《汽車機械基礎》-第八章

8.1桿件變形的基本概念

在工程實際中，構件的形狀是很多的，如果構件的長度遠大于橫向尺寸，這樣的構件就稱為桿件。桿件各截面形心的連線稱為軸線。若桿的軸線為直線，且各截面都相等，則稱為等截面直桿。除此以外，還有變截面桿、曲桿等。本章中主要涉及的是等截面直桿。

8.1.1變形固體假設對變形固體，材料力學有以下兩個假定。各向同性假定:大多數工程材料雖然微觀晶粒結構上各向異性，但它們形成材料時，呈隨機取向，在宏觀上表現為在各個方向上均具有相同的物理和力學性能，因而假定這樣的材料各向同性，否則稱為各向異性。

返回下一頁8.1桿件變形的基本概念

均勻連續性假定:實際材料的微觀結構并不是處處均勻連續的，但是，當所考察的物體是宏觀尺度的，可以假定所考察的物體內部體積內，材料在各處是均勻、連續分布的。

8.1.2杠桿變形的基本形式在進行靜力平衡計算時，將變形物體當成剛體來對待，既方便計算，又不致引起較大誤差。而材料力學研究構件的承載能力，因而研究對象不再是剛體，而是變形固體，但工程構件的變形大都十分微小，本章所涉及的構件變形均為小變形。桿件在工作過程中的變形無論有多復雜，都可以看成是由一些基本變形所組成的。下一頁返回上一頁8.1桿件變形的基本概念

外力的作用方式不同時，桿件變形的形式也就不同，桿件變形的基本形式(表8-1)有如下四種:①拉伸和壓縮;②剪切;③扭轉;④彎曲。桿件變形的形式，除了上面的基本形式以外，還有復雜的形式，但是總可以把它看作是由以上集中基本變形組合而成的。上一頁返回8.2杠桿內力

外力作用在桿件上，引起的構件內部各質點之間的相互作用力的改變量，稱為附加內力，通常稱為桿件的內力。引起內力的外因是外力，內因是質點之間的距離有保持不變的趨向。質點之間的作用，屬于分布力系，桿件內力指的是其合力。各基本變形所對應的內力見表8-2。內力的大小多隨桿件橫截面的位置而變化，所以內力的大小與橫截面的位置有關，可以用內力函數的形式表示，將內力的變化用圖的方式表達出來就是該內力的內力圖，如軸力圖、剪力圖、彎矩圖和扭矩圖等。求內力的基本方法是截面法，下面介紹截面法求取各種基本變形下的內力。下一頁返回8.2杠桿內力8.2.1軸向拉壓時的內力—軸力1.截面法如圖8-1(a)所示，桿件在外力P作用下處于平衡狀態。為了計算內力，用假想的截面將桿件截開，分成左右兩段，并以N代表左右兩截開面上的內力。由十桿件整體平衡，因而左右兩局部也平衡，由此可知軸力N的大小等于外力P，并表現為拉力。此處用軸力N表達了桿件左右兩段之間的相互的力的聯系。上述求內力的方法稱為截面法。它是求內力的普遍方法。截面法求內力的一般步驟如下。

(1)取脫離體。在需求內力的截面處，用一個假想截面將構件切為兩部分，任意去掉一部分，留下另一部分，以留下的部分為脫離體。

上一頁下一頁返回8.2杠桿內力(2)畫脫離體受力圖。在脫離體上畫上相應的外力和內力，其中去掉的部分對留下部分的作用以內力代替。

(3)用平衡方程求解內力。這三個步驟可以簡單歸納為“截”“取”“畫”“求”四個要點。

2.求多力桿的軸力當由多個軸向外力作用于桿件上時，桿件各截面上的軸力不全相同，可以利用截面法將各桿段的軸力分別求出，軸力圖可以清晰地表示出全桿上軸力大小的變化規律及受拉或受壓情況。上一頁下一頁返回8.2杠桿內力8.2.2軸扭轉時的內力—扭矩1.外力矩沿桿件長度作用的平衡力偶系(非共面力偶系)，稱為外加轉矩。這時桿件產生扭轉變形，桿橫截面的內力稱為扭矩。對于旋轉構件，工程上稱為軸，若軸勻速轉動，則力矩滿足平衡關系。設傳遞的功率為P(kw)，車令速為n(r/min)，則由物理知識可知轉矩m(N·m)為

m=9549P/n

由上式可以看出，當軸的功率P一定時，轉速n越大，則轉矩m越小。反之，轉速越低，則轉矩越大。2.扭矩的求法上一頁下一頁返回8.2杠桿內力8.2.3梁橫截面上的內力—剪力和彎矩1.單跨梁分類工程上按照梁的支座形式不同將其分為三類，如圖8-4(a)所示。

(1)簡支梁。梁的一端可簡化為固定鉸支座，另一端可簡化為活動鉸支座。

(2)外伸梁。梁的支座情況如簡支梁，但梁的一端和兩端可外伸。

(3)懸臂梁。梁的一端自由，另一端為固定端支座。作用于梁上的荷載可以簡化為以下三種形式，如圖8-4(b)所示。

(1)集中力。指作用面積不大的橫向力F。

上一頁下一頁返回8.2杠桿內力(2)集中力偶。指作用面積不大的作用于梁軸平面內的外力偶M。

(3)分布荷載。在梁的長度或全長上連續分布的橫向力。如均勻分布，則稱為線均布荷載。

2.剪力和彎矩梁截面內力有剪力Q和彎矩M，符號規定如下:剪力繞脫離體順時針轉為正;彎矩M使梁的下部纖維受拉為正。圖8-5所示的剪力和彎矩都是正的。上一頁返回8.3桿件應力8.3.1應力與內力的關系分布內力在一點的集度，稱為應力。作用線垂直于截面的應力稱為正應力，用希臘字母σ表示;作用線位于截面內的應力稱為剪應力或切應力，希臘字母z表示。應力的基本單位為Pa(帕)、常用單位千帕(1kPa=10^3Pa)，兆帕(1MPa=10^6Pa)等。一般情形下的橫截面上的內力，總可以分解為兩種:作用線垂直于截面和作用線位于截面內的，在微面積ΔA上的內力可以分解為垂直于截面的ΔFN，與截面相切的ΔFQ。上述正應力和剪應力的定義可以表示為下列極限表示式下一頁返回8.3桿件應力

橫截面上內力分量與應力之間存在相互聯系，如軸力等于正應力與其作用的微面積乘積的積分同樣，剪力、扭矩和彎矩都可以與應力通過積分建立聯系。上一頁下一頁返回8.3桿件應力8.3.2軸向拉壓時橫截面上的應力1.軸向拉壓時正應力公式軸力N作用下，桿件橫截面上僅存在正應力。通過拉伸試驗可以觀察到，兩相鄰橫截面間發生平行移動，說明橫截面上各點伸長相同。據此推斷，截面上各點受力相同，即正應力σ均勻分布。上式稱為軸向拉壓時的正應力公式，它表明在稍遠離外力作用點的截面上，正應力均勻分布。

上一頁下一頁返回8.3桿件應力2.軸向拉壓時的強度條件當應力不超過材料的能力時，構件不發生破壞，構件不破壞的條件稱為強度條件。對于軸向拉壓桿件的強度條件為應用強度條件，可以解決強度校核、設計截面和確定許可荷載等三類問題。

3.應力集中在工程實際的軸向拉壓桿中，有時截面大小突變或軸上鉆孔等，這時應力不再均勻分布，而會有局部應力突然增大的現象出現，這一現象稱為應力集(如圖8-10所示)。將應力的最大峰值與平均值之比定義為應力集中系數，用a表示上一頁下一頁返回8.3桿件應力

彈性力學和斷裂力學理論分析可知，在小圓孔附近a=3，在裂紋尖端附近a→∞。工程的構件在截面變化處要用圓角過渡，開孔時盡量開成圓孔，目的在于減小應力集中現象。8.3.3剪切時的應力1.剪應力和擠壓應力鋼結構中的螺栓、鉚釘抗剪連接中承受剪切作用(如圖8-11所示)，機械傳動中的鍵也是如此。這些連接件都同時受到剪切與擠壓作用，剪切使得構件沿著剪切面有切斷的破壞趨勢，擠壓使得連接件在接觸面上有壓潰的破壞趨勢。這時應力在剪切面和擠壓面上都不是均勻分布的，但為了便于計算，名義剪應力和擠壓應力計算如下τ=Q/A上一頁下一頁返回8.3桿件應力式中，Q為橫截面上的剪力;A為剪切面積。

式中，F為擠壓力;A為擠壓面的投影面積。

2.剪切強度計算為了使受剪構件能安全可靠地工作，應將構件中的工作應力限制在材料的許可應力之內，由此得出了剪切和擠壓的強度條件上一頁下一頁返回8.3桿件應力

實驗表明，對于一般鋼材，材料的許用剪應力[τ]與許用拉應力[σ]有如下關系。塑性材料:8.3.4扭轉時橫截面上的應力1.剪應力及剪應力的分布非圓截面在扭轉過程中，橫截面還要發生翹曲變形，比較復雜。這甲只討論圓截面的扭轉。上一頁下一頁返回8.3桿件應力

圓截面在扭轉過程中，任意兩個橫截面之間發生相對轉動，截面間的距離并不發生改變，所以橫截面上只有剪應力，而無正應力。剪應力在橫截面上的分布規律如圖8-13所示，任一點處的剪應力大小與該點到圓心的距離成正比，方向垂直于該點與圓心的連線，指向與扭矩T一致。設某點到圓心的距離為ρ，則該點的剪應力的大小與ρ成正比，最大剪應力發生在圓截面的外邊緣上，即上一頁下一頁返回8.3桿件應力

式中，Iρ為截面的極慣性矩;Wp為抗扭截面系數，它們都是只與橫截面的形狀有關的幾何量。與實心圓軸截面相比較，圓環截面上的剪應力大小分布仍為線性分布，如圖8-14(b)所示。最大剪應力發生在橫截面的外圓周上，但內圓周上的剪應力不等于零。方向仍垂直于半徑，且與橫截面相切。

2.扭轉時剪切強度條件為了保證軸在扭轉時候能安全工作，必須使軸的最大剪應力τmax不超過材料的許用剪應力，即對于許用應力[τ]，可以通過材料試驗結果和強度理論來確定。

上一頁下一頁返回8.3桿件應力

應用這個強度條件，同樣可以解決強度校核、設計截面和確定許可荷載等三類問題。

8.3.5彎曲正應力1.彎曲正應力的計算所有外力都作用于梁的縱向對稱平面上時，梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內，如圖8-17所縱向對稱平面示的彎曲稱作平面彎曲。一般情形下，平面彎曲時，梁的橫截面上一般有剪力和彎矩兩種內力。如果橫截面上只有彎矩時，這種平面彎曲稱為純彎曲。如圖8-18所示的外伸梁的AB段，剪力為零，只有彎矩。上一頁下一頁返回8.3桿件應力

如果用容易變形的材料，如橡膠、海綿，制成梁的模型，然后讓梁產生純彎曲，如圖8-19所示。可以看到梁彎曲后，一些層發生伸長變形，另一些則會發生縮短變形，在伸長區與縮短區的交界處那一層，既不伸長，也不縮短，稱為梁的中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。正應力沿截面高度呈線性分布。如圖8-20所示，在正彎矩作用下，中性軸以下為拉應力，中性軸以上為壓應力;在負彎矩作用下，中性軸下部為壓應力，中性軸以上為拉應力。正應力計算公式為

σ=M/Iz·y上一頁下一頁返回8.3桿件應力

式中，M為橫截面上的彎矩;Iz為截面對z軸的慣性矩;y為距中性軸的距離。以上有關純彎曲的正應力公式，對于非純彎曲，也是近似適用的。還可以證明中性軸是通過截面的形心軸。工程上最感興趣的是橫截面上的最大正應力，也就是橫截面上到中性軸最遠處的正應力。若截面上下不對稱，如T字形截面、槽形截面等，則最大拉壓應力不等值，具體計算時，需要區別對待。若截面上下對稱，則最大拉壓應力數值相等。幾種簡單圖形對其形心軸的慣性矩和抗彎截面系數計算公式見表8-4，對軋制型鋼的慣性矩等幾何性質可有設計手冊中的型鋼表直接查得。上一頁下一頁返回8.3桿件應力在計算慣性矩的時候，有以下兩點需要注意:(1)圖形對非形心軸z的慣性矩Iz計算，要用到平行移軸公式。如圖8-21所示，已知截面對自身形心軸的慣性矩Izc，則Iz為

(2)組合圖形對形心的慣性矩Iz的計算，可以將圖形分成若干個簡單圖形，分別計算第i塊面積對z軸的慣性矩，再求和，即

Iz=∑Izi

在計算第i塊面積對i軸的慣性矩Izi的過程中，注意所求的軸是否是第i塊面積的形心軸，若不是形心軸，則還要用到平行移軸公式。上一頁下一頁返回8.3桿件應力2.梁彎曲時的強度條件梁截面上的彎矩是隨截面位置而變化的。因此，在進行梁的強度計算時，應使危險截面上的最大正應力不超過材料的彎曲許用應力[σ]，即梁的彎曲強度條件為應用強度條件，同樣可以解決強度校核、設計截面和確定許可荷載等三類問題。下面用例題說明它在設計截面方面的應用。3.提高梁強度的措施提高梁的強度的措施有多種，工程上主要從以下幾個方面提高梁的強度:上一頁下一頁返回8.3桿件應力1)選擇合理的截面形狀梁橫截面上各點正應力的大小，與該點到中性軸的距離成正比。離中性軸越遠，正應力數值越大，上下兩邊緣處正應力達到最大值。如圖8-24所示，這樣截面更合理一些，橫截面的W/A數值變大了。W/A數值與截面的形狀有關。表8-5中列出了常見截面的W/A數值。2)采用變截面梁或等強度梁彎曲強度計算是保證梁的危險截面上的最大正應力必須滿足強度條件大多數情況下，梁上只有一個或者少數幾個截面上的彎矩達到最大值，也就是說只有少數截面是危險截面。上一頁下一頁返回8.3桿件應力

當危險截面上的最大正應力達到許用應力值時，其他大多數截面上的最大正應力還沒有達到許用應力值，有些點甚至遠遠沒達到許用應力值，這些截面的材料同樣沒有被充分利用。為了合理地利用材料，減輕結構重量，很多工程構件都設計成變截面的。彎矩大的地方截面大一些，彎矩小的地方截面也小一些，如汽車上的板簧、心軸等(如圖8-25所示)。

3)改善受力狀況改善梁的受力狀況，一是改變加載方式，即將集中力改為均布荷載。二是調整梁的支座距離，這些都以減小梁上的最大彎矩數值為目標的措施。上一頁返回8.4桿件變形8.4.1應變與應力的關系受外力作用的構件，應力是應變的因，應變是應力的果。如果將彈性體看作由許多微單元體(微元體)所組成，彈性體的整體變形則是所有微單元體變形累加的結果。對于正應力作用下的微元體，沿著正應力和垂直于正應力方向將產生伸長和縮短，這種變形稱為正應變或線應變，用ε表示。剪應力作用下的微元體將發生剪切變形，剪切變形程度用微元體直角的改變量度量，用γ表示。對大多數工程材料而言，應力的大小在一定范圍內，應力與應變成比例關系，即所謂的線性、彈性關系。

下一頁返回8.4桿件變形正應力與正應變的線性、彈性定量關系由胡克定律確定

σ=E·ε剪應力與剪應變的關系由剪切胡克定律描述

τ=G·Y

式中，比例常數E稱為材料的彈性模量或楊氏模量;比例常數G稱為材料的剪切彈性模量，其值通過試驗測定。對于低碳鋼而言，彈性模量大小為196~216GPa,剪切彈性模量為79.4GPa。可以證明，對于各向同性材料而言，材料常數E,G和μ之間存在如下關系

G=E/[2(1+μ)]

也即各向同性材料，獨立的材料常數僅有兩個。

上一頁下一頁返回8.4桿件變形

一旦應力超出了線彈性范圍應變就不再與應力成比例關系。8.4.2拉伸壓縮變形拉伸變形如圖8-26所示。軸向變形量為

ΔL=l1-l橫向變形為

Δa=a1-a

絕對變形與桿件的尺寸有關，為消除原尺寸的影響，通常用單位長度的變形來表示桿件變形的程度

ε=Δl/lε'=Δa/aμ=|ε'/ε|上一頁下一頁返回8.4桿件變形

式中，ε、ε’分別稱為軸向線應變和橫向線應變。顯然，二者的符號總是相反的，它們是量綱為一的量。在線性、彈性范圍內，桿件的伸長變形可由胡克定律求出

Δl=Nl/EA

8.4.3軸的扭轉變形1.扭轉角圓軸扭轉的變形可以用扭轉角φ表示。所謂扭轉角，是指變形時圓軸上任意兩截面相對轉過的角度，如圖8-28所示，其單位是rad(弧度)。可以證明，扭轉角φ與扭矩Mn?、長度z、材料的剪切彈性模量G和截面的極慣性矩Iρ，有關，即上一頁下一頁返回8.4桿件變形

從上式可以看出，扭轉角甲的大小與長度Z成正比。為消除Z的影響，工程上常用單位長度扭轉角θ來表示其變形程度，即式中，θ的單位為:rad/m。

2.圓軸扭轉剛度條件有些機械，因軸的扭轉角過大而影響其精度，有時還會引起振動，所以對扭轉變形要加以限制。通常是單位長度內的扭轉角θ不超過許用單位長度內的扭轉角[θ]，即若許用單位長度的扭轉角[θ]的單位為(°)/m，則上式轉化為上一頁下一頁返回8.4桿件變形8.4.4梁的彎曲變形1.彎曲變形機械中受橫向力作用的軸等，除了要有足夠的強度以外，還要有足夠的剛度，以保證其工作時彈性變形不致過多，否則在轉動過程中會引起振動，影響機械的運轉精度，甚至導致失效。另一方面，彎曲變形也有可利用的一面，例如汽車上的鋼板彈簧，就是通過其彎曲變形來緩沖車輛的振動。下面簡單地介紹梁的彎曲變形基本概念及基本計算。為了簡便起見，在研究梁變形時仍用梁的軸線來表示原梁。受彎梁軸線位于中性層，不伸長，也不縮短，平面彎曲時梁軸線在縱向對稱平面內