4={1},

由補(bǔ)集的定義可知U=A\JCyA=[1,3,a+4},即{1,3,Q+4]={3,5,a2},

因此必有1=M且Q+4=5,解得Q=1,故A止確.

【變式訓(xùn)練5-5](25-26高三下?鐵嶺高級(jí)中學(xué)&鐵嶺清河高級(jí)中學(xué)?學(xué)情調(diào)研)已知集合4={136},B=

{x\3x-11>0},則(CRB)C\A=()

A.{3,6}B.{1,3}C.{1}D.{3}

【答案】B

【分析】求解一元一次不等式，再由集合交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】由3%一11>0,得

故B=(5,+8),故CR8=(-8,?],乂4={1,3,6},

故(CRB)A4={1,3}.

【變式訓(xùn)練5-6](2026?廣東肇慶?二模)設(shè)全集U=Z,集合M={x\x=4k+l.keZ],N={x\x=4k+

3,A€Z}.則Q(MUN)=()

A.{x\x=2k+l,keZ]B.{x\x=2k,kGZ]

C.{x\x=4k+2,kEZ}D.{x\x=4k,kEZ)

【答案】B

【詳解】因?yàn)镸={x|x=4/c+l,kWZ}={x|%=2-2k+l?WZ},其中2k為偶數(shù)，

N={x\x=4k+3,kEZ]={x\x=2(2k+1)+l,kGZ},其中2k+1為奇數(shù)，

則MuN={x|x=2k+l,kEZ},即MUN為奇數(shù)集，所以UN)為偶數(shù)集，

又集合{%\x=2k+l,keZ}表示奇數(shù)集合，集合卜\x=2k,keZ}表示偶數(shù)集合，

集合卜\x=4k+2,keZ}表示4的整數(shù)倍數(shù)加2對(duì)應(yīng)的數(shù)組成的集合，

集合{%\x=4k,keZ}表示4的整數(shù)倍數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)組成的集合.

A題型6Venn圖的應(yīng)用

例6-1(2026?廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)越秀學(xué)校?考前自測(cè))已知集合A={-1,04,2,4},5={xEZ\x3<3%},則如圖

所示的陰影部分表示的集合為()

A.{-1,2,4}B.[0,1,2}C.{-2,4}D.{-1,0,1}

【答案】A

【詳解】由得工3一3萬(wàn)工。，化簡(jiǎn)得工(%+8)(/一遍)工0,

所以工工一75或04工工舊，

所以8={xeZIx3<3x}={xGz|x<-V3或0WxW百},

所以CRB={XGZ|-V3VxV0或％>V3},

陰影部分表示的集合為AC(CRB),而一1ECR8,2WCR8,46CR3,

所以4n(CR8)={-1,2,4}.

遠(yuǎn)習(xí)(安徽合肥市肥東一中大數(shù)據(jù)聯(lián)考2026屆高三畢業(yè)班考前質(zhì)量檢測(cè))為了豐富學(xué)生的課余生活,促進(jìn)學(xué)

生全面發(fā)展，某校開(kāi)設(shè)了勞動(dòng)實(shí)踐、研學(xué)參觀、AI技術(shù)培訓(xùn)13類(lèi)拓展課程.高三某班學(xué)生共有32人報(bào)名參加

拓展課程，其中有10人報(bào)名參加勞動(dòng)實(shí)踐，有18人報(bào)名參加研學(xué)參觀，有14人報(bào)名參加AI技術(shù)培訓(xùn)，同時(shí)

報(bào)名參加勞動(dòng)實(shí)踐和研學(xué)參觀的有4人，同時(shí)報(bào)名參加研學(xué)參觀和AI技術(shù)培訓(xùn)的有5人，只參加AI技術(shù)培訓(xùn)

的人數(shù)為()

A.5B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】使用三集合容斥原理，通過(guò)韋恩圖劃分各部分人數(shù)，設(shè)三類(lèi)都參加的人數(shù)為工、只參加勞動(dòng)實(shí)踐和

AI培訓(xùn)的人數(shù)為y,根據(jù)總?cè)藬?shù)列方程化簡(jiǎn)得y=l,再結(jié)合AI培訓(xùn)的總?cè)藬?shù)，算出只參加AI培訓(xùn)的人數(shù).

【詳解】設(shè)3類(lèi)課程全參加的有4人，同時(shí)只參加勞動(dòng)實(shí)踐和AI技術(shù)培訓(xùn)的有y人，

列出韋恩圖，則(6—y)+(4-x)+x+y+(9+%)+(5—％)+(9—y)=32,

可得y=1，則只參加AI技術(shù)培訓(xùn)的人數(shù)為9-y=8人.

方法技巧德?摩根定律

陰影部分：先看是交/并/補(bǔ)哪種組合，再對(duì)應(yīng)計(jì)算。

德?摩根定律：Cu(AUB)=CuADCuB；Cu(AnB)=CuAUQB。

易錯(cuò)分析看錯(cuò)陰影區(qū)域

看錯(cuò)陰影區(qū)域，把ADJB看成CrAABo

【變式訓(xùn)練6-1】(2026?福建泉州?模擬)設(shè)集合4={1,2,3,4},8={x|2"V8},則Venn圖中陰影部分表示

的集合是()

A.{4}B.{112}D.{2,3,4}

【答案】C

【詳解】由2*V8,得*V23,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2”單調(diào)遞增，所以x<3,即8={x|x<3}.

己知力={1,2,3,4},所以4nB={1,2}.

分析Venn圖：陰影部分表示集合4中去掉4n8的部分.

因此陰影部分表示集合{3,4}.

【變式訓(xùn)練6-2】(2026?河北唐山?一模)已知全集U及其兩個(gè)非空真子集N,則g(MU%=()

A.0B.MnNC.(QM)n(CuN)D.(QM)U(QN)

【答案】C

【詳解】如圖：Q(MUN)=(QM)n(QN).

A題型7運(yùn)算確定集合或參數(shù)

|例7』(2025,新疆喀什巴楚一中?二模)已知集合力={x\x<2],8={x\x2-2x-3>0},C={x\x>a}.且

力U(CRB)UC=R,則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為()

A.(-1,4-oo)B.(—8,3)

C.(—oo,-1]D.(—oo,3]

【答案】B

【分析】先求解集合B,再得到CRB,然后根據(jù)4U(CRB)UC=R,即可求解實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?=-2%-320},所以8={%|刀W一1或:rN3},

所以CR8={x|-l<x<3},

所以AU(CRB)=[x\x<3},

因?yàn)?lt;U(CR8)UC=R,所以Q<3,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,3).

故選：B.

恒叵可己知函數(shù)/(%)=Xe-x,g(X)=：/一Inx+a,若三與,％2W[1,2],使得/(與)=g(%2)，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(1+In2_2,l_0

償+歷2-2,2]

C.(---，4-ln2+2)

\2ee2)

D.[?5*_ln2+2]

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求值域，根據(jù)值域交集非空即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(%)=x-e-*,g(%)=|x2-Inx+a,

.?.f(x)=e-x(l-x)<0,/'(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)減函數(shù)，

所以f(%)€停用,

又以x)=X-L=^l>o,g(x)在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)增函數(shù)，

所以g(x)€L+a,2—ln2+Q],

由于為2€口,2]使得/(%1)=g(%2)，

所以{yIy=/(x)}n{yIy=g(x)}H0

當(dāng){yIy=f(x)}A{yIy=g(x)}=0時(shí)，2-In2+a<-或(<^+a,

解得av?+ln2-2或a>:也

所以當(dāng)/'(%)ng(%)H。時(shí),

得aE償+52-23一斗

故選:B.

方法技巧求集合運(yùn)算中參數(shù)的值或取值范圍的解題思路

1.先化簡(jiǎn)集合，再把運(yùn)算關(guān)系轉(zhuǎn)成包含關(guān)系。

2.數(shù)軸法：畫(huà)數(shù)軸定范圍，列不等式組。

3.分類(lèi)討論：含參數(shù)時(shí)按空集、非空集討論。

易錯(cuò)分析端點(diǎn)沒(méi)等號(hào)

1.列不等式時(shí)端點(diǎn)沒(méi)等號(hào)，范圍擴(kuò)大/縮小。

2.忽略參數(shù)使集合為空集的情況。

【變式訓(xùn)練7-1](2024?陜西洛南中學(xué)?沖刺預(yù)測(cè))已知全集U=={"y+4％+3=0},8=

{xIx2+(m+1)%+m=0},若(Cu4)CB=0,則實(shí)數(shù)m的值為()

A.1B.3C.-I或-3D.1或3

【答案】D

【分析】求出入中方程的解確定八，再由人的補(bǔ)集與〃的交集為空集，確定人與4的包含關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討

論，即可確定〃?的值.

【詳解】因?yàn)榉匠虨橹?(巾+i)x+m=0的判別式A=(m+l)2—4m=(m—l)z>0,

所以B豐0,

根據(jù)題意得到集合力={x|(x+l)(x+3)=0),B={x\(x+m)(x+1)=0],

即4={-1,—3},B={-1,—m),

因?yàn)?0,所以BG4

所以3={-1}或8={-

若8={—1},貝解得m=l，

若8={-1,一3},則[A>0,解得血=3,

v—m=—3

所以m=1或m=3.

故選：D.

【變式訓(xùn)練7-2]已知集合4={xGZ|-l<x<3},B={x\3x-a<0],且4c(CRB)={1,2},則Q的取

值范圍為()

A.(0,4)B.(0,4]C.(0,3]D.(0,3)

【答案】C

【分析】先求得力=(0,1,2},B=(x\x<§，得到CRB=(x\x>結(jié)合題意得到不等式0<?W1，即可求

JJJ

解.

【詳解】由集合力={%6Z|-1<%<3}={0,1,2},B={x|3x-a<0}={x\x<

可得CRS-5|》之§，

因?yàn)?c(CRB)={1,2},所以O(shè)V^WL解得0VQW3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3].

故選：c.

A題型8容斥原理的應(yīng)用

例B-I【新情景】(2026?內(nèi)蒙古赤峰?模擬)為了培育高莖且抗倒伏的優(yōu)良作物，現(xiàn)從試驗(yàn)田中隨機(jī)選出充

足的作物樣本，發(fā)現(xiàn)在高莖作物的樣本中約有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物樣本中約有40%的作物

為高莖，并且樣本中約有30%的作物既不具備高莖也不具備抗倒伏這兩種優(yōu)良性狀.則樣本中兼?zhèn)鋬煞N優(yōu)

良性狀的植株的占比約為()

A.20%B.30%C.40%D.50%

【答案】A

【分析】利用條件概率關(guān)系設(shè)未知數(shù)，根據(jù)高莖中抗倒伏比例和抗倒伏中高莖比例分別表示出高莖和抗倒

伏的占比，再利用既不高莖也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解.

【詳解】設(shè)高莖作物占比為P(A)，抗倒伏作物占比為P(8),

既不高莖也不抗倒伏的占比為尸(7A瓦)，兩種性狀兼?zhèn)涞恼急葹槭?)=X,

由題意得「(8|4)=膂=念=0.5,則PQ4)=2x,

產(chǎn)(A)r(A)

P(川8)=磊=忘=。4則P⑻若，

Ppnl)=0.3,則PG4U8)=1—0.3=0.7,

則PG4UF)=P(A)+P(B)—P(AB)=2r+y-r=0.7.解得t=0.2.

即兩種性狀兼?zhèn)涞恼急葹?0%.

例821某班有45名學(xué)生,其中20人喜歡籃球，25人喜歡乒乓球，10人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜歡.則同時(shí)喜歡

籃球和乒乓球的人數(shù)為()

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】設(shè)出喜歡籃球又喜歡乒乓球的人數(shù)，根據(jù)題意，列方程即可解出答案.

【詳解】設(shè)喜歡籃球又喜歡乒乓球的人數(shù)為，

則只喜歡籃球的有20只喜歡乒乓球的有25-%,

所以10+(20-幻+(25-%)+%=45,解得％=10,

所以同時(shí)喜歡籃球和乒乓球的人數(shù)為10,

故選：B.

方法技巧在排列組合中的應(yīng)用

(1)容斥定理在排列組合中應(yīng)用更廣泛，一般應(yīng)用與存在兩個(gè)限制條件的排列組合問(wèn)題中，結(jié)合正難則反

的思想解決問(wèn)題。

(2)運(yùn)用公式：n(A|JB)=n(A)+n(B)-n(AQB)

易錯(cuò)分析

重復(fù)計(jì)數(shù)，多算/少算交集部分，

【變式訓(xùn)練8-1】向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)人8兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成4的人數(shù)是全體的五分之三，其

余的不贊成；贊成B的比贊成4的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)4〃都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)4,8都贊成的

學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.贊成4的不贊成B的有9人

B.贊成8的不贊成A的有11人

C.對(duì)力,B都贊成的有21人

D.對(duì)4B都不贊成的有8人

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，用韋恩圖進(jìn)行求解即可.

【詳解】贊成A的人數(shù)為50=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33.記50名學(xué)生組成的集合為U,贊成事

件A的學(xué)生全體為集合A,贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.如型所示，

設(shè)對(duì)事件A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,

則對(duì)A,B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為9+1.贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-X,

贊戌B而不贊成4的人數(shù)為33-r依題意(30-X)+(33-X)+X+Q+1)=50,解得％=21.

所以贊成A的不贊成B的有9人，贊成B的不贊成A的有12人，對(duì)A,B都贊成的有21人，對(duì)A,B都

不贊成的有8人.

故選：B

【變式訓(xùn)練8-2】已知集合4和集合B滿足：4nB有2個(gè)元素，AU8有6個(gè)元素，且集合力的元素個(gè)數(shù)比集

合B的元素個(gè)數(shù)多2個(gè)，則集合川的所有子集個(gè)數(shù)比集合8的所有子集個(gè)數(shù)多()

A.22B.23C.24D.25

【答案】C

【分析】設(shè)集合4和集合B的元素個(gè)數(shù)分別為x,y,根據(jù)條件列方程求出％y,然后根據(jù)集合子輿個(gè)數(shù)的公式

求出集合4和集合8的所有子集個(gè)數(shù)，然后做差即可.

【詳解】設(shè)集合4和集合8的元素個(gè)數(shù)分別為％y,

則由力n8有2個(gè)元素，4UB有6個(gè)元素可知，(%-2)+(y-2)+2=6.

即x+y=8①.

又因?yàn)榧狭Φ脑貍€(gè)數(shù)比集合B的元素個(gè)數(shù)多2個(gè)，

所以x-y=2②.

聯(lián)立①②可得％=5,y=3,即集合力和集合8的元素個(gè)數(shù)分別為5和3,

所以集合A的所有了集個(gè)數(shù)和集合B的所有了集個(gè)數(shù)分別為2,，2*,

所以2$—23=24,

故選：C.

A題型9新定義問(wèn)題

|例9-“（25-26高三下?遼寧多校聯(lián)考?三模）定義集合運(yùn)算：/!③B={z\z=xy,xeA,yeB}，設(shè)集合4=[0,1},

R={2,3},則集合4?R的所有元素之和為（）

A.0B.2C.3D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)定義先求4③以進(jìn)而求解.

【詳解】由題意得：力0B={0,2,3},所以0+2+3=5.

阿回（2026?河南開(kāi)封二模）定義集合A-B=（x\xeA且％CB],已知集合力=={2,b],若A-B=

{1}，則下列一定成立的是（）

A.Q=2B.bHlC.ACiB={2}D.B-A={2}

【答案】B

【詳解】因?yàn)榧?-8=卜|無(wú)￡力且％《8},集合/={1,Q},集合8={2,b},=

所以IWA且1CB,awB,b^l,b^2,

選項(xiàng)A：因?yàn)閍WB,所以a=2或者a=b（且滿足集合元素的互異性）：

選項(xiàng)B：因?yàn)?￡8且8={2,6},所以bHl一定成立；

選項(xiàng)C：當(dāng)a=b=3時(shí)，集合4={1,3},集合8={2,3},AnB={3},C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：當(dāng)Q=2,6=3時(shí)，集合/1={1,2},集合8={2,3},B-A={3},D錯(cuò)誤.

方法技巧

1.嚴(yán)格按題目定義運(yùn)算，不套用舊公式。

2.分步：先理解新符號(hào)含義一代入元素T按規(guī)則計(jì)算T檢驗(yàn)集合特性。

3.新定義集合：先列舉所有元素，再求交、并、補(bǔ)或個(gè)數(shù)。

易錯(cuò)分析

曲解新定義，用常規(guī)集合運(yùn)算代替題目規(guī)定規(guī)則。

【變式訓(xùn)練9-1]（25-26高三?上海徐匯區(qū)?）設(shè)租GR.定義點(diǎn)戶-1）的t一相伴集合為=

{（xy）I歸一m|孕且|y-（如-1）|4t）,其中￡為正實(shí)數(shù).給出以下兩個(gè)命題：

①若m=0,則其1-相伴集合4T所對(duì)應(yīng)平面圖形的面積為2；

②設(shè)環(huán)>0,若對(duì)任意實(shí)數(shù)m及任意￡<to,集合力p_t所對(duì)應(yīng)平面圖形與拋物線/=2y均無(wú)公共點(diǎn)，則to

則正確的選項(xiàng)是()

A.①是真命題，②是真命題B.①是假命題，②是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

【答案】D

【分析1對(duì)于①，先判斷出相伴集合的對(duì)應(yīng)平面圖形為正方形，即可得到面積；對(duì)于②，根據(jù)無(wú)交點(diǎn)的限

制得出正方形的點(diǎn)應(yīng)滿足y<(一,然后對(duì)不同的自變量范圍分類(lèi)討論，綜合得到(的范圍，進(jìn)而得到的范

圍.

【詳解】根據(jù)定義點(diǎn)P的亡-相伴契合即為以P為中心的邊長(zhǎng)為2t的正方形，

若仇=0,則其1-相伴集合對(duì)應(yīng)平面圖形的面積為22=4,①是假命題；

集合APT對(duì)應(yīng)一系列正方形，它們與拋物線/=2y即y=均無(wú)公共點(diǎn)，

則意味著這些正方形都在拋物線下方即正方形內(nèi)的點(diǎn)均滿足y<|x2,對(duì)每一個(gè)正方形內(nèi)的點(diǎn)，

有為iax=gm—1+3則需滿足tx￡[m—t,m+t],有；巾一1+t,

設(shè)/(%)=[，，/(%)在[m-+t]上的最小值記為

當(dāng)時(shí)，h(rri)=f(m-t)=-(m-t)2,此時(shí)應(yīng)有/m-t)?>-1+3

設(shè)〃=m-3則u>0,不等式變?yōu)?gt;(Q+￡)-1+t即一+i-1>0,

令gQ)=+1-汨則gQ)min=gg)=一“>o，所以￡<2；

當(dāng)一時(shí)，/i(m)=/(0)=0,此時(shí)應(yīng)有0>—1+￡,以m為變量，

:m-1+t的最大值為"一l+t=-1V0,所以《<三

2223

當(dāng)mW-t時(shí)，h(m)=f(m4-1)=1(?n+t)2,此時(shí)應(yīng)有g(shù)(m+[y>gm-1+t,

設(shè)u=7n+￡,則uW0